29.1.1 圆的有关概念-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 人教版九年级上册 29.1.1 圆的有关概念 专项练习（约1800字） > > 注：教材章节为第二十九章 圆，29.1.1圆的有关概念 ## 知识要点梳理 1. **圆的定义** 在一个平面内，线段$OA$绕它固定的一个端点$O$旋转一周，另一个端点$A$所形成的图形叫做圆。固定端点$O$叫做**圆心**，线段$OA$叫做**半径**。 集合定义：圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。 记作：$\odot O$，读作“圆O”。 2. **弦、直径** - 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦； - 直径：经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最长的弦，直径$(d=2r)$；> > 易错：直径是弦，但弦不一定是直径。 3. **弧** - 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号$\overset{\frown}{}$表示； - 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； - 优弧：大于半圆的弧，用三个字母表示； - 劣弧：小于半圆的弧，用两个字母表示；> > 易错：半圆既不是优弧，也不是劣弧。 4. **等圆、等弧** - 等圆：能够重合的两个圆。半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆半径相等； - 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。> > 易错：长度相等的弧不一定是等弧，必须在同圆、等圆中且能重合才是等弧。 5. **点与圆的位置关系** 设$\odot O$半径为$r$，点$P$到圆心距离$(OP=d)$： - 点$P$在圆外 $\iff d>r$ - 点$P$在圆上 $\iff d=r$ - 点$P$在圆内 $\iff d<r$ ## 一、选择题（每题5分，共30分） 1. 下列说法正确的是（） A. 直径是弦，弦也是直径 B. 半圆是弧，弧也是半圆 C. 同圆中直径最长 D. 长度相等的弧是等弧 2. 已知$\odot O$的半径为$5$，点$P$到圆心$O$的距离$(OP=3)$，则点$P$在（） A. $\odot O$内 B. $\odot O$上 C. $\odot O$外 D. 无法确定 3. 下列关于圆的说法错误的是（） A. 圆上各点到圆心距离都等于半径 B. 圆心相同，半径不同的圆叫做同心圆 C. 半径相等的两个圆是等圆 D. 弧分为优弧和劣弧两类 4. 在$\odot O$中，弦有（） A. 1条 B. 有限条 C. 无数条 D. 3条 5. 如图，在$\odot O$上有A、B、C三点，则图中劣弧一共有（） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 6条 6. 已知$\odot O$半径为$4$，点$Q$在$\odot O$外，则$OQ$的长可以是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 ## 二、填空题（每题5分，共25分） 7. 圆是平面内到定点的距离等于________的点的集合，定点叫做________。 8. 连接圆上两点的线段叫_______；经过圆心的弦叫做________。 9. 圆上两点间的部分叫做弧，大于半圆的弧叫________，小于半圆的弧叫________。 10. 若$\odot O$半径$(r=6)$，$(OM=6)$，则点M在$\odot O$______。 11. 在同圆或等圆中，能够________的弧叫做等弧。 ## 三、解答题（共45分） 12.（10分）判断下面语句是否正确，并简要说明理由： （1）弦是直径；（2）半圆是弧；（3）相等的弧是等弧；（4）半径相等的圆是等圆。 13.（12分）已知$\odot O$半径为$7$，A、B、C三点到圆心O的距离分别是$(OA=6)$，$(OB=7)$，$(OC=8)$，判断A、B、C三点和$\odot O$的位置关系。 14.（11分）如图，在$\odot O$中，AB是直径，C是圆上一点，请写出图中的弦、劣弧、优弧。 15.（12分）求证：在同一个圆中，直径是最长的弦。 ## 四、综合拓展题（附加10分） 16. 已知矩形$ABCD$，$(AB=3)$，$(AD=4)$，以顶点A为圆心，半径$(r=4)$作$\odot A$，判断点B、C、D与$\odot A$的位置关系。 --- # 参考答案与详细解析 1. C 解析：A错，弦不一定是直径；B错，弧不一定是半圆；D错，长度相等的弧不一定重合，不一定是等弧。 2. A 解析：$(d=3<r=5)$，点在圆内。 3. D 解析：弧分为优弧、劣弧、半圆三类。 4. C 解析：圆上任意两点都可以连成弦，有无数条。 5. B 解析：三点A、B、C，劣弧：$\overset{\frown}{AB},\overset{\frown}{BC},\overset{\frown}{AC}$，共3条。 6. D 解析：点在圆外，则$(d>4)$，只有5符合。 7. 定长（半径）；圆心 8. 弦；直径 9. 优弧；劣弧 10. 上 解析：$(OM=r)$，点在圆上。 11. 互相重合 12. 解： （1）错误。弦只是连接圆上两点的线段，不一定经过圆心，所以弦不一定是直径； （2）正确。半圆是直径分圆得到的弧，属于弧； （3）错误。相等只看长度，如果半径不一样，弧不能重合，就不是等弧； （4）正确。半径相等的两个圆可以完全重合，是等圆。 13. 解：$(r=7)$ $(OA=6)<7$，点A在圆内； $(OB=7)=r$，点B在圆上； $(OC=8)>7$，点C在圆外。 14. 解：弦：$AB、AC、BC$； 劣弧：$\overset{\frown}{AC},\overset{\frown}{BC}$； 优弧：$\overset{\frown}{BAC},\overset{\frown}{ABC}$。 15. 证明：设AB是$\odot O$直径，CD是任意一条不是直径的弦，连接OC、OD。 在$\triangle OCD$中，根据三角形三边关系：$(OC+OD>CD)$， 又$(OC=OD=r)$，$(AB=2r)$， ∴$(AB>CD)$。即直径大于任意一条非直径的弦，直径是圆中最长的弦。 16. 解：$(AB=3)$，$(AD=4)$，矩形中$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，$\odot A$半径$(r=4)$ $(AB=3)<4$，点B在圆内； $(AD=4)=r$，点D在圆上； $(AC=5>4)$，点C在圆外。 ## 易错点汇总 1. 等弧条件：**同圆或等圆 + 能够重合**，只长度相等不行； 2. 区分：直径一定是弦，弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆； 3. 点和圆位置关系判定，核心比较$d$与$r$大小； 4. 优弧书写必须三个字母，劣弧一般两个字母； 5. 同心圆：圆心相同半径不同；等圆：半径相同圆心不同。 下一节：**29.1.2 垂直于弦的直径**，继续按这套格式出专项练习吗？ 人教版（新教材）数学九年级上册 29.1.1 圆的有关概念 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/1 第二十九章 圆 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 学习目标 1.认识圆，理解圆的本质属性. 2.初步了解点与圆的位置关系. 3.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系. 素养目标 观察下列图片，它们共同含有的图形是______. 圆 情境导入 生活中的圆 情境导入 探索新知 观察画圆的过程，你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成的吗？ 情境导入 新知探究 圆的集合性定义 从画圆的过程可以看出： （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 （3）圆心为O，半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 ⊙O 圆心 确定圆的位置 半径 （确定圆的大小） 探究1：圆的定义 探究新知 新知探究 探究2：点与圆的位置关系 探究 观察画圆的过程，平面被圆分成几部分？平面内的点与圆有几种位置关系？ 平面被圆分成三部分： 平面内的点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外。 圆内 圆上 圆外 探究新知 新知探究 探究2：点与圆的位置关系 探究 类似于用点到圆心的距离刻画点在圆上，可以用点到圆心的距离刻画点在圆外、点在圆内。 设⊙O的半径为，任意一点P到圆心的距离，则有： 读作"等价于"，它表示从符号的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 也就是说，点在圆外可以推出d＞r，反过来d＞r也可以推出点在圆外。 点P在圆外 ⇔ ； 点P在圆上 ⇔ ； 点P在圆内 ⇔ 探究新知 点与圆的位置关系 教材例题 【分析】利用矩形对角线相等且互相平分的性质，证明四个点到定点O的距离相等，即可证四点共圆． 如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 。 求证：，，， 四个点在以点 为圆心的同一个圆上。 证明： 四边形 为矩形，对角线 ， 相交于点 ， ∴，，． ． ∴，，，四个点在以点为圆心，为半径的圆上. 探究新知 （1）选定点：选择一个待定点为圆心； 新知探究 探究2：点与圆的位置关系 用圆的定义判断多点共圆的方法 方法总结 （2）判距离：判断其他点到这个待定点的距离是否相等； （3）定共圆：若距离相等，则这些点共圆，反之这些点不共圆. 探究新知 新知巩固 点与圆的位置关系 【分析】判断四边形四个顶点是否共圆，看对角线交点到四个顶点距离是否全部相等． 下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形，四个顶点一定在同一个圆上的是________。 解： ①平行四边形：对角线互相平分但不相等，交点到四个顶点距离不全相等，四点不共圆； ②矩形：对角线相等且互相平分，对角线交点到四个顶点距离相等，四点共圆； ③菱形：对角线互相垂直平分但长度不相等，交点到四个顶点距离不全相等，四点不共圆。 答案：② 探究新知 新知探究 探究3：与圆有关的概念 弦与直径 注意： （1）圆中有无数条弦； （2）直径是最长的弦，但弦不一定是直径； （3）直径长是半径长的2倍。 O 连接圆上任意两点的线段叫作弦 C D 经过圆心的弦叫作直径 A B 探究新知 新知探究 探究3：与圆有关的概念 因为直径经过圆心，直径的两个端点在圆上，直径长等于； 而任意一条不经过圆心的弦，与圆心构成三角形，根据三角形两边之和大于第三边，弦长小于。 所以直径是最长的弦。 探究 为什么直径是圆中最长的弦？ 点击图片动态演示证明过程 探究新知 大于半圆的弧叫作优弧 新知探究 探究3：与圆有关的概念 弧 O 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。 A B 例如：以A、B为端点的弧记作，读作"圆弧AB"或"弧AB " O 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆。 O 小于半圆的弧叫作劣弧 探究新知 新知探究 探究3：与圆有关的概念 （1）弧包括优弧、劣弧和半圆三类； 易混总结 （2）半圆既不是劣弧，也不是优弧； （3）优弧用三个字母表示（如），劣弧用两个字母表示（如 ）. ①弦是直的线段，只有两个端点在圆上，其他部分在圆内；弧是曲的，所有点都在圆上。 弦与弧的区别与联系 ②每条弧都只对应一条弦，而每条弦都对应两条弧（一条优弧和一条劣弧，直径对应两条半圆） 探究新知 新知探究 探究3：与圆有关的概念 等圆的概念： 能够重合的两个圆叫作等圆。 容易看出，同圆或等圆的半径相等； 反过来，半径相等的两个圆是等圆。 等弧的概念： 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧。 O A O A 点击图片动态演示过程 探究新知 新知探究 探究3：与圆有关的概念 （1）等弧只能出现在同圆或等圆中； 知识总结 等弧与等圆 确定等弧的两个要素 （1）观察两弧所在的圆是不是同圆或等圆； （2）看两弧长度是否相等。 如果两个圆的半径不相等，那么即使弧的长度相等，也不能互相重合，不是等弧； （2）等弧是全等图形，而不仅仅是弧的长度相等； 长度相等的两条弧不一定是等弧，因为它们可能不在同圆或等圆中，弯曲程度不同，无法重合. 探究新知 知识点1 圆的定义 1.下列条件中，能确定一个圆的是( ) C A.以点 为圆心 B.以 长为半径 C.以点为圆心，以 长为半径 D.经过已知点 返回 举一反三 18 2.到点的距离等于的点所组成的图形是以点___为圆心，___ 长 为半径的圆. 8 返回 举一反三 19 3.［教材P 116练习T 4变式］如图，在四边形 中， ，为的中点，求证： ， ，，四点在以点 为圆心的圆上. 证明：连接， . ，为的中点，， , ，，，， 四点在以点 为圆心的圆上. 返回 举一反三 20 新知巩固 与圆的位置关系 下列命题正确的有（ ） ①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，弧不一定是半圆。 ①√：直径是经过圆心的弦，是最长的弦； ②×：弦不一定经过圆心，所以弦不一定是直径； ③√：半径相等的两个半圆能互相重合，是等弧； ④×：等弧必须在同圆或等圆中，长度相等的弧不一定能重合； ⑤√：弧包括劣弧、优弧、半圆，所以半圆是弧，但弧不一定是半圆。 【分析】依据弦、直径、弧、等弧的定义逐个辨析命题，判断正误． 所以正确的有①③⑤，共3个 探究新知 巩固训练1 圆的基本概念辨析 【分析】根据圆的基本概念进行辨析. 下列说法正确的个数是__________________ ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． 解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 探究新知 1.如何在操场上画一个半径是 5m 的圆？说出你的方案及理由. 解：将一根 5m 长的绳子的一端用钉子固定在地上，拿着绳子的另一端围着钉子绕一圈，绳子始终保持紧绷，得到的就是半径为 5m 的圆. 【选自教材第116页 练习 第1题】 5m 当堂检测 2.你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以知道树木的年龄. 把树干的横截面看成圆形，如果一棵 20 年树龄的树的树干直径是 23cm，这棵树的半径平均每年增加多少？ 解：23÷20=1.15（cm）， 1.15÷2=0.575（cm）. ∴这棵树的半径平均每年增加 0.575cm. 【选自教材第116页 练习 第2题】 当堂检测 3. ⊙O 的半径为 10，根据下列点 P 到圆心 O 的距离，判断点 P 和 ⊙O 的位置关系： （1）8； （2）10； （3）12. 【选自教材第116页 练习 第3题】 解：（1）∵8<10，∴点 P 在☉O 内. （2）∵10=10，∴点 P 在☉O 上. （3）∵12>10，∴点 P 在☉O 外. 当堂检测 4.在 △ABC 中，∠C=90°.求证：A，B，C 三点在同一个圆上. 证明：如图，作斜边上的中线CD. ∵CD=AB=AD=BD， ∴A，B，C三点在同一个圆上. C D A B 【选自教材第116页 练习 第4题】 当堂检测 5.如图，AB 是 ☉O 的弦，半径 OC，OD 分别交 AB 于点 E，F，且 AE=BF. 请写出线段 OE 与 OF 的数量关系，并给予证明. O A B C D E F OE=OF.证明如下：如图，连接OA，OB. ∵OA，OB是☉O的半径，∴OA=OB. ∴∠OAB=∠OBA. 又AE=BF， ∴△OAE≌△OBF(SAS). ∴OE=OF. 当堂检测 知识点2 点和圆的位置关系 4.已知的半径是3，当时，点在____；当 时， 点在____；当___时，点在 上. 内 外 3 返回 举一反三 28 5.已知的半径长为1， ，则下列图形中可能正确的是 ( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 29 6.已知的半径为4，若点在内，则 的长可能是( ) D A.6 B.5 C.4 D.3 返回 举一反三 30 7.在平面直角坐标系中，已知圆的半径为8，原点为圆心，点 的坐标为 ，则点 在( ) A A.圆外 B.圆上 C.圆内 D.不能确定 返回 举一反三 31 8.如图，在中， ， ， ，以点为圆心作，半径为 . 解： ，， ， . （1）要使点在外，求 的取值范围； [答案] 要使点在外，则 . （2）要使点在内，点在外，求 的取值范围. [答案] 要使点在内，点在外,则 . 返回 举一反三 32 课堂总结 本节课你学到了什么？ 探究新知 33 谢谢观看 THANKS $