第08讲 第三章 圆周角和圆的内接四边形复习讲义 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

年 浙教版九年级上册预习讲义（数学）》 级 第08讲圆周角和圆的内接四边形 模块 课程目标 ☆课程目标☆ 1学习圆周角的概念，圆周角定理及其推论，并能在题目中熟练应用； 2掌握圆的内接多边形的概念及内接四边形的性质，并能结合圆周角定理等灵活综合解决问题 3.学习正多边形及正多边形的外接圆的概念。 模块二 内容导航 ☆内容导航☆ 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 考点一圆周角 推论：①半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 推论：②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等相等的圆周角所对的弧也相等 内容 概念：各个顶点在同一个圆上的四边形 考点二圆的内接四边形 性质：圆内接四边形的对角互补 航 正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形 考点三正多边形 正多边形的外接圆：经过一个正多边形的各个顶点的圆 模块三 考点剖析 ☆考点剖析☆ 考点一圆周角 考点卡片 1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角。如LACB。 2圆周角定理：圆周角的度数等于它所对孤上的圆心角度数的一半.如下图：∠ACB=∠A0B 推论：①半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 ②在同圆或等圆中，同孤或等孤所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的孤也相等。 典例分析 1.如图，∠APB是圆周角的是( 129 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【答案】D 【详解】解：A、B顶点没在圆上，C虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D符合圆周角的概念， 故选：D 2.如图，在⊙O中，AB=BC,∠A0B=40°，则∠BDC的度数是(） D A.10° B.20° C.30° D.40° 【答案】B 【详解】解：AB=BC,∠A0B=40°，÷∠BDC=号∠A0B=20 故选：B 3.如图，AB是⊙0的直径，点C,D是圆上两，点，若∠A0C=124°，则∠CDB等于() A.29° B.28° C.27° D.26° 【答案】B 【详解】解：∠A0C=124°，AB是⊙0的直径， ∠B0C=180°-∠A0C=56°，∠CDB=∠B0C=28, 故选：B 4.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C,点D是⊙O上一点，∠ADC=25°，则∠BOC的度数 为() A D A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】C 【详解】OC⊥AB,AC=BC,÷∠A0C=∠B0C ∠ADC=25°，∠A0C=50°，·∠B0C=50° 故选：C. 5.如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB,过点C的弦CD与线段OB相交于点E, 满足∠AEC=65°，连接AD,则∠BAD等于() 130 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 B A.20° B.25° C.30° D.32.5° 【答案】A 【详解】解：连接OD, A E OC L AB, ÷∠C0B=90°， LAEC=65°， ·∠0CE=180°-90°-65°=25°， 0D=0C, ∠0DC=∠0CD=25°， ÷∠D0C=180°-25°-25°=130°， ∴∠D0B=∠D0C-∠B0C=130°-90°=40°， .1 ÷由圆周角定理得：∠BAD=2D0B=20°， 故选：A 6.如图，AC是⊙O的直径，点B,D在⊙O上，AB=BC,AC与BD交于点E.若∠COD=60°，则∠CED的 度数为 B D 【答案】75°/75度 【详解】解：因为AC是⊙O的直径， 所以∠ABC=90°， 因为AB=BC, 所以∠BAC=∠BCA=45°， 因为∠C0D=60°， 所以∠CBD=∠C0D=30, 则∠CED=∠CBD+∠BCA=30°+45°=75°， 故答案为：75°. 131 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 7.如图，AB是⊙O的直径，点C,D均在⊙O上，CD⊥AB,若∠ABC=62°，则BD的度数为 B 【答案】56 【详解】解：AB是⊙0的直径，·∠ACB=90°， ∠A=90°-∠ABC=90°-62°=28°， CD⊥AB,BC=BD ÷∠B0D=2∠A=56°， B⑦的度数为56°， 故答案为：56. 8.如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D,交BC于E,BE=CE,∠C=70°，求∠DOE 的度数。 C D BL 【答案】∠DOE=40° 【详解】连接AE, D :AB是⊙O的直径， .∠AEB=90°，∴.AE⊥BC, .BE=CE,∴.AB=AC ∴.∠B=∠C=70°，∠BAC=2∠CAE, .∠BAC=40°， ∴.∠DOE=2∠CAE=∠BAC=40° 9.如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD,CD=BD.连接AC并延长，与BD 的延长线相交于点E (1)求证：CD=DE; (2)若AC=6,半径0B=5,求BD的长 132 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 【答案】(1)见解析；(2)2V5 【详解】(1)证明：~AB为直径， ·∠ADB=∠ADE=90°， CD BD, ·∠EAD=∠DAB, ÷∠E=∠ABE, 连接BC,则∠DCB=∠DBC,∠ACB=∠ECB=90°， E 0 B Y∠EBC+∠E=90°，∠DCB+∠ECD=90°， ·∠E=∠ECD,CD=DE. (2)解：在Rt△ACB中，由勾股定理得BC=VAB2-AC2=V102-62=8, ~∠E=∠ABE,∴△AEB为等腰三角形， ·AB=AE,BD=DE, :CE=AE-AC=AB-AC=10-6=4, 在Rt△BCE中，由勾股定理得BE=VBC2+CE=V⑧2+42=4V5, :BD =BE =2V5 10.如图所示，AB=AC,AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E,D,连结ED,BE (1)试判断DE与BD是否相等，并说明理由； (2)如果BC=12,AB=10,求BE的长 C D B 【答案】(1)DE=BD,理由见解析；(2)9.6 【详解】(1)DE=BD,理由如下， :AB为⊙O的直径，·AD⊥BC :AB=AC,·∠CAD=∠BAD :ED=BD ·DE=BD (2)AB为⊙O的直径，·∠AEB=∠ADB=90° BC=12,AB=10, 'AD⊥BC,AC=AB &BD=8C=6 在Rt△ABD中，AD=VAB2-BDZ=V102-6=8 AB AC=10 ACBE CAD BECAD12x8-9.6 1 AC 10 133 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 考点二圆的内接四边形 考点卡片 圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个 圆叫做四边形的外接圆。如图所示四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆。 圆的内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。 0 典例分析 11.已知圆内接四边形ABCD中，∠A:∠C=1:2,则∠A=（） A.50 B.60° C.100° D.120° 【答案】B 【详解】解：设∠A=x,则∠C=2x, :四边形ABCD是圆内接四边形， ·∠A+∠C=180°， x+2x=180°， 解得，x=60°，即LA=60°， 故选：B 12.如图，四边形ABCD内接于⊙O,F是CD上一点，且DF=BC,连接CF并延长交AD的延长线于点E, 连接AC.若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为() A.45 B.50° C.55 D.60° 【答案】B 【详解】四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=105°， ∠ADC=180°-∠ABC=180°-105°=75°. DF=BC,∠BAC=25°，÷∠DCE=∠BAC=25°， ·LE=∠ADC-∠DCE=75°-25°=50°. 13.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,AB∥CD,∠B=70°，连接AC,则∠CAD的度数为() A.25 B.28° C.30° D.35 134 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 【答案】C 【详解】解：四边形ABCD内接于⊙O,∠B=70°， .∠B+∠D=180°， .∠D=180°-70°=110°， .AB AC, ∴∠B=∠ACD=70°， ∠B+∠ACD+∠BAC=180°， ∴∠BAC=180°-70°-70°=40°， AB∥CD, ∴∠BAC=∠ACD=40°， ∴.∠CAD=180-∠ACD-∠D=30°； 故选：C; 14.如图，在6×6的网格中，圆经过格，点A、B、C.若E、F是圆上任意两，点，且∠EFC=114°，则∠ACE 的度数为( A.66 B.67 C.68 D.69° 【答案】D 【详解】解：如图，连接AB、BC. AB2=22+22=8,AC2=22+22=8,CB2=42=16, AB2+AC2=BC2,∴∠BAC=90°， .∠ABC=45°， ∴.∠AEC=∠ABC=45°， 四边形AEFC内接于圆， .∠EAC=180°-∠EFC=180°-114°=66°， .∠ACE=180°-∠AEC-∠EAC=180°-45°-66°=69° 故选：D. 15.如图，四边形ABCD内接于⊙0，若∠ABC=135°，AC=2,则⊙0的半径是() 0 0 A.2 B.3 C.22 D.4 135 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 【答案】A 【详解】解：连接0A,OC, B 四边形ABCD内接于⊙0，∠ABC=135°， ∠ADC=45°，÷∠A0C=90° 由勾股定理得：0A2+0C2=AC2, 0A=0C,AC=2, 0A=V2, ⊙0的半径为：√2， 故选：A 16.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E为BC上任意一点，连接BE,CE,则∠BEC= 0 【答案】1350 【详解】如图所示，连接AC 0. 四边形ABCD是正方形 ∴.∠ABC=90°，AB=BC ∴.∠BAC=45° ~⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E为BC上任意一点， ∴.⊙O是四边形ABEC的外接圆， ∴.∠BEC=180°-∠BAC=135° 故答案为：135 17.如图，点A、B、C在⊙0上，若∠A0B=128°，则∠C=° 【答案】116 【详解】解：如图，取点M,连接MA、MB, ∠A0B=128°， ∠M=2×LA0B=3×128°=64， 136 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 .∠C=180°-∠M=116°， 故答案为：116. M 18.如图，四边形ABCD内接于⊙0，∠A0D=150°，∠B=105°.比较AC,AD的大小，并说明理由. 【答案】AC=AD,理由见解析 【详解】解：AC=AD,理由如下： ~四边形ABCD内接于⊙O, ∠B+∠ADC=180°， ￥∠B=105°， ·∠ADC=180°-105°=75°， ∠A0D=150°， ÷∠ACD=3∠A0D=2×150°=75°， ·∠ADC=∠ACD, ·AC=AD 19.如图，在△ABC中，AC=BC,以AB为直径作⊙O,与AC相交于点D.连接OC,与⊙0相交于点E,连 接DE,求∠ADE的度数， D B 【答案】∠ADE=135° 【详解】解：如图，连接BE, A B .AC=BC,0A OB ∴.OC⊥AB ∴.∠A0E=90°， ∠ABE=号∠A0E=45, .四边形ABED是⊙O的内接四边形 .∠ADE=180°-∠ABE=180°-45°=135 137 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 20.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,G为AD上一点，延长AG,CD交于，点F,连接CG和DG. (1)若BE=1,CD=6,求⊙0的半径； (2)求证：∠AGC=∠DGF. G E B D 【答案】(1)5；(2)见解析 【详解】(1)解：AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E,CD=6, .DE=CD=3, 如图：连接0D,设圆的半径为，则OD=r,OE=r-1, B D .0D2=0E2+DE2,即r2=(r-1)2+32,解得：T=5, ⊙0的半径为5. (2)证明：如图：连接AC, CD⊥AB,AB是⊙O的直径，÷AC=AD, ·∠ACD=∠AGC, :四边形ACDG为圆的内接四边形， ·∠DGF=180°-∠AGD=∠ACD, ·∠AGC=∠DGF 考点三正多边形 考点卡片 1.正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形。根据正多边形的边数的不同，分别把它们叫做正 三角形、正方形、正五边形、正六边形等。 正三角形 正方形 A提取文字更察~ 正六边形 138 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 2正多边形的外接圆：把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫做 圆的内接正多边形。任何正多边形都有一个外接圆。 0. 0 典例分析 21.下列关于正多边形的叙述，正确的是（) A.正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B.存在一个正多边形，它的外角和为720° C.任何正多边形都有一个外接圆 D.不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形 【答案】C 【详解】正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不正确； 任何多边形的外角和都为360°，故选项B不正确； 任何正多边形都有一个外接圆，故选项C正确； 等边三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故选项D不正确： 故选：C 正多边形、轴对称、中心对称、正多边形与圆、外角的性质，从而完成求解 22.若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是() A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【详解】解：设所求正n边形边数为n,则60°.n=360°， 解得n=6.故正多边形的边数是6. 故选：C 23.如果一个正多边形的每一个内角是150°，那么这个正多边形的边数为() A.16 B.12 C.8 D.6 【答案】B 【详解】解：正多边形的每一个内角是150°，正多边形的每一个外角是180°-150°=30°， 正多边形的边数为360°÷30°=12； 故选：B 24.我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在⊙0上任取，点A,从点A开始，以⊙0的半径 为半径，在⊙O上依次截取点B,C,D,E,F,从而点A,B,C,D,E,F把⊙O六等分.下列可以 只用圆规将圆等分的是() ①两等分； ②三等分；③四等分 A.② B.①② C.①③ D.①②③ 【答案】B 【详解】解：只用圆规可完成圆的六等分， “可以利用六等分点间接得到两等分，点和三等分点， 但无法只用圆规得到四等分点， ①②可行，③不可行， 故选：B 139 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 25.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，正六边形的周长是12，则⊙0的半径是（ A D A.1 B.3 C.2 D.23 【答案】C 【详解】连接OB,0C, F D :多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=60°， 0B=0C,∴△OBC是等边三角形，∴.OB=0C=BC, 正六边形的周长是12，.BC=2,∴.⊙0的半径是2 故选：C 26.如图所示的正八边形是用八个全等的等腰三角形拼成的，OA=0B=2,则正八边形的面积为() A A.8V2 B.8V3 C.8 D.16 【答案】A 【详解】解：过A作AC⊥OB于C, A ·∠AC0=90, ￥∠A0B=智=450， 0C=AC=竖0A=V2. “正八边形的面积=8×；×2V2=8V2, 故选：A 27.已知，正六边形ABCDEF的面积为6V3,则正六边形的边长为() A.1 B.3 C.2 D.4 【答案】C 【详解】解：如图：根据多边形的内角和定理可求出正六边形的一个内角为120°，故正六边形是由6个正 140 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 三角形构成的，过O,点作OM⊥AB垂足是M, AM B 设正六边形的边长为a,即OA=AB=Q 在正三角形OAB中， .OM⊥AB 六AM=BM= 在Rt△AM0中，OM=VOA2-AMZ= 2--a 一个正三角形的面积为：是AB:0M=×Q×要=园 2 4 正六边形的面积为：3@×6=35 4 2 3y3@2=6V3, 2 解得：a=2, 故选：C 28.如图，A、B、C、D为一个正多边形的相邻四个顶点，0为正多边形的中心，若∠ADB=12°，则这个正 多边形的边数为 D B A 【答案】15 【详解】解：如图，连接A0,B0,∠A0B=2∠ADB=24,这个正多边形的边教为架=15， 故答案为：15. A 29.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O, (I)若P是CD上的动点，连接BP,FP,求∠BPF的度数； (2)已知△ADF的面积为2V3,求⊙0的面积. 141 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 【答案】(1)60°；(2)4π 【详解】(1)如图所示，在CD取一点P,连接BP、AP、FP、FO, A B E C D :六边形ABCDEF是正六边形， ∴AF=AB,∠A0F=360=60°， 六∠APF=3∠A0F=30, AF=AB. .∠APB=∠APF=30°， .∠BPF=∠APB+∠APF=60°； (2)∠A0F=60°，A0=F0,∴.△A0F是等边三角形， ∠DAF=60°；DF=V3AF,AD=2AF, SAADF=TAF X DF=AF2=2V3,.AF=2, 即⊙0的半径为2.面积为：π×22=4π 30.按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形ABCD,且顶，点都在圆上 (2)在图②中将圆的面积6等分 图① 图② 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【详解】(1)解：如图，正方形ABCD即为所求； D (2)解：如图所示： 142 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 31.碳60，是一种非金属单质，化学式为C60,是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯.如 下图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体。 (门)足球烯中正五边形每一个内角的度数为」 (2)若足球烯中正六边形的边长为a,求该正六边形的边心距 【答案】01089，②2a 【详解】(1)解：任意多边形的外角和为360°，五边形一个外角是360°÷5=72°， ∴.五边形一个内角是180°-72°=108°. 故答案为：108° (2)解：如图，CD为正六边形的一条边，，点O为它的外接圆的圆心，连接OC,OD,过点O作OH⊥CD A C H D ~0C=0D,∠C0D=360=60°， △OCD是等边三角形，CD=OC=OD=a. OH1CD,CH=CD=a.在Rt△0CH中，由勾股定理，得0H=V3CH=a, 故被正六边影的边心距为。 模块四 课后练习 ☆课后练习☆ 1.如图，，点A,B,C,D在⊙O上，若AB=CD,则下列结论错误的是() D A.AB=CD B.AC=BD C.AD=BD D.∠ADC=∠BAD 【答案】C 【详解】解：A、~AB=CD,AB=CD,该选项正确，但不符合题意； B、AB=CD,AB-AD=CD-AD,DB=AC,·AC=BD,该选项正确，但不符合题意； C、由已知条件无法判断AD=BD,故无法判断AD=BD,故该选项错误，但符合题意； D、:由B选项得AC=BD,∠ADC=∠BAD,该选项正确，但不符合题意. 故选：C 2.下列命题正确的是() A.各边相等的多边形是正多边形 B.正多边形一定是中心对称图形 C.各角相等的圆内接多边形是正多边形 143 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 D.正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 【答案】D 【详解】解：A、各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形各边相等但角不等，故该选项不符合题意； B、正多边形不一定是中心对称图形，只有当边数为偶数时才是，如正三角形不是中心对称图形，故该选项 不符合题意； C、各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如矩形各角相等但边不等，故该选项不符合题意； D、正多边形外接圆的半径就是正多边形的半径，故该选项符合题意； 故选：D 3.如图，⊙O是一张饭桌的桌面示意图，五位同学沿着饭桌周围就坐，其就坐的位置可分别看成是⊙O上 的A、B、C、D、E五，点，B同学与E同学之间的连线恰好经过圆心0，若∠BAD=65°.则∠DCE的度数 为() C A.25° B.30° C.32.5° D.35° 【答案】A 【详解】解：连接OD, .·∠BAD=65°，.∠B0D=2∠BAD=130°， ∠D0E=1B0°-∠B0D=50°，∠DCE=:∠D0E=25, 故选：A. 4.如图，点A,B,C在⊙0上，BC IOA,连接B0并延长，交⊙0于点D,连接AC,DC.若∠A=25°，则∠D 的大小为() A D A.25° B.30° C.40° D.50° 【答案】C 【详解】解：BC IIOA,∠A=25°，∴∠ACB=∠A=25°，∠A0B=∠DBC, .∠DBC=∠AOB=2∠ACB=50°， 连接B0并延长，交⊙O于点D,.BD为直径，∴∠BCD=90°，.∠D=∠BCD-∠CBD=40; 故选C 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AD、BC的延长线相交于点E,AB、DC的延长线相交于点F,∠A=50°， 则∠E+∠F=() 144 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 A.75° B.82 C.80° D.78 【答案】C 【详解】解：四边形ABCD内接于⊙O,∴.∠ADC+∠ABC=180°， :∠E+∠A+∠ABC=180°，∠F+∠A+∠ADC=180°，.∠E+∠F+∠ABC+∠ADC+2∠A=360°， ∠A=50°，.∠E+∠F+180°+100°=360°，.∠E+∠F=80° 故选：C 6.如图，⊙O是△BCD的外接圆，AB⊥BC.若BC=4,∠BDC=30°，则⊙0的半径为() A.4 B.2V2 C.23 D.8 【答案】A 【详解】解：连接AC,则：∠CAB=∠BDC=30°， D AB⊥BC,∴∠ABC=90°，∴AC为⊙O的直径， ∠ABC=90°，∠CAB=30,BC=4,AC=2BC=8,⊙0的半径为号=4； 故选A. 7.如图所示，弦AB,CD所对的圆心角分别是∠A0B,∠COD,若∠A0B与∠COD互补，AB=8,CD=6, 那么⊙0的半径为() D A.5 B.10 C.52 D.5V3 【答案】A 【详解】解：如图，延长AO交⊙O于点E,连接BE, 145 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 D 则∠A0B+∠B0E=180°， 又∠A0B+∠COD=180°，∠B0E=∠C0D,∴BE=CD=6, AE为⊙0的直径，.∠ABE=90°， AE=VAB2+BE=V82+6=10,⊙0的半径=AE=5, 故选A。 8.如图，△BCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径，若∠ABC=20°，点D是BC的中点，则∠BCD的度数为() 0 A.25 B.30° C.35° D.40° 【答案】C 【详解】解：连接AD,如下图 D C :AB是⊙0的直径，·∠ADB=90° ∠ABC=20°，÷∠CDA=∠CBA=20°， ·∠DAB+∠DBC=90°-20°=70°. :点D是BC的中点，∠BCD=∠DBC, ·∠BCD=∠BAD=∠DBC, ·∠BCD=(∠BAD+∠DBC）=×70°=35 故选：C 9.如图，正五边形ABCDE的外接圆为⊙O,点P是劣孤DE上一点，连接AC、AP、CP,则∠ACP+∠CAP 的度数是( A.72° B.108° C.128° D.144° 【答案】B 【详解】解：五边形ABCDE是正五边形， 146 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 ÷∠B=180x5-2=108, 5 ,四边形ABCP是⊙O的内接四边形， ∴.∠B+∠APC=180°， ∴.∠APC=180°-108°=72， .∠ACP+∠CAP=180°-∠APC=180°-72°=108°， 故选：B 1O.如图，正六边形ABCDEF的顶，点A,F分别在正方形BMGH的边BH,GH上.若正方形的边长为6，则正 六边形的边长为() B A H M D E A.2 B.4 C.4.5 D.5 【答案】B 【详解】解：设AF=x,则AB=x,AH=6-x, :六边形ABCDEF是正六边形， ÷∠BAF=120°， ∠HAF=60°， ∠AHF=90°， ∠AFH=30°， .AF 2AH, ·x=2(6-x), 解得x=4, AB=4, 即正六边形ABCDEF的边长为4， 故选：B 11.如图，已知点A,B,C三，点在⊙0上，若∠BCA=45°，OA=3,则AB的长为 B 【答案】3√2 【详解】解：根据∠BCA=45°得到∠A0B=2∠BCA=90°，由0A=0B=3,故AB=VOA2+OB=3V2, 故答案为：3V2 12.如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC‖DE.若弦BE=3,则弦CE的长为 147 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 【答案】3 【详解】解：连接OC, AC‖DE,·∠A=∠1.∠2=∠AC0,0A=0C,·∠A=∠AC0,·∠1=∠2.CE=BE=3. 故答案为：3. 13.如图，在⊙0中，孤AB=孤AC,∠A0B=40°，点D在⊙0上，连接CD,AD,则∠ADC=一 B 【答案】20°/20度 【详解】解：如图，连接OC, D AB=AC,∴.∠A0C=∠A0B=40°， AC=AC,∠ADC=号∠A0C=20°， 故答案为：20° 14.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B0D=100°，则∠BCD= A D 【答案】130 【详解】解：四边形ABCD是⊙0的内接四边形，∠B0D=100°， ∠A=3∠B0D,∠A+∠BCD=180°，∠A=50°， ∴.∠BCD=180°-50°=130°； 故答案为：130. 15.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE.若∠BCD=2∠BAD,则∠ DAE的度数是一· 148 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 【答案】30/30度 【详解】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+LBAD=180°， ∠BCD=2∠BAD,÷∠BCD=120°，∠BAD=60°， BE是⊙0的直径，∠BAE=90°，∠DAE=90°-∠BAD=90°-60°=30°， 故答案为：30°， 16.如图，在拧开一个边长为a的正六边形螺帽时，扳手张开的开口b=30mm,则边长a的长度是 b 【答案】10V3mm 【详解】解：如图，连接OC、OD,过O作OH⊥CD于H. A B E H D :∠C0D=360=60°，0C=0D,÷△C0D是等边三角形， 6 ∠C0H=90°-60°=30°， OH⊥CD, ..CH DH=CD,OH=b=15(mm),:.CH=5/3(mm), a=2CH=10V3(mm), 故答案为：10v3mm. 17.如图，四边形ABCD内接于一圆，延长BC到点E. (1)求证：∠DAB=∠DCE; (2)连接AC、BD,若∠DAB=65°，CD平分∠ACE,求∠ADB的度数 E 【答案】(1)证明见解析；(2)50° 【详解】(1)证明：四边形ABCD内接于一圆， 149 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 ∴.∠DAB+∠DCB=180°， ∠DCE+∠DCB=180°， .∠DAB=∠DCE: (2)解：由(1)得∠DAB=∠DCE, :∠DAB=65°， ∴.∠DCE=65°， :CD平分∠ACE, ∴.∠ACE=2∠DCE=130°， ∠ACB=180°-∠ACE=50°， ∴.∠ADB=∠ACB=50° 18.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，⊙0半径为4. (1)求正六边形的边心距。 (2)求正六边形ABCDEF的面积. E D A 【答案】(1)正六边形的边心距为2V3; (2)24V3. 【详解】(1)连接OC、OD,过点O作OH⊥CD于H,则∠OHC=∠OHD=90°， E A B 六边形ABCDEF是正六边形， ·∠C0D=60°， :∠C0H=30°，△C0D为等边三角形， ÷8=cos∠C0H=c0s30,CD=0c=4, :圆心0到CD的距离0H=4×cos30°=2V5, 即正六边形的边心距为2√3： (2)正六边形ABCDEF的面积=6S△C0D=×4×2V3×6=24V3, 19.如图，A是⊙0上一点，BC是直径，点D在⊙O上且平分BC (1)连接AD,求∠BAD的度数； (2)若CD=5V2,AB=8,求AC的长， D 150 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 【答案】(1)45°；(2)6 【详解】(1)解：BC是直径， .∠BAC=∠BDC=90°， 点D在⊙0上且平分BC, :BD DC, ·∠BAD=∠CAD=∠BAC=45; (2)解：点D在⊙O上且平分BC, :BD DC, +.BD CD=52, BC=√BD2+CD=10, 'AB=8, :AC=BC2 AB2 =6. 20.已知△ABC中，∠A=68°.以AB为直径的⊙0与AC,BC的交，点分别为D,E (1)如图①，求∠CED的大小： (2)如图②，当DE=BE时，求∠C的大小 D 0 0 图① 图② 【答案】1(1)68；(2)56 【详解】(1)解：四边形ABED是圆内接四边形， .∠A+∠DEB=180. ∠A=68°， ∴.∠DEB=112°， .∠CED=180°-112°=68°； (2)解：连接AE, C D A O .DE BE, ∠BAE=∠DAE=∠BAC=34° .AB是⊙O的直径 ∴.∠AEB=90° 在Rt△ACE中，∠C=90°-34°=56° 21.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点E、D,连接ED、BE、AD. (1)求证：DE=BD: (2)若BC=6,AB=5,求BE的长 151 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 B 【答案】0)见解析：②)BE=号 【详解】(1)AB为直径， ∴，∠ADB=90°，即AD⊥BC, .AB AC, ∴.∠EAD=∠BAD, ..DE BD; (2)∠ADB=90°，BC=6,AB=5=AC, ..BD =BC=3, ..AD=VABZ BD2 =4, AB为直径， ∴.∠AEB=90° SAABC=ACBE=BCAD,即5BE=6×4, B服=台 152 第08讲 圆周角和圆的内接四边形 ☆课程目标☆模块一 课程目标 1.学习圆周角的概念，圆周角定理及其推论，并能在题目中熟练应用； 2.掌握圆的内接多边形的概念及内接四边形的性质，并能结合圆周角定理等灵活综合解决问题. 3.学习正多边形及正多边形的外接圆的概念。 ☆内容导航☆模块二 内容导航 ☆考点剖析☆模块三 考点剖析 考点一 圆周角 考点卡片 1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角。如。 2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.如下图： 推论：①半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 ②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 典例分析 1. 如图，是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 2. 如图，在⊙O中，，，则的度数是（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 3. 如图，是的直径，点C，D是圆上两点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点 C，点D是⊙O上一点，∠ADC=25°，则∠BOC的度数为（   ）    A．30° B．40° C．50° D．60° 5. 如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于(　　) A．20° B．25° C．30° D．32.5° 6. 如图，是的直径，点，在上，，与交于点．若，则的度数为______． 7. 如图，是的直径，点，均在上，，若，则的度数为_____． 8. 如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度数． 9. 如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接、、，．连接并延长，与的延长线相交于点E． (1)求证：； (2)若，半径，求的长． 10. 如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E，D，连结ED，BE． （1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由； （2）如果BC＝12，AB＝10，求BE的长． 考点二 圆的内接四边形 考点卡片 圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。如图所示四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆。 圆的内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。 典例分析 11. 已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A＝（　　） A．50° B．60° C．100° D．120° 12. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ） A．45° B．50° C．55° D．60° 13. 如图，四边形内接于，，，，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14. 如图，在的网格中，圆经过格点A、B、C．若E、F是圆上任意两点，且，则的度数为（　 　） A． B． C． D． 15. 如图，四边形内接于，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D．4 16. 如图，是正方形的外接圆，点为上任意一点，连接，，则______． 17. 如图，点在上，若，则 18. 如图，四边形内接于，，．比较的大小，并说明理由． 19. 如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点，连接，求的度数． 20. 如图，是的直径，弦于点E，G为上一点，延长交于点F，连接和． (1)若，，求的半径； (2)求证：． 考点三 正多边形 考点卡片 1.正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形。根据正多边形的边数的不同，分别把它们叫做正三角形、正方形、正五边形、正六边形等。 2.正多边形的外接圆：把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫做圆的内接正多边形。任何正多边形都有一个外接圆。 典例分析 21. 下列关于正多边形的叙述，正确的是（　　） A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．存在一个正多边形，它的外角和为720° C．任何正多边形都有一个外接圆 D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形 22. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 23. 如果一个正多边形的每一个内角是，那么这个正多边形的边数为（    ） A．16 B．12 C．8 D．6 24. 我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 25. 如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是（    ） A．1 B． C．2 D． 26. 如图所示的正八边形是用八个全等的等腰三角形拼成的，，则正八边形的面积为（    ） A． B． C．8 D．16 27. 已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为（    ） A．1 B． C．2 D．4 28. 如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ______．    29. 如图，正六边形内接于． (1)若P是上的动点，连接，，求的度数； (2)已知的面积为，求的面积． 30. 按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 31. 碳60，是一种非金属单质，化学式为，是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯．如下图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体． (1)足球烯中正五边形每一个内角的度数为______． (2)若足球烯中正六边形的边长为a，求该正六边形的边心距． ☆课后练习☆模块四 课后练习 1. 如图，点，，，在上，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2. 下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 3. 如图，是一张饭桌的桌面示意图，五位同学沿着饭桌周围就坐，其就坐的位置可分别看成是上的、、、、五点，同学与同学之间的连线恰好经过圆心，若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 4. 如图，点在上，，连接并延长，交于点，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5. 如图，四边形内接于⊙O，的延长线相交于点E，的延长线相交于点F，，则（   ） A． B． C． D． 6. 如图，是的外接圆，．若，，则的半径为（    ） A．4 B． C． D．8 7. 如图所示，弦，所对的圆心角分别是，，若与互补，，那么的半径为（   ）    A．5 B．10 C． D． 8. 如图，内接于，是的直径，若，点是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9. 如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10. 如图，正六边形的顶点，分别在正方形的边，上．若正方形的边长为，则正六边形的边长为(    )    A． B． C． D． 11. 如图，已知点A，B，C三点在上，若，，则的长为__________． 12. 如图，和是的直径，弦．若弦，则弦的长为__________． 13. 如图，在中，弧弧，，点在上，连接，则______． 14. 如图，四边形是的内接四边形，，则__________． 15. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是______． 16. 如图，在拧开一个边长为的正六边形螺帽时，扳手张开的开口，则边长的长度是______． 17. 如图，四边形内接于一圆，延长到点． (1)求证：； (2)连接、，若，平分，求的度数． 18. 如图，正六边形内接于，半径为4． (1)求正六边形的边心距． (2)求正六边形的面积． 19. 如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分． (1)连接，求的度数； (2)若，求的长． 20. 已知中，．以为直径的与的交点分别为D，E． (1)如图①，求的大小： (2)如图②，当时，求的大小．    图①                           图② 21. 如图，在中，，以为直径的⊙O分别交、于点E、D，连接、、． (1)求证：； (2)若，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $