内蒙古鄂尔多斯市第一中学分校区2026-2027学年高二第一学期期中考试数学试题

2026-2027学年度第一学期高二期中考试数学答案 1—5 CDDAB 6.BC 7.ABD 8.BCD 9. 10. 11. 12.（1） （2） 13.（1）年龄在的频率是，故选取市民年龄在的人数是人； 由所有矩形面积之和为，得，解得； （2）通过计算各组频率可得： 80百分位数落在 内，故估计200名市民年龄的第80百分位数为； （3）第3组人数：，第4组人数：，两组人数比，分层抽样选取 5 人，则第 3 组抽人，第 4 组抽人， 记年龄在的3人为，年龄在的2 人为从 5 人中任选 2 人， 样本空间为：， 即，设事件为至少一人年龄在，则， 即， 所以. 14.（1）将代入等式 化简可得 ，整理得 ，即 由正弦定理可得 因为，且锐角三角形中，即可得 又为锐角三角形，，故； （2）由题意，，故，三角形周长 由余弦定理得 又，代入上式得 由基本不等式可得，故 当且仅当时等号成立，此时，即 此时，为等边三角形，满足锐角三角形条件； 故周长最小值为. 15.（1）圆心，设切点，取切线上任意异于点的一点，则， 故，则， 展开整理得，， 故过点的切线方程为，点在切线上，故， 整理可得， 同理，切点也满足此方程，故切点弦的方程为． （2）结合（1）结论，对任意参数，切点弦的方程为， 圆心到直线的距离，当且仅当时取最大值， 弦长，故的最小值为． 16.（1）因为四边形是正方形，所以， 又因为，所以四边形 是正方形， 所以 ，所以，所以四点共面. （2）（i）因为，平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 因为 ，所以 平面，同理可得， 平面， 因为平面， 平面，所以，， 所以和 都是直角三角形，所以 的中点就是球心， 如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的一个法向量， 所以，令，所以， 所以，所以点到平面的距离为. （ii）当三点共线时，球面上点到点的距离最小， 因为，所以球的半径，分别取 中点， 则，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 由（i）知平面的一个法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17.（1）由题意可知：由可得， 当时，直线的方程为：， 又由，，可得， 所以直线的方程为：， 上面两直线方程相乘可得：，即 当时，点P也落在上 综上知：点在椭圆上. （2） （3）已知直线与椭圆交于、两点， 由原点到直线的距离为，得，化简得， 联立直线方程与椭圆方程，得，消去，得， 设，，则，，且， 所以， 代入，，后，化简得， 所以，所以的面积，化简得， 设，对称轴，∴在上单调递减， 当时，．所以的面积的最大值为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 市一中分校区2026~2027学年度第一学期期中考试试题 高二数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，时间120分钟． 2．答卷必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效． 3．考试结束只交答题纸． 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，若，，共面，则（ ） A．4 B．2 C．3 D．1 3．椭圆C上存在四个点与椭圆C的两个焦点构成一个正六边形，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．事件A与事件B相互独立，若，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知椭圆，直线与椭圆交于A，B两点，、分别为椭圆的左、右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点D，则直线与的斜率乘积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 6．已知，，…，的极差为6，平均值为2，中位数为1，方差为3．若，设，，…，的极差为Y，平均值为，中位数为p，方差为t，则（ ） A． B． C． D． 7．如图，在棱长为2的正方体中，E、F、G、M、N均为所在棱角中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ） A．P在中点时，平面平面 B．E、F、G、M、N在同一个球面上 C．异面直线、所成角的余弦值为 D．，则P点轨迹长度为 8．已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（ ） A．圆的圆心在直线上 B．m，n满足 C．圆和圆的公共弦长为2 D．已知点，，则的最小值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 9．已知，，，则的边上的高所在直线的方程为                             ． 10．如图，二面角等于，A，B是棱l上两点，，，且，，则的长等于                             ． 11．已知，动点P满足，当P、A、B不共线时，三角形面积的最大值为                        ． 四、解答题：本题共6小题，共92分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 12．（本小题14分）已知圆C过二次函数的图象与x轴的两个交点A，B，同时圆C过椭圆的上焦点． （1）求圆C的方程： （2）若过点且斜率为1的直线l与椭圆E交于M、N两点，求弦的长度． 13．（本小题14分）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第一~五组区间分别为，，，，）． （1）求选取的市民年龄在内的人数及a的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民年龄的第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 14．（本小题15分）已知锐角中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且． （1）求角A的大小； （2）若，求周长的最小值． 15．（本小题15分）如图，圆，点为直线上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B． （1）若，求直线的方程； （2）求的最小值． 16．（本小题17分）如图，四边形是边长为1的正方形，四边形是梯形，，，M是上的点，且，平面平面． （1）证明：E，F，D，M四点共面； （2）设，且点A，B，M，F均在球O的球面上． （i）求点O到平面的距离； （ii）记P为球面上到点C距离最小的点，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本小题17分）建立如图所示的坐标系．矩形中，，．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，直线、上的动点R，S满足，，直线与的交点为P． （1）证明：点P在一个确定的椭圆上，并求此椭圆的方程； （2）设点T为（1）中的椭圆上的任意一点，求点T到直线的距离的最小值． （3）若直线与（1）中的椭圆交于M、N两点，且原点O到直线l的距离为1，，当时，求的面积S的最值． 学科网（北京）股份有限公司 $