精品解析：浙江杭州市第十四中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段性检测数学试卷

2026年杭十四中高一第一次阶段性检测数学卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！ 3．考试结束，只需上交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. ， 5. 已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和无法确定 D. 和无法确定 6. 已 知 函 数是偶函数，当 时，恒成立，设 ，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次不等式的解集为，为常数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数m的最大值是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列四个命题是真命题的是（ ） A. 幂函数的图象都过点和 B. 若幂函数在单调递增，则 C. 函数的值域为 D. 函数的值域为 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点．则在下列集合中，以为聚点的集合有（ ） A. B. C. D. 整数集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________． 13. 函数的图象的对称中心为________． 14. 设是定义在上的单调函数，若，则函数在区间上的值域为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 16. 函数是R上的增函数，对任意的x，都有． （1）求的值； （2）证明为奇函数； （3）解不等式：． 17. 某企业原来生产某种产品（万件）可获利（万元），且满足.现该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调研分析得知，当前产品供不应求.记该企业优化后的产品的利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当优化后的产品产量为多少万件时，该企业的利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 18. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． （1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： （2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年杭十四中高一第一次阶段性检测数学卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！ 3．考试结束，只需上交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果. 【详解】由题意结合补集的定义可知：，则. 故选：C. 【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题. 2. 已知，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】当时，，所以， 当时，， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以是成立的充要条件， 故选：C 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易得为奇函数，结合即可判断． 【详解】，定义域为， ，则为奇函数，排除BD； 又，排除C，A符合； 故选：A． 4. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】应用分段函数性质结合二次函数的单调性即可判断. 【详解】函数， 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 5. 已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和无法确定 D. 和无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由抽象函数定义域的求法代入计算可得定义域，根据函数的值域可得函数的值域. 【详解】因为函数的定义域和值域都是， 令，解得， 所以函数的定义域为， 由函数的值域得函数的值域为. 6. 已 知 函 数是偶函数，当 时，恒成立，设 ，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调性定义与奇偶性定义，即可比较函数值大小. 【详解】当 时 ，，则， 所以函数在单调递增， 又因为是偶函数，所以， 即， 所以 即． 7. 已知关于的一元二次不等式的解集为，为常数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由解集可知抛物线开口向上且与轴相切于，即且，令， ，，采取基本不等式可解. 【详解】由解集可知抛物线开口向上且与轴相切于， 即且，故， 令，由且得， ，令，则， 当且仅当即时取等号，此时. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数m的最大值是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到在区间的值域为，再分类讨论求解即可. 【详解】由题知：函数是“函数”， 所以在区间的值域为， ，，即在区间的值域为. 当时，，值域为 当时，，对称轴为，开口向上， 所以在区间为增函数，值域为. 所以，则的最大值为14. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列四个命题是真命题的是（ ） A. 幂函数的图象都过点和 B. 若幂函数在单调递增，则 C. 函数的值域为 D. 函数的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】逐个判断选项，利用幂函数定义性质、换元法求函数值域. 【详解】A：幂函数不过，A假； B：幂函数要求系数，解得或 时在递增； 时递减，故，B真； C：令，， 所以，对称轴， 时单调递增，时，所以值域为，C真； D：定义域，， 因为，所以，又，所以，D真. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可得，再利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】由题意知不等式的解集为， 所以，且方程的两根为和1， 所以，所以，， 所以，故A错误； 因为，所以， 所以， 当，时，的最小值为，故B正确； 因为，，所以，即，解得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故C正确； ， 当且仅当，即时等号成立， 但由C可知，所以等号无法取到，所以最小值不是，故D错误. 故选：BC． 11. 设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点．则在下列集合中，以为聚点的集合有（ ） A. B. C. D. 整数集 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，当时，；当时，. 取，不存在，使得. 所以不是集合的聚点，故A错误； 对于B，任取，，则，所以是集合的聚点，故B正确； 对于C，任取，取整数满足，则，所以是集合的聚点，故C正确； 对于D，，当时，；当时，. 所以不存在，使得. 所以不是整数集的聚点，故D错误； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】分段函数的两段都是减函数，两端端点处函数值左边不小于右边，由此列不等式计算求解． 【详解】依题意，在上单调递减， 在上单调递减，两端端点处函数值左边不小于右边， 故，解得， 所以实数的取值范围为. 13. 函数的图象的对称中心为________． 【答案】 【解析】 【分析】分离常数后，利用函数的对称性可求解. 【详解】 它的定义域为，． 又 ， 所以，故的图象的对称中心为. 14. 设是定义在上的单调函数，若，则函数在区间上的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知存在唯一的满足，则有， 由即可求得，进而求得，利用函数的单调性即可求得函数的值域. 【详解】因是定义在上的单调函数，根据题意可知存在唯一的满足，则有， 取可得，则，整理得， 解得或（负值舍去），故， 易知该函数在上单调递减，故，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，列出不等式组，即可求得实数的取值范围； （2）根据题意，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由集合或， 若，则满足，解得，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 解：当时，则，解得，此时满足； 当时，要使得，则满足或，前者无解，后者解得， 综上可得，实数满足，即实数的取值范围为. 16. 函数是R上的增函数，对任意的x，都有． （1）求的值； （2）证明为奇函数； （3）解不等式：． 【答案】（1）； （2）证明：令，则由，得， 即得，故是奇函数． （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，直接求解即可． （2）利用函数的奇偶性的定义转化求解即可． （3）利用已知条件转化不等式，通过函数的单调性转化求解即可． 【小问1详解】 由题设，令， 由恒等式得，解得， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由得， 又，所以， 又，所以， 因为函数是R上的增函数，所以，即，解得或， 所以不等式的解集为或. 17. 某企业原来生产某种产品（万件）可获利（万元），且满足.现该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调研分析得知，当前产品供不应求.记该企业优化后的产品的利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当优化后的产品产量为多少万件时，该企业的利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【答案】（1） （2）生产3万件产品时利润最大，最大利润为390万元 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出解析式； （2）当时，利用二次函数性质求最值，当时，利用基本不等式求最值，综合两段函数求最值. 【小问1详解】 由题意得， 【小问2详解】 当，， 故当时，取最大值，； 当时，， 当且仅当，即时，为最大值. 因此，优化后产品产量为3万件时，企业获最大利润万元 18. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时直接检验即可，在时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求方程变形为，由题意得出，且，结合韦达定理得出，再由韦达定理得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （3）令，则，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，结合主元法可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. 【小问3详解】 当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． （1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： （2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）假定函数是区间上的“2阶自伴函数”， 取，，由，得，显然此方程无实数解， 所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”. （2）1； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，取，判断 在没有实数解，即可得解. （2）根据给定的定义，当时，用表示并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即得. （3）根据给定的定义，函数在区间,上的值域包含函数在区间,上的值域，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数为区间上的“1阶自伴函数”， 则对任意，总存在唯一的，使得， 即，整理得，显然函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应，而， 于是，则有，解得，即， 所以的值是1. 【小问3详解】 由函数在上单调递减，得函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶伴随函数”， 得对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 于是，则在区间上的值域必定包含区间， 且的值域在对应的自变量是唯一的，而函数图象开口向上，对称轴为， 显然，， ①当时，在上单调递增，则， 即，解得； ②当时，在上单调递减，则， 即，解得； ③当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得； ④当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得， 所以a的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当时，要考虑对称轴在区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $