第07讲 第三章垂径定理和圆心角复习讲义 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

第07讲 垂径定理和圆心角 ☆课程目标☆模块一 课程目标 1.学习垂径定理及其推论的内容，并能够在不同的题目对其熟练地进行选择应用. 2.学习圆心角的概念、圆心角定理及其推论，并能在解题过程中熟练应用. ☆内容导航☆模块二 内容导航 ☆考点剖析☆模块三 考点剖析 考点一 垂径定理 考点卡片 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。 如图，几何语言为： 如果 ⇒ 2.垂径定理的拓展 定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。: 注意： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 典例分析 1. 如图，是的直径，弦，垂足为M，下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 2. 如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是弧的中点 B． C．平分 D．平分 3. 如图，是的直径，弦于点，，，则（    ） A． B． C． D． 4. 往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（    ） A． B． C． D． 5. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ） A． B． C． D． 6. 已知：如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为（    ） A． B． C． D．4 7. 圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器．图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图．若烧瓶中液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为________； 8. 已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是__________． 9. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D． (1)求证：AC＝BD； (2)若大圆的半径r＝8，小圆的半径r＝6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长． 10. 如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A、B、C． (1)用尺规作图法找出弧所在圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰．求圆片的半径R． 11. 如图，已知扇形． (1)请用尺规作图，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的面积． 12. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米， (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米是否要采取紧急措施？ 考点二 圆心角 考点卡片 1.圆心角：顶点在圆心的叫做圆心角。 2.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 拓展：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，上述中的“弧”是指同为优弧或劣弧． 3.把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧，n°的圆心角所对的弧就是n°的弧。 典例分析 13. 下列说法中，正确的是（   ） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 14. 如图，AB为半圆O的直径，点C、D为的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是（    ） A．25° B．30° C．50° D．60° 15. 如图，在⊙O中，，则下列结论正确的是( ) A．AB>2CD B．AB＝2CD C．AB<2CD D．以上都不正确 16. 如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为（   ）    A． B． C． D． 17. 圆的一条弦把圆分为度数比为的两条弧，则弦心距与弦长的比为（    ） A． B． C． D． 18. 如图，在⊙O中，，∠ACB=60°， 求证：∠AOB=∠BOC=∠COA． 19. 如图，A、B、C、D是上的四点，．求证：．    20. 如图，在中，，于点，于点． (1)求证：． (2)若，，求长． ☆课后练习☆模块四 课后练习 1. 下列四个命题中，真命题是( ) A．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等 B．圆是轴对称图形， 任何一条直径都是圆的对称轴 C．平分弦的直径一定垂直于这条弦 D．等弧所对的圆周角相等 2. 如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3. 如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 4. 如图，内接于，是的直径，，点是劣弧的中点，连接交于点，，则弦的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 5. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（    ） A．48寸 B．24寸 C．25寸 D．50寸 6. 如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为，水面宽为，则水的最大深度为（   ） A． B． C． D． 7. 如图，，，在上，，交于点．若，，则半径的长为（   ） A． B．6 C．8 D．10 8. 如图，小丽荡秋千，秋千链子的长为，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离为3米，秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差（即）为0.5米．则秋千链子的长为（    ） A．2米 B．2.5米 C．1.5米 D．米 9. 如图，AB，CD是的直径，，若，则的度数是________． 10. 如图，是的两条弦，，且，则的半径等于___________． 11. 如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为______m． 12. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为、深的小坑，则该铅球的直径为______． 13. 常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设小圆孔的宽口的长度是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，如图所示，则这个钢珠的直径为____________． 14. 如图，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，，则的半径为__________ 15. 已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：. 16. 如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数． 17. 如图，在中，，是互相垂直的两条弦，，，垂足分别为．求证：． 18. 如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得(保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下,连接，，若，，求四边形的面积． 19. 如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为点E，，求的直径． 20. 如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、． (1)求证：； (2)若，求弦的长． 21. 如图，为直径，E为弦的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)连接，若，四边形的面积为40，求的长． 22. 一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽为16m（如图），桥拱最高处离水面4m． （1）求桥拱半径； （2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m，问水面涨高了多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 第07讲垂径定理和圆心角 模块一 课程目标 ☆课程目标☆ 1,学习垂径定理及其推论的内容，并能够在不同的题目对其熟练地进行选择应用， 2.学习圆心角的概念、圆心角定理及其推论，并能在解题过程中熟练应用。 模块二 内容导航 ☆内容导航☆ 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 考点一垂径定理 拓展1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 容导 拓展2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 圆心角：顶点在圆心角的叫做圆心角 考点二圆心角 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 模块三 考点剖析 ☆考点剖析☆ 考点一垂径定理 考点卡片 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的孤。 分一条孤成相等的两条孤的点，叫做这条孤的中点。 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。 如图，几何语言为： 如果CD是直径 (AE=BE → AD =BD CD⊥AB AC=BC 2 2.垂径定理的拓展 定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的孤 定理2：平分孤的直径垂直平分孤所对的弦。： 注意： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优孤、平分弦所对的劣孤，在这 五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不 能是直径) 109 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 典例分析 1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不一定成立的是（) B A.CM=DM B.OM=MB C.BC=BD D.∠ACD=∠ADC 【答案】B 【详解】解：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB, ∴BC=BD,AC=AD,CM=DM,.∠ACD=∠ADC, 根据现有条件无法证明OM=MB,∴四个选项中只有B选项符合题意 故选B 2.如图，AB是⊙O的直径，点B是弧CD的中点.下列结论错误的是() A.点A是孤CAD的中，点 B.AB⊥CD C.AB平分CD D.CD平分AB 【答案】D 【详解】解：B是孤CD的中点，∴BC=BD, AB是直径，AB⊥CD, ∴AB平分CD,点A是孤CAD的中点，故A,B,C正确，D错误， 故选：D 3.如图，AB是⊙0的直径，弦CD1AB于，点E,OC=5cm,CD=8cm,则0E=(） 4 D B A.8cm B.5cm C.3cm D.2cm 【答案】C 【详解】解：弦CD⊥AB于点E,CD=8cm,.CE=号CD=4cm. 在Rt△C0E中，C0=5cm,∴.0E=VOC2-CE=V52-4=3 故选：C 4.往水平放置的半径为13Cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB=24cm, 则水的最大深度为() 10 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 -24 A.5cm B.8cm C.10cm D.12cm 【答案】B 【详解】解：连接OA,过，点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D, D :OC1AB,由垂径定理可知， ..AC=CB-1AB=12, 在Rt△AOC中，由勾股定理可知： ∴.0C=V0A2-AC=√132-12z=5, .CD=0D-0C=13-5=8(cm), 故选：B 5.如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为6cm,瓶内液体已经过半，最大深度CD=8c,则截面圆 中弦AB的长为（) 0 A.10cm B.4V3cm C.8v2cm D.4v10cm 【答案】C 【详解】解：连接OA, B D 由题意得：OC⊥AB, ∴.AC=BC=AB,∠0CA=90°， .0A OD 6cm,CD 8cm, ∴0C=CD-0D=8-6=2(cm), 在Rt△0AC中，由勾股定理得：AC=V6-22=4V2(cm), ..AB 2AC =8v2(cm), 故选：C 111 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 6.已知：如图，AB是⊙0的直径，弦CD交AB于E点，BE=1,AE=5,∠AEC=30°，则CD的长为() E 0 A.4V2 B.3V2 C.5v2 D.4 【答案】A 【详解】如图，过点0作OF1CD于F, C F B E 则FC=CD, BE=1,AE=5,0B=,(AE+BE)=3, *.OE=0B-BE=(AE +BE)-BE =2, ~∠AEC=30°，0F=)E0=1, 0C=0B=3, CF=0C2-0Fz=V32-1=2V2, CD 2CF=4V2. 故选A. 7.圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器，图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的 侧面示意图.若烧瓶中液体水平宽度AB为12cm,竖直高度CD为3cm,则⊙0的半径为cm; D C 图1 图2 【答案】7.5 【详解】解：连接A0, D B C 0C⊥AB, AD=3AB=3×12=6(cm), 设⊙0的半径为xcm,则0A=OC=xcm, .0D=0C-CD=x-3, 在△A0D中，AD2+0D2=0A2, 112 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 即62+(x-3)2=x2, 解得：x=7.5, .∴.⊙0的半径为7.5cm 故答案为：7.5 8.已知⊙0的半径为13，弦AB平行于弦CD,CD=10,AB=24,AB和CD之间的距离是 【答案】7或17 【详解】解：如图，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OE⊥AB于点E,并延长EO,交CD于F点.分 别连接A0、CO. AB II CD, C ∴.EF L CD, CD=10,AB=24, .AE =TAB 12,CF=CD=5. 在Rt△AE0中，由勾股定理得0E=VOA2-AE区=5， 在Rt△CF0中，由勾股定理得0E=VOC2-CF2=12, ∴.EF=0E+0F=5+12=17, ∴.AB和CD之间的距离为17： 如图所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间（即弦AB、CD在圆心O的同侧）时， 同理可得：0F=12,0E=5, ∴.EF=OF-OE=7, ∴AB和CD之间的距离为7； 综上所述，AB和CD之间的距离为7或17. 故答案为：7或17 9.已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D (1)求证：AC=BD; (2)若大圆的半径r=8,小圆的半径r=6,且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长 DB 【答案】(1)见解析；(2)AC=4V3-2V5 【详解】(1)证明：作OE⊥AB,则AE=BE,CE=DE, 故BE-DE=AE-CE; 即AC=BD; 113 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 (2)解：连接OC,OA, OE⊥AB且OE⊥CD,.OE=4,CE=DE, ∴.DE=CE=V0C2-0Ez=V62-42=2V5, AE=V0A2-0E2=V82-42=4V3 ∴AC=AE-CE=4V3-2V5 10.如图所示，要把破残的圆片复制完整.已知孤上的三，点A、B、C (1)用尺规作图法找出孤BAC所在圆的圆心O.(保留作图痕迹，不写作法) (2)设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm,腰AB=5cm.求圆片的半径R B 【答案】)见解析；2)R= 【详解】(1)分别作AB和AC的垂直平分线，设交，点为O,则O为所求圆的圆心； (2)连接A0、B0,A0交BC于E, .AB AC AE⊥BC, BE=BC=×8=4, 在Rt△ABE中，AE=VAB2-BE=V52-4=3, 设⊙O的半径为R, 在Rt△BEO中， 0B2=BE2+0E2 即R2=42+(R-3)2, ·R=25 6 11.如图，已知扇形A0B. (1)请用尺规作图，在AB上求作一点P,使PA=PB.（保留作图痕迹，不写作法) (2)在（1)的条件下，连接AP,若∠A0B=120°，0A=6,求△A0P的面积. A 【答案】(1)见解析；(2)9V3 114 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【详解】(1)解：以点0为圆心，适当长为半径画孤，分别交0A,OB于两点，再以两点为圆心，适当长为 半径画孤交于一点，连接该点与点O交AB于P, 即：作∠AOB的角平分线交AB于P, P OP平分∠A0B, ,∴.∠AOP=∠B0P ..AP BP, .'.PA PB, 即：该点P即为所求 (2)解：如图，过点P作PQ1A0于点Q, .AP =BP ÷∠A0P=∠B0P=3∠A0B=60 又0A=0P ∴△AOP是等边三角形， 又0A=6,PQ⊥A0 A0=2A0=3 ∴PQ=√AP2-AQ7=V62-3=3V3 ∴△A0P的面积为A0,PQ=号×6×3V3=9V3 12.如图，有一座拱桥是圆孤形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米， (1)求圆孤所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米是否要采取紧急 措施？ D 【答案】(1)34米；(2)不需要采取紧急措施，理由见解析 【详解】(1)连接0A, 由题意得：AD=AB=30,0D=(r-18) 在t△AD0中，由勾股定理得：r2=302+(r-18)2,解得，T=34; (2)连接0A, 115 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 y D OE=OP-PE=30 “在Rt△A'E0中，由勾股定理得：A'E2=A'02-OE2 即：A'E2=342-302,解得：AE=16.AB'=32 ~AB”=32>30,“不需要采取紧急措施 考，点二圆心角 考点卡片 1圆心角：顶点在圆心角的叫做圆心角 2圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦也相等。 拓展：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条孤，两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对 应的其余各对量都相等。 说明：同一条弦对应两条孤，其中一条是优孤，一条是劣孤，上述中的“孤”是指同为优孤或劣孤 3.把1°的圆心角所对的孤叫做1°的孤，n°的圆心角所对的孤就是n°的孤。 1的圆心角 1°的弧 、n的弧 义n的圆心角 典例分析 13.下列说法中，正确的是（) A.同心圆的周长相等 B.面积相等的圆是等圆 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.平分孤的弦一定经过圆心 【答案】B 【详解】解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故此选项错误，不符合题意； B、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故此选项正确，符合题意； C、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的孤相等，故此选项错误，不符合题意； D、平分孤的弦不一定经过圆心，故此选项错误，不符合题意 故选：B 14.如图，AB为半圆O的直径，点C、D为AE的三等分点，若∠COD=50°，则∠BOE的度数是（) 0 A.25° B.30° C.50 D.60° 【答案】B 【详解】：∠COD=50°，点C、D为AE的三等分点， 16 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 ∴.∠AOC=∠DOE=∠COD=50°， .∠BOE=180°-∠COD-∠AOC-∠DOE=30°， 故选B 15.如图，在⊙O中，AB=2CD,则下列结论正确的是() 0 A.AB>2CD B.AB=2CD C.AB<2CD D.以上都不正确 【答案】C 【详解】试题分析：首先取AB的中点E,连接AE,BE,由在⊙O中，AB=2CD,可证得AE=BE=CD,即 可得AE=BE=CD,然后由三角形的三边关系，求得答案. 解：取AB的中点E,连接AE,BE, 在⊙O中，AB=2CD, ∴AE=BE=C⑦， .∴.AE=BE=CD 在△ABE中，AE+BE>AB, .∴.2CD>AB 故选C 16.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O,若BC=CD=DA=4Cm,则⊙O的直径AB为() D B A.5cm B.4cm C.6cm D.8cm 【答案】D 【详解】解：如图，连接0D、OC D :AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O,若BC=CD=DA=4cm, :AD CD=BC, ·∠A0D=∠D0C=∠B0C=60°. 又0A=0D △AOD是等边三角形， :0A AD 4cm, .AB 8cm. 故选：D 17.圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条孤，则弦心距与弦长的比为（) A.1:3 B.2:3 C.1:4 D.1:2 1> 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【答案】D 【详解】：弦AB把⊙O分成度数比为1：3两条孤， 六弦所对的圆心角LAOB×360°=90°，△AOB是等腰直角三角形， 过点O做OC⊥AB于C,0C=AB,.弦心距与弦长的比为1：2.故选：D C 18.如图，在⊙O中，AB=AC,∠ACB=60°， 求证：∠AOB=∠BOC=∠COA. 【答案】详见解析 【详解】证明：AB=AC,∴AB=AC,△ABC为等腰三角形（相等的孤所对的弦相等） '∠ACB=60°.△ABC为等边三角形，AB=BC=CA ·∠AOB=∠BOC=∠COA(相等的弦所对的圆心角相等) 19.如图，A、B、C、D是⊙0上的四点，AB=DC.求证：AC=BD. B 【答案】见解析 【详解】证明：AB=DC, ..AB CD, .AB BC=BC+CD, 即AC=BD ..AC BD. 20.如图，在⊙0中，AC=BC,CD⊥A0于点D,CE⊥OB于点E. (1)求证：AD=BE. (2)若AD=D0,r=3,求CD长. 【答案】(1)证明见解析；(2)2V3 【详解】(1)证明：连接OC,AC,BC, 118 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 AC=BC,∴AC=BC,∴∠AOC=∠B0C,又CD⊥OA,CE⊥OB,.∠CD0=∠CE0=90°， OC=OC,∴△C0D≌△COE,∴.OD=OE,0A=OB,∴AD=BE; (2)解：AD=D0,r=3,0A=0C=3,AD=D0= “∠CD0=90,cD=Vc0-0D=32-周=V3 模块四 课后练习 ☆课后练习☆ 1.下列四个命题中，真命题是( A.如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等 B. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 C.平分弦的直径一定垂直于这条弦 D.等孤所对的圆周角相等 【答案】D 【详解】解：A、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故此选项错误，不符合 题意； B、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故此选项错误，不符合题意； C、平分弦（非直径）的直径一定垂直于这条弦，故此选项错误，不符合题意； D、等孤所对的圆周角相等正确，故此选项正确，符合题意， 故选：D. 2.如图，AD是⊙O的直径，弦BC与AD交于点E,连接AB,AC,CD,BD.若BD=CD,∠BAC=50°，则∠ABC 的度数为() B A.509 B.55° C.60° D.65° 【答案】D 【详解】解：BD=CD, ∴BD=CD, AD是⊙O的直径， AD⊥BC,AB=AC, AB=AC,∠AEB=90°， .∠BAC=50°， ∠DAB=∠BAC=25, ∴.∠ABC=90°-∠DAB=65° 故选D. 119 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 3.如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC,BC=CD,下列说法错误的是（ A.AB=BC B.∠AOD=3∠BOC C.AC=2CD D.OC⊥BD 【答案】C 【详解】解：OB⊥AC,BC=CD, ,AB=BC,故A正确；CD=BC, ∴.AD=3BC,AC=BD. ∴·∠AOD=3∠BOC,故B正确；AC=BD ∴AC=BD<BC+CD=2CD,故C错误； .CD BC, ∴OC1BD,故D正确； 故选：C. 4.如图，△ABC内接于⊙0，AB是⊙0的直径，AB=10,点D是劣孤BC的中点，连接0D交BC于点E,DE=1, 则弦AC的长为（) A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】D 【详解】解：点D是劣孤BC的中点，OD是半径， ∴CE=BE, .CE=BE,OB=0A, ∴.OE是△ABC的中位线， ∴.AC=20E, DE=1,0D=5, ∴0E=5-1=4, .∴.AC=20E=8. 故选：D. 5.“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯 锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD, 垂足为点E,CE=1寸，AB=14寸，则直径CD的长度是（) A.48寸 B.24寸 C.25寸 D.50寸 【答案】D 120 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【详解】解：连接OA,设圆的半径为r,则：OA=OC=r, ∴.0E=0C-CE=T-1, .CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD .AE =AB=7, 在Rt△AE0中，由勾股定理，得：0A2=0E2+AE2,即：r2=(r-1)2+72, .T=25, ∴.CD=2r=50; 故选D. 6.如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm,水面宽AB为8cm, 则水的最大深度CD为() D A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm 【答案】C 【详解】解：如图所示： 0 ~输水管的半径为5cm,水面宽AB为8cm,水的最大深度为CD, ÷D01AB,A0=5cm,AC=号AB=4cm, C0=V52-4=3(cm),.CD=5-3=2(cm), 水的最大深度CD为：2cm. 故选：C 7.如图，A,B,C在⊙O上，AC,OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则⊙O半径的长为() B A.2V13 B.6 C.8 D.10 【答案】D 【详解】解：OB为半径，AD=CD=8,.OD1AC, 0D=6,∴.0A=V0D2+AD=10, 故选：D 121 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 8.如图，小丽荡秋千，秋千链子的长为OA,秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，秋千 摆至最高位置时与最低位置时的高度之差（即CD)为0.5米.则秋千链子的长OA为(） A.2米 B.2.5米 C.1.5米 D.米 【答案】B 【详解】解：点D为AB的中点， .由垂径定理知OD1AB,AD-=BD-AB×3=1.5(米)， 2 ..OA=AD+OD, 则OA2=AD+(OA-CD=1.52+(OA-0.5), 解得：OA=2.5(米) 故选：B 9.如图，AB,CD是⊙0的直径，AE=BD,若∠A0E=32°，则∠C0E的度数是 D 【答案】64°/64度 【详解】解：AE=BD,∠A0E=32°，∠B0D=∠A0E=32 '∠A0C=∠B0D=32°，∴∠C0E=∠C0A+∠A0E=32°+32°=649 故答案为：64 10.如图，AB、AC是⊙0的两条弦，AB1AC,且AB=8,AC=6,则⊙0的半径等于 【答案】5 【详解】解：作OM⊥AB,0N⊥AC于点M、N连接0A.则AM=AB=4,AN=2AC=3,四边形ONAM 是矩形 M B ∴.0M=AN=3, 在直角△OAM中，AM=√OM2+AMZ=5 故答案为：5. 11.如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名.某地园林中有一个圆孤形门洞，高 为2.5m,地面入口宽为1m,则该门洞的半径为 m 22 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 2.5m 1 m- 【答案】1.3 【详解】解：设圆的半径为， 2.5m 1m 由题意可知，Dp=CD=m,EF=2.5m 在Rt△0FD中，0F=JP-目，r+OP=25m. r2- +r=2.5, 解得r=1.3.经检验：r=13是方程的解， 故答案为：1.3. 12.在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为6cm、深2cm的小坑，则该铅球 的直径为」 cm. 【答案】号 【详解】解：如图，由题意知，AB=6cm,CD=2cm,OD是半径，且0C⊥AB, ·AC=CB=AB=3(cm), 设铅球的半径为rcm,则OC=(r-2)cm, 在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OC2+AC2=OA2, 即(r-2)2+32=r2, 解得：r=只 则铅球的直径为：2r=号(cm), 故答案为：号 13.常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设小圆孔的宽口AB的长度是24m,测得钢珠顶端离零件表 面的距离为18mm,如图所示，则这个钢珠的直径为 O. 18mm B、 【答案】26 123 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 【详解】解：过圆心作AB的垂线，交AB于H,连接OB, 18mm 设半径为r,即OB=T 小圆孔的宽口AB的长度是24mm, ∴.AH=BH=12mm, :钢珠顶端离零件表面的距离为18mm, ∴.0H=18-r, .0H2+HB2=0B2,即(18-r)2+122=2,解得：r=13, “这个钢珠的直径为：13×2=26， 故答案为：26. 14.如图，将⊙0的一部分沿着弦AB翻折，劣孤恰好经过圆心0，AB=6,则⊙0的半径为 A B 【答案】2V3 【详解】解：过O作0C⊥AB于D,交⊙0于C,连接OA,设0A=OC=OB=T, D B C 由折叠可知：0D=CD=0C=, Rt△0AD中，0D=CD=20C=T,AD=BD=2AB=3, 根据勾股定理，得：AD2+0D2=0A2, 32+()2=r2, 解得：r=2V3(负值已经舍去) 故答案：2V3 15.已知：如图所示，AB,CD是⊙O的弦，OC,OD分别交AB于点E,F,且OE=OF,求证：AC=BD D 【答案】详见解析 【详解】证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M OA=OB,÷∠A0M=∠B0M. 同理，∠EOM=∠F0M.,·∠A0C=∠B0D.AC=BD 124 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 16.如图，AB为⊙0的直径，点C、D是BE的三等分点，∠A0E=60°，求∠B0C的度数 D 【答案】40° 【详解】解：yAB为⊙O的直径， ·∠A0B=180 ∠A0E=60 ∠B0E=180°-∠A0E=180°-60°=120° :点C、D是BE的三等分，点 ·BC的度数是，×120°=40 ·∠B0C=40° 故答案为40° 17.如图，在⊙O中，AB=AC,AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E.求 证：OD=OE B E 【答案】证明见解析 【详解】证明：AB=AC, ..AB AC, OD⊥AB,OE⊥AC, ∴AD=号AB,AE=号AC,∠0DA=∠0EA=90°， ..AD AE, AB⊥AC, ∴.∠DAE=90°， .·∠ODA=∠0EA=∠DAE=90°， ,.四边形AEOD是矩形， AD AE, ∴四边形AEOD是正方形， ∴.0D=0E 125 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 18.如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接AC (1)用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P,使得PB=PC(保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下，连接PB,PC,若AB=10,AC=6,求四边形ABPC的面积. C A B 【答案】(1)见解析；(2)32 【详解】(1)解：如图，点P即为所求； p H A (2)解：AB是直径 ·∠ACB=90°， BC=VAB2-AC2=V102-6=8, OP⊥BC, :CH BH, 0A=0B, &0H=3AC=3, 0P=5, PH=0P-0H=5-3=2, 四边形ABPC的面积=AC,BC+BCPH=×6×8+×8×2=32. 19.如图，已知AD是⊙0的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC,垂足为，点E,AE=BC=10,求⊙O的直径. A B 0 【答案】5 【详解】解：连接，设0B=OA=R,则0E=10-R, B AD⊥BC,BC=10, ∠0EB=90°，BE=BC=5, 由勾股定理得：OB2=OE2+BE2, 126 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 R2=(10-R)2+52, 解得：R=马 即⊙0的直径为爱 20.如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E.连接AB、OB、BC. ()求证：∠CB0=∠ABD; (2)若AE=4cm,CE=16cm,求弦BD的长. 【答案】(1)见解析；(2)弦BD的长为16cm 【详解】(1)：AC为⊙O的直径，且AC⊥BD, ∴.AB=AD .∠ABD=∠C, .OB=OC, ∴，∠C=∠CBO, ∴.∠CBO=∠ABD; (2)AE=4,CE=16, ∴.OA=10,OE=6, 在Rt△OBE中，BE=V102-6=8, :AC为⊙O的直径，且AC⊥BD, ..BE=DE, .'BD =2BE =16cm. 21.如图，AD为直径，E为弦BC的中点，连接AB,AC (1)求证：△ABC为等腰三角形； (2)连接BD,CD,若AD=10,四边形ABDC的面积为40，求DE的长. 【答案】(1)见解析；(2)2 【详解】(1)证明：~E为弦BC的中点，AD为直径， AD⊥BC,BE=CE, :.AB=AC, “△ABC为等腰三角形； (2)如图，连接OB, 127 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 四边形ABDC的面积为40 号×10×BC=40, BC=8, BE=4, AD=10,则0B=0D=5, 在Rt△OBE中，OE=VOB2-BE=V52-42=3, DE=0D-0E=5-3=2. 22.一座桥，桥拱是圆孤形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽AB为16m(如图)，桥拱最高处离 水面4m. （1)求桥拱半径； （2)若大雨过后，桥下面河面宽度为12m,问水面涨高了多少？ A B 【答案j(1)10m;(2)2m 【详解】(1)设桥拱所在圆的圆心为O,桥拱最高处为C,连接OC交AB于点D,连接OA,如图所示， 则OCLAB,CD=4m,且点D是AB的中点 :AD =AB =8m C B 设圆的半径为r,则OD=OC-CD=(-4)m 在Rt△O4D中，由勾股定理得：82+(r-4)2=r2 解得：=10 即桥拱的半径为10m (2)若大雨过后的水面宽为Ef,EF交OC于点G,则EF1OC,且EG=EF=6m,如图所示 在Rt△OEG中，由勾股定理得：0G=VOE2-EG=√100-36=8(m) 0D=0C-CD=10-4=6(m) .DG=0G-0D=8-6=2(m) 即水面涨高的高度为2m. E B 128