第05讲 双杆模型（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）讲义-2027年高考物理一轮复习电磁感应专题

第05讲 电磁感应——双杆模型 目 录 思维导图 1 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 2 题型归纳 5 题型01：无外力光滑等距双杆模型 5 （一)一个杆有初速度 5 （二） 两个杆均有初速度 30 （三）先用动能定理再转化成一个杆初速度 38 题型02：有外力光滑等距轨道双杆模型 43 （一)水平轨道 43 （二）倾斜轨道 65 题型03：有外力不光滑等距轨道双杆模型 86 题型04：其他情况下的等间距双杆模型 97 题型05：无外力的不等间距双杆题型 114 题型06：有外力的不等间距双杆题型 140 巩固提升 163 1.考查位置：高考物理压轴/次压轴大题，多选也会出简版双杆；属于电磁感应综合天花板模型，常结合动量守恒、能量、电路、牛顿定律。 2.两大基础类型： ①无外力、光滑导轨：等距双杆，安培力为系统内力，动量守恒（高频！） ②单杆受恒力F：系统动量不守恒，最终达到稳定匀速（加速度相同、速度差恒定） 3.命题方向：求稳定速度、热量、位移、电荷量、最大速度；偶尔加电阻不等、导轨不等距、有摩擦、倾斜导轨变式。 4.难点坑点：容易乱用动量守恒；分不清“共速”和“加速度相等（速度差恒定）”两种末态；忽略回路总电动势是两杆动生电动势的差值。 一句话总结：光滑无外力→最后共速；一杆拉、光滑→最后a相等、Δv不变，不共速。 1.能快速区分双杆各个模型，判断动量是否守恒 2.会写回路总电动势、总电流、安培力表达式 3.熟练使用：动量定理（系统/单杆）、能量守恒求焦耳热 4.分清两种末态：①共速 ②加速度相同、速度差恒定 5.会计算电荷量、单杆位移、相对位移 6.识别变式：有摩擦、倾斜导轨、杆电阻不同 双杆模型 一：模型特点 1.一杆切割时，分析同单杆类似。 2.两杆同时切割时，回路中的感应电动势由两杆共同决定，E＝＝Bl(v1－v2)。 二：电磁感应中的“双杆”问题分析 1.初速度不为零，不受其他水平外力的作用 光滑的平行导轨 光滑不等距导轨 示意图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝2La 力学观点 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2 运动图像 能量观点 一部分动能转化为内能：Q＝－ΔEk 动量观点 两杆组成的系统动量守恒 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 2.初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用 光滑的平行导轨 不光滑的平行导轨 示意图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 摩擦力Ffb＝Ffa 力学观点 开始时，两杆受安培力做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 开始时，若Ff<F≤2Ff，则a杆先变加速后匀速运动；b杆静止。若F>2Ff，a杆先变加速后匀加速运动，b杆先静止后变加速最后和a杆同时做匀加速运动，且加速度相同 运动图像 能量观点 F做的功转化为两杆的动能和内能：WF＝ΔEk＋Q F做的功转化为两杆的动能和内能(包括电热和摩擦热)： WF＝ΔEk＋Q电＋Qf 动量观点 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 3.力的作用下的不等间距双杆模型 （1）力学观点：导体棒1做加速度逐渐减小的加速运动，导体棒2做加速度逐渐增大的加速运动，最终两棒以相同的加速度做匀加速直线运动 （2）动量观点：系统动量不守恒,对单杆可以用动量定理 （3）能量观点：外力做的功＝棒1增加的动能＋棒2增加的动能＋焦耳热 注意：对于不在同一平面上运动的双杆的问题，动量守恒定律不适用，可以用牛顿运动定律、能量观点、动量定理进行解决。 一：固定四步流程 步骤1：判模型，定规律（最关键第一步） 口诀：无外力，光滑碰，最后一定一起动；有拉力，光滑跑，加速度相同差不变。 步骤2：写电磁感应关系式 步骤3：选方程（优先顺序） ①求速度：动量守恒 / 系统动量定理（积分思路，对付安培力变力） ②求焦耳热Q：能量守恒 ③稳定态：牛顿第二定律联立 步骤4：分配热量（串联电路） 二：高频易错清单 1.只要有外力F，不能用动量守恒，只能动量定理 2.两根杆切割，电动势是相减，不是相加（同向切割）；反向运动切割才相加 3.有摩擦导轨：系统合外力不为零，动量守恒失效 4.不等距导轨B不同、L不同：稳定条件不再是a相等，要重新列方程，高考较少 三：极简速记版（方便背诵） 1.无外力光滑：动量守恒→末态共速，能量损失全部变成焦耳热 2.恒力拉动光滑：动量不守恒→稳定a相同、速度差恒定 3.核心工具：动量定理求速度、电荷量；能量守恒求热量； 题型01：无外力光滑等距双杆模型 （一)一个杆有初速度 【典型例题1】如图，两根足够长的平行光滑导轨固定在绝缘水平面上，所在空间有方向垂直于水平面、磁感应强度为B的范围足够大的匀强磁场，导轨的间距为L，电阻不计；导轨上静置两根长度均为L的导体棒PQ和MN，其中PQ的质量为2m、阻值为R，MN的质量为m、阻值为2R。若在时刻给PQ一个平行于导轨向右的初速度，不计运动过程中PQ和MN的相互作用力，则（    ） A．时刻，两导体棒的加速度大小相等 B．时刻，PQ两端的电压为 C．PQ匀速运动时的速度大小为 D．从时刻到PQ匀速运动的过程中，导体棒MN产生的焦耳热为 【答案】B 【解析】A．时刻，PQ平行于导轨向右的初速度，则产生的感应电动势为 此时回路中的电流大小为 两导体棒受到的安培力大小为 则有 两导体棒的加速度大小不相等，A错误； B．时刻，PQ两端的电压为MN两端的电压，大小为B正确； C．由以上分析可知，两导体棒受的安培力大小相等，由左手定则可知，安培力方向相反，两棒运动中，满足动量守恒，则有 两棒达到共速，则得 此后两棒以这个速度做匀速直线运动，C错误； D．导体棒PQ和MN是串联关系，即 可知两棒上的电流有效值相等，在整个运动中MN、PQ产生的焦耳热量分别为 则有 由能量守恒定律可知，在整个运动中产生的总热量等于系统总动能的减少量，因此有 D错误。 故选B。 【典型例题2】如图所示，足够长、间距为L的平行光滑金属导轨固定在水平面上，MN左侧导轨处在垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，MN右侧导轨处在垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为2B的匀强磁场中，质量均为m的金属棒a、b分别垂直放置在MN右侧与左侧的导轨上，给金属棒a一个水平向右、大小为v0的初速度，此后两金属棒运动过程中始终垂直导轨并接触良好，两金属棒接入电路的电阻均为R，不计金属导轨的电阻及电磁辐射产生的能量损失。则下列说法正确的是（　　） A．金属棒b受到的安培力做负功 B．两金属棒组成的系统动量守恒 C．从开始运动到最终匀速运动，通过金属棒b的电荷量为 D．从开始运动到最终匀速运动，金属棒b中产生的焦耳热为 【答案】D 【解析】解：A、根据右手定则，可得通过回路的电流方向为逆时针，由左手定则可得到b受到的安培力方向水平向左，则b由静止向左加速，可得到金属棒b受到的安培力做正功，故A错误； B、根据左手定则，可得到a受到的安培力方向为水平向左，即ab受到的安培力方向均水平向左，结合动量守恒条件：合力为零，即可知不满足动量守恒条件，两金属棒的动量不守恒，故B错误； C、根据两金属棒匀速时，金属棒的感应电动势相等，即：2BLva＝BLvb， 对a棒，以水平向右为正方向，结合动量定理：﹣2BILt＝mva﹣mv0， 对b棒，以水平向左为正方向，结合动量定理：BILt＝mvb， 电流定义式：，可得匀速时的速度：，，通过金属棒b的电荷量：，故C错误； D、从开始运动到最终匀速，根据功能关系，可得：， 结合电路连接，可得到金属棒b产生的焦耳热为：，解得：，故D正确。 故选：D。 【典型例题3】（多选）如图，两根足够长的固定的光滑平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l。导轨上面横放着两根导体棒1和2，构成矩形回路。两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。初始棒2静止，棒1有指向棒2的初速度v0。若两导体棒在运动中始终不接触，则（　　） A．棒1的最小速度为零 B．棒2的最大加速度为 C．棒1两端电压的最大值为BLv0 D．棒2产生的最大热量为 【答案】BD 【解析】A、棒1向右做减速运动，棒2向右做加速运动，最终两棒速度相同，此时棒1的速度最小，设为v。取向右为正方向，根据两棒组成的系统动量守恒得：mv0＝2mv，可得v，故A错误； B、棒1开始运动时，回路中感应电动势最大，感应电流最大，棒2受到的安培力最大，加速度最大，为a，又I，可得a，故B正确； C、棒1开始运动时，回路中感应电流最大，棒1两端电压的最大值，为UBLv0，故C错误； D、设棒2产生的最大热量为Q，则两棒产生的最大热量为2Q，由能量守恒定律得：mv022mv2+2Q，可得Q，故D正确。 故选：BD。 【典型例题4】（多选）如图，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨足够长且电阻可忽略不计。图中EFHG矩形区域有一方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在时刻，两均匀金属棒a、b分别从磁场边界EF、GH进入磁场，速度大小均为；一段时间后，流经a棒的电流为0，此时，b棒仍位于磁场区域内。已知金属棒a、b长度均为L，电阻分别为R和2R，质量分别为2m和m。在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b棒没有相碰，则（　　） A．时刻b棒的速度为0 B．时刻b棒加速度大小为 C．时间内，a棒产生的焦耳热为 D．时间内，通过a棒横截面的电荷量是b棒的2倍 【答案】BC 【解析】A．当流经a棒的电流为0时，两棒速度相同，两棒组成的系统所受合外力为零，动量守恒，设向右为正方向，根据动量守恒定律有 解得，故A错误； B．时刻，回路中的感应电动势 回路中的电流 故b棒的加速度大小为，故B正确； CD．根据能量守恒可知，时间内，两棒产生的总焦耳热等于系统减少的动能，即 因两棒串联，通过两棒的电流始终相等，根据可知，两棒产生的焦耳热之比等于电阻之比，故a棒产生的焦耳热 通过两棒的电荷量相等，故C正确，D错误。 故选BC。 【典型例题5】（多选）如图所示，M、N是两根固定在绝缘水平台面上的光滑平行金属导轨，导轨足够长且电阻忽略不计，导轨间存在垂直于台面向下的匀强磁场。阻值相等的两金属棒、的质量分别为、，两棒置于导轨上，最初两棒间存在一定的距离。时刻，棒获得一水平向右、大小为（可调）的初速度，此后运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好。设、的间距为x，通过棒的电荷量为q，安培力对棒冲量的大小为I，从时刻至两棒运动稳定，棒上产生的焦耳热为Q。下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】A．、棒所受安培力大小相等、方向相反，因棒质量为棒质量的2倍，可知每时每刻棒的加速度大小为棒的2倍，由动量守恒定律可知最终两棒速度相同，设为，有 得出，故A正确； B．设时间内、棒的平均速度分别为、，记最初两棒之间距离为，则 q为x的一次函数，在纵轴上的截距为负值，故B错误； C．安培力对棒的冲量大小 I为x的一次函数，在x轴上的截距为正，故C正确； D．由能量守恒定律可知 得出，可知Q为的二次函数，故D正确。 故选ACD。 【典型例题6】如图所示，粗糙水平导轨和光滑水平导轨在处平滑连接，但彼此绝缘，导轨间距均为d，电阻均忽略不计；导轨右端之间连接直流电阻不计的线圈，其自感系数为L，整个导轨处于竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。在导轨上垂直放置两根质量均为m，长度均为d的金属棒a和b，棒a电阻为R，棒b电阻不计。开始时棒b恰好处于导轨的最右端且被锁定，棒a处于距离为d处：现给棒a一个平行于导轨向右、大小为的瞬时冲量，当两棒即将碰撞时解除棒b的锁定，两棒之间发生弹性正碰，碰撞后瞬间棒b的速度。已知棒a与导轨间的动摩擦因数为，重力加速度为，两棒碰撞时间极短。 （1）求棒a获得初速度大小；此时金属杆a两端A、C两点的电势差； （2）求两棒碰撞前的过程中，棒a上产生的焦耳热： （3）已知棒b在导轨上的运动是简谐运动的一部分，求棒b从滑上导轨到再次回到所用的时间。（提示：简谐运动的回复力与位移的关系为，运动周期，线圈产生的感应电动势） 【答案】（1），0；（2）；（3） 【解析】（1）对棒a，根据动量定理有解得 此时外电路电阻为零，金属杆a两端A、C两点的电势差为0。 （2）因两棒碰撞时间极短，故两棒组成的系统动量守恒，两棒之间的碰撞为弹性碰撞，设碰撞前瞬间a棒的速度为，碰后瞬间a棒的速度分别为，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有 解得， 在两棒碰撞前的过程中，根据能量守恒定律有解得 （3）当棒b滑上水平导轨后，其与线圈组成的回路无电阻，有 在时间内有 由数学知识可得 故安培力故故周期 棒b从又回到经过了半个周期，则有 【典型例题7】如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度向右运动，磁场内的细金属杆N处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。 （1）求M刚进入磁场时受到的安培力F的大小和方向； （2）若两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为，求：①N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量q；②初始时刻N到的最小距离x； （3）初始时刻，若N到的距离与第（2）问初始时刻的相同、到的距离为，求M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围。 【答案】（1），方向水平向左；（2）①，②；（3） 【解析】（1）细金属杆M以初速度向右刚进入磁场时，产生的动生电动势为 电流方向为，电流的大小为 则所受的安培力大小为，安培力的方向由左手定则可知水平向左； （2）①金属杆N在磁场内运动过程中，由动量定理有，且 联立解得通过回路的电荷量为 ②设两杆在磁场中相对靠近的位移为，有 整理可得，联立可得 若两杆在磁场内刚好相撞，N到的最小距离为 （3）两杆出磁场后在平行光滑长直金属导轨上运动，若N到的距离与第（2）问初始时刻的相同、到的距离为，则N到cd边的速度大小恒为，根据动量守恒定律可知 解得N出磁场时，M的速度大小为 由题意可知，此时M到cd边的距离为 若要保证M出磁场后不与N相撞，则有两种临界情况： ①M减速出磁场，出磁场的速度刚好等于N的速度，一定不与N相撞，对M根据动量定理有 联立解得 ②M运动到cd边时，恰好减速到零，则对M由动量定理有 同理解得 综上所述，M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围为 【变式训练1-1-1】如图所示，在水平面上有两条导电导轨MN、PQ，导轨间距为d，匀强磁场垂直于导轨所在的平面向里，磁感应强度的大小为B。两根完全相同的金属杆1、2间隔一定的距离摆开放在导轨上，且与导轨垂直，它们的电阻均为R，两杆与导轨接触良好，导轨电阻不计，金属杆与导轨间的摩擦不计。杆1以初速度v0滑向杆2，为使两杆不相碰，则杆2固定与不固定两种情况下，最初摆放两杆时的最小距离之比为(　　) A．1∶1 B.1∶2 C.2∶1 D.3∶1 【答案】C 【解析】若杆2固定，设最初摆放两杆时的最小距离为x1，对杆1由动量定理得－Bdt＝0－mv0，q＝t＝＝，解得x1＝；若杆2不固定，设最初摆放两杆时的最小距离为x2，两者最终速度为v，根据动量定理，对杆1有－B I′]dt′＝mv－mv0，对杆2有B I′]dt′＝mv，电荷量q′＝ I′]t′＝＝，解得x2＝，则x1∶x2＝2∶1，故C正确，A、B、D错误。 【变式训练1-1-2】如图甲所示，水平面内有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨固定且间距为L。空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将两根材料相同、横截面积不同、长度均为L的金属棒ab、cd分别静置在导轨上。现给ab棒一水平向右的初速度v0，其速度随时间变化的关系如图乙所示，两金属棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好。已知ab棒的质量为m，电阻为R。导轨电阻可忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．ab棒刚开始运动时，cd棒中的电流方向为d→c B．ab运动后，cd棒将做加速度逐渐增大的加速运动 C．在0﹣t0时间内，ab棒产生的热量为 D．在0∼t0时间内，通过cd棒的电荷量为 【答案】D 【解析】解：A、金属棒ab刚开始运动时，根据右手定则可知cd棒中的电流方向为c→d，故A错误； B、ab运动后，由于安培力作用，速度会逐渐减小，同时cd棒将做加速运动，回路总电动势减小，电流减小，cd棒受到的安培力会减小，由于：F＝m′a，可知，cd棒的加速度会减小，故B错误； C、两金属棒组成的系统动量守恒：，解得：m′＝2m，由于ab棒与cd棒质量之比为1：2，且它们的材料和长度相同，故横截面积之比为1：2，由，得电阻之比为2：1，故ab棒与cd棒产生的热量之比为2：1，根据两棒组成的系统能量守恒有： 0～t0时间内ab棒产生的热量：，故C错误； D、对cd棒列动量定理有：，又：，则在0～t0时间内，通过cd棒的电荷量：，故D正确。 故选：D。 【变式训练1-1-3】如图所示，日字形金属框长、宽L，放置在光滑绝缘水平面上，左侧接一个阻值为的定值电阻，中间位置和右端接有阻值为的金属棒和金属棒，其它电阻不计，线框总质量为m。金属框右侧有宽为的匀强磁场区域，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小为B。已知金属框以初速度进入匀强磁场，最终棒恰好没从磁场中穿出。下列说法正确的是（　　） A．在棒进入磁场前，通过棒间定值电阻的总电荷量为 B．在棒进入磁场后，通过间定值电阻的总电荷量为 C．棒刚进入磁场时的速度为 D．整个过程中间定值电阻产生的焦耳热为 【答案】C 【解析】A．在PQ棒进入磁场前，回路总电阻 通过CF的总电量 通过棒间定值电阻的总电荷量为，A错误； BC．设PQ棒刚进入磁场时的速度为v1，则从CF进入磁场到PQ棒刚进入磁场的过程，由动量定理 其中 从PQ进入磁场到DE刚进入磁场的过程，由动量定理 其中 联立解得 在棒进入磁场后，通过间定值电阻的总电荷量为，B错误，C正确； D．金属棒PQ刚进入磁场时，整体产生的焦耳热为 其中间定值电阻产生的焦耳热为 金属棒PQ进入磁场后整体产生的焦耳热 D、E间定值电阻产生的焦耳热为 所以整个过程中D、E间定值电阻产生的焦耳热为Q=Q1+Q2=，D错误。 故选C。 【变式训练1-1-4】如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图象中可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：导体棒ab做减速运动、cd做加速运动，当两者速度相等后一起做匀速直线运动， 两导体棒组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv0＝2mv，解得：v， 设电路总电阻为R，感应电流：I，由于v1逐渐减小、v2逐渐变大，感应电流I逐渐减小，当v1＝v2时I＝0， 导体棒的加速度：a，由于I逐渐减小，加速度a逐渐减小； A、导体棒ab做加速度减小的减速运动，最终以做匀速直线运动，故A正确； B、导体棒cd做加速度逐渐减小的加速运动，最后以做匀速直线运动，故B错误； CD、由于导体棒ab做加速度减小的减速运动、cd做加速度减小的加速运动，v1﹣v2逐渐减小且减小的越来越慢，则感应电流I逐渐减小，且减小的越来越慢，故CD错误。 故选：A。 【变式训练1-1-5】如图（a）所示，相距L的两足够长平行金属导轨放在同一水平面内，两长度均为L、电阻均为R的金属棒ab、cd垂直跨放在两导轨上，金属棒与导轨接触良好。导轨电阻忽略不计。导轨间存在与导轨平面垂直的匀强磁场，其磁感应强度大小B随时间变化的图像如图（b）所示，时刻，。时刻，两棒相距，ab棒速度为零，cd棒速度方向水平向右，并与棒垂直，则0~T时间内流过回路的电荷量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】通过导体的电荷量，而 时，磁感应强度为零，故 联立以上各式，可得 故选B。 【变式训练1-1-6】如图，M、N是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，导轨足够长且电阻可忽略不计；导轨间有一垂直于水平面向下的匀强磁场，其左边界垂直于导轨；阻值恒定的两均匀金属棒a、b均垂直于导轨放置，b始终固定。a以一定初速度进入磁场，此后运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，并与b不相碰。以O为坐标原点，水平向右为正方向建立x轴坐标；在运动过程中，a的速度记为v，a克服安培力做功的功率记为P。下列v或P随x变化的图像中，可能正确的是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】AB．设导轨间磁场磁感应强度为B，导轨间距为L，金属棒总电阻为R，由题意导体棒a进入磁场后受到水平向左的安培力作用，做减速运动，根据动量定理有 根据可得 又因为，联立可得 根据表达式可知v与x成一次函数关系，故A正确，B错误； CD．a克服安培力做功的功率为 故图像为开口向上的抛物线，由于F和v都在减小，故P在减小,故CD错误。 故选A。 【变式训练1-1-7】（多选）如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两导体棒a、b均垂直于导轨静止放置。已知导体棒a质量为2m，导体棒b质量为m；长度均为l，电阻均为r；其余部分电阻不计。现使导体棒a获得瞬时平行于导轨水平向右的初速度v0。除磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用，在两导体棒运动过程中，下列说法正确的是(　　) A．任何一段时间内，导体棒b动能增加量跟导体棒a动能减少量的数值总是相等的 B．任何一段时间内，导体棒b动量改变量跟导体棒a动量改变量总是大小相等、方向相反 C．全过程中，通过导体棒b的电荷量为 D．全过程中，两棒共产生的焦耳热为 【答案】BCD 【解析】　根据题意可知，两棒组成回路，电流大小相同，故所受安培力的合力为零，动量守恒，故任何一段时间内，导体棒b动量改变量跟导体棒a动量改变量总是大小相等、方向相反，根据能量守恒定律可知，a动能减少量的数值等于b动能增加量与系统产生的电热之和，故A错误，B正确；a、b最终共速，设最终速度为v，由动量守恒定律有2mv0＝(2m＋m)v，对b棒由动量定理有mv－0＝Bl·t＝Blq，联立解得q＝，根据能量守恒定律，两棒共产生的焦耳热为Q＝×2mv－(2m＋m)v2＝，故C、D正确。 【变式训练1-1-8】（多选）如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两导体棒a、b均垂直于导轨静止放置。已知导体棒a质量为2m，电阻是r，导体棒b质量为m，电阻为2r，两导体棒长度均为l，其余部分电阻不计。现使导体棒a获得瞬时平行于导轨水平向右的初速度。除磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用。在两导体棒运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．最终a、b棒的速度相同，做匀速直线运动 B．最终a、b棒的加速度相同，且不为零 C．全过程中，通过导体棒b的电荷量为 D．全过程中，导体棒a共产生的焦耳热为 【答案】ACD 【解析】AB．根据题意可知，两棒组成回路，电流大小相同，a棒受安培阻力做变减速直线运动，b棒受安培动力做变加速直线运动，当两者的速度相等时，电流等于零，两棒不再受安培力，则达到共同速度做匀速直线运动，加速度为零，故A正确，B错误； C．两棒所受安培力合力为零，系统动量守恒，最终共同速度为对b棒 解得故C正确； D．根据能量守恒，两棒共产生的焦耳热为而导体棒a共产生的焦耳热为 故D正确；故选ACD。 【变式训练1-1-9】（多选）两根足够长的平行光滑导轨固定在绝缘水平面上，所在空间有方向垂直于水平面、磁感应强度为B的范围足够大的匀强磁场，导轨的间距为L，电阻不计；导轨上静置两根长度均为L的导体棒PQ和MN，其中PQ的质量为2m、阻值为R，MN的质量为m、阻值为2R。若在t＝0时刻给PQ一个平行于导轨向右的初速度v0，不计运动过程中PQ和MN的相互作用力，则（　　） A．t＝0时刻，两导体棒的加速度大小相等 B．t＝0时刻，PQ两端的电压为BLv0 C．PQ匀速运动时的速度大小为v0 D．从t＝0时刻到PQ匀速运动的过程中，导体棒MN产生的焦耳热为 【答案】BC 【解析】解：A、在初始时刻t＝0时，导体棒PQ切割磁感线产生的感应电动势为E＝BLv0，回路中的感应电流为。两棒所受安培力大小相等，均为F＝BIL。根据牛顿第二定律，PQ棒的加速度大小为，而MN棒的加速度大小为，显然aP≠aM，故A错误； B、在t＝0时刻，PQ棒作为等效电源，其两端的电压为路端电压，由部分电路欧姆定律得UPQ＝I•2R，解得：，故B正确； C、两导体棒组成的系统在运动过程中所受合外力为零，因此系统动量守恒。当两者速度相等时达到稳定匀速运动状态，设共同速度为v。根据动量守恒定律有2mv0＝（2m+m）v，解得：，故C正确； D、从初始时刻到PQ棒匀速运动的过程中，根据能量守恒定律，系统产生的总焦耳热为，解得：。再依据串联电路热量分配规律，导体棒MN上产生的焦耳热为，解得：，故D错误。 故选：BC。 【变式训练1-1-10】（多选）如图所示，方向竖直向下的匀强磁场B中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，导轨间的距离为L，两电阻均为R的光滑导体棒静止在导轨上，的质量是m，的质量是。时，棒以初速度向右滑动。运动过程中，始终与导轨垂直并接触良好。下列说法正确的是（　　） A．0时刻棒的加速度大小为 B．最终两棒的速度均为 C．整个过程中通过棒横截面的电荷量是 D．整个过程中两棒间增加的距离是 【答案】BD 【解析】A．0时刻对棒受力分析，根据牛顿第二定律可得 解得故A错误； B．系统满足动量守恒定律，最终两棒达到共同速度，即解得故B正确； C．设整个过程通过ab棒的平均电流为，根据动量定理可得 又 联立，可得故C错误； D．由法拉第电磁感应定律可知 又联立，可得 故D正确。 故选BD。 【变式训练1-1-11】（多选）如图所示，两足够长的光滑平行导轨、水平放置，导轨间距为L，虚线垂直导轨，所在空间区域存在着磁感应强度大小均为B的方向相同的竖直匀强磁场，两长度均为L、电阻均为R、质量均为m的金属导体棒、垂直放在导轨上，并与导轨保持良好接触，不计其他电阻。现给导体棒一个瞬时冲量，使获得一个水平向右的初速度，下列关于两棒此后整个运动过程的说法正确的是（　　） A．两棒组成的系统动量守恒 B．两棒最终都将以大小为的速度做匀速直线运动 C．整个过程中，棒上产生的焦耳热 D．整个过程中，流过棒的电荷量 【答案】AC 【解析】A．由题意可知，a、b两棒中的电流大小相等，方向相反，由左手定则可知，两金属棒所受安培力等大反向，则系统的合力为0，系统动量守恒，故A正确； B．由题意分析可知，a棒向右做减速运动切割磁感线，b棒向右加速运动切割磁感线，当两棒速度相等时回路中的电流为0，分别对两棒应用动量定理且取向左为正方向，有 解得故B错误； C．由能量守恒可得解得故C正确； D．对a棒由动量定理且取向右为正方向 即解得故D错误。 故选AC。 【变式训练1-1-12】（多选）如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ水平放置，导轨间距为L，虚线OO'垂直导轨，导轨所在空间区域OO′两侧存在着方向相反的竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。两长度均为L、电阻均为R、质量均为m的金属导体棒a、b垂直导轨放在OO′左右两侧，并与导轨保持良好接触。不计导轨的电阻，现使a获得一个水平向左的初速度v0，下列关于a、b两棒此后整个运动过程的说法正确的是（　　） A．a、b两棒受到的安培力大小相等，方向相同 B．棒a最终停止运动 C．导体棒b最终产生的热量为 D．稳定前，若通过导体棒a的电荷量为q，此过程中两棒运动的位移大小之差为 【答案】ACD 【解析】解：A、a棒向左运动时切割磁感线，产生感应电流，根据右手定则判断可知回路中感应电流沿逆时针方向，由左手定则可知a棒所受安培力方向水平向右，b棒所受安培力方向水平向右。通过两棒的电流大小相等，由F＝BIL可知，ab两棒受到的安培力大小相等，故A正确； B、b棒在安培力作用下向右运动，也要产生感应电动势，当两棒产生的感应电动势抵消时回路中没有感应电流，两棒不再受安培力，从而做匀速直线运动，达到稳定状态，此时有BLva＝BLvb，则得va＝vb，即稳定时两棒速度大小相等。 对a棒，取水平向左为正方向，根据动量定理得 ﹣BL•Δt＝mva﹣mv0 对b棒，取水平向右为正方向，根据动量定理得 BL•Δt＝mvb﹣0 联立解得va＝vb，故a、b两棒最终都将以大小为的速度做匀速直线运动，故B错误； C、对两棒组成的系统，由能量守恒定律得：2m（）2+Q总，b棒最终产生的热量QbQ总，解得：Qb，故C正确； D、设此过程中两棒运动的位移大小之差为Δx。根据qtt，可得Δx，故D正确。 故选：ACD。 【变式训练1-1-13】（多选）如图所示，两个相同的足够长光滑“”型金属导轨ACDE和FGHJ固定在同一水平面内，AC、FG、DE、HJ互相平行且间距均为L，金属棒a、b垂直静止在导轨上，a、b的质量分别为2m和m，它们接入电路的电阻分别为R和2R，金属导轨的电阻不计，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现给a一个水平向右的初速度v0，此后a、b运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，则下列说法正确的是（ ） A．b向左运动 B．b最终的速度大小为 C．通过b的电量为 D．b中产生的焦耳热为 【答案】BCD 【解析】A、当a向右运动时，a切割磁感线产生感应电动势，可以判断a中感应电流向上，b中感应电流向下，根据左手定则，b受到的安培力向右，则b向右运动，故A错误； B、因a、b串联，通过的电流大小相等方向相反，它们受到的安培力也是等值反向，所以整体动量守恒，根据动量守恒定律，有2mv0＝3mv，解得v＝，故B正确； C、对b研究，根据动量定理有BqL＝m×，解得q＝，故C正确； D、由能量守恒定律及串联电路电功率的分配规律， 得b中产生的焦耳热Q＝＝，故D正确。 【变式训练1-1-14】（多选）如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图象中可能正确的是(　　) 【答案】AC 【解析】因为感应电流，ab受安培力作用，速度v1不断减小，根据动量守恒，，，所以A正确B错误；感应电动势，电流，随着速度减小，感应电流I减小但不是线性的，所以C正确D错误。 【变式训练1-1-15】如图所示，两条足够长的平行导电导轨MN、PQ水平放置，导轨间距L=1.0m，在轨道区域内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=1T。导体棒a、b质量均为m=1kg，电阻均为R=0.5Ω，与导轨间的动摩擦因数均为=0.3，运动过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好。重力加速度g=10m/s2，导轨电阻可忽略，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）若开始时导体棒a初速度为零，导体棒b获得=2m/s的水平向右的初速度，求此时导体棒a和b的加速度大小； （2）若同时分别给两导体棒不同的冲量，使导体棒a获得平行于导轨向左的初速度=2m/s的同时，导体棒b获得向右的平行于导轨的初速度=4m/s，求流经导体棒a的最大电流； （3）在（2）的条件下，从导体棒a速度为零到两棒相距最远的过程中，已知导体棒b产生的焦耳热为0.25J，求此过程中导体棒b的位移。 【答案】（1）0；5m/s2；（2）6A；（3）0.5m 【解析】（1）导体棒b运动产生的感应电动势 回路电流 导体棒受安培力 解得F0=2N 因则a加速度为零，b的加速度方向向左； （2）两棒反向运动，开始时的速度最大，产生的感应电动势最大 最大电流解得 Im=6A （3）两棒开始向相反方向运动时，两棒系统受合外力为零，则动量守恒，当a棒速度为零时 解得b棒速度v3=2m/s 由（1）的计算可知，此时a棒受安培力小于摩擦力，可知以后a棒静止，b棒向右做减速运动，当速度减为零时两棒最远，因导体棒b产生的焦耳热为0.25J，则此过程中，系统产生的总焦耳热为Q=0.5J 此时由能量关系 解得x=0.5m 【变式训练1-1-16】如图所示，在水平桌面上固定两根光滑且足够长的平行金属导轨，将两根导体棒a、b垂直导轨放置，空间存在垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场。ma＝2mb＝2m，两棒长度均为L，相距为d0，棒a的电阻为R，棒b的电阻为2R；刚开始棒b静止，棒a以初速度v0水平向右运动，且运动过程中导体棒a与b不会发生碰撞，求在整个过程中： （1）棒a加速度的最大值； （2）棒b产生的焦耳热Qb； （3）两棒间的最小距离d。 【答案】（1）棒a加速度的最大值为； （2）棒b产生的焦耳热为； （3）两棒间的最小距离为。 【解析】解：（1）棒a向右运动时，由右手定则，可得到感应电流方向，由左手定则，可得到棒a受到水平向左的安培力，即棒a减速； 由法拉第电磁感应定律可得：E＝BLv，由闭合电路欧姆定律可得：，由安培力公式可得：F＝BIL，解得：，根据牛顿第二定律，可得：，初始速度最大时加速度最大，即； （2）对棒a、b整体受力分析，可知整体受到的合力为零，即整体动量守恒，以a的初速度方向为正方向，则2mv0＝（2m+m）v； 从a开始运动到稳定过程中，对整体应用动能定理，可得：，由功能关系可得：Q＝|W安|， 根据电路连接情况，可知两棒电流相等，两棒产生的焦耳热与电阻成正比，则b产生的焦耳热满足：，解得：； （3）对两棒受力分析，结合楞次定律，可知a受到的安培力水平向左，b受到的安培力水平向右，即a减速、b加速，直至共速，共速时两棒相距最近。 对棒b受力分析，可知棒b只受到安培力，从b开始运动到稳定的过程中，以水平向右为正方向。 应用动量定理得： 由闭合电路欧姆定律： 由法拉第电磁感应定律： 解得： 两棒间的最小距离为：d＝d0﹣x 解得：。 答：（1）棒a加速度的最大值为； （2）棒b产生的焦耳热为； （3）两棒间的最小距离为。 【变式训练1-1-17】如图所示，间距为L、足够长的光滑平行金属导轨MM′、NN′水平放置，细金属棒a、b和细塑料棒c垂直导轨放置并与导轨接触良好，整个装置处在竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。已知a、b、c棒的质量分别为m、2m、3m，a、b棒接入电路的电阻均为R、初始间距为x0，导轨电阻忽略不计。现给c棒一个初速度v0，设c与a的碰撞为弹性碰撞，试求： （1）c与a碰撞后的瞬间，a、c两棒的速度各为多大？ （2）c与a碰撞后的运动过程中，a、b两棒的最终速度各为多大？ （3）c与a碰撞后的运动过程中，a与b之间、a与c之间的最大距离各为多少？ 【答案】见解析 【解析】（1）设c与a第一次碰撞后瞬间，c、a的速度各为v3、v1， 则由动量守恒、能量守恒，有3mv0＝3mv3＋mv1， ＝＋，解得v1＝、v3＝； （2）c与a第一次碰撞后直到最终a、b共速， 由动量守恒，有mv1＝(m＋2m)v共，解得v共＝； （3）①整个过程中，回路的平均电动势为＝，平均电流为＝， 对b，由动量定理，有＝2mv共－0， 联立有xa－xb＝； 则a与b之间的最大距离为d1＝x0＋xa－xb＝x0＋ ②设c与a第一次碰撞后的任一时刻，a、b的速度分别为va、vb， 则由动量守恒，有mv1＝mva＋2mvb， 上式两边各乘以极短时间Δt，有mv1Δt＝mvaΔt＋2mvbΔt，即mv1Δt＝mΔxa＋2mΔxb， 全过程累加，代入v1＝，有＝mxa＋2mxb， 全过程c的位移为xc＝，故有3xc＝xa＋2xb； a与c之间的最大距离为d2＝xa－xc，联立解得d2＝。 【变式训练1-1-18】如图，水平桌面上固定一光滑U型金属导轨，其平行部分的间距为，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。一质量为、电阻为、长度也为的金属棒P静止在导轨上。导轨上质量为的绝缘棒Q位于P的左侧，以大小为的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点。P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行。不计空气阻力。求 （1）金属棒P滑出导轨时的速度大小； （2）金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量； （3）与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）由于绝缘棒Q与金属棒P发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可得 联立解得， 由题知，碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点，则金属棒P滑出导轨时的速度大小为 （2）根据能量守恒有 解得 （3）P、Q碰撞后，对金属棒P分析，根据动量定理得 又， 联立可得 由于Q为绝缘棒，无电流通过，做匀速直线运动，故Q运动的时间为 【变式训练1-1-19】如图所示，两根足够长且电阻不计的光滑金属导轨固定在水平桌面上，间距L＝0.5 m。在轨道上有两根质量分别为ma＝0.3 kg、mb＝0.2 kg，接入电路电阻分别为Ra＝2 Ω、Rb＝3 Ω的导体棒a和b，在轨道区域内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝1 T。现给导体棒a一个向右的、大小为v0＝5 m/s的初速度，两导体棒在运动过程中始终保持与导轨垂直，且两导体棒未相碰，g＝10 m/s2。求： (1)流经导体棒b的最大电流； (2)从开始运动到两棒相距最近的过程中，流经b的电荷量； (3)从开始运动到两棒相距最近的过程中，导体棒a上产生的焦耳热； (4)当导体棒a的速度大小为va＝4 m/s时，b的加速度大小。 【答案】　(1)0.5 A　(2)1.2 C　(3)0.6 J　(4)0.625 m/s2 【解析】　(1)给导体棒a一个向右的初速度的瞬间流经导体棒b的电流最大，为 Im＝＝0.5 A。 (2)两棒共速时相距最近，设共同速度为v，对两导体棒整体根据动量守恒定律有mav0＝v 解得v＝3 m/s 从开始到共速时间内对导体棒b根据动量定理有F安t＝BLt＝BLq＝mbv－0 解得q＝＝1.2 C。 (3)根据能量守恒定律得，从开始运动到两棒相距最近的过程中，回路中的总焦耳热为 Q总＝mav－v2 根据电路规律可知导体棒a上产生的焦耳热为 Qa＝Q总 联立解得Qa＝0.6 J。 (4)当导体棒a的速度大小为va＝4 m/s时，根据动量守恒定律有mav0＝mava＋mbvb 解得vb＝1.5 m/s 故此时电路中的总电动势为E＝BLva－BLvb＝1.25 V 导体棒b此时受到的安培力为F安b＝ILB，I＝ b的加速度大小为a＝ 联立解得a＝0.625 m/s2。 （2） 两个杆均有初速度 【典型例题1】如图所示，光滑平行的水平导轨ab、cd之间有垂直纸面向里的匀强磁场，导轨间距为L，电阻均为R、长均为L的金属棒A、B置于导轨上，与导轨接触良好，导轨左侧接了阻值也为R的定值电阻。现同时分别给A、B一个初速度vA、vB，且2vA＜vB。导轨电阻不计，则A、B棒开始运动的瞬间流过金属棒B中的电流大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设上下导轨电势差为U，A、B棒分别可看作内阻 为R的电源、A、B棒的电动势分别为 EA＝ BLvA，EB＝ BLvB 左侧固定电阻为 R，无电动势。规定电流由上向下为正，由欧姆定律可知左侧电阻的电流 通过A棒的电流 通过B棒的电流 由于没有外接电源，总电流在上导轨处的代数和应为零，即I+IA+IB＝0 可得 进而可求通过B棒的电流 由于2vA＜vB 所以vA﹣2vB＜0 表示B棒中的实际电流方向是由下导轨流向上导轨，其大小则为，故ABC错误，D正确。 故选：D。 【典型例题2】（多选）如图所示，两电阻可以忽略不计的光滑平行金属长直导轨固定在水平面上，相距为L。导轨间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。导体棒a、b质量分别为m和2m，长度均为L，电阻均为R，均垂直静置于导轨上。某时刻使左侧的导体棒a获得大小为的向左的初速度，右侧的导体棒b获得大小为的向右的初速度，则下列结论正确的是（　　） A．当导体棒a的速度大小为时，回路中产生的感应电动势可能大于 B．当导体棒a的速度大小为时，回路中产生的感应电动势可能小于 C．从开始运动到最终处于稳定状态的过程中，系统产生的热量为 D．从开始运动到最终处于稳定状态的过程中，系统产生的热量为 【答案】BC 【解析】AB．由题意知对导体棒a、b组成的系统动量守恒，且初动量方向向右方向向左 可以看出合动量向右，设向右为正，则当导体棒a的速度大小为时，a棒的速度可能向左也可能向右，若导体棒a的速度大小为，方向向左时，由动量守恒定律得 解得 此时回路中产生的感应电动势为同理当导体棒a的速度大小为，方向向右时，由动量守恒定律得解得此时回路中产生的感应电动势 故A错误，B正确； CD．从开始运动到最终处于稳定状态的过程中，由动量守恒定律得解得最终一起匀速的速度为则从开始运动到最终处于稳定状态的过程中，系统产生的热量由能量守恒定律得 故C正确，D错误。故选BC。 【变式训练1-2-1】如图所示，光滑金属导轨MN、PQ水平固定放置，间距为L，两导轨之间存在着与导轨平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B。金属棒ab与cd质量分别为4m、m，电阻分别为R、4R，长度均为L，放置在导轨上并与导轨垂直。现同时给金属棒ab与cd一个大小为v0的初速度，方向分别向左、向右，两金属棒运动过程中始终与导轨接触良好，不计导轨电阻，忽略感应电流产生的磁场，则下列说法正确的是（　　） A．通过金属棒ab的最大电流为 B．金属棒cd的最大加速度为 C．金属棒cd的速度减为零时，回路中的电流为 D．从初始时刻到金属棒cd的速度减为零时，两导体棒之间的距离增大了 【答案】C 【解析】解：A.开始运动时通过金属棒ab的电流最大，最大值为，故A错误； B.开始运动时，两棒受安培力最大，加速度最大，则金属棒cd的最大加速度为，，故B错误； CD.两棒组成的系统受合外力为零，则动量守恒，则从初始时刻到金属棒cd的速度减为零时，以向左为正方向，根据动量守恒定律有：4mv0﹣mv0＝4mv1 解得，此时回路中的电流为，以向左为正方向，该过程中对导体棒cd由动量定理﹣BILΔt＝0﹣mv0 其中电荷量 解得两导体棒之间的距离增大了 故C正确，D错误。 故选：C。 【变式训练1-2-2】（多选) 如图，绝缘水平面上四根完全相同的光滑金属杆围成矩形，彼此接触良好，匀强磁场方向竖直向下。金属杆2、3固定不动，1、4同时沿图箭头方向移动，移动过程中金属杆所围成的矩形周长保持不变。当金属杆移动到图位置时，金属杆所围面积与初始时相同。在此过程中（　　） A．金属杆所围回路中电流方向保持不变 B．通过金属杆截面的电荷量随时间均匀增加 C．金属杆1所受安培力方向与运动方向先相同后相反 D．金属杆4所受安培力方向与运动方向先相反后相同 【答案】CD 【解析】A．由数学知识可知金属杆所围回路的面积先增大后减小，金属杆所围回路内磁通量先增大后减小，根据楞次定律可知电流方向先沿逆时针方向，后沿顺时针方向，故A错误； B．由于金属杆所围回路的面积非均匀变化，故感应电流的大小不恒定，故通过金属杆截面的电荷量随时间不是均匀增加的，故B错误； CD．由上述分析，再根据左手定则，可知金属杆1所受安培力方向与运动方向先相同后相反，金属杆4所受安培力方向与运动方向先相反后相同，故CD正确。 故选CD。 【变式训练1-2-3】（多选) 如图甲所示，绝缘水平面上固定有两条足够长的平行光滑金属导轨，导轨电阻不计，间距为。金属棒、垂直导轨放置，电阻均为，质量分别为和。虚线右侧存在磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场。两金属棒、分别以初速度和同时沿导轨向右运动，先后进入磁场区域。从棒进入磁场区域开始，其电流随时间变化的图像如图乙所示，则（　　） A．、棒的初速度满足 B．棒即将进入磁场时，棒在磁场中移动的距离为 C．两棒最终的间隔距离为 D．两棒最终的间隔距离为 【答案】BC 【解析】A．金属棒a刚进入磁场时产生的感应电动势E0=BLv0 感应电流 金属棒b刚要进入磁场时a棒的速度大小为v2，此时产生的感应电动势E2=BLv2 感应电流 解得 由图乙所示图像可知，b进入磁场时电流反向，则v1＞v2，回路产生的电动势E1=BL（v1-v2） 电流大小 解得v1=v0，故A错误； B．b棒即将进入磁场时，以向右为正方向，对a由动量定理得 其中 解得，故B正确； CD．b进入磁场后，当两金属棒速度相等后达到稳定状态，a、b组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv2+3mv1=（m+3m）v 解得 此过程，以向右为正方向，对a由动量定理得 其中 解得b进入磁场后a、b的相对位移 两棒最终的间隔距离为，C正确，D错误。 故选BC。 【变式训练1-2-4】（多选) 如图所示，间距d＝1 m的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面内，垂直于导轨的虚线AB的左、右两侧存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B1＝0.5 T、B2＝1 T。质量m1＝1 kg、阻值R1＝1.5 Ω的金属棒a静止在虚线AB左侧足够远的位置，质量m2＝1 kg、阻值R2＝0.5 Ω的金属棒b静止在虚线AB的右侧。0时刻，金属棒a以初速度v0＝2 m/s、金属棒b以初速度2v0＝4 m/s沿导轨运动，t时刻，金属棒b达到最小速度vmin。已知a、b两棒的长度均为d，且始终与导轨垂直并接触良好，导轨电阻不计。则在a、b棒的运动过程中，下列说法正确的是 A．通过金属棒a的最大电流为1.5 A B．金属棒b的最小速度vmin＝3.2 m/s C．0～t时间内通过金属棒a的电荷量为2.4 C D．0～t时间内金属棒a上产生的焦耳热为3.6 J 【答案】AC 【解析】A．金属棒a、b刚开始运动时，通过回路的电流最大， 由法拉第电磁感应定律得Em＝2B2dv0－B1dv0， 由闭合电路欧姆定律得Im＝， 代入数据联立解得Im＝1.5 A，故A正确； B．金属棒b达到最小速度时，回路中的感应电动势为0，即0＝B2dvmin－B1dva， 由安培力公式F＝BId，可知金属棒b受到的安培力为金属棒a受到的安培力的2倍，则运动过程中金属棒b的动量变化量的大小为金属棒a动量变化量的大小的2倍， 即m2·2v0－m2vmin＝2(m1va－m1v0)， 代入数据解得va＝3.2 m/s，vmin＝1.6 m/s，故B错误； C．对金属棒a，取向右为正方向，根据动量定理有＝B1dq＝m1va－m1v0， 代入数据解得q＝2.4 C，故C正确； D．由能量守恒定律得Qa＋Qb＝， 又Qa∶Qb＝R1∶R2，解得Qb＝2.7 J，故D错误。 故选：AC。 【变式训练1-2-5】（多选) 如图所示，绝缘的水平面上固定有两条平行的光滑金属导轨，导轨电阻不计，两相同金属棒a、b垂直导轨放置，其右侧矩形区域内存在恒定的匀强磁场，磁场方向竖直向上。现两金属棒分别以初速度2v0和v0同时沿导轨自由运动，先后进入磁场区域。已知a棒离开磁场区域时b棒已经进入磁场区域，则a棒从进入到离开磁场区域的过程中，电流i随时间t的变化图像可能正确的有（　　） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】a棒以速度2v0先进入磁场切割磁感线产生的感应电流为 a棒受安培阻力做变加速直线运动，感应电流也随之减小，即图像的斜率逐渐变小；设当b棒刚进入磁场时a棒减速的速度为，此时的瞬时电流为；若，即 此时双棒双电源反接，电流为零，不受安培力，两棒均匀速运动离开，图像中无电流的图像，故A正确，C错误；若，即 此时双棒双电源的电动势不等要抵消一部分，因b棒的速度大，电流方向以b棒的流向，与原a棒的流向相反即为负，大小为，b棒通电受安培力要减速，a棒受安培力而加速，则电流逐渐减小，故B正确，D错误. 【变式训练1-2-6】如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面上，导轨间距为L=1m，垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=2T。两根长度都为1m的由同种材料制成的金属棒a、b垂直导轨放置，质量分别为，金属棒a的电阻为。初始时刻两金属棒相距足够远，现给两金属棒方向相反、大小分别为的水平初速度，两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻。求： (1)金属棒b加速度的最大值； (2)整个运动过程中金属棒b上产生的焦耳热； (3)如果初始时刻金属棒a、b相距，经过一段时间后两棒发生弹性碰撞，求碰撞结束时金属棒a、b速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由m=ρLS，可知 又由 可知 初始时刻金属棒b有最大加速度，由 其中， 解得 （2）两金属棒最后达共同速度时，规定va方向为正方向，由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 解得v共=4m/s，Q=24J 金属棒b产生的焦耳热 （3）设两金属棒碰前速度分别为和，由动量守恒定律有 对金属棒a，由动量定理可得 其中， 而 整理得 解得 设两棒碰后速度分别为和，两棒发生弹性碰撞，由动量守恒定律有 由机械能守恒定律有 解得 （三）先用动能定理再转化成一个杆初速度 【典型例题1】（多选）间距为L的平行光滑金属导轨MN、PQ水平段处于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，导轨的弯曲段处在磁场之外，如图甲所示。导体棒a与b接入电路的有效电阻分别为R、2R。导体棒a的质量为m，b棒放置在水平导轨上足够远处，a棒在弯曲段导轨上距水平段某一高度处由静止释放，刚进入磁场时导体棒a受到的安培力的大小为F，以导体棒a刚进入磁场时为计时起点，导体棒a的速度随时间变化的v—t图像如图所示（v0未知）。运动过程中导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，重力加速度大小为g，以下说法中正确的是（　　） A．导体棒a释放时距导轨水平段的高度 B．导体棒b的质量为2m C．0~t1这段时间内通过a、b棒的电荷量之比为1：2 D．0~t2这段时间内导体棒b产生的内能 【答案】AB 【解析】由题图乙可知，a棒刚进入磁场时的速度为v0，从开始下落到进入磁场，根据机械能守恒定律有：mgh＝mv02；a棒切割磁感线产生的感应电动势：E=BLv0；根据闭合电路欧姆定律： ；a棒受到的安培力：F=BIL；联立以上各式解得：，选项A正确；设b棒的质量为mb，两棒最终稳定速度为v'，以v0的方向为正方向，由v-t图线可知：v′＝v0，a棒进入磁场后，a棒和b棒组成的系统动量守恒：mv0=(m+mb）v'，解得：mb=2m，选项B正确；0~t1这段时间内通过a、b棒的电流相等，则由q=It可知，通过两金属棒的电荷量之比为1：1，选项C错误；设a棒产生的内能为Qa，b棒产生的内能为Qb，根据能量守恒定律：mv02＝（m+mb）v′2+Qa+Qb；两棒串联，产生的内能与电阻成正比：Qb=2Qa；解得：，选项D错误。 【典型例题2】如图所示，圆弧导轨与水平导轨平滑相连，其末端GH处通过绝缘物质与倾斜金属导轨平滑连接，所有导轨间距均为，倾斜导轨与水平方向夹角为θ，倾斜导轨足够远处连接有电感为L的电感线圈。CD与EF间的导轨粗糙，宽度为d，其他导轨均可视为光滑。矩形ABCD区域、EFGH区域与倾斜导轨区域均存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为。金属棒b静止在EFGH区域，金属棒a在圆弧导轨上与水平导轨间高度差为h的位置由静止释放，最终恰好停在EF边界处，此时金属棒b恰能从GH处滑入倾斜导轨。金属棒a与CD、EF间的粗糙导轨的动摩擦因数为μ，金属棒a的电阻为R，金属导轨与金属棒b的电阻均不计，金属棒a、b的质量均为m，长度均为，重力加速度取g。求： (1)在金属棒a刚进入磁场瞬间，金属棒a的速度大小与金属棒b的加速度大小； (2)金属棒a在离开ABCD区域后产生的焦耳热Q； (3)金属棒b能沿倾斜导轨向下滑行的最大距离。（已知自感线圈的自感电动势，其自身的电阻为零） 【答案】(1)， (2) (3) 【解析】（1）a棒从圆弧轨道滑下，由机械能守恒的 解得金属棒a刚进入磁场瞬间，金属棒a的速度大小为 a棒进入磁场瞬间，产生电动势和电流分别为， 所以b棒所受的安培力为 由牛顿第二定律得 解得金属棒b的加速度大小 （2）设金属棒a离开磁场ABCD区域时的速度为，此时金属棒b的速度为，金属棒a在CD、EF间做匀减速运动，可得 金属棒a穿越磁场ABCD区域中，a和b组成的系统满足动量守恒，则有 解得 此后，由能量关系可知，克服安培力做的功等于电路中产生的焦耳热，金属棒b此时的动能将全部转化为金属棒a的焦耳热，则有 （3）金属棒b恰能滑入斜轨，则在斜轨上初速度为0开始下滑，因为b棒与线圈组成的回路，直流电阻为零，所以必须满足 可得 所以棒开始运动后棒上电流与棒的位移成正比，则有 所以棒的运动方程为 可知金属棒做简谐运动，平衡位置时， 即 由简谐运动对称性可知，下滑最大距离为 【变式训练1-3-1】（多选）如图3所示，相距L的光滑金属导轨固定于水平地面上，由竖直放置的半径为R的圆弧部分和水平平直部分组成。MNQP范围内有方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场。金属棒ab和cd(长度均为L)垂直导轨放置且接触良好，cd静止在磁场中；ab从圆弧导轨的顶端由静止释放，进入磁场后与cd没有接触；cd离开磁场时的速度是此时ab速度的一半。已知ab的质量为m、电阻为r，cd的质量为2m、电阻为2r。金属导轨电阻不计，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) 图3 A.闭合回路感应电流产生的磁场与原磁场方向相反 B.cd在磁场中运动的速度不断变大，速度的变化率不断变小 C.cd在磁场中运动的过程中通过ab横截面的电荷量q＝ D.从ab由静止释放至cd刚离开磁场时，cd上产生的焦耳热为mgR 【答案】BC 【解析】cd在磁场中运动时，abdc回路中磁通量减小，根据楞次定律可知，闭合回路感应电流产生的磁场与原磁场方向相同，故A错误；当ab进入磁场后回路中产生感应电流，则ab受到向左的安培力而做减速运动，cd受到向右的安培力而做加速运动，由于两者的速度差逐渐减小，可知感应电流逐渐减小，安培力逐渐减小，可知cd向右做加速度减小的加速运动，故B正确；ab从释放到刚进入磁场过程，由动能定理得mgR＝mv，对ab和cd系统，合外力为零，则由动量守恒定律有mv0＝m·2vcd＋2m·vcd，解得vcd＝v0＝，对cd由动量定理有BL·Δt＝2m·vcd，其中q＝·Δt，解得q＝，故C正确；从ab由静止释放，至cd刚离开磁场过程，由能量守恒定律得mgR＝m2＋×2mv＋Q，又Qcd＝Q，解得Qcd＝mgR，故D错误。 【变式训练1-3-2】（多选）如图所示，相距L的光滑金属导轨，半径为R的圆弧部分竖直放置，平直部分固定于水平地面上，MNQP范围内有方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。金属棒ab和cd垂直导轨且接触良好，cd静止在磁场中；ab从圆弧导轨的顶端由静止释放，进入磁场后与cd没有接触，cd离开磁场时的速度是此刻ab速度的一半，已知ab的质量为m、电阻为r，cd的质量为2m、电阻为2r。金属导轨电阻不计，重力加速度为g。下列说法正确的有(　　) A．cd在磁场中运动时电流的方向为c→d B．cd在磁场中做加速度减小的加速运动 C．cd在磁场中运动的过程中流过其横截面的电荷量为 D．至cd刚离开磁场时，cd上产生的焦耳热为mgR 【答案】BD 【解析】根据题意，cd在磁场中运动时，其速度始终小于ab的速度，则回路中的磁通量减小，由楞次定律可知，cd中电流的方向为d→c，故A错误；当ab进入磁场后回路中产生感应电流，电流方向为abdca，则ab受到向左的安培力而做减速运动，cd受到向右的安培力而做加速运动，由于两者的速度差逐渐减小，可知感应电流逐渐减小，安培力逐渐减小，可知cd向右做加速度减小的加速运动，故B正确；ab从释放到刚进入磁场过程，由动能定理得mgR＝mv－0，从ab进入磁场到cd离开磁场，对ab和cd组成的系统，合力为零，由动量守恒定律得mv0＝m·2vcd＋2m·vcd，解得vcd＝v0＝，对cd由动量定理得BLΔt＝2m·vcd－0，又q＝Δt，解得q＝，故C错误；从ab从圆弧导轨的顶端由静止释放，至cd刚离开磁场时，由能量守恒定律有mgR＝m(2vcd)2＋×2mv＋Q，而Qcd＝Q，解得Qcd＝mgR，故D正确。 【变式训练1-3-3】如图所示，水平放置的、足够长的光滑金属轨道与光滑倾斜轨道以小圆弧平滑对接。在倾斜轨道上高处放置一金属杆a，在平直轨道靠右端处放置另一金属杆b，平直轨道区域有竖直向上的匀强磁扬。现由静止释放杆a，杆a下滑到水平轨道后即进入磁场，此时杆b的速度大小为，方向向左。已知，，金属杆与轨道接触良好，g取。求： （1）杆a、b在水平轨道上的共同速度大小； （2）在整个过程中电路消耗的电能。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设金属杆a刚进入水平轨道的速度为，根据动能定理可得 解得 金属杆a进入水平轨道后，两金属杆组成的系统受到的安培力大小相等，方向相反，可知系统满足动量守恒，以水平向右为正方向，则有 解得 （2）根据能量守恒，在整个过程中电路消耗的电能为 解得 题型02：有外力光滑等距轨道双杆模型 （一)水平轨道 【典型例题1】如图所示，水平面内ab和cd是两条平行放置的足够长的固定粗糙金属直导轨，MN和M′N′是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为2kg和1kg，两杆与导轨间的动摩擦因数相同。开始时恒定水平外力F作用在杆MN上，使两杆以大小为4m/s的速度水平向右匀速运动。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直，导轨电阻可忽略。在t=0时刻将细线烧断，保持外力F不变，金属杆和导轨始终接触良好，已知在t=t0时刻后杆MN速度大小为5m/s并保持不变，且在0~t0时间内两杆速度方向始终向右，下列说法正确的是（　　） A．细线烧断后，流经MN的电流方向为由M到N B．M′N′稳定后的速度大小为3m/s C．0~t0时间内MN和M′N′的位移大小之比大于3∶2 D．整个过程中系统动能变化量的大小等于整个系统产生的焦耳热 【答案】C 【解析】A．细线烧断前两杆做匀速运动，回路中无感应电流，烧断细线后，MN的速度大于M′N′的速度，根据右手定则可知MN切割磁感线产生的感应电动势大于M′N′产生的感应电动势，则回路中电流方向由N到M，故A错误； B．两杆组成的系统所受的合外力为零，系统动量守恒，设MN的质量为，M′N′的质量为，初始速度为，MN稳定后的速度大小为，M′N′稳定后的速度大小为。规定向右为正方向，由系统动量守恒定律 代入数据解得M′N′稳定后的速度大小为，故B错误； C．由题意可知做加速运动，做减速运动，两者速度差变大，电动势变大，电流变大，安培力变大，安培力向左，安培力向右。根据牛顿第二定律可知、的加速度大小都逐渐减小，则、的图像如图所示 由图可知，， 则，故C正确； D．根据能量守恒定律 故整个过程中系统动能变化量的大小不等于整个系统产生的焦耳热，故D错误。 故选C。 【典型例题2】如图所示，水平面上放置足够长的光滑导轨，一对相互平行的完全相同的导体棒、静置在导轨上。虚线两侧均有竖直方向的匀强磁场，左侧磁场竖直向下，磁感应强度大小为，右侧磁场竖直向上，磁感应强度大小为，除导体棒外其他电阻不计。现对棒施加向左的恒力，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，则（　　） A．回路中电流方向始终为逆时针，电流逐渐减小为零 B．导体棒在相同时间内所受安培力的冲量大小总为导体棒的一半 C．导体棒、经足够长时间均做匀加速直线运动，且、加速度大小相同 D．导体棒、经足够长时间均做匀加速直线运动，且导体棒的加速度为的2倍 【答案】B 【解析】初始状态：导体棒a受恒力F向左加速，切割左侧磁场的磁感线，产生感应电动势（方向由右手定则判定） 导体棒b因a的运动被带动，切割右侧磁场的磁感线，产生感应电动势（方向与相反） 回路总电动势 电流方向与大小：若，电流方向为逆时针（从a流向b）；若，电流方向为顺时针（从b流向a） 电流大小（假设每根导体棒电阻为R，回路总电阻） 安培力作用：导体棒a受安培力，方向向右（阻碍运动），导体棒b受安培力，方向向左（促进运动） 由牛顿第二定律有， 长期动态分析：随着时间推移，和逐渐增大，但和的差值会趋于稳定，使得趋于恒定，此时电流趋于恒定，两导体棒所受安培力恒定，最终均做匀加速运动。 A．初始时、，，电流逆时针；但会逐渐增大，若，电流方向会反向（顺时针）；最终趋于恒定，电流稳定不为零。故A错误； B．安培力关系，，冲量，因此，故B正确； CD．导体棒、经足够长时间，最终恒定，可知两棒均做匀加速直线运动，但加速度大小关系不确定，故CD错误。 故选B。 【典型例题3】如图所示，平行光滑金属导轨间距为，导轨处在竖直向上的匀强磁场中，两根长度均为材料相同的金属棒、垂直于导轨平行放置，与导轨始终接触良好，、金属棒质量分别为、。棒的电阻为。开始时棒锁定在轨道上，对棒施加水平向右的恒定拉力，经时间，棒的速度达到最大值，此时撤去拉力，同时解除对棒的锁定，导轨足够长且电阻不计。则（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．撤去拉力前棒前进的距离为 C．撤去拉力前棒前进的距离为 D．全过程中棒产生的焦耳热为 【答案】CD 【解析】A．因ab、cd棒材料、长度相同，质量分别为m、2m，则cd棒的横截面积是ab棒2倍，由可知 ab棒速度达到最大时，受力平衡，有又 联立解得，故A错误； BC．撤去拉力前，对ab棒，根据动量定理，有，其中 解得，故B错误，C正确。 D．解除锁定后两棒相互作用过程中动量守恒，最后以相同的速度运动，则有 对全过程由能量守恒定律得 则，故D正确。 故选CD。 【典型例题4】（多选) 例2．如图，U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，ab和dc边平行，和bc边垂直。ab、dc足够长，整个金属框电阻可忽略，一根具有一定电阻的导体棒MN置于金属框上，用水平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，MN与金属框保持良好接触，且与bc边保持平行，经过一段时间后（　　） A．金属框和导体棒速度相等 B．金属框和导体棒加速度相等 C．导体棒所受安培力不变 D．金属框的加速度不变 【答案】BCD 【解析】金属框在恒力F作用下向右加速，由右手定则可知，bc边产生的感应电流从c流向b，由左手定则可知，导体棒受到向右的安培力作用，导体棒向右做加速运动，设金属框的加速度为a1，导体棒的加速度为a2，设金属框的速度为v1，导体棒的速度为v2，设导体棒的电阻为R，回路的感应电流：I，设金属框的质量为M，导体棒的质量为m，对金属框，牛顿第二定律得：F﹣BIL＝Ma1，对导体棒MN，由牛顿第二定律得：BIL＝ma2，金属框与导体棒都做初速度为零的加速运动，v1、v2都变大，a1从开始减小，导体棒的加速度a2从0开始增大，当金属框与导体棒的加速度相等时，即a1＝a2＝a时，解得：F＝（M+m）a，加速度保持不变，回路感应电流：I，此后金属框与导体棒的速度差△v保持不变，感应电流不变，导体棒所受到的安培力不变，加速度不变，金属框与导体棒以相等的加速度做匀加速直线运动，故A错误，BCD正确。 故选：BCD。 【典型例题5】（多选) 如图，平行金属导轨由两部分组成，MN与M′N′是圆心角为60°、半径r＝0.9m的圆弧形导轨，NQ与N′Q′是水平长直导轨，圆弧形导轨与长直导轨在N、N′处相切，平行导轨间距L＝1m。NN′右侧存在磁感应强度大小为4T、方向竖直向上的匀强磁场，导体棒a垂直导轨放置，其质量m1＝0.3kg，接入电路中的电阻R1＝6.0Ω。导体棒b的质量m2＝0.2kg，从距离MM′高度h＝0.6m处以一定初速度v0水平抛出，恰能无碰撞地从MM′滑入右侧平行导轨，导体棒b滑入平行导轨后与导轨垂直且接触良好，导体棒b接入电路中的电阻R2＝2.0Ω。两导体棒始终没有相碰。重力加速度g＝10m/s2，不计导轨电阻、一切摩擦及空气阻力，则（　　） A．导体棒b抛出时的速度 B．导体棒b刚进入磁场时回路中感应电流沿逆时针方向（俯视） C．导体棒b进入磁场后的加速度最大值为50m/s2 D．导体棒a、b在磁场中运动产生的总焦耳热（导轨足够长）为2.0J 【答案】BC 【解析】解：A．导体棒b运动到MM′时，在竖直方向的速度大小 代入数据解得 根据题意可知 代入数据解得v0＝2m/s 故A错误； B．导体棒b刚进入磁场时回路中时，根据右手定则可得，回路中感应电流沿逆时针方向（俯视），故B正确； C．导体棒b进入磁场后，根据楞次定律可知，安培力与运动方向相反，即导体棒b进入磁场后做减速运动，则导体棒b刚进入磁场时速度最大，电动势最大，安培力和加速度最大，导体棒b运动到MM′时的速度大小为 代入数据得v＝4m/s 导体棒b从MM′运动到NN′过程，根据动能定理 代入数据解得v1＝5m/s 则产生的电动势为E＝BLv1 代入数据解得E＝20V 回路中的电流为 代入数据解得I＝2.5A 则导体棒b受到的安培力大小为FA＝BIL 代入数据解得FA＝10N 根据牛顿第二定律FA＝m2a 代入数据解得a＝50m/s2 故C正确； D．导体棒a、b在磁场运动过程中，动量守恒，当两棒速度大小相等时，回路中没有电流，运动达到稳定，以v1的方向为正方向，根据动量守恒m2v1＝（m1+m2）v共 代入数据解得v共＝2m/s 根据能量守恒 代入数据解得Q＝1.5J 故D错误。 故选：BC。 【典型例题6】（多选) 如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨相同的光滑金属棒P、Q静止在导轨上。t＝0时用水平恒力F向右拉动金属棒Q运动过程中金属棒PQ始终与导轨垂直并接触良好金属棒P、Q与导轨构成的回路中的电流用I表示、磁通量用Φ中表示：金属棒Q的加速度用a表示，其相对金属棒P的速度用vQP表示。下列关于I、Φ、a、vQP与时间t的关系图像中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】ABD、由题意可知，Q棒由静止开始加速，对Q棒，根据牛顿第二定律可得 F﹣F安＝maQ 对P棒，根据牛顿第二定律有 F安＝maP 又F安＝BIL 根据闭合电路的欧姆定律有 I 式中vQP＝vQ﹣vP 故开始一段时间内棒的速度增大，F安也逐渐增大，而aQ逐渐减小，aP逐渐增大，且有aQ＞aP，故vQP逐渐增大；当aQ和aP相同时达到稳定状态，vQP不再改变，电流不再增加，故金属棒Q先做加速度减小的加速运动，后做匀速直线运动，故AB错误，D正确； C、两金属棒达到稳定状态时，aQ和aP相同且vQ＞vP，故Q、P间的距离xQP增大，根据 Φ＝BLxQP 可知Φ不断增大，故C错误。 题目要求选择错误的， 故选：ABC。 【典型例题7】如图所示，平行光滑金属导轨间距为L，导轨处在竖直向上的匀强磁场中，两根相同的金属棒ab、cd垂直于导轨平行放置，与导轨始终接触良好，每根金属棒质量为m，接入电路的电阻均为R。开始时cd棒锁定在轨道上，对ab棒施加水平向右的恒力F，经时间t，ab棒的速度达到最大值v，此时撤去拉力，同时解除对cd棒的锁定，导轨足够长且电阻不计。求： （1）匀强磁场的磁感应强度B； （2）撤去力F前，ab棒前进的位移x1； （3）从开始施加F到解除对cd棒锁定后足够长的时间内，回路产生的焦耳热Q。 【答案】见解析 【解析】（1）设磁感应强度为B，对ab棒速度达到最大时，受力平衡a＝0， 由受力分析有F＝BIL， 根据法拉第电磁感应定律知产生感应电动势E＝BLv， 根据闭合电路欧姆定律有I＝，联立解得B＝； （2）撤去力前，设导体棒ab前进的距离为x1，对ab棒达到最大速度的过程， 由动量定理得Ft－＝mv，又＝，＝， 其中B＝，解得x1＝vt－； （3）cd棒解除锁定后，两棒相互作用过程动量守恒，设最后共同运动速度为v共， 由动量守恒得mv＝2mv共， 对全过程由功能关系得Q＝Fx1－，解得Q＝Fvt－。 【典型例题8】如图所示，两个相同的“⊂”形光滑金属导轨平行放置在水平面上，间距为L，两导轨的上轨和下轨所在平面均与水平面平行，两根由同种材料制成的匀质金属杆ab和cd静止于两导轨上，空间存在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场，现用一水平向右的恒力F拉ab杆，两金属杆在运动过程中始终与轨道垂直且接触良好。已知两金属杆的长度均为L，金属杆ab的横截面是金属杆cd的2倍，金属杆ab的电阻为R，金属杆cd的质量为m，导轨足够长且电阻不计。求： （1）金属杆ab的最小加速度amin； （2）回路中的最大电流Imax； （3）金属杆cd产生的最大热功率Pmax。 【答案】见解析 【解析】（1）根据已知条件可知，金属杆ab的质量为2m，金属杆cd的电阻为2R，金属杆ab在恒力F和安培力作用下做加速度不断减小的加速运动，金属杆cd在安培力作用下做加速度不断增大的加速运动，当两者加速度相同时，回路中电流稳定， 有F－F安＝2mamin，F安＝mamin，解得amin＝ （2）当金属杆cd加速度达到最大时，回路中的电流最大，则有BImaxL＝mamin， 解得Imax＝ （3）根据焦耳定律有：Pmax＝Imax2·2R，解得Pmax＝ 【典型例题9】在核反应堆的液态钠冷却循环系统中，工程师设计了一种双活塞电磁驱动装置。装置核心由两根平行放置的合金活塞构成，a活塞表面因接触高温钠液存在黏滞摩擦，b活塞采用特殊技术实现无摩擦运动，其原理简化为如图所示。图中质量均为m＝0.5 kg、长度为L＝1 m的金属棒a、b模拟两个活塞，系统通过电磁场控制活塞运动，其中开关K在闭合状态下电容为C＝0.25 F的电容器可用于缓冲启动电流（初始未充电）。a与导轨间动摩擦因数μ＝0.2，b光滑，a、b电阻均为R＝1.5 Ω。初始时a、b都静止，电磁控制系统关闭。通过施加F＝5 N的水平液压推力向右驱动a活塞，同时激活电磁控制系统使整个区域存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝2 T。已知a、b始终与足够长导轨接触良好，导轨电阻不计，导轨间距L＝1 m，重力加速度g＝10 m/s2。 （1）刚激活电磁控制系统时，a、b的加速度大小各是多少； （2）双活塞速度差直接影响液态钠的输送效率，请根据题中信息求出在开关K断开状态下，最终回路电流稳定时a、b的速度差Δv的大小； （3）若开关K一直处于闭合状态，b因故障与导轨间始终处于绝缘状态而静止不动，证明在拉力F作用下a做匀加速运动并求出加速度大小（结果保留三位有效数字）。 【答案】见解析 【解析】（1）刚激活电磁控制系统时a、b速度为零，电路中电流也为零， a的加速度为a1＝＝8 m/s2， b所受合外力为零，a2＝0。 （2）回路电流稳定时，此时a、b加速度相同，速度差Δv恒定， 对a：F－μmg－IBL＝ma， 对b：IBL＝ma， 由以上两式可得I＝1 A， 此时a、b中电流I＝， 速度差Δv＝va－vb，可得Δv＝1.5 m/s。 （3）等效电路如图所示，电路中电流为IC， 根据电路特点，有UC＝BLva－ICR， 根据电流定义有IC＝＝， 可得IC＝＝CBLa′－， 回路电流稳定时，＝0，IC＝CBLa′， 对a，有F－μmg－ICBL＝ma′， 由以上可得a′≈2.67 m/s2。 【变式训练2-1-1】如图所示，水平面上固定有间距为的两光滑平行金属导轨，导轨电阻不计，虚线与导轨垂直，右侧有一方向竖直向下、磁感应强度为的匀强磁场。质量均为、电阻均为的两导体棒a与b相邻静止在左侧，某时刻水平向右的恒力只作用在a上，a进入磁场区域时，恰好做匀速运动，此时迅速将恒力F只作用到b上，经0.3 s，相距最远。则（　　） A．a在F作用前到的距离为0.5 m B．a进入磁场时的速度大小为0.5 m/s C．相距最远时a的速度大小为0.4 m/s D．相距最远的距离为0.36 m 【答案】D 【解析】AB．a进入磁场区域时匀速，由法拉第电磁感应定律有 a在恒力作用下到达的过程有 解得 ， AB错误； C．假设经0.3 s,b未进入磁场，运动的位移为 假设成立，经0.3 s，b的速度为 两棒相距最远时，速度相等，C错误； D．对a应用动量定理有 其中 解得 则最远距离为 D正确。 故选D。 【变式训练2-1-2】如图所示，相距为L的两条足够长的平行金属导轨右端连接有一定值电阻R，整个装置被固定在水平地面上，整个空间存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两根质量均为m，电阻都为R，与导轨间的动摩擦因数都为μ的相同金属棒MN、EF垂直放在导轨上。现在给金属棒MN施加一水平向左的作用力F，使金属棒MN从静止开始以加速度a做匀加速直线运动，若重力加速度为g，导轨电阻不计，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等．则下列说法正确的是（　　） A．从金属棒MN开始运动到金属棒EF开始运动经历的时间为t B．若从金属棒MN开始运动到金属棒EF开始运动经历的时间为T，则金属棒EF开始运动时，水平拉力F的瞬时功率为P＝（ma+μmg）aT C．若从金属棒MN开始运动到金属棒EF开始运动经历的时间为T，则此过程中流过电阻R的电荷量为L D．从金属棒MN开始运动到金属棒EF开始运动的过程中，两金属棒的发热量相等 【答案】A 【解析】MN与电阻R的并联阻值R并0.5R A、以EF为研究对象，设EF刚开始运动时其电流大小为I，则通过MN的电流为2I，EF棒刚要开始运动时，由平衡条件得：BIL＝μmg， 根据闭合电路欧姆定律得：E＝2I（R+0.5R）＝3IR 感应电动势：E＝BLv MN做匀速直线运动，MN的速度v＝at 解得：t，故A正确； B、金属棒EF开始运动时，由平衡条件得：BIL＝μmg，解得：I 金属棒MN所受的安培力大小为F安培＝B×2IL 以MN为研究对象，根据牛顿第二定律得：F﹣μmg﹣F安培＝ma 拉力的功率为P＝Fv MN的速度大小v＝aT 解得：P＝（ma+3μmg）aT，故B错误； C、MN棒在T时间内通过的位移为x 由法拉第电磁感应定律可知，平均感应电动势： 平均感应电流： 流过电阻R的电荷量：QΔt 解得通过MN棒的电量为Q 由于两棒的电阻都为R，则此过程中流过电阻R的电荷量为qQ，故C错误； D、由于MN棒切割磁感线，产生感应电动势，相当于电源，通过MN的电流是EF电流的2倍，根据焦耳定律Q＝I2Rt可知，MN的发热量是EF的4倍，故D错误。 故选：A。 【变式训练2-1-3】如图所示，两根光滑平行金属长导轨、水平固定放置，导轨间存在竖直向上的匀强磁场，两根完全相同的金属棒、垂直放置在导轨上，两金属棒的长度恰好等于金属导轨的间距，时刻对金属棒施加一个水平向右的恒力F，此后两金属棒由静止开始运动，金属棒在运动过程中始终与导轨接触良好，两金属棒的速度大小分别记为、，加速度大小分别记为、，金属棒两端电压记为，闭合回路消耗的电功率记为P，电路中除金属棒以外的电阻均不计，下列关系图像错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】AB．金属棒cd在恒力F作用下由静止开始加速，此时金属棒ab，cd加速度 之后回路中出现感应电流，金属棒cd受到的安培力与恒力F反向，金属棒cd的加速度减小，金属棒ab在安培力作用下开始加速，金属棒cd与金属棒ab的速度差逐渐增大，回路中的电动势逐渐增大，安培力 逐渐增大，金属棒cd加速度减小，金属棒ab加速度增大，当 时，不再变化，回路中的电流不再变化，但是两金属棒的速度仍在增大。故A正确，与题意不符；B错误，与题意相符； C．设两金属棒电阻均为R，系统达到稳定之前 随时间逐渐增大，系统达到稳定后，因回路中电流不变，则 随着的增加而均匀增加。故C正确，与题意不符； D．闭合回路消耗的电功率 在开始阶段随回路中电流的增大，电功率逐渐增大，当系统稳定后回路中电流不变，电功率不再变化。故D正确，与题意不符。 本题选错误的故选B。 【变式训练2-1-4】如图所示，两光滑平行长直金属导轨水平固定放置，导轨间存在竖直向下的匀强磁场。两根相同的金属棒ab、cd垂直放置在导轨上，处于静止状态。t＝0时刻，对cd棒施加水平向右的恒力F，棒始终与导轨接触良好，导轨电阻不计。两棒的速度vab、vcd和加速度aab、acd随时间t变化的关系图像可能正确的是(　　) 【答案】　C 【解析】金属棒cd在恒力F作用下由静止开始加速，此时金属棒ab、cd加速度为aab＝0，acd＝，之后回路中出现感应电流，金属棒cd受到的安培力与恒力F反向，金属棒cd的加速度减小，金属棒ab在安培力作用下开始加速，金属棒cd与金属棒ab的速度差逐渐增大，回路中的电动势逐渐增大，安培力F安＝，逐渐增大，金属棒cd加速度减小，金属棒ab加速度增大，故C正确，D错误；当acd＝aab时，vcd－vab不再变化，回路中的电流不再变化，安培力不变，两棒加速度不变，但是两金属棒的速度仍在增大，故A、B错误。 【变式训练2-1-5】（多选) 如图所示，在两光滑水平金属导轨上静止放置a、b两根导体棒，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中。用水平恒力F拉动a棒，在运动过程中，a、b棒始终与导轨接触良好，若不计导轨电阻，下列说法正确的是（　　） A. 拉力F做的功等于a、b棒增加的动能与a、b棒中产生的焦耳热之和 B. 安培力对b做的功等于b棒增加的动能与b棒中产生的焦耳热之和 C. 安培力对a、b棒做功的代数和的绝对值小于a、b棒中产生的焦耳热之和 D. a棒克服安培力做功等于b棒增加的动能与a、b棒中产生的焦耳热之和 【答案】AD 【解析】对a、b棒整体，根据能量守恒得 ①故A正确； 对b棒，只有安培力做功，运用动能定理得 ②故B错误； 对a棒，拉力和安培力做功，运用动能定理得 ③ 联立①②③式得，安培力对a、b棒做功的代数和为 所以，安培力对a、b棒做功的代数和的绝对值等于a、b棒中产生的焦耳热之和，故C错误； 联立①②③式得，a棒克服安培力做的功为，故D正确。 【变式训练2-1-6】（多选) 水平面上有足够长且电阻不计的两平行导电轨道，轨道之间有竖直向下的匀强磁场（未画出），两根质量相同，电阻相同的导体棒ab和cd垂直于轨道静止放置，如图所示。导体棒与轨道之间的动摩擦因数处处相等，现对导体棒施加一外力F，使cd棒向右匀速运动，则ab棒从静止开始向右运动，则关于两导体棒的运动及受力下列说法正确的是（       ） A．导体棒ab先向右加速运动，并最终以和cd棒相同的速度匀速运动 B．导体棒ab先向右加速运动，并最终以比cd棒小的速度匀速运动 C．对cd棒施加的外力F大小始终不变 D．对cd棒施加的外力F逐渐减小，当ab棒匀速运动时，F大小不再改变 【答案】BD 【解析】ABC．当导体棒cd在F的作用下做匀速运动时，此时产生导体棒cd切割磁感线，产生感应电流，导体棒ab会受到安培力和摩擦力的作用，当安培力大于摩擦力时，导体棒ab会向右做加速运动；设导体棒cd的速度为v1，导体棒ab的速度为v2，导体棒ab的加速度为a，有 随着导体棒ab的速度不断增加，F不断减小，故C错误； 若当导体棒ab的速度相同时，此时将导体棒ab不再受到安培力的作用，则仅受摩擦力的作用，但是此时必然会减速，故不成立，故导体棒ab的速度只会小于导体棒cd的速度，故A错误，B正确； D．当导体棒ab以小于导体棒cd的速度匀速运动时，此时导体棒ab受到固定的安培力，且此时安培力的大小等于导体棒ab受到的摩擦力，物体平衡，F大小不再改变，故D正确； 故选BD。 【变式训练2-1-7】（多选) 如图，电阻不计的两足够长的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间距为，导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为。质量均为、接入电路的有效电阻均为的金属棒、垂直于导轨放置，均处于静止状态。时刻给棒一个方向水平向右、大小的拉力，时，金属棒和加速度刚好相等。此后撤去拉力，整个过程棒与导轨接触良好。则（　　） A．t=4s时金属棒ab和cd的加速度大小为2m/s² B．t=4s时金属棒ab的速度大小为4m/s C．t=4s时金属棒cd的速度大小为10m/s D．从t=4s到回路中电流为零的过程中，金属棒ab和cd之间距离的增加量为4m 【答案】ACD 【解析】A．t=4s时将金属棒和作为一个整体，对整体进行受力分析，由牛顿第二定律可得 解得 故A正确； BC．两棒的加速度相等时，设受到的安培力大小为，对金属棒，由牛顿第二定律可得 根据安培力公式 解得回路中电流大小 设回路中的感应电动势为E，则 设两棒的加速度相等时，金属棒ab、cd的速度分别是、，则 设时间内安培力冲量大小为，对金属棒cd，由动量定理可得 对金属棒ab，安培力的冲量 联立解得， 故B错误，C正确； D．撤去外力F后，金属棒cd做加速度逐渐减小的减速运动，金属棒ab做加速度逐渐减小的加速运动，最后两棒速度相等，做匀速运动，设最终共同速度为v，根据动量守恒定律 对ab棒，根据动量定理 电荷量 设两棒间距离增大了x，则 联立解得 故D正确。 故选ACD。 【变式训练2-1-8】（多选) 如图所示为两根间距为L的光滑平行金属导轨，左侧向上弯曲，右侧水平，水平导轨处在磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场中。两根金属棒MN、PQ垂直导轨放置，与导轨接触良好，MN、PQ棒的长度均为L、质量均为m、阻值均为R。金属棒MN从竖直高度h处由静止释放沿导轨下滑。导轨电阻不计，整个过程金属棒MN和PQ未相碰，则（　　） A. 金属棒MN进入磁场时，金属棒PQ两端电压大小为 B. 释放后金属棒MN的最小速度为0 C. 整个过程中流过金属棒PQ的电荷量为 D. 整个过程中闭合回路产生的焦耳热为 【答案】AC 【解析】金属棒MN进入磁场这个过程，由动能定理得 此时MN产生的电动势 电路中的电流为 （r=R） 所以此时PQ两端的电压 故A正确； MN进入磁场后，MN，PQ受到安培力等大反向，MN，PQ组成的系统所受合外力零，所以MN，PQ组成的系统动量守恒，故最后MN，PQ达到共同速度一起运动，不会变为零；故B错误； C．MN，PQ最终速度为vm，则 故 又 所以 故C正确； 对金属杆整个过程，由能量守恒有 故，整个过程中闭合回路产生焦耳热为 故D 错误； 【变式训练2-1-9】（多选) 如图，平行光滑金属导轨M、N固定在水平面上，处于竖直向下的匀强磁场中，完全相同的两金属棒P、Q搭放在导轨上，开始均处于静止状态，给P施加一与导轨平行的恒定拉力作用，运动中两金属棒始终与导轨垂直并与导轨接触良好。设导轨足够长，除两棒的电阻外其余电阻均不计，则两棒的速度及棒中的感应电流随时间变化的图像正确的是(　　) 【答案】AD 【解析】在恒定拉力的作用下，P向右运动切割磁感线，产生感应电流，由右手定则判断知，回路中产生逆时针方向的感应电流，由左手定则判断可知，Q棒所受的安培力方向向右，故Q向右做加速运动；Q向右运动后，开始阶段，两棒的速度差增大，回路中产生的感应电动势增大，感应电流增大，两棒所受的安培力都增大，则P的加速度减小，Q的加速度增大，当两者的加速度相等时，速度之差不变，感应电流不变，安培力不变，两棒做加速度相同的匀加速运动。故A、D正确，B、C错误。 【变式训练2-1-10】物理小组想出了一种理想化的“隔空”加速系统，该系统通过利用其中一个金属棒在磁场中运动产生感应电流从而使另一个金属棒获得速度，这样就避免了直接对其进行加速时所带来的磨损和接触性损伤，该加速系统可以建模抽象为在足够长的固定水平平行导轨上放有两个金属棒MN和PQ，磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场与导轨所在水平面垂直，方向竖直向下，导轨电阻很小，可忽略不计。如图3为模型俯视图，导轨间的距离L＝1.0 m，每根金属棒质量均为m＝1.0 kg，电阻都为R＝5.0 Ω，可在导轨上无摩擦滑动，滑动过程中金属棒与导轨保持垂直且接触良好，在t＝0时刻，两金属棒都处于静止状态，现有一与导轨平行、大小为F＝2.0 N恒力作用于金属棒MN上，使金属棒MN在导轨上滑动，经过t＝10 s，金属棒MN的加速度a＝1.6 m/s2，求： 图3 (1)此时金属棒PQ的加速度； (2)此时两金属棒MN和PQ的速度； (3)金属棒MN和PQ的最大速度差。 【答案】　(1)0.4 m/s2　(2)18 m/s　2 m/s　(3)40 m/s 【解析】　(1)恒力作用于MN杆，使其在导轨上向右加速运动，切割磁感线产生感应电流，根据右手定 则知电流方向为M→N，电流流经PQ，根据左手定则MN受安培力水平向左，PQ受到的安培力水平向右，它们都做加速运动，对MN由牛顿第二定律得F－ILB＝ma 对PQ由牛顿第二定律得ILB＝ma′ 联立解得a′＝0.4 m/s2。 (2)设某时刻MN速度为v1，PQ速度为v2，根据法拉第电磁感应定律有I＝ 在t＝10 s时，对MN，由牛顿第二定律得 F－ILB＝ma 整理得F－＝ma 代入数据得v1－v2＝16 m/s 由于作用于两根杆的安培力等大反向，所以作用于两杆系统的合力为水平恒力F，对系统由动量定理得Ft＝(mv1＋mv2)－0 代入数据得v1＋v2＝20 m/s 联立解得v1＝18 m/s，v2＝2 m/s。 (3)MN杆做加速度减小的加速运动，PQ杆做加速度增大的加速运动，最终共加速度，设两金属棒的共同加速度为a共，对系统有F＝2ma共 对PQ杆有ImLB＝ma共 其中Im＝＝ 联立解得Δvm＝＝40 m/s。 【变式训练2-1-11】某物理小组想出了一种理想化的“隔空”加速系统，该系统通过利用其中一个金属棒在磁场中运动产生感应电流从而使另一个金属棒获得速度，这样就避免了直接对其进行加速时所带来的磨损和接触性损伤，该加速系统可以建模抽象为在足够长的固定水平平行导轨上放有两个金属棒MN和PQ，磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场与导轨所在水平面垂直，方向竖直向下，导轨电阻很小，可忽略不计。如图3为模型俯视图，导轨间的距离L＝1.0 m，每根金属棒质量均为m＝1.0 kg，电阻都为R＝5.0 Ω，可在导轨上无摩擦滑动，滑动过程中金属棒与导轨保持垂直且接触良好，在t＝0时刻，两金属棒都处于静止状态，现有一与导轨平行、大小为F＝2.0 N恒力作用于金属棒MN上，使金属棒MN在导轨上滑动，经过t＝10 s，金属棒MN的加速度a＝1.6 m/s2，求： 图3 (1)此时金属棒PQ的加速度； (2)此时两金属棒MN和PQ的速度； (3)金属棒MN和PQ的最大速度差。 【答案】(1)0.4 m/s2　(2)18 m/s　2 m/s　(3)40 m/s 【解析】(1)恒力作用于MN杆，使其在导轨上向右加速运动，切割磁感线产生感应电流，根据右手定则知电流方向为M→N，电流流经PQ，根据左手定则MN受安培力水平向左，PQ受到的安培力水平向右，它们都做加速运动，对MN由牛顿第二定律得F－ILB＝ma 对PQ由牛顿第二定律得ILB＝ma′ 联立解得a′＝0.4 m/s2。 (2)设某时刻MN速度为v1，PQ速度为v2，根据法拉第电磁感应定律有 I＝ 在t＝10 s时，对MN，由牛顿第二定律得 F－ILB＝ma 整理得F－＝ma 代入数据得v1－v2＝16 m/s 由于作用于两根杆的安培力等大反向，所以作用于两杆系统的合力为水平恒力F，对系统由动量定理得Ft＝(mv1＋mv2)－0 代入数据得v1＋v2＝20 m/s 联立解得v1＝18 m/s，v2＝2 m/s。 (3)MN杆做加速度减小的加速运动，PQ杆做加速度增大的加速运动，最终共加速度，设两金属棒的共同加速度为a共，对系统有F＝2ma共 对PQ杆有ImLB＝ma共 其中Im＝＝ 联立解得Δvm＝＝40 m/s。 （二）倾斜轨道 【典型例题1】如图所示，两足够长平行光滑固定导轨，倾角为，导体棒用绝缘细线栓连，处于水平状态，在平行于斜面向上的恒力F作用下静止于轨道，一范围足够大的匀强磁场垂直于轨道斜面（未画出）。磁感应强度为B，轨道宽度为l，导体棒接入电路的电阻分别为R和。剪断细线，经t时间达到最大速度。已知导体棒质量为，导体棒质量为m。下列说法正确的是（　　） A．在任意时刻，与速度大小之比为1∶1 B．的最大速度为 C．在0到t时间内，流过的电荷量为 D．在0到t时间内，上滑的距离为 【答案】B 【解析】A．对导体棒组成的系统进行受力分析，可知合外力为零系统动量守恒，有 即在任意时刻，与速度大小之比为 故A错误； B．未剪断细线时，有 导体棒达到最大速度时，有 又 根据导体棒切割磁感线产生电动势，可得 又联立，解得故B正确； C．根据动量定理，可得 又联立，解得故C错误； D．设在0到t时间内，上滑的距离为x，则cd下滑的距离为2x，有 联立，解得故D错误。 故选B。 【典型例题2】（多选）如图，两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好，ab、cd的质量分别为2m和m，长度均为L。导轨足够长且电阻不计，重力加速度为g，两棒在下滑过程中（　　） A．回路中的电流方向为abcda B．ab中电流趋于 C．ab与cd加速度大小之比始终为2︰1 D．两棒产生的电动势始终相等 【答案】AB 【解析】A．两导体棒沿轨道向下滑动，根据右手定则可知回路中的电流方向为abcda；故A正确； BC．设回路中的总电阻为R，对于任意时刻当电路中的电流为I时，对ab根据牛顿第二定律得 对cd 故可知 分析可知两个导体棒产生的电动势相互叠加，随着导体棒速度的增大，回路中的电流增大，导体棒受到的安培力在增大，故可知当安培力沿导轨方向的分力与重力沿导轨向下的分力平衡时导体棒将匀速运动，此时电路中的电流达到稳定值，此时对ab分析可得 解得 故B正确，C错误； D．根据前面分析可知，故可知两导体棒速度大小始终相等，由于两边磁感应强度不同，故产生的感应电动势不等，故D错误。 故选AB。 【典型例题3】（多选）如图所示，两根足够长的平行金属导轨与水平面夹角为，两导轨间距为0.4m，导轨电阻不计。导轨所在空间被分成足够长的区域I和II，两区域的边界与斜面的交线为MN，区域I中分布有垂直斜面向下的匀强磁场，区域II中分布有垂直斜面向上的匀强磁场，两磁场的磁场感应度大小均为。在区域I中，将质量，电阻的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑。然后，在区域II中将质量，电阻的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑。cd在滑动过程中始终处于区域II的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取，则（　　） A．经过足够长的时间后，ab和cd最终以相同的速度运动 B．经过足够长的时间后，ab和cd最终以相同大小的加速度运动 C．当cd的速度大小为5m/s时，ab刚要开始滑动 D．当cd的速度大小为2.5m/s时，ab刚要开始滑动 【答案】BC 【解析】CD．由题意可知，开始金属条与金属导轨间的最大静摩擦力 方向沿着金属导轨向上；开始金属棒加速下滑，根据右手定则可知，产生的感应电流从到，根据左手定则可知金属条所受安培力沿着金属导轨向上，随着金属棒速度增大，感应电流变大，金属条所受安培力变大，当安培力等于时，金属条刚要开始滑动，此时 解得 金属棒产生的感应电动势 则金属棒的速度 故C正确，D错误； AB．金属条开始运动后，产生的感应电流与金属棒产生的感应电流相反，由于金属棒有较大的速度，所以金属棒产生的感应电流大于金属条产生的感应电流，设当电流为时，满足 解得 此时金属条和金属棒的加速度相等，此后金属条和金属棒的速度差恒定，产生的感应电流大小不变，金属条和金属棒以相同大小的加速度运动，故B正确，A错误。 故选BC。 【典型例题4】（多选）如图所示，将光滑的平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间距为L，左、右倾斜导轨与水平面夹角均为θ=30°，中间导轨水平且足够长。导轨间存在竖直向下的匀强磁场，左侧倾斜导轨间磁感应强度大小为2B，中间和右侧倾斜导轨间磁感应强度大小为 B。将长度均为L的导体棒ab、cd放置在倾斜导轨上，距水平面高度均为h。两导体棒同时由静止释放，在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好，导体棒ab到达左侧倾斜导轨底端时速度大小为v，两根导体棒在水平导轨上恰好不发生碰撞。导体棒ab、cd的质量分别为2m和m，电阻分别为2R和R。导轨连接处平滑，导轨电阻不计，导体棒粗细不计，重力加速度为g，不考虑磁场的边界效应。下列说法正确的是（　　） A. 导体棒ab到达左侧倾斜导轨底端时，导体棒cd的速度大小为 B. 两导体棒在水平导轨上恰好不发生碰撞时，速度大小均为0 C. 水平导轨长度 D. 若两导体棒恰好不发生碰撞时粘连在一起，则全过程导体棒cd上产生的焦耳热为 【答案】CD 【解析】设回路中电流为I，导体棒ab、cd的加速度大小分别为，根据牛顿第二定律有 ， 解得有， 可知任意时刻 根据 可知任意时刻两导体棒速度大小都相等。两导体棒释放位置距水平面高度相同，所以当导体棒ab到达左侧倾斜导轨底端时，导体棒cd也恰好到达右侧倾斜导轨底端，速度大小也是v，故A错误； B．当两导体棒都进入水平导轨后，由于系统所受合外力为零（水平方向不受外力），系统动量守恒，设两导体棒相距最近时共同速度为，以向右为正方向，根据动量守恒定律 解得 故B 错误； C．从两导体棒都进入水平导轨到相距最近过程，对a棒，根据动量定理 又 联立可得 又由 且 联立解得 故C 正确； D．两导体棒粘连后形成的闭合回路面积为0，之后的运动过程中不再产生电流，满足机械能守恒，则全过程两导体棒与导轨形成的闭合回路产生的焦耳热根据能量守恒定律有 又 联立解得 故D正确。 【典型例题5】如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，倾角，两导轨间距，导轨电阻不计。导轨所在空间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小。两金属杆、垂直置于导轨上并与导轨良好接触，质量分别为、，电阻均为。初始时刻两金属杆相距，金属杆沿导轨向上运动的初速度大小为，金属杆初速度为0且始终受到沿导轨向上的恒力作用。已知当时两杆相距最近，重力加速度为。 (1)求两金属杆相距最近时共同的速度大小； (2)求内通过杆的电荷量； (3)求内杆上产生的焦耳热。 【答案】(1)5m/s(2)5C(3)35J 【解析】（1）沿斜面方向，由于恒力 故两金属杆构成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，由动量守恒定律可得 解得 （2）0~1s内对杆，令沿斜面向上为正方向，由动量定理得 解得 （3）0~1s内，令杆沿斜面向上运动的位移为，杆沿斜面向上运动的位移为，由于 可得 对、杆组成的系统，由能量守恒与转化得 解得 由于、杆通过的电流相等且两杆电阻相同，则0~1s内杆上产生的焦耳热为 【典型例题6】MNDE和PQGF为硬质材料制成的光滑平行金属导轨如图放置，其中导轨PQ与MN水平放置（足够长），导轨QG和ND与水平成30°放置，导轨GF和DE水平放置（足够长）。导轨水平间距为L=1.0m，导轨所在区域都存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，且磁感应强度大小相等为B=1T。导轨左侧放置金属棒a，a被绝缘细绳拴住，细绳能承受的最大拉力为2N，金属棒b放置在水平导轨与倾斜导轨相连处，b距离a足够远，两金属棒的质量都为2.0kg，金属棒a的电阻R1=0.25Ω，金属棒b的电阻R2=0.50Ω，其他部分均不计电阻。现使b从静止开始沿倾斜导轨滑下，经0.4s它刚滑动到倾斜导轨底端，此时细绳恰好被拉断。已知金属棒b在由倾斜轨道运动到水平轨道时无能量损失，从金属棒b开始运动到两者运动稳定，整个过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，g取10m/s2。求： （1）细绳刚被拉断时金属棒b的速度； （2）导轨倾斜部分QG的长度； （3）整个运动过程中电路产生的热量。 【答案】（1）1.5m/s；（2）0.75m；（3）6.375J 【解析】（1）当绳子被拉断时，安培力等于绳子拉力F=2N，有 F=BIL==2N 解得 v=1.5m/s （2）设导轨倾斜部分的长度为x，金属棒b从倾斜轨道顶部滑动到底部过程中由动量定理 mgsinθ·t－BILt=mv－0 其中 It=q 电量 q== 代入得 x=0.75m （3）绳拉断之前产生的焦耳热 Q1=mgsinθ·x－mv2=5.25J 细绳拉断后，两个金属棒组成系统动量守恒 2mv共=mv 解得 v共=0.75m/s 细绳拉断后，产生的焦耳热 Q2=mv2－×2mv2共=1.125J 整个运动过程中电路产生的热量 Q=Q1＋Q2=6.375J 【变式训练2-2-1】如图所示，两平行金属导轨ABC和A′B′C′，其中AB、A′B′段光滑且足够长，与水平方向夹角为30°，BC、B′C′段水平粗糙。空间存在方向分别与两导轨平面垂直向上、磁感应强度大小相等的匀强磁场。现有两根完全相同的导体棒a、b，导体棒b静置于水平导轨某处，导体棒a在AA′处静止释放，当a棒开始匀速运动时，b棒恰好能保持静止。导轨电阻不计，滑动摩擦力等于最大静摩擦力。关于这一过程说法正确的是（　　） A．金属棒b受到的安培力方向水平向左 B．金属棒b与水平导轨间动摩擦因数为0.5 C．金属棒a克服安培力做的功等于金属棒a产生的焦耳热 D．金属棒a所受安培力的冲量等于金属棒a的动量变化 【答案】B 【解析】解：A、根据楞次定律可知，感应电流的磁场要阻碍磁通量的变化，a棒下滑时，穿过回路的磁通量减小，金属棒b有向右运动的趋势，b棒受到的安培力方向水平向右，故A错误； B、a棒匀速运动时，由平衡条件有：mgsin30°＝BIL。当a棒开始匀速运动时，b棒恰好能保持静止，对b棒，由平衡条件有：BIL＝μmg，联立可得金属棒b与水平导轨间动摩擦因数为μ＝0.5，故B正确； C、根据功能关系，金属棒a克服安培力做的功等于金属棒a和b产生的焦耳热之和，故C错误； D、a棒下滑时，受到重力、安培力和轨道的支持力，根据金属棒a所受合力的冲量等于金属棒a的动量变化，故D错误。 故选：B。 【变式训练2-2-2】如图所示，绝缘平面上固定两条足够长的“V”字型光滑平行导轨，导轨间距为l，左右两侧导轨与水平面夹角分别为θ、2θ，均处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度分别为B、2B，不计导轨电阻。两侧顶端分别用外力固定质量为m，2m的导体棒ab、cd，电阻分别为R、2R，导体棒垂直于导轨，且运动过程中始终未脱离导轨，重力加速度为g，以下说法正确的是（　　） A．若ab棒具有沿斜面向上的初速度，则cd棒由静止释放瞬间加速度可能为零 B．若cd棒具有沿斜面向上的初速度，则ab棒由静止释放瞬间加速度可能为零 C．若cd棒始终固定，ab棒由静止释放后的稳定速度为 D．若两导体棒同时静止释放，两棒最终不可能同时匀速下滑 【答案】D 【解析】解：A、若cd释放瞬间加速度为零，则cd受到的安培力水平向右，由左手定则可知，流经cd的感应电流由d指向c，则ab中电流由a指向b，由右手定则可知，ab具有沿斜面向下的速度，故A错误； B、若ab释放瞬间加速度为零，则ab受到的安培力水平向左，由左手定则可知，流经ab的电流由a指向b，则cd中电流由d指向c，由右手定则可知cd具有沿斜面向下的速度，故B错误； C、cd棒始终固定，ab棒的加速度为零时达到稳定状态，ab匀速下滑时所受安培力大小F安＝BIl 由平衡条件有F安cosθ＝mgsinθ 由闭合电路欧姆定律可知流经ab的电流 ab切割磁感线产生电动势，匀速时的速度为v，则E＝Blvcosθ 联立可得速度，故C错误； D、若ab匀速下滑，则由平衡条件得F安cosθ＝BI1lcosθ＝mgsinθ 电流 若cd匀速下滑，则由平衡条件得F'安cos2θ＝2BI2lcos2θ＝2mgsin2θ 电流 则I1≠I2 故两棒不可能同时匀速下滑，故D正确。 故选：D。 【变式训练2-2-3】如图所示，与水平面成θ角的平行的倾斜导轨MN和PQ，不计电阻，在其上垂直导轨放置两根金属棒ab和cd，整个装置处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中（磁场图中未画出），金属棒恰好保持静止。已知最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，下列判断正确的是（　　） A．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒都会停下来 B．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 C．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒速度不同而加速度相同 D．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 【答案】C 【解析】解：AB、若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，ab棒做切割磁感线运动，产生感应电流，受到沿导轨向上的安培力而减速。cd棒受到沿导轨向下的安培力而加速，当两棒速度相同时，不再产生感应电流，因两棒受到的滑动摩擦力大小f＝mgsinθ，两棒的合外力均为零，所以最终两棒分别以大小相等的速度匀速运动，故AB错误； CD、若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，ab棒沿导轨向下做加速运动，产生感应电流，cd棒受到沿导轨向下的安培力而加速，开始阶段，ab棒的加速度大于cd棒的加速度，两棒的速度差增大，回路总的电动势增大，感应电流增大，两棒受到的安培力增大，则ab棒的合外力减小，加速度减小。cd棒的合外力增大，加速度增大，当两棒的加速度相同时，速度差不变，产生的感应电流不变，两棒受到的安培力不变，加速度不变，所以最终两棒速度不同而加速度相同，故C正确，D错误。 故选：C。 【变式训练2-2-4】（多选）如图所示，两平行金属导轨由水平部分和倾斜部分平滑连接而成，倾角为的导轨处于方向竖直向上的匀强磁场中，水平导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中，两平行金属导轨间距为，两部分磁场的磁感应大小均为。两根长为的相同金属杆、分别垂直导轨放置于导轨的倾斜部分和水平部分，每根金属杆的质量为，每根金属杆接入导轨之间的电阻均为。现由静止释放金属杆后，两金属杆开始运动，经足够长时间后，两金属杆达到稳定运动状态。两金属杆在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，导轨足够长，不计摩擦阻力和导轨电阻，重力加速度为，忽略磁场边界效应。两金属杆达到稳定运动状态后，下列说法正确的是（　　） A．金属杆中电流方向为 B．两金属杆均做匀变速直线运动，加速度的大小相同 C．金属杆做匀加速直线运动，加速度为 D．金属杆中电流大小为 【答案】CD 【解析】A．金属杆沿导轨向下运动，根据右手定则可知金属杆中电流方向为，故A错误； BCD．设金属杆的速度大小为，产生的感应电动势为 金属杆的速度大小为，产生的感应电动势为 二者方向相反，则电流为 对杆受力分析得 对杆受力分析得 解得， 设两杆达到稳定运动状态时的速度为，，则 两杆达到稳定状态时应均做匀加速运动，此时 即 解得 此时，，，故B错误，CD正确。 故选CD。 【变式训练2-2-5】（多选）如图，两条足够长的平行金属导轨间距，与水平面的夹角，处于磁感应强度、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。导轨上的a、b两根导体棒质量分别为、，电阻均为。现将a、b棒由静止释放，同时用大小为2N的恒力F沿平行导轨方向向上拉a棒。导轨光滑且电阻忽略不计，运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好，取重力加速度。已知当a棒中产生的焦耳热时，其速度，a上方和b下方都足够长，下列说法正确的是（　　） A．此时b棒的速度大小为 B．此时a棒的加速度大小为 C．a棒从静止释放到速度达到所用的时间为 D．a、b两棒最后同时向上和向下做匀速直线运动 【答案】ABD 【解析】A．根据题意，设a、b棒受到的安培力大小为，则对a、b棒由牛顿第二定律分别有 代入数据解得 a、b棒由静止释放，则有 即解得故A正确； B．设此电路产生的感应电动势为E，电流为I，则有 联立式子解得故B正确； C．根据题意，设此过程a，b棒位移分别为，，结合上述分析可得 根据能量守恒有 对a棒根据动量定理有 其中安培力的冲量 联立代入数据可解得故C错误； D．根据题意可知，由于 且a上方和b下方都足够长，则a、b两棒最后同时向上和向下做匀速直线运动，故D正确。 故选ABD。 【变式训练2-2-6】（多选）如图所示，两平行金属导轨由水平部分和倾斜部分平滑连接而成，倾角为的导轨处于方向竖直向上的匀强磁场中，水平导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中，两平行金属导轨间距为，两部分磁场的磁感应大小均为。两根长为的相同金属杆、分别垂直导轨放置于导轨的倾斜部分和水平部分，每根金属杆的质量为，每根金属杆接入导轨之间的电阻均为。现由静止释放金属杆后，两金属杆开始运动，经足够长时间后，两金属杆达到稳定运动状态。两金属杆在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，导轨足够长，不计摩擦阻力和导轨电阻，重力加速度为，忽略磁场边界效应。两金属杆达到稳定运动状态后，下列说法正确的是（　　） A．金属杆中电流方向为 B．两金属杆均做匀变速直线运动，加速度的大小相同 C．金属杆做匀加速直线运动，加速度为 D．金属杆中电流大小为 【答案】CD 【解析】A．金属杆沿导轨向下运动，根据右手定则可知金属杆中电流方向为，故A错误； BCD．设金属杆的速度大小为，产生的感应电动势为 金属杆的速度大小为，产生的感应电动势为 二者方向相反，则电流为 对杆受力分析得 对杆受力分析得 解得， 设两杆达到稳定运动状态时的速度为，，则 两杆达到稳定状态时应均做匀加速运动，此时 即 解得 此时，，，故B错误，CD正确。 故选CD。 【变式训练2-2-7】（多选）如图所示，两根足够长光滑平行金属导轨间距l=0.9m，与水平面夹角，正方形区域abcd内有匀强磁场，磁感应强度B=2T，方向垂直于斜面向上。甲、乙是两根质量相同、电阻均为的金属杆，垂直于导轨放置。甲置于磁场的上边界ab处，乙置于甲上方l处，现将两金属杆由静止同时释放，并立即在甲上施加一个沿导轨方向的拉力F，甲始终以的加速度沿导轨向下运动，乙进入磁场时恰好做匀速运动，g取。则（　　） A. 甲穿过磁场过程中拉力F随时间均匀增大 B. 每根金属杆的质量为0.3kg C. 乙穿过磁场过程中安培力的功率是3W D. 乙穿过磁场过程中，通过整个回路的电荷量为 【答案】AC 【解析】甲在磁场中做匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得 可知 即外力F始终等于安培力F安，由于电路中的感应电流为 则有安培力 因此甲穿过磁场过程中拉力F随时间均匀增大，A正确； 由题意可知，乙杆进入磁场前做初速度是零的匀加速直线运动，则有加速度为 乙进入磁场时的速度是 乙进入磁场后做匀速直线运动，由平衡条件可得 解得 B错误； 乙穿过磁场过程中安培力的功率是 C正确； 乙进入磁场后做匀速直线运动，则有乙穿过磁场过程中，通过整个回路的电荷量是 D错误。 【变式训练2-2-8】如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为，两导轨及其所构成的平面均与水平面成角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为．现将质量均为的金属棒垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为。   （1）先保持棒静止，将棒由静止释放，求棒匀速运动时的速度大小； （2）在（1）问中，当棒匀速运动时，再将棒由静止释放，求释放瞬间棒的加速度大小； （3）在（2）问中，从棒释放瞬间开始计时，经过时间，两棒恰好达到相同的速度，求速度的大小，以及时间内棒相对于棒运动的距离。    【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】（1）a导体棒在运动过程中重力沿斜面的分力和a棒的安培力相等时做匀速运动，由法拉第电磁感应定律可得 有闭合电路欧姆定律及安培力公式可得， a棒受力平衡可得 联立记得 （2）由右手定则可知导体棒b中电流向里，b棒 沿斜面向下的安培力，此时电路中电流不变，则b棒牛顿第二定律可得 解得 （3）释放b棒后a棒受到沿斜面向上的安培力，在到达共速时对a棒动量定理 b棒受到向下的安培力，对b棒动量定理 联立解得 此过程流过b棒的电荷量为q，则有 由法拉第电磁感应定律可得 联立b棒动量定理可得 【变式训练2-2-9】如图（a），一倾角为的绝缘光滑斜面固定在水平地面上，其顶端与两根相距为L的水平光滑平行金属导轨相连；导轨处于一竖直向下的匀强磁场中，其末端装有挡板M、N．两根平行金属棒G、H垂直导轨放置，G的中心用一不可伸长绝缘细绳通过轻质定滑轮与斜面底端的物块A相连；初始时刻绳子处于拉紧状态并与G垂直，滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧与水平面平行．从开始，H在水平向右拉力作用下向右运动；时，H与挡板M、N相碰后立即被锁定．G在后的速度一时间图线如图（b）所示，其中段为直线．已知：磁感应强度大小，，G、H和A的质量均为，G、H的电阻均为；导轨电阻、细绳与滑轮的摩擦力均忽略不计；H与挡板碰撞时间极短；整个运动过程A未与滑轮相碰，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好：，，重力加速度大小取，图（b）中e为自然常数，．求： （1）在时间段内，棒G的加速度大小和细绳对A的拉力大小； （2）时，棒H上拉力的瞬时功率； （3）在时间段内，棒G滑行的距离． 【答案】（1） ；；（2）；（3） 【解析】（1）由图像可得在内，棒G做匀加速运动，其加速度为 依题意物块A的加速度也为，由牛顿第二定律可得 解得细绳受到拉力 （2）由法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律推导出“双棒”回路中的电流为 由牛顿运动定律和安培力公式有 由于在内棒G做匀加速运动，回路中电流恒定为，两棒速度差为 保持不变，这说明两棒加速度相同且均为a； 对棒H由牛顿第二定律可求得其受到水平向右拉力 由图像可知时，棒G的速度为 此刻棒H的速度为 其水平向右拉力的功率 ． （3）棒H停止后，回路中电流发生突变，棒G受到安培力大小和方向都发生变化，棒G是否还拉着物块A一起做减速运动需要通过计算判断，假设绳子立刻松弛无拉力，经过计算棒G加速度为 物块A加速度为 说明棒H停止后绳子松弛，物块A做加速度大小为的匀减速运动，棒G做加速度越来越小的减速运动；由动量定理、法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可以求得，在内 棒G滑行的距离 这段时间内物块A速度始终大于棒G滑行速度，绳子始终松弛。 【变式训练2-2-10】如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距为L。导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B。在区域Ⅰ中，将质量为m、电阻为R的导体棒ab放在导轨上，且被两立柱挡住，在区域Ⅱ中将质量为2m、电阻为R的导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑，经时间t，ab刚好离开立柱。ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，重力加速度为g。试求： (1)t时刻cd棒的速度大小vt； (2)在时间t内cd棒产生的电能Ecd； (3)ab棒中电流的最大值。 【答案】　(1)　(2)－　(3) 【解析】　(1)t时刻cd棒的速度大小为vt，由法拉第电磁感应定律，得E＝BLvt 由闭合电路欧姆定律，得I＝ 分析ab棒受力，得BIL＝mgsin30° 联立解得vt＝。 (2)设在时间t内cd棒下滑的距离为x，由动量定理得 (2mgsin30°)t－t＝2mvt－0 又＝BL ＝＝ 由能量守恒定律，得Ecd＝(2mgsin30°)x－·2mv 联立解得Ecd＝－。 (3)两根棒均切割磁感线时，有i＝ 对ab棒有BiL－mgsin30°＝maab 对cd棒有2mgsin30°－BiL＝2macd 当电流最大时，vcd－vab最大，aab＝acd 联立解得Im＝。 【变式训练2-2-11】如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角的斜面上，间距为，空间分布着磁感应强度大小为，与导轨平面垂直且向上的匀强磁场。将两根金属棒放置在导轨上，并将用轻绳通过定滑轮和物块连接。已知两棒的长度均为，电阻均为，质量均为，物块的质量也为，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不考虑其他电阻，不计一切摩擦，重力加速度大小为。 （1）将金属棒锁定，释放金属棒，求金属棒的最终速度； （2）物块以的速度竖直向下运动，同时释放金属棒，求金属棒的最终速度； （3）在（2）问中，若从开始运动经时间t到达稳定状态，求该过程中产生的总焦耳热。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）根据题意可知，最终沿着斜面匀速向下运动，设其所受安培力为，分析受力，由平衡条件有 由法拉第电磁感应定律 由闭合电路欧姆定律 安培力 联立解得 （2）根据题意可知，最终状态相对速度恒定，即加速度相等，设此时a的速度为，b的速度为，此时a、b所受安培力为，对a受力分析，由牛顿第二定律有 沿绳子方向对受力分析，由牛顿第二定律有 解得 即 即最终状态为匀速运动，则有 组成的系统，沿运动方向上合外力为零，系统动量守恒，即 解得 （3）根据题意，取任意，设a的速度为，的速度为，此时安培力 对a由动量定理 两边求和 即 解得 由能量守恒定律有 解得 题型03：有外力不光滑等距轨道双杆模型 【典型例题1】如图所示，水平面内ab和cd是两条平行放置的足够长的固定粗糙金属直导轨，MN和M′N′是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为2kg和1kg，两杆与导轨间的动摩擦因数相同。开始时恒定水平外力F作用在杆MN上，使两杆以大小为4m/s的速度水平向右匀速运动。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直，导轨电阻可忽略。在t=0时刻将细线烧断，保持外力F不变，金属杆和导轨始终接触良好，已知在t=t0时刻后杆MN速度大小为5m/s并保持不变，且在0~t0时间内两杆速度方向始终向右，下列说法正确的是（　　） A．细线烧断后，流经MN的电流方向为由M到N B．M′N′稳定后的速度大小为3m/s C．0~t0时间内MN和M′N′的位移大小之比大于3∶2 D．整个过程中系统动能变化量的大小等于整个系统产生的焦耳热 【答案】C 【解析】A．细线烧断前两杆做匀速运动，回路中无感应电流，烧断细线后，MN的速度大于M′N′的速度，根据右手定则可知MN切割磁感线产生的感应电动势大于M′N′产生的感应电动势，则回路中电流方向由N到M，故A错误； B．两杆组成的系统所受的合外力为零，系统动量守恒，设MN的质量为，M′N′的质量为，初始速度为，MN稳定后的速度大小为，M′N′稳定后的速度大小为。规定向右为正方向，由系统动量守恒定律 代入数据解得M′N′稳定后的速度大小为，故B错误； C．由题意可知做加速运动，做减速运动，两者速度差变大，电动势变大，电流变大，安培力变大，安培力向左，安培力向右。根据牛顿第二定律可知、的加速度大小都逐渐减小，则、的图像如图所示 由图可知，， 则，故C正确； D．根据能量守恒定律 故整个过程中系统动能变化量的大小不等于整个系统产生的焦耳热，故D错误。 故选C。 【典型例题2】（多选）如图，电阻不计足够长的金属导轨水平平行放置，处于方向竖直向下的匀强磁场中。与导轨等宽的导体棒MN和PQ垂直于导轨放置，MN质量为m，PQ质量为2m，导体棒电阻不同，它们与导轨间的动摩擦因数均为μ。现对MN施加一水平恒力F作用，则下列说法正确的是（　　） A．只要F大于，时间足够长，PQ一定会向右运动 B．只要F大于，时间足够长，PQ一定会向右运动 C．若MN向右匀加速，则PQ一定也向右匀加速但两者加速度不相同 D．若PQ向右匀加速，则MN一定也向右匀加速，且两者加速度相同 【答案】BD 【解析】AB．对MN和PQ分析，MN向右运动时由右手定则可知电流方向由N至M，由左手定则知安培力方向向左，对PQ分析可知受安培力向右，如图所示， 当PQ刚好要向右运动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力得 这时对MN分析得 因为流过MN和PQ电流相等，得两导体棒安培力相等，联立解得 所以对MN施加水平恒力F作用向右运动，MN做加速运动，时间足够长，当PQ受到安培力大于最大静摩擦力时，PQ一定会向右运动，故A错误，B正确； CD．若PQ向右匀加速，把MN和PQ看成一整体进行分析知该整体受安培力大小相等，方向相反，由牛顿第二定律可知 解得 反之若MN向右匀加速，则PQ不一定也向右匀加速，刚开始PQ静止，故C错误，D正确。 故选BD。 【典型例题3】如图所示，两条足够长的平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间距为L，电阻不计，导轨最右端接有阻值为R的定值电阻；整个装置处于两种磁感应强度大小均为B、方向相反的竖直匀强磁场中，虚线为两磁场的分界线。质量均为m的两根金属棒MN、PQ静止于导轨上，两金属棒接入电路的电阻均为R，与导轨间的动摩擦因数均为（设金属棒的最大静摩擦力等于滑动摩擦力），两棒始终与导轨垂直且接触良好。某时刻，用水平向左的恒力F拉MN棒，使其由静止开始运动，直到PQ刚好要滑动的过程中，通过金属棒PQ的电荷量为q，重力加速度为g，试求： （1）PQ刚好要滑动时，金属棒MN的速度大小； （2）上述过程中金属棒MN在导轨上运动的距离； （3）上述过程中金属棒MN产生的焦耳热为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）PQ刚好要滑动时PQ两端的电压为 PQ的电流大小为 对PQ受力分析有 解得 （2）由题意可知通过金属棒MN的电量为2q 解得 （3）对金属棒MN由动能定理可得 解得 所以金属棒MN产生的焦耳热为 【典型例题4】如图所示，与为水平放置的无限长平行金属导轨，与为倾角为的平行金属导轨，两组导轨的间距均为，导轨电阻忽略不计。质量为、电阻为的导体棒置于倾斜导轨上，质量为、电阻为的导体棒置于水平导轨上，轻质细绳跨过光滑滑轮一端与的中点相连、另一端悬挂一轻质挂钩。导体棒、与导轨间的动摩擦因数相同，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为。初始时刻，棒在倾斜导轨上恰好不下滑。（取，） （1）求导体棒与导轨间的动摩擦因数； （2）在轻质挂钩上挂上物体，细绳处于拉伸状态，将物体与导体棒同时由静止释放，当的质量为时，始终处于静止状态（导体棒运动过程中，、一直与平行，且没有与滑轮相碰。）求匀速运动时，导体棒速度的大小； （3）若的质量为时，由静止释放开始计时，当下降时已经处于匀速直线运动状态，求这个过程中上产生的焦耳热为多少？（始终处于静止状态） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）对ab棒进行受力分析，受竖直向下的重力，垂直于斜面向上的支持力和沿斜面向上的摩擦力，在沿斜面方向上由平衡关系可知 代入数据解得 （2）当P和cd的运动达到稳定时，P和cd一起做匀速直线运动，对cd棒，设绳中的张力为T，由平衡条件得 对P由平衡条件可得 联立解得 设此时电路中的电流为I 设P匀速运动的速度为，由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律得 代入数据解得 （3）对从静止释放到cd刚好匀速的过程，电路产生的总焦耳热为，根据功能关系有 解得 根据焦耳定律可推知这个过程中cd上产生的焦耳热为 【变式训练3-1】(多选）如图，“⅂”型金属导轨固定放置于竖直向上的匀强磁场中。其中ab、de导轨水平放置，ef、bc导轨竖直放置，到过在转角处连接良好。AA'和BB'是电阻为r＝0.5Ω的两根均质金属导体棒。已知水平和竖直导轨的宽度均为L＝1m，磁感应强度B＝2T，两根导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ＝0.2，AA'导体棒质量为mA＝2kg，BB'导体棒的质量为mB＝0.2kg。初始时，两导体棒位于图示位置，且突然给AA'杆一水平向左的初速度v0＝5m/s，并同时释放BB'杆，假如导轨无电阻且足够长，金属杆在运动中过程始终与导轨接触良好，g取10m/s2，则（　　） A．AA'杆初始时的加速度大小为10m/s2 B．BB'杆最终的加速度为10m/s2 C．若从开始至AA'杆静止，杆AA'产生的焦耳热为10.5J，则AA'的位移为1m D．BB'杆开始运动时，AA'杆的速度为1m/s 【答案】BC 【解析】A、初始时导体棒AA'切割磁感线，产生感应电动势，其大小为E＝E＝BLv0＝2×1×5V＝10V，AA'、BB'杆和导轨构成的回路中感应电流大小为IA＝10A，AA'杆在水平方向受到的安培力与滑动摩擦力作用，其中安培大小为F＝IBL＝10×2×1N＝20N，滑动摩擦力大小为f＝μmAg＝0.2×2×10N＝4N，根据牛顿第二定律，有ma＝F+f，得到a＝12m/s2，故A错误； B、经运动分析可知，AA'杆在安培力和摩擦力作用下减速为0，回路中此时无电流，BB'杆不受安培力做自由落体运动，故其加速度为g＝10m/s2，故B正确； C、分析AA'杆，AA'杆从初始时刻到停止，其受到安培力和滑动摩擦力的作用，安培力做功等于回路中产生的总焦耳热，而回路中产生的总焦耳热为AA'杆产生焦耳热的2倍，故AA'杆从初始时刻到停止回路中产生的总焦耳热为Q＝2QAA'＝2×10.5J＝21J。设AA'杆从初始时刻到停止运动的位移为x，依据动能定理，﹣Q﹣fx＝0，解得x＝1m，故C正确； D、当BB'杆刚开始运动时，其所受的重力等于摩擦力，即有mBg＝fB，又fB＝μF，故可得此时BB'杆受到的安培力F＝10N，又F，解得此时a杆的速度vA＝2.5m/s，故D错误。 故选：BC。 【变式训练3-2】如图所示，两条足够长的平行导电导轨MN、PQ水平放置，导轨间距L=1.0m，在轨道区域内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=1T。导体棒a、b质量均为m=1kg，电阻均为R=0.5Ω，与导轨间的动摩擦因数均为=0.3，运动过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好。重力加速度g=10m/s2，导轨电阻可忽略，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）若开始时导体棒a初速度为零，导体棒b获得=2m/s的水平向右的初速度，求此时导体棒a和b的加速度大小； （2）若同时分别给两导体棒不同的冲量，使导体棒a获得平行于导轨向左的初速度=2m/s的同时，导体棒b获得向右的平行于导轨的初速度=4m/s，求流经导体棒a的最大电流； （3）在（2）的条件下，从导体棒a速度为零到两棒相距最远的过程中，已知导体棒b产生的焦耳热为0.25J，求此过程中导体棒b的位移。 【答案】（1）0；5m/s2；（2）6A；（3）0.5m 【解析】（1）导体棒b运动产生的感应电动势 回路电流 导体棒受安培力 解得F0=2N 因 则a加速度为零，b的加速度 方向向左； （2）两棒反向运动，开始时的速度最大，产生的感应电动势最大 最大电流 解得Im=6A （3）两棒开始向相反方向运动时，两棒系统受合外力为零，则动量守恒，当a棒速度为零时 解得b棒速度v3=2m/s 由（1）的计算可知，此时a棒受安培力小于摩擦力，可知以后a棒静止，b棒向右做减速运动，当速度减为零时两棒最远，因导体棒b产生的焦耳热为0.25J，则此过程中，系统产生的总焦耳热为 Q=0.5J 此时由能量关系 解得x=0.5m 【变式训练3-3】如图所示，电阻不计的两金属导轨平行正对放置，间距为L，竖直部分粗糙，水平部分光滑，水平及竖直部分均足够长。整个空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。导体棒Q借助小立柱静置于竖直导轨上并保持水平，其与竖直导轨间的动摩擦因数为μ。导体棒P垂直于水平导轨放置，处于静止状态。两导体棒的质量均为m，接入导轨间的电阻均为R。t = 0时起，对导体棒P施加水平向右的拉力F，使其做加速度为a的匀加速直线运动，同时撤去小立柱，导体棒Q开始下滑。已知两导体棒与导轨始终垂直且接触良好，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）求拉力F随时间t变化的关系式； （2）求导体棒Q所达到的最大速度vm及下滑的总时间； （3）若在导体棒Q停止下滑的同时撤去拉力F，导体棒P继续运动多远距离时，导体棒Q又开始下滑？ 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】(1)导体棒P做匀加速直线运动，t时刻速度 感应电动势 由于导体棒Q在竖直轨道上滑动时不切割磁感线，不产生电动势，回路电流 两导体棒所受安培力大小均为 对导体棒P，由牛顿第二定律有 可得 (2)导体棒Q受到的安培力水平向右，水平方向受力平衡，设弹力为FN，有 竖直方向，设t时刻加速度为a2，根据牛顿第二定律有 可得 设t1时刻a2减小到0，此时导体棒Q的速度达到最大有 如图所示，a2 − t图线与时间轴所围的面积等于Q下滑过程速度的变化量。 根据图像有 可知 导体棒Q的速度达到最大后，做加速度逐渐增大的减速运动。设t2时刻导体棒Q停止下滑。由a2 − t图根据对称性可知 (3)导体棒Q停止下滑时，导体棒P的速度 设导体棒P的速度减到v3时，导体棒Q又开始下滑，此时棒Q所受安培力 滑动摩擦力等于重力，该过程导体棒P继续运动的距离为d。有 可得 撤去外力后的一小段时间Δt（Δt→0），导体棒P发生位移Δx，速度变化量为Δv，由动量定理有 则棒P速度从v2减到v3，求和有 可得 【变式训练3-4】如图所示，两条粗糙平行金属导轨固定，所在平面与水平面夹角为θ。三根完全相同的金属棒ab、cd、gh(质量均为m、电阻均为R、长度与导轨间距相同，均为L)垂直导轨放置。用绝缘轻杆ef将ab、cd连接成“工”字形框架(以下简称“工”形架)，导轨上的“工”形架与gh刚好不下滑。金属棒与导轨始终接触良好，导轨足够长，电阻不计，空间存在垂直导轨平面斜向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。 (1)若将“工”形架固定不动，用外力作用于gh，使其沿斜面向下以速度v匀速运动，求ab两端的电压U； (2)若将“工”形架固定不动，给gh沿斜面向下的初速度v0，求gh沿斜面下滑的最大位移； (3)若“工”形架不固定，给gh沿斜面向下初速度v0的同时静止释放“工”形架，最终“工”形架与gh的运动状态将达到稳定，求在整个过程中电流通过gh产生的焦耳热。 【答案】(1)　(2)　(3) 【解析】(1)当gh以速度v匀速运动时，gh为电源，ab和cd为外电路，gh产生的电动势E＝BLv， 等效内电阻为R，外电路电阻为0.5R，则ab两端的电压U＝。 (2)由题意mgsinθ＝μmgcosθ 设沿斜面向下为正方向，对金属棒gh沿斜面下滑的过程，由动量定理有－BLΔt＝0－mv0 由闭合电路欧姆定律得＝ 由法拉第电磁感应定律得＝ 磁通量的变化量为ΔΦ＝BLx 联立解得x＝。 (3)设gh中的电流为I，则“工”形架ab、cd中的电流均为，gh受到的安培力大小为F＝BIL ab、cd受到的安培力大小分别为 F1＝BL、F2＝BL 则“工”形架受到的安培力的合力大小为 F′＝F1＋F2＝BIL 所以“工”形架与金属棒gh组成的系统所受合力为零，沿斜面方向动量守恒，设沿斜面向下为正方向，“工”形架与金属棒gh一起运动的共同速度为v1，此后各棒中没有感应电流，均做匀速直线运动。则mv0＝3mv1 系统产生的焦耳热为Q＝－×3mv 设电流通过金属棒gh产生的焦耳热为Q′，则 Q′＝Q＝Q 联立解得Q′＝。 题型04：其他情况下的等间距双杆模型 【典型例题1】（多选）如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，两根足够长的光滑金属轨道间距为d，电阻不计。轨道最左侧接入由电动势为E的直流电源、电容为C的电容器、单刀双掷开关S构成的电路。质量为m、电阻为R的金属棒a垂直放置于轨道左侧某处，质量为3m的绝缘棒b垂直放置于轨道上。现将S接1，待电容器充电完毕后将S接2，a运动达到稳定状态后，再与b发生弹性碰撞。a、b均始终与轨道接触良好。下列说法正确的是（　　） A．S接通1稳定时，电容器的电量Q=CE B．S接通2瞬间，金属棒a的加速度为 C．a、b碰前瞬间，a的速度为 D．a、b碰后瞬间，a的速度方向向左 【答案】ACD 【解析】AB．开关S接1，电容器充电。电容器上的电压 电容器的电量 开关S接2，电容器通过金属棒a放电，此时电流为 由安培力公式 由牛顿第二定律 解得，故A正确，B错误； C． 当a棒产生的感应电动势等于电容器两端的电压时，a棒做匀速运动。即 根据法拉第电磁感应定律，电容器两端的电压 设在时间内，a棒的速度变化为，而 根据动量定理 对上式两边求和，解得，故C正确； D．a棒与b棒发生弹性碰撞，由动量守恒，有 由机械能守恒得，解得 所以碰后瞬间a速度方向向左，故D正确。 故选ACD。 【典型例题2】（多选）如图所示，平面内有足够长的间距为L的光滑平行金属导轨MN、PQ水平固定放置，导轨处在垂直于导轨平面向上的有界匀强磁场中（虚线是磁场的左边界，其右侧磁场区域足够大）。两根材质相同的金属棒ab、cd垂直导轨放置，长度均为L，质量分别为2m、m，金属棒cd恰好位于磁场的左边界内。现给金属棒ab向右的初速度v0，两金属棒发生弹性碰撞，碰撞时间极短。已知两金属棒与导轨始终接触良好，金属棒ab的电阻为R，导轨的电阻不计，下列说法正确的是（　　） A．碰撞结束的瞬间，流过金属棒ab的电流是 B．碰撞结束的瞬间，流过金属棒cd的电流是 C．最终金属棒ab、cd相距 D．最终金属棒cd上产生的热量为 【答案】BC 【解析】AB．两棒发生弹性碰撞，即满足，联立解得， 同时，由题可知，金属棒cd的电阻为2R，故碰撞结束的瞬间，流过金属棒ab的电流为，故A错误，B正确； C．最终，两者共速，有 对金属棒ab，由动量定理 故最终金属棒ab、cd相距，故C正确； D．最终系统产生的热量 金属棒cd上产生的热量为，故D错误。 故选BC。 【典型例题3】（多选）如图所示，水平金属圆环由外环和内环构成，其半径分别为，，沿半径方向放置的金属杆固定在圆环上，金属圆环和金属杆以角速度绕中心轴线转动。两环通过电刷用导线连接间距为L＝0.5m的两条平行光滑水平金属导轨PM、，水平金属导轨接有理想电容器，电容C=1F。右侧是水平绝缘导轨。导体棒ab、cd，垂直静止放置于两侧，质量分别为m1=0.1kg，m2=0.2kg，电阻均为r=0.1Ω。ab放置位置与距离足够长，所有导轨均光滑，除已知电阻外，其余电阻均不计。整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B=1T，忽略磁场对电容器的影响。下列说法正确的是（　　）    A．水平金属圆环中金属杆产生的电动势为0.2V B．S掷向1，稳定后电容器所带电荷量的大小q=0.3C C．S掷向1，稳定后再将S掷向2，导体棒ab到达的速度大小是 D．S掷向1，稳定后再将S掷向2，导体棒ab到达时通过导体棒cd的电荷量是 【答案】AC 【解析】A．水平金属圆环中金属杆产生的电动势为，故A正确； B．根据，解得，故B错误； C．由于MM’右侧绝缘，cd棒中没有电流，cd棒不受安培力作用处于静止，ab棒做加速度减小的减速运动最后匀速运动，设匀速运动时速度为vm，根据，则有 根据动量定理有，解得 代入解得，，故C正确； D．由于MM’右侧绝缘，cd棒中没有电流，所以通过导体棒cd的电荷量为0，故D错误。 故选AC。 【典型例题4】真空管道超高速列车的动力系统是一种将电能直接转换成平动动能的装置。图1是某种动力系统的简化模型，图中粗实线表示固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，电阻忽略不计。ab和cd是两根与导轨垂直、长度均为l、电阻均为R的金属棒，通过绝缘材料固定在列车底部，并与导轨良好接触，其间距也为l，列车的总质量为m。列车启动前，ab、cd处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，如图1所示。为使列车启动，需在M、N间连接电动势为E的直流电源，电源内阻及导线电阻忽略不计。列车启动后电源自动关闭。 （1）要使列车向右运行，启动时图1中M、N哪个接电源正极，并简要说明理由； （2）求刚接通电源时列车加速度a的大小； （3）列车减速时，需在前方设置如图2所示的一系列磁感应强度为B的匀强磁场区域，磁场宽度和相邻磁场间距均大于l。若某时刻列车的速度为v0，此时ab、cd均在无磁场区域，试讨论：要使列车停下来，前方至少需要多少块这样的有界磁场？ 【答案】（1）要使列车向右运行，启动时图1中M接电源正极，理由见解答； （2）刚接通电源时列车加速度a的大小为； （3）若恰好为整数，则需设置n块磁场，若不为整数，整数部分为N，则需设置N+1块磁场。 【解析】（1）M接电源正极，列车要向右运动，安培力方向向右，根据左手定则，接通电源后，金属棒中电流方向由a到b、由c到d，故M接电源正极。 （2）由题意，启动时ab、cd并联，设回路总电阻为R总，由电阻的串并联知识可得： 设回路总电流为I，根据闭合电路欧姆定律有： 设两根金属棒所受安培力之和为F，有：F＝BIl 根据牛顿第二定律有： F＝ma得：a （3）设列车减速时，cd进入磁场后经△t时间ab恰好进入磁场，此过程中穿过金属棒与导轨所围回路的磁通量的变化量为△φ，平均感应电动势为E1，则由法拉第电磁感应定律有： 其中△φ＝Bl2 设回路中平均电流为I′，由闭合电路欧姆定律有： 设cd受到的平均安培力为F′，有：F′＝BI′l 以向右为正方向，设△t时间内cd受到安培力冲量为I冲，有：I冲＝﹣F′△t 同理可知，回路出磁场时ab受安培力冲量仍为上述值，设回路进出一块有界磁场区域安培力冲量为I0，有： I0＝2I冲 设列车停下来受到的总冲量为I总，由动量定理有：I总＝0﹣mv0 联立上式解得： 讨论：若恰好为整数，设其为n，则需设置n块磁场，若不为整数，整数部分为N，则需设置N+1块磁场。 【变式训练4-1】（多选）如图，间距的U形金属导轨，一端接有的定值电阻，固定在高的绝缘水平桌面上。质量均为的匀质导体棒a和b静止在导轨上，两导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，接入电路的阻值均为，与导轨间的动摩擦因数均为0.1（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），导体棒距离导轨最右端。整个空间存在竖直向下的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为。用沿导轨水平向右的恒力拉导体棒a，当导体棒a运动到导轨最右端时，导体棒b刚要滑动，撤去，导体棒a离开导轨后落到水平地面上。重力加速度取，不计空气阻力，不计其他电阻，下列说法正确的是（　　） A．导体棒a离开导轨至落地过程中，水平位移为 B．导体棒a离开导轨至落地前，其感应电动势不变 C．导体棒a在导轨上运动的过程中，导体棒b有向右运动的趋势 D．导体棒a在导轨上运动的过程中，通过电阻的电荷量为 【答案】BD 【解析】C．导体棒a在导轨上向右运动，产生的感应电流向里，流过导体棒b向里，由左手定则可知安培力向左，则导体棒b有向左运动的趋势，故Ｃ错误； A．导体棒b与电阻R并联，有 当导体棒a运动到导轨最右端时，导体棒b刚要滑动，有 联立解得a棒的速度为a棒做平抛运动，有 联立解得导体棒a离开导轨至落地过程中水平位移为，故A错误； B．导体棒a离开导轨至落地前做平抛运动，水平速度切割磁感线，则产生的感应电动势不变，故B正确； D．导体棒a在导轨上运动的过程中，通过电路的电量为 导体棒b与电阻R并联，流过的电流与电阻成反比，则通过电阻的电荷量为 故D正确。 故选BD。 【变式训练4-2】（多选）如图所示，光滑的平行长导轨水平放置，质量相等的导体棒和静止在导轨上，与导轨垂直且接触良好。已知的电阻大于的电阻，两棒间的距离为d，不计导轨电阻，忽略电流产生的磁场。将开关S从1拨到2，两棒运动一段时间后达到稳定状态，则（　　） A．S拨到2的瞬间，中的电流大于中的电流 B．S拨到2的瞬间，的加速度小于中的加速度 C．运动稳定后，电容器C的电荷量为零 D．运动稳定后，两棒之间的距离大于d 【答案】BD 【解析】A．电源给电容器充电，稳定后，S拨到2的瞬间，电容器相当于电源，和导体棒和组成闭合电路，由于的电阻大于的电阻，则中的电流小于中的电流，A错误； B．S拨到2的瞬间，中的电流小于中的电流，根据可得，受到的安培力小于受到的安培力，根据牛顿第二定律，的加速度小于的加速度，B正确； C．S拨到2后，由于导体棒和受到安培力的作用，则导体棒运动，产生电动势，当产生的电动势等于电容器两端的电压时，电路稳定，此时电容器C的电荷量不为零，C错误； D．S拨到2的瞬间，电容器放电，两棒均有向下的电流，导体棒会受到安培力作用，由以上分析可知，开始时，，当切割磁感线产生的电动势大于某值后，继续加速，减速，最终两棒速度相等，所以在达到相同速度前的速度一直大于的速度，则运动稳定后，两棒之间距离大于d，D正确。 故选BD。 【变式训练4-3】（多选）如图所示，两光滑平行的金属导轨底部固定在绝缘水平桌面上，其两端是竖直平面内的圆弧与底部平滑连接，导轨电阻不计，右端接一定值电阻R，底部水平部分所在空间内存在竖直向上的匀强磁场。现将一导体棒垂直于导轨从左侧圆弧上距桌面高处的M点由静止释放，导体棒到达右侧圆弧的最高点为距桌面高处的N点，此过程中电阻R产生的热量为，然后返回，再次到达左侧圆弧的最高点为距桌面高处的P点，此过程中电阻R产生的热量为，运动过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好，导体棒电阻不计，下列说法正确的是（　　） A．一定等于 B．一定小于 C．一定大于 D．一定等于 【答案】AC 【解析】AB．设两导轨的间距为L，匀强磁场的磁感应强度大小为B，导体棒的质量为m，导体棒第一次进磁场时的速度为，第一次出磁场时的速度为，导体棒第一次经过磁场的过程中根据动量定理有 将代入可得 式中的v为此过程的平均速度，设导轨水平部分的长度为s，有 联立解得 根据机械能守恒定律可知，导体棒第二次进磁场时的速度为，设第二次出磁场时的速度为，同理有 根据机械能守恒定律有 解得，， 有 A项正确，B项错误； CD．因为 故 根据能量守恒定律有， 故，C项正确，D项错误。 故选AC。 【变式训练4-4】（多选）如图，倾斜金属导轨abed与水平面的倾角为，上方连接一电容器，电容。水平光滑金属轨道、平行且足够长，与倾斜导轨在be处通过绝缘材料平滑连接。虚线左侧磁场方向与导轨垂直向上，虚线右侧磁场方向竖直向上，两部分匀强磁场的磁感应强度大小均为。质量均为的导体棒P、Q在图示位置同时静止释放。导体棒Q的电阻为，其余电阻均不计。导体棒P与倾斜导轨间的动摩擦因数为，平行导轨间距、导体棒长度均为，重力加速度大小为，。已知P刚运动至处时速度为，若取此刻为计时起点，则时刻起P的速度不再变化，且全过程中P、Q始终未相遇。下列说法正确的是（　　） A．P刚释放时，其加速度大小为 B．P的初始释放点与水平导轨的高度差 C．Q的初始释放点到be的距离，以确保P、Q不相遇 D．上述时间段内，P在水平导轨上运动的位移大小为 【答案】BCD 【解析】AB．导体棒向下运动过程中，设经过很短时间内速度变化，取沿导轨向下为正方向，对导体棒根据动量定理可得 其中 根据加速度定义式可得运动过程中的加速度大小为 解得 即P刚释放时，其加速度大小为，据速度-位移关系可得 解得P的初始释放点与水平导轨的高度差，故A错误，B正确； C．时刻起P的速度不再变化，此时二者共速，取向右为正方向，根据动量守恒定律可得 解得共同速度大小为 取向右为正方向，对Q根据动量定理可得 则有 其中 确保P、Q不相遇，则Q的初始释放点到bc的距离，故C正确； D．作出P和Q在水平轨道上的v-t图像，如图所示 根据对称性结合几何关系可得时间段内，图中阴影部分的面积为 P在水平导轨上运动的位移大小为 解得，故D正确。 故选BCD。 【变式训练4-5】如图所示，上方的平行金属导轨与间距为，下方的金属导轨由圆弧导轨、与水平导轨、平滑连接而成，上方导轨和下方导轨没有连接在一起，圆弧导轨与的圆心角为、半径为，与的间距，与的间距，与的高度差为。导轨、左端接有的电阻，导轨与间的圆弧区域内没有磁场，平直部分存在宽度为、磁感应强度方向竖直向上的匀强磁场；圆弧导轨与的区域内没有磁场，平直部分右侧存在磁感应强度方向竖直向上的匀强磁场图中没有画出，导体棒质量为，棒接在电路中的电阻；导体棒质量为，棒接在电路中的电阻。导体棒从距离导轨、平直部分处静止释放，恰好沿圆弧轨道与的上端切线方向落在圆弧轨道上端，接着沿圆弧轨道下滑；导体棒最初静止在水平导轨与上。重力加速度：，不计导轨电阻、一切摩擦及空气阻力。求： (1)导体棒刚进入磁场时电阻 的电流大小和方向； (2)的大小； (3)导体棒从静止开始到匀速运动的过程中，导体棒上产生的焦耳热。导轨与、与均足够长，导体棒只在导轨与上运动 【答案】(1)电流的方向为由到 (2) (3) 【解析】（1）根据动能定理可知 解得导体棒刚进入磁场时的速度大小为 导体棒产生的电动势为 由闭合电路欧姆定律可得 联立解得 由右手定则可判断，此时电阻的电流的方向为由到。 （2）导体棒到达时速度方向与水平方向的夹角为，则 导体棒到达时的速度为 由题可知在导轨与平直部分从左到右，根据动量定理可得 又 联立解得。 （3）导体棒到达时的速度为 导体棒刚进入磁场时的速度为，则 解得 最终匀速运动时，电路中无电流，则有 此过程中，对导体棒由动量定理得 对导体棒由动量定理得 联立解得， 该过程中整个回路产生的总焦耳热为 解得 金属棒上产生的焦耳热为 【变式训练4-6】如图所示，两平行光滑金属导轨由两部分组成，左侧部分水平，右侧部分为半径r＝0.5 m的竖直半圆，两部分平滑连接，两导轨间距离d＝0.3 m，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小B＝1 T的匀强磁场中，两导轨电阻不计．有两根长度均为d的金属棒ab、cd，均垂直导轨置于水平导轨上，金属棒ab、cd的质量分别为m1＝0.2 kg、m2＝0.1 kg，电阻分别为R1＝0.1 Ω、R2＝0.2 Ω.现让ab棒以v0＝10 m/s的初速度开始水平向右运动，cd棒进入半圆形导轨后恰好能通过其最高点PP′，cd棒进入半圆形导轨前两棒未相碰，重力加速度g取10 m/s2，求： (1)ab棒开始向右运动时cd棒的加速度大小a0； (2)cd棒刚进入半圆形导轨时ab棒的速度大小v1； (3)cd棒进入半圆形导轨前ab棒克服安培力做的总功W. 【答案】(1)30 m/s2　(2)7.5 m/s　(3)4.375 J 【解析】(1)ab棒开始向右运动时，设回路中电流为I，有 E＝Bdv0 I＝ BId＝m2a0 解得a0＝30 m/s2. (2)设cd棒刚进入半圆形导轨时的速度为v2，系统动量守恒，有m1v0＝m1v1＋m2v2 cd棒由底端滑至最高点过程，机械能守恒，有 m2v＝m2g·2r＋m2v 在最高点有m2g＝m2 解得v1＝7.5 m/s. (3)由动能定理得m1v－m1v＝－W 解得W＝4.375 J. 【变式训练4-7】在自动化装配车间，常采用电磁驱动的机械臂系统，如图，ab、cd为两条足够长的光滑平行金属导轨，间距为L，电阻忽略不计。导轨置于磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，导轨上有与之垂直并接触良好的金属机械臂1和2，质量均为m，电阻均为R。导轨左侧接有电容为C的电容器。初始时刻，机械臂1以初速度向右运动，机械臂2静止，运动过程中两机械臂不发生碰撞。系统达到稳定状态后，电流为零，两机械臂速度相同。 (1)求初始时刻机械臂1的感应电动势大小和感应电流方向； (2)系统达到稳定状态前，若机械臂1和2中的电流分别为和，写出两机械臂各自所受安培力的大小；若电容器两端电压为U，写出电容器电荷量的表达式； (3)求系统达到稳定状态后两机械臂的速度。若要两机械臂不相撞，二者在初始时刻的间距至少为多少？ 【答案】(1)，沿机械臂1向上 (2)，， (3)，方向向右； 【解析】（1）由法拉第电磁感应定律可知，初始时刻机械臂1的感应电动势大小为 由右手定则可知感应电流方向沿机械臂1向上。 （2）在达到稳定前，两机械臂电流分别为和，两机械臂安培力的大小分别为， 设电容器所带电荷量为Q，则 （3）达到稳定时，两机械臂的速度相同，产生的感应电动势与电容器的电压相等，回路中没有电流结合（2）问的分析可知此时， 同时 可得两机械臂的速度为 方向向右 结合（2）问分析，在任意时刻有 即 对该式两边取全过程时间的累计有 其中，, 即 从开始到最终稳定的过程中，对机械臂1和机械臂2分别根据动量定理有 ， 即， 可得 联立解得稳定时的速度和两棒间初始距离的最小值为 【变式训练4-8】间距为L的金属导轨倾斜部分光滑，水平部分粗糙且平滑相接，导轨上方接有电源和开关，倾斜导轨与水平面夹角，处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，水平导轨处于垂直竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为，两相同导体棒、与水平导轨的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两棒质量均，接入电路中的电阻均为，棒仅在水平导轨上运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不互相碰撞，忽略金属导轨的电阻，重力加速度为。 (1)锁定水平导轨上的棒，闭合开关，棒静止在倾斜导轨上，求通过棒的电流；断开开关，同时解除棒的锁定，当棒下滑距离为时，棒开始运动，求棒从解除锁定到开始运动过程中，棒产生的焦耳热； (2)此后棒在下滑过程中，电流达到稳定，求此时、棒的速度大小之差； (3)棒中电流稳定之后继续下滑，从棒到达水平导轨开始计时，时刻棒速度为零，加速度不为零，此后某时刻，棒的加速度为零，速度不为零，求从时刻到某时刻，、的路程之差。 【答案】(1)， (2) (3) 【解析】（1）棒静止在倾斜导轨上，根据平衡条件可得， 解得通过棒的电流为 设当棒下滑距离为时速度为，棒开始运动时回路中的电流为，此时对cd棒有 同时有， 分析可知棒从解除锁定到开始运动过程中，棒产生的焦耳热与ab棒产生的焦耳热相等，整个过程根据能量守恒可得 联立解得棒产生的焦耳热为 （2）分析可知棒在下滑过程中产生的电动势与cd棒在向左运动的过程中产生的电动势方向相反，故当电流达到稳定时，两棒的速度差恒定，故可知此时两棒的加速度相等，由于两棒受到的安培力大小相等，对两棒有， 同时有， 联立解得此时、棒的速度大小之差为 （3）分析可知从开始到时刻，两棒整体所受的合外力为零，故该过程系统动量守恒，设时刻ab棒的速度为，可知 解得 设某时刻时，ab棒速度为，cd棒速度为，棒的加速度为零，可得① 其中 分析可知此时两导体棒产生的电动势方向相反，可得② 从时刻到某时刻间，对两棒分别根据动量定理有， 变式可得， 两式相加得③ 同时有 ④ 联立①②③④可得从到某时刻，、的路程之差为 【变式训练4-9】如图所示，间距为L的光滑平行导轨由足够长的水平导轨和固定在竖直面导轨组成，圆弧导轨最低点与水平导轨分别在M、N两点平滑连接，MN与导轨垂直，水平导轨处在竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B。长度均为L、质量均为m、电阻均为R的金属棒cd、ef垂直放在水平导轨上处于静止状态，虚线MN左侧没有磁场，质量为m、电阻为R的金属棒ab从圆弧轨道上距水平轨道高为处静止释放，三根金属棒运动过程中始终与导轨接触良好且保持垂直，金属棒间均不会相碰，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。求： （1）金属棒ab刚进入磁场时，金属棒ab两端间的电压大小； （2）金属棒ab刚进入磁场时，金属棒cd的加速度大小； （3）从ab进入磁场至ab速度大小为的过程中，ab和cd间的距离减小量。 【答案】（1）金属棒ab刚进入磁场时，金属棒ab两端间的电压大小为； （2）金属棒ab刚进入磁场时，金属棒cd的加速度大小为； （3）从ab进入磁场至ab速度大小为的过程中，ab和cd间距离减小了。 【解析】解：（1）设金属棒ab刚进磁场时速度大小为v0。金属棒ab沿圆弧导轨下滑过程，根据机械能守恒定律得 解得 金属棒ab刚进磁场时产生的感应电动势 ab两端间电压为 （2）当金属棒ab刚进入磁场时，通过金属棒ab的电流为 通过金属棒cd的电流 设金属棒cd的加速度为a，根据牛顿第二定律得 BI1L＝ma 解得 （3）从ab进入磁场至ab速度v的过程中，设ab和cd间的距离减小量为x。 对ab研究，根据动量定理得 •t＝mv﹣mv0 其中•t＝BL•t＝BL•q＝BL•BL• 解得（1分） 即从ab进入磁场至ab速度等于的过程中，ab和cd间距离减小了。 答：（1）金属棒ab刚进入磁场时，金属棒ab两端间的电压大小为； （2）金属棒ab刚进入磁场时，金属棒cd的加速度大小为； （3）从ab进入磁场至ab速度大小为的过程中，ab和cd间距离减小了。 【变式训练4-10】如图所示为某电磁发射装置，由两平行等高金属导轨、恒定电源、金属棒a、金属棒b组成。水平粗糙导轨间距.L=0.5m，其间存在磁感应强度，B=1T的匀强磁场，左端连接一电动势.E=10V的恒定电源；倾斜导轨光滑，且与水平导轨平滑连接，连接处上方一光滑卡口可让金属棒无速度损失地从水平段进入倾斜段；开始时金属棒a静止于水平导轨某处，金属棒b锁定在距离斜轨道端.L=0.5m处，其中点处焊有一绝缘轻质杆，杆长也为L。已知金属棒a和b质量均为m=1kg，电阻均为，棒a与水平导轨间动摩擦因数，倾斜导轨倾角 ，在运动过程中金属棒始终与导轨接触良好，忽略导轨电阻和电源内阻。 (1)闭合开关，金属棒a开始向右运动，运动距离后达到最大速度，仍在水平导轨上，求： ①开关刚闭合瞬间，金属棒a受到的安培力大小； ②金属棒a的最大速度 vm； ③该过程中，回路产生的总焦耳热Q。 (2)若在金属棒a与杆碰前瞬间-解锁棒b并断开图中开关，碰后a与杆粘在一起，碰撞时间极短。以顶端为原点，沿导轨向下建立x轴，从a与杆刚碰后开始计时，碰后立即施加垂直倾斜导轨向上的磁场，磁感应强度大小.（其中，），求a棒最终位置到原点的距离s。 【答案】(1)① 2.5N ； ② ；③ (2)s=0.04m 【解析】（1）① 根据闭合电流欧姆定律有     则安培力 ②导体棒速度最大时有 根据平衡条件有 联立     ③规定向右为正方向，对a棒，由动量定理 整理的 联立解得 根据动量定理有      联立解得 ， 则     联立解得 （2）a与杆碰撞，动量守恒 根据法拉第电磁感应定律有     因为，     当 减速运动   该过程由动量定理     联立解得s=0.04m 题型05：无外力的不等间距双杆题型 【典型例题1】如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MNPQ和M1N1P1Q1固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为2L和L，金属棒a、b的质量分别为2m、m，阻值分别为2R、R，长度分别为2L、L，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。现给金属棒a一水平向右的初速度v0，经一段时间后金属棒a、b达到稳定速度。已知运动过程中两金属棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，金属棒a一直未到达NN1位置，下列说法正确的是（　　） A．稳定后金属棒a的速度大小为v0 B．稳定后金属棒b的速度大小为 C．整个运动过程中产生的热量为m D．从开始运动至达到稳定速度的过程中，流过金属棒b的电荷量为 【答案】C 【解析】解：AB、设稳定后金属棒a的速度大小为v1，金属棒b的速度大小为v2，这时两个金属棒产生的感应电动势大小相等，回路中感应电流为0，即B•2Lv1＝BLv2，则v2＝2v1，规定向右的方向为正方向，根据动量定理，对金属棒a有，对金属棒b有，联立解得，，故AB错误； C、根据能量守恒可得整个过程中产生的热量为Q，解得Q，故C正确； D、对金属棒b有，q，联立解得q，故D错误。 故选：C。 【典型例题2】如图所示的装置水平置于竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场中，电源电动势为、内阻为，两副平行且光滑的导轨间距分别为与。材质均匀的导体棒的长度均为，电阻均为，质量分别为，垂直置于导轨上。导轨足够长且不计电阻，从闭合开关到两导体棒达到稳定状态的全过程（　　） A．稳定前棒加速度之比为 B．稳定时导体棒的速度为 C．通过棒的电量 D．导体棒中产生的焦耳热为 【答案】D 【解析】A．两棒为串联关系，电流相等，根据牛顿第二定律有，解得 故稳定前b、c棒加速度之比为，故A错误； BC．闭合开关，当两棒稳定时，两棒产生的反电动势与电源电动势的关系有 根据动量定理对b棒有 对c棒有 因b、c串联，通过的电量相等，则有 联立可得，，，故BC错误； D．由能量守恒定律，电源提供的电能转化为动能和焦耳热 根据热量与电阻的正比关系可得 联立解得导体棒b中产生的焦耳热为，故D正确。 故选D。 【典型例题3】（多选）如俯视图所示，水平面上固定着两组足够长平行光滑金属导轨PQ和MN，宽度分别为L和2L，两组导轨用导线交叉连接（导线不接触），导轨区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，PQ导轨上垂直放置导体棒a，其质量为m，接入长度为L，接入的电阻为R；MN导轨上垂直放置导体棒b，其质量为m，接入长度为2L，接入的电阻也为R。某时刻同时给两导体棒相同初速度大小为v0，导体棒运动过程中始终与导轨保持垂直且接触良好， 两导体棒始终没有进入交叉区， 不计导轨电阻。下列说法正确的是（ ） A．导体棒a的最大加速度为 B．从开始至导体棒b向右运动最远过程中，通过导体棒b的电荷量为 C．两导体棒最终速度为零 D．导体棒a产生的热量为 【答案】AD 【解析】A、两棒产生电动势方向相同，初始时回路电动势最大，Em＝BLv0＋B2Lv0＝3BLv0， 回路电流最大Im＝＝，此时导体棒a受安培力最大Fm＝BImL＝， 导体棒，加速度最大am＝＝，A正确； B、导体棒b受的安培力始终比a棒的大，由动量定理，对a棒有－BILΔt＝m(va－v0) 对b棒有－BI2LΔt＝m(vb－v0)，b棒先减速到零再反向向左加速， 当b棒先减速到零时b棒向右运动最远，BI2LΔt＝mv0，q＝IΔt＝，故B错误； C、当b棒速度为零时，a棒速度为va，由上述两式相比得va＝； 此后a棒向右做减速运动，b棒向左做加速运动，两棒最终各自做匀速运动，BLva′＝B2Lvb′， 对a棒有－BILΔt＝m(va′－va)， 对b棒有－BI2LΔt＝m(vb′－0)，得va′＝，vb′＝，故C错误； D、导体a产生的热量为Q，则2Q＝×2－－，得Q＝，故D正确。 【典型例题4】（多选）如图，水平面内固定着足够长的光滑平行导轨abcd－a′b′c′d′，ab－a′b′导轨宽度是cd－c′d′导轨宽度的2倍，cd－c′d′导轨宽度为L，导轨处于方向垂直于轨道平面向里的匀强磁场中，金属棒PQ和MN分别垂直导轨放置在导轨ab－a′b′段和cd－c′d′段上，金属棒PQ和MN的质量之比为2∶1，长度分别为2L和L，两金属棒电阻均为R。现给金属棒MN一个向右的初速度，运动过程中两棒始终没有离开各自的导轨段，并与导轨接触良好，其余部分的电阻均不计，则(　　) A.运动过程中金属棒PQ和MN的加速度大小之比为1∶2 B.运动过程中金属棒PQ和MN所受的安培力的冲量大小之比为2∶1 C.运动到速度稳定时金属棒PQ和MN的速度之比为1∶2 D.运动到速度稳定时金属棒PQ和MN两端的电压之比为2∶1 【答案】BC 【解析】运动过程中对PQ有I·2LB＝2ma1，对MN有ILB＝ma2，所以运动过程中加速度大小之比为1∶1，故A错误；因为运动过程中PQ所受安培力大小为MN的两倍，在相同时间内安培力的冲量大小之比I1∶I2＝2∶1，故B正确；金属棒运动到速度稳定时有B·2Lv1＝BLv2，故运动到速度稳定时，金属棒PQ和MN的速度之比v1∶v2＝1∶2，故C正确；P、M两点电势相等，Q、N两点电势相等，任意时刻都有UPQ＝UMN，即金属棒PQ和MN两端的电压之比为1∶1，故D错误。 【典型例题5】（多选）如图所示，半径为r、间距为2L的光滑圆弧导轨与水平光滑导轨在M、N处相切且平滑连接，水平导轨由两个足够长的宽窄导轨组成，宽导轨的间距为2L，窄导轨的宽度为L，虚线MN右侧存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两根粗细相同、材质相同的均匀金属棒a、b分别放在宽窄导轨上，长度与导轨宽度相同，a棒的质量为m，电阻为R。a棒从圆弧导轨顶端由静止沿圆弧导轨滑下，到a、b棒运动稳定的整个过程中，两棒始终与导轨接触良好且垂直于导轨，不计导轨的电阻，重力加速度为g。在a、b棒整个运动过程中，下列说法正确的是（　　） A. a棒克服安培力做的功大于安培力对b棒做的功 B. b棒的最大加速度大小为 C. b棒上产生的焦耳热为 D. 流过b棒的电荷量为 【答案】ABD 【解析】a棒克服安培力做功，使得a棒的动能转化为电能，安培力对b棒做正功，使得b棒的动能增加，同时电流流过整个回路还要转化为焦耳热，故A正确； B．由于金属棒a、b粗细相同、材质相同，则a、b棒质量之比为2:1，电阻之比为2:1，b棒加速度最大时，回路中感应电流最大，对应a棒刚进入磁场时，根据，， 对b棒，由牛顿第二定律得 解得 故B正确； C．当a、b棒运动稳定后，回路中没有感应电流，设此时a棒的速度为v1，b棒的速度为v2，则 即 对a棒，根据动量定理有 对b棒，根据动量定理有 解得， 回路中产生的总焦耳热 由于a、b棒电阻之比为2:1，所以b棒产生的焦耳热为，故C错误； D．对b，根据动量定理得 电荷量 故D正确。 【典型例题6】（多选）如图，光滑且分为宽处和窄处的两平行金属导轨固定在水平绝缘桌面上，两导轨所在区域存在垂直桌面向里的匀强磁场，两粗细均匀的金属杆ab、cd静置在导轨上且相距一定距离。现使ab杆以初速度v0从导轨宽处向窄处运动，cd置于窄处，在运动过程中，两杆与导轨始终垂直并接触良好，且始终不相碰，除了两杆的电阻，其余电阻不计。 则金属杆ab、cd开始运动后的一段时间内，其速度v随时间t变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】通过受力分析可知，运动过程中，ab受到向左的安培力，做减速运动，cd杆受到向右的安培力，做加速运动。设ab杆的速度为，杆长为，质量为，cd杆的速度为，杆长为，质量为，则整个回路的电动势为因为减小，增大，故感应电动势逐渐减小，感应电流也逐渐减小。运动过程中，由牛顿第二定律，对ab杆有故ab杆做初速度为，加速度减小的减速运动，对cd杆有故cd杆做初速度为零，加速度减小的加速运动，当，即时，回路中电动势为零，电流为零。因为本题不清楚ab何时滑到窄处，故分为以下几种清况： AB．若此时金属杆ab没有进入窄处，则两杆最终以各自的速度匀速运动一段时间，因l1>l2，所以此时金属杆ab的速度v1小于金属杆cd的速度v2，故B错误A正确； CD．若回路电流为零后金属杆ab进入窄处，此时金属杆ab的速度v1小于金属杆cd的速度v2，由于两棒有效长度相等，所以金属杆ab做加速度减小的加速运动，金属杆cd做加速度减小的减速运动，在一段时间后达到共同速度并一起匀速运动，C正确，D错误； 若金属杆ab在宽处速度还未达到小于金属杆cd的速度就进入窄处，进入窄处后金属杆ab的有效长度与金属杆cd的相同，应继续做减速运动直到与金属杆cd达到共同速度。故选AC。 【典型例题7】如图所示，固定光滑平行轨道的水平部分处于磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场中，段轨道宽度为，段轨道宽度为，段轨道和段轨道均足够长，将质量分别为、，有效电阻分别为、的金属棒和分别置于轨道上的段和段，且均与轨道垂直，金属棒原来处于静止状态。现让金属棒从距水平轨道高为处无初速度释放，两金属棒运动过程中始终与导轨接触良好且与导轨垂直，不计其他电阻及空气阻力，重力加速度大小为，求： （1）金属棒的最大加速度； （2）回路中产生的总焦耳热； （3）两金属棒距离最近时两导轨间的电压。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】(1)金属棒下滑到刚进入磁场时，速度最大，感应电动势最大，金属棒受到的安培力最大，设金属棒刚进入磁场时的速度大小为，此时回路中的感应电动势为，感应电流为，据机械能守恒定律有 产生的感应电动势为 回路感应电流为 据牛顿第二定律可得 联立解得 (2)金属棒进入水平轨道后在安培力作用下做减速运动，金属棒做加速运动，直到两金属棒产生的电动势等大、反向，回路中的电流为零，最终两金属棒都做匀速运动，设两金属棒匀速运动时的速度大小分别为、，这个过程中通过两棒的电荷量为，则有 据动量定理，对P、Q金属杆分别有 由能量守恒定律可得 联立解得 (3)由牛顿第二定律可得 因通过两金属棒的电流始终相等，根据两金属棒的长度、质量关系可知，两金属棒的加速度大小始终相等，运动过程中的图像如图所示 两图线关于中间虚线对称，显然两图线的交点的纵坐标为，而两金属棒速度大小相等时距离最近，设此时金属棒产生的电动势为，金属棒产生的反电动势为，回路中的感应电流为。则有 回路电流为 两导轨间的电压为 联立解得 【变式训练5-1】如图所示，两固定在水平面上的平行金属导轨由宽轨M1N1、M2N2，窄轨O1P1、O2P2两部分组成，宽轨部分间距为2L，窄轨部分间距为L。现将两根材料相同、横截面积相同的金属棒ab、cd分别静置在宽轨和窄轨上。金属棒cd的质量为m，电阻为R，长度为L，金属棒ab的长度为2L，两金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。金属导轨处在方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现给金属棒ab水平向右的初速度v0，此后金属棒ab始终在宽轨磁场中运动，金属棒cd始终在窄轨磁场中运动。已知除金属棒的电阻之外其余电阻不计，宽轨和窄轨都足够长，不计一切摩擦。下列说法正确（　　） A．金属棒cd开始运动后，金属棒cd中的电流方向为d→c B．当两金属棒匀速运动时，cd棒的速度为 C．金属棒ab从开始运动到匀速的过程中，通过金属棒cd的电荷量为 D．金属棒ab从开始运动到匀速的过程中，金属棒cd中产生的热量为 【答案】D 【解析】解：A、金属棒cd开始运动后，穿过回路的磁通量向上减小，根据楞次定律可知，金属棒cd中的电流方向为c→d，故A错误； B、设金属棒cd的质量为m，电阻为R，则金属棒ab的质量为2m，电阻为2R。当两金属棒匀速运动时，两棒产生的感应电动势大小相等，则有B×2Lvab＝B×Lvcd 规定向右为正方向，对ab棒，由动量定理有 对cd棒，由动量定理有 联立解得，故B错误； C、对ab棒，取向右为正方向，由动量定理有 联立解得，两棒串联，则通过金属棒cd的电荷量也为，故C错误； D、根据能量守恒可知，金属棒ab从开始运动到匀速的过程中，金属棒cd中产生的热量为，联立解得，故D正确。 故选：D。 【变式训练5-2】如图所示，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为l、2l；质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，导体棒a接入电路的电阻为R，其余电阻均忽略不计；a、b两棒分别以v0、2v0的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，a总在窄轨上运动，b总在宽轨上运动，直到两棒达到稳定状态，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（　　） A．a棒加速度大于b棒的加速度 B．稳定时a棒的速度为1.5v0 C．电路中产生的焦耳热为 D．通过导体棒a的某一横截面的电荷量为 【答案】C 【解析】解：A、根据牛顿第二定律得 则a棒与b棒的加速度大小相等，故A错误； B、规定向右为正方向，对a、b棒，分别根据动量定理可得 稳定时有 Blva＝B•2lvb 可得 va＝2vb 联立解得va＝2v0，vb＝v0，故B错误； C、由能量守恒定律可知，两棒损失的动能等于电路中产生的焦耳热，则电路中产生的焦耳热为 ，故C正确； D、对a，规定向右为正方向，根据动量定理可得 通过导体棒a的某一横截面的电荷量 又va＝2v0 联立解得，故D错误。 故选：C。 【变式训练5-3】如图所示，足够长光滑平行水平导轨所在空间，有垂直于导轨平面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为。导轨间距分别为和，质量为、电阻为的铜棒跨放在导轨上，同种材料、粗细相同的铜棒的长度是的两倍，两棒与导轨始终垂直且接触良好。若使棒获得一个大小为、水平向右的初速度，导轨电阻不计，则在两棒运动过程中（棒始终在宽度为的导轨上运动），下列说法正确的是（　　） A．两棒组成的系统动量守恒，且最终速度相等 B．棒最终的速度大小为 C．棒产生的焦耳热为 D．棒克服安培力做的功为 【答案】D 【解析】A．两棒受到的安培力不相等，系统受到的合外力不为零，系统动量不守恒，最终两棒切割磁感线产生的电动势相等，速度不相等，选项A错误； B．设棒和棒的最终速度大小分别为和，则有 对棒有 对棒有 解得， 选项B错误； C．系统产生的焦耳热 棒产生的焦耳热占总焦耳热的，则 选项C错误； D．棒克服安培力做的功 选项D正确。 故选D。 【变式训练5-4】如图所示，固定在水平面内的光滑不等距平行轨道处于竖直向上、大小为B的匀强磁场中，ab段轨道宽度为2L，bc段轨道宽度是L，ab段轨道和bc段轨道都足够长，将质量均为m、接入电路的电阻均为R的金属棒M和N分别置于轨道上的ab段和bc段，且与轨道垂直。开始时金属棒M和N均静止，现给金属棒M一水平向右的初速度v0，不计导轨电阻，则（　　） A．M棒刚开始运动时的加速度大小为 B．金属棒M最终的速度为 C．金属棒N最终的速度为 D．整个过程中通过金属棒的电荷量为 【答案】D 【解析】解：A、M棒刚开始运动时，M棒产生的感应电动势为E＝B•2Lv0 根据闭合电路欧姆定律得 由牛顿第二定律得2BIL＝ma 联立解得，故A错误； BC、最终两棒产生的感应电动势大小相等，回路中的电流为0，则有2BLvM＝BLvN 对金属棒M，取向右为正方向，由动量定理得 ﹣B•2L•t＝mvM﹣mv0 对金属棒N，取向右为正方向，由动量定理得 BL•t＝mvN 联立解得，，故BC错误； D、通过金属棒的电荷量为q•t 对金属棒N，取向右为正方向，由动量定理得 BL•t＝mvN 联立解得整个过程中通过金属棒的电荷量为，故D正确。 故选：D。 【变式训练5-5】（多选）如图，在水平面内固定的光滑平行金属导轨PQ、MN，左侧间距0.6m，右侧间距0.3m，导轨电阻不计且足够长。空间有竖直向上的磁感应强度为0.5T的匀强磁场。完全相同的导体棒a、b分别放在宽窄不同的导轨上静止，质量都为0.1kg，b棒接入导轨中的电阻为0.1Ω，两棒始终与导轨垂直。给a棒水平向右4m/s的初速度，在a棒到达宽窄导轨分界前两棒已达到稳定状态，下列说法正确的是（　　） A．达到稳定状态时a棒与b棒共速 B．达到稳定状态时a棒速度为0.8m/s C．达到稳定过程中a棒产生的焦耳热为0.64J D．达到稳定过程中回路磁通量改变了0.32Wb 【答案】BD 【解析】解：A、当系统达到稳定状态时，回路中的感应电流为零，总电动势平衡，即BLava＝BLbvb，代入数据得0.6va＝0.3vb，解得：vb＝2va，故A错误； B、分别对金属棒a和b应用动量定理，可得﹣BLaq＝ma（va﹣v0）与BLbq＝mbvb，联立两式得到，代入数据解得：va＝0.8m/s，vb＝1.6m/s，故B正确； C、依据能量守恒定律，系统产生的总焦耳热为，代入数据解得：Q总＝0.64J。根据电阻比例关系，a棒上产生的焦耳热，故C错误； D、回路中通过的电荷量表达式为，结合动量定理公式BLbq＝mbvb及总电阻R总＝0.3Ω，可得磁通量的改变量，代入数据解得：ΔΦ＝0.32Wb，故D正确。 故选：BD。 【变式训练5-6】（多选）如图所示，水平面内固定有电阻可忽略且足够长的光滑“凸”形金属导轨，左侧宽度为L1，右侧宽度为L2，且L1=2L2，有两根材料相同，质量均为m的导体格垂直两平行导轨静止放置，在垂直于导轨平面内有匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直轨道平面向外。现给导体棒II一初速度v0，使其沿水平方向开始运动直至达到稳定状态，整个过程导体棒I一直在左侧导轨部分，下列说法正确的是（　　） A．导体棒I达到稳定状态时速度为 B．导体棒I达到稳定状态时速度为 C．整个过程中通过导体棒II的电荷量为 D．整个过程中导体棒II上产生的焦耳热为 【答案】BCD 【解析】AB．达到稳定状态时电流为零，此时导体棒Ⅰ的速度为，导体棒Ⅱ的速度为，则有 解得设过程中通过导体棒的平均电流为I，对导体棒Ⅰ根据动量定理可得对导体棒Ⅱ根据动量定理可得则解得，所以导体棒Ⅰ达到稳定状态时速度为，故B正确，A错误； C．对导体棒Ⅱ根据动量定理可得其中，则整个过程中通过导体棒Ⅱ的电荷量为 故C正确； D．整个过程中系统产生的焦耳热两个导体棒材料相同，质量相同，则体积相同，横截面积之比为1∶2，由电阻定律可知电阻之比为4∶1，导体棒Ⅱ上产生的焦耳热为 故D正确。故选BCD。 【变式训练5-7】（多选）如图所示的光滑金属轨道由左、右两段足够长的轨道拼接而成，整个轨道固定在水平面内，左侧两平行导轨间距为，在上面搁置导体棒2（长度为，质量为，电阻为），右侧两平行导轨间距为，在上面搁置导体棒1（长度为，质量为，电阻为），导轨电阻不计，整个轨道所在的空间中有垂直于轨道平面的匀强磁场。现在给棒1一个初速度，它通过安培力带动棒2向右运动，运动过程中棒1、棒2均与导轨良好接触。下列说法正确的是（　　） A. 两棒一直做减速运动，最终速度为0 B. 棒1和棒2的最终速度分别为和 C. 两棒在运动过程中的同一时刻加速度大小不相等 D. 整个过程中两棒上产生的焦耳热为 【答案】BD 【解析】根据题意，安培力会带动棒2向右加速运动，安培力使得棒1向右减速，最终两棒均做匀速直线运动，故A错误； 当两棒做匀速直线运动时有，此时回路中无电流，此即为两棒最终稳定状态，此时； 对棒1应用动量定理，得 对棒2应用动量定理，得 解得，，故B正确； 对棒1，由牛顿第二定律有 对棒2，由牛顿第二定律有 其中，因为两棒串联，所以每时每刻,所以解得，故C错误； 由能量关系有，解得，故D正确。 【变式训练5-8】（多选）如图所示，光滑金属轨道由左、右两段足够长的轨道拼接而成，整个轨道固定在水平面内。左、右侧两平行轨道间距分别为2L、L，左、右侧轨道所在的空间中分别有垂直于轨道平面向里、向外的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。材料、横截面积均相同的导体棒a、b分别垂直于左、右侧轨道放置，且导体棒长度分别为2L、L。某时刻质量为m、电阻为R的导体棒b获得水平向右、大小为的初速度，一段时间后两导体棒达到稳定状态。轨道电阻不计，两导体棒始终与轨道接触良好。下列说法正确的是（　　） A．两导体棒重新达到稳定状态时导体棒a的速度大小为 B．两导体棒重新达到稳定状态时导体棒b的速度大小为 C．从导体棒b开始运动到两导体棒重新达到稳定状态的过程中导体棒b产生的热量为 D．从导体棒b开始运动到两导体棒重新达到稳定状态的过程中通过导体棒b的电荷量为 【答案】AD 【解析】AB．根据可知，导体棒a的电阻为2R，导体棒稳定时回路磁通量不再变化 所以 通过导体棒的电流相等，根据安培力F=BIL，可知导体棒受到的安培力大小之比为2:1，两者质量之比为2：1，a的质量为2m，所以两者加速度大小相同，则 联立解得，，故A正确，B错误。 C．从导体棒b开始运动到两导体棒重新达到稳定状态的过程中回路总产热为 根据可知，导体棒b产热是总量的，，故C错误。 D．对b根据动量定理，，解得，故D正确。 故选AD。 【变式训练5-9】（多选）如图所示，足够长的光滑平行金属直导轨固定在水平面上，左侧轨道间距为2d，右侧轨道间距为d．轨道处于竖直向下的磁感应强度大小为B的匀强磁场中．质量为2m、有效电阻为2R的金属棒a静止在左侧轨道上，质量为m、有效电阻为R的金属棒b静止在右侧轨道上．现给金属棒a一水平向右的初速度v0，经过一段时间两金属棒达到稳定状态．已知两金属棒运动过程中始终相互平行且与导轨良好接触，导轨电阻忽略不计，金属棒a始终在左侧轨道上运动，则下列说法正确的是（　　） A．金属棒b稳定时的速度大小为 B．整个运动过程中通过金属棒a的电荷量为 C．整个运动过程中两金属棒扫过的面积差为 D．整个运动过程中金属棒b产生的焦耳热为 【答案】BCD 【解析】ABC、达到稳定运动时，电路中电流为零，设此时a、b棒的速度分别为v1、v2，则有 2Bdv1＝Bdv2 对变速运动中取极短时间Δt，以向右为正方向，根据动量定理，对a棒有 ﹣2BId•Δt＝2m•Δv1 对b棒有 BId•Δt＝m•Δv2 对变速运动全过程有Bdq＝m（ v0﹣v1） v0﹣v1＝v2 联立解得从t＝0时到达到稳定运动的过程中，通过金属棒a的电荷量为q； v2v0 v1v0 设整个运动过程中两金属棒扫过的面积差为ΔS，则根据流过金属棒a的电荷量 q 联立整理可得ΔS 故A错误，BC正确； D、根据能量守恒定律可知，从t＝0时至达到稳定运动的过程中，回路产生的内能为 Q•2m•2mm 整理可得Q 整个运动过程中金属棒b产生的焦耳热和金属棒a产生的焦耳热满足 故整个运动过程中金属棒b产生的焦耳热Qb 故D正确。 故选：BCD。 【变式训练5-10】（多选）如图所示，光滑水平导轨置于磁场中，磁场的磁感应强度为B，左侧导轨间距为L，右侧导轨间距为2L，导轨均足够长。质量为m的导体棒ab和质量为2m的导体棒cd均垂直于导轨放置，处于静止状态。ab的电阻为R，cd的电阻为2R，两棒始终在对应的导轨部分运动，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。现瞬间给cd一水平向右的初速度，则此后的运动过程中下列说法正确的是（　　） A．导体棒ab和cd组成的系统动量不守恒 B．两棒最终以相同的速度做匀速直线运动 C．ab棒最终的速度 D．从cd获得初速度到二者稳定运动，此过程系统产生的焦耳热为 【答案 AC 【解析】BC．cd获得速度后，电路中产生感应电流，根据左手定则得cd棒减速，ab棒加速，当 电路中磁通量不变，没有感应电流，最终两棒做匀速直线运动，分别对两棒运用动量定理得 两式合并得 联立解得 故B错误C正确； A．由 故导体棒ab和cd组成的系统动量不守恒 故A正确； D．从cd获得初速度到二者稳定运动，此过程系统产生的焦耳热为 解得 故D错误。 故选AC 【变式训练5-11】（多选）如图所示，两条足够长的光滑金属导轨平行放置在绝缘水平面上，左侧导轨间距为2L，右侧导轨间距为L，整个装置处在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。由同种材料制成的、粗细相同的导体棒C和导体棒D分别垂直于导轨放置。已知D棒的长度为L、电阻为R、质量为m，C棒的长度为2L，导轨电阻不计。第一次锁定D棒，让C棒以初速度v0向右运动，C棒运动一段距离x后停止运动（未到两导轨连接处），该过程中通过C棒的电荷量为q1。第二次解除锁定，让C棒仍以初速度v0向右运动，当C棒的速度稳定时还未到两导轨连接处，该过程中通过D棒的电荷量为q2，D棒中产生的焦耳热为Q，x、q1、q2、Q均未知，下列说法正确的是（　　） A． B．q1：q2＝3：2 C． D．第一次C棒运动的过程中，其热功率与速度的平方成正比 【答案】ABD 【解析】解：A、锁定D棒，C棒滑行并逐渐停下，规定向右为正方向，由动量定理得 解得 又由和 可知 又ΔΦ＝B•2Lx，解得，故A正确； B、第二次解除锁定后两棒都运动，稳定时回路中无电流，则有B•2Lv1＝BLv2 规定向右为正方向，对C棒，由动量定理有 对D棒，由动量定理有 解得，， 可得，故B正确； C、由能量守恒定律有 解得，故C错误； 【变式训练5-12】（多选）如图，足够长的光滑平行导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为2L和L，图中左侧是电阻不计的金属导轨，右侧是绝缘轨道。金属导轨部分处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为；右侧以O为原点，沿导轨方向建立x轴，右侧存在分布规律为的竖直向下的磁场（图中未标出）。一质量为m、阻值为R、三边长度均为L的U形金属框，左端紧靠平放在绝缘轨道上（与金属导轨不接触）处于静止状态。长为2L，质量为2m，接入电路中的阻值为R的导体棒a处在间距为2L的金属导轨上，长为L、质量为m、接入电路中的阻值为R的导体棒b处在间距为L的金属导轨上。现同时给导体棒a、b大小相同的水平向右的初速度，当导体棒b运动至时，导体棒a中已无电流。导体棒b与U形金属框碰撞后连接在一起构成回路，导体棒a、b、金属框与导轨始终接触良好，导体棒a被立柱挡住没有进入右侧轨道。下列说法正确的是（　　） A．导体棒a、b获得相同的水平向右的初速度后，导体棒a做匀减速运动 B．导体棒b运动至时的速度大小为 C．导体棒b运动至前，导体棒a和导体棒b构成的回路产生的热量为 D．导体棒b与U形金属框碰撞后至停止的过程中，通过导体棒b截面的电荷量为 【答案】BCD 【解析】A．给导体棒a、b大小相同的水平向右的初速度，由，， 解得a棒所受安培力 由牛顿第二运动定律得 解得 棒运动的速度减小，加速度也减小，故A错误； B．设b棒到达时的速度大小为vb，此时导体棒a的速度大小为va，因为此时已经无电流，即 设向右为正方向，对a、b棒分别根据动量定理可得， 解得， 故B正确； C．导体棒b运动至前，导体棒a和导体棒b构成的回路产生的热量为 故C正确； D．设b棒与U形金属框碰撞后共同速度为v1，设向右为正方向，根据动量守恒定律可得 解得 由右侧存在分布规律为可知U形金属框右边始终比U形金属框左边的磁场大，即 从导体棒b与U形金属框碰撞后到最终静止的过程，回路中的平均电流为，设向右为正方向，根据动量定理可知 通过导体棒b截面的电荷量为 解得 故D正确。 故选BCD。 【变式训练5-13】（多选）如下图所示，足够长的水平轨道左侧部分轨道间距为2L，右侧部分的轨道间距为L，圆弧轨道与水平轨道相切于，所有轨道均光滑且电阻不计。在水平轨道内有斜向下与竖直方向夹角的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为的金属棒C垂直于轨道静止放置在右侧窄轨道上，质量为的导体棒A自圆弧轨道上处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与轨道保持良好接触，A棒总在宽轨上运动，C棒总在窄轨上运动。已知：两金属棒接入电路的有效电阻均为，，，，，g取10，则下列说法正确的是（　　） A. 金属棒A滑到处时的速度大小为9 B. 金属棒C匀速运动的速度大小为2 C. 在两棒整个的运动过程中通过金属棒A某截面的电荷量为26C D. 在两棒整个的运动过程中金属棒A、C在水平轨道间扫过的面积之差为130 【答案】AB 【解析】A棒在圆弧轨道上下滑，由机械能守恒定律得 得 ，故A正确； 选取水平向右为正方向，对A、C应用动量定理可得，对C， 对A， 其中 由以上知 两棒最后匀速运动时，电路中无电流，有 得 联立两式得 ，故B正确； 在C加速过程中，有 ， 得 ，故C错误； 磁通量变化量 电荷量 得 ，故D错误。 【变式训练5-14】（多选）如图所示，两根平行且光滑的金属导轨由圆弧部分和水平部分组成，圆弧部分由两段间距为2l、竖直放置的四分之一圆弧导轨构成，水平部分由足够长、但不等宽的水平导轨构成，水平导轨的宽、窄部分间距分别为2l、l，虚线MN右侧导轨区域处于竖直向上的匀强磁场中，宽、窄两部分区域内的磁感应强度大小分别为B、2B。金属棒ab与cd的质量均为m、电阻均为R，长度分别为l、2l，金属棒ab静止在窄导轨上。现将金属棒cd从圆弧轨道上距水平导轨h高度处由静止释放，在此后的运动过程中，cd始终在宽导轨上运动，ab始终在窄导轨上运动，两金属棒始终垂直于导轨且与导轨接触良好。导轨各部分之间均平滑连接，导轨电阻不计，重力加速度为g，则（　　） A．金属棒cd刚进入磁场时的速度大小为 B．通过金属棒ab的最大电流为 C．整个过程中金属棒cd上产生的焦耳热为mgh D．整个过程中通过金属棒cd的电荷量为 【答案】BCD 【解析】A、金属棒cd沿圆弧导轨下滑的过程中，根揩机械能守恒定律可得mgh，解得金属棒cd刚进入磁场时的速度大小为v，故A错误； B、金属棒cd刚进入磁场时速度最大，产生的感应电动势最大，感应电流最大，流过两个金属棒的电流相同，则通过金属棒ab的最大电流为Imax，故B正确； C、金属棒cd进入磁场后的开始阶段，cd棒受到向左的安培力作用做减速运动，ab受到向右的安培力作用做加速运动，两金属棒所受的安培力始终大小相等，方向相反，故两金属棒组成的系统动量守恒，最终两金属棒共速，取向右为正方向，由动量守恒定律得：mv＝2mv共，整个过程中金属棒cd上产生的焦耳热为Q（2mv共2）mgh，故C正确； D、对金属棒cd，由动量定理得：﹣B•2l•Δt＝mv共﹣mv，通过金属棒cd的电荷量为q•Δt，联立解得q，故D正确。 故选：BCD。 【变式训练5-15】（多选）如图所示，足够长的水平轨道左侧b1b2﹣c1c2部分轨道间距为2L，右侧c1c2﹣d1d2部分的轨道间距为L，曲线轨道与水平轨道相切于b1b2，所有轨道均光滑且电阻不计。在水平轨道内有斜向下与竖直方向成θ＝37°的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1T。质量为M＝0.2kg的金属棒B垂直于导轨静止放置在右侧窄轨道上，质量为m＝0.1kg的金属棒A自曲线轨道上距水平轨道高为h的a1a2处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与轨道保持良好接触，金属棒A在宽轨道上运动稳定很长一段时间后进入窄轨道上运动，金属棒B总在窄轨道上运动。已知：金属棒A在宽轨道上运动时，两金属棒接入电路的有效电阻均为R＝0.2Ω，h＝0.2m，L＝0.2m，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2。则（　　） A．金属棒A在宽轨道上稳定运动的速度大小m/s B．金属棒A在宽轨道上运动过程中，通过金属棒A某截面的电荷量C C．金属棒A在宽轨道上运动过程中，金属棒A、B在水平轨道间扫过的面积之差是m2 D．金属棒B最终速度大小为m/s 【答案】BD 【解析】解：AB、金属棒A下滑至水平轨道时的初速度，解得：v0＝2m/s；磁场垂直于轨道平面的分量B1＝Bcos37°，解得：B1＝0.08T。在宽轨道稳定运动时，回路电动势平衡，有B1（2L）vA1＝B1LvB1，解得：vB1＝2vA1；根据动量定理，对棒A有﹣∫B1（2L）Idt＝m（vA1﹣v0），对棒B有∫B1LIdt＝M（vB1﹣0），联立方程得m（v0﹣vA1）＝2MvB1，代入数据解得金属棒A稳定时的速度，棒B的速度，故A错误；通过金属棒的电荷量，代入数据解得，故B正确； C、在宽轨道运动过程中，回路磁通量的变化量ΔΦ＝B1（2LxA﹣LxB）＝B1ΔS，根据电荷量公式，代入数据解得面积之差，解得：，故C错误； D、当棒A进入窄轨道后，两棒均在间距为L的轨道上运行，系统动量守恒，有mvA1+MvB1＝（m+M）vB2，代入数据解得最终速度，故D正确。 故选：BD。 D、锁定D棒，C棒滑行过程中速度逐渐减小，对应的感应电动势逐渐减小，因此其热功率也逐渐减小，由E1＝B•2Lv和，可知，即第一次C棒运动的过程中，其热功率与速度的平方成正比，故D正确。 故选：ABD。 【变式训练5-16】（多选）如图6所示，用金属制作的曲线导轨与水平导轨平滑连接，水平导轨宽轨部分间距为3L，有竖直向下的匀强磁场，窄轨部分间距为2L，有竖直向上的匀强磁场，两部分磁场磁感应强度大小均为B。质量均为m的金属棒M、N垂直于导轨静止放置，现将金属棒M自曲线导轨上h高度处静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，两棒接入电路中的电阻均为R，其余电阻不计，导轨足够长，M棒总在宽轨上运动，N棒总在窄轨上运动，不计所有摩擦。下列说法正确的是(　　) 图6 A.M棒刚进入磁场时N棒的加速度为 B.N棒的最终速度大小为 C.通过M棒的电荷量为 D.N棒产生的热量为mgh 【答案】AD 【解析】　M棒在曲线导轨滑下过程，根据动能定理可得mgh＝mv，M棒刚进入磁场时，回路电动势为E＝3BLv0，回路电流为I＝，对N棒，根据牛顿第二定律可得2BIL＝ma，解得a＝，故A正确；两金属棒最终分别匀速直线运动，则有EM＝3BLvM，EN＝2BLvN，EM－EN＝0，可得3vM＝2vN，分别对M、N应用动量定理，对M有－3BLq＝mvM－mv0，对N有2BLq＝mvN，解得vN＝、vM＝，q＝，全过程由能量守恒定律有mgh＝mv＋mv＋Q，且QN＝，解得QN＝mgh，故B、C错误，D正确。 【变式训练5-17】如图所示，光滑平行轨道abcd的水平部分处于竖直向上大小为B的匀强磁场中，bc段轨道宽度为L，bc段轨道宽度是cd段轨道宽度的2倍，bc段轨道和cd段轨道都足够长，将质量相等的金属棒P和Q分别置于轨道上的ab段和cd段，且与轨道垂直．P、Q棒电阻均为r,导轨电阻不计，Q棒静止，让P棒从距水平轨道高为h的地方由静止释放，求： （1）P棒滑至水平轨道瞬间的速度大小； （2）P棒滑至水平轨道瞬间Q棒受到的安培力； （3）P棒和Q棒最终的速度． 【答案】（1）（2）   （3）， 【解析】（1）对于P棒，金属棒下落h过程应用动能定理： 解得P棒刚进入磁场时的速度为： （2）电动势为：    根据欧姆定律有： 安培力为： （3）当P棒进入水平轨道后，切割磁感线产生感应电流．P棒受到安培力作用而减速，Q棒受到安培力而加速，Q棒运动后也将产生感应电动势，与P棒感应电动势反向，因此回路中的电流将减小．最终达到匀速运动时，回路的电流为零 所以：，即，解得： 设P棒从进入水平轨道开始到速度稳定所用的时间为Δt 对P、Q分别应用动量定理得： 对P棒： 对Q棒： 速度关系为： 联立解得：， 【变式训练5-18】如图所示，M、N、P、Q四根光滑的足够长的金属导轨平行放置在水平面内，导轨间距分别为2L和L，两组导轨间由导线相连，导轨间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，两根质量分别为3m和m的导体棒ab、cd垂直于导轨静止放置，接入电路的电阻分别为2R和R，其余部分电阻不计。t＝0时给导体棒ab向右的初速度v0，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并与导轨接触良好，且达到稳定运动时导体棒ab未到两组导轨连接处。求： （1）t＝0时导体棒ab两端电压Uab； （2）导体棒ab稳定运动时的速度大小； （3）导体棒cd从开始运动至稳定运动的过程中产生热量。 【答案】（1）t＝0时导体棒ab两端电压为； （2）导体棒ab稳定运动时的速度大小为； （3）导体棒cd从开始运动至稳定运动的过程中产生热量为。 【解析】解：（1）t＝0时回路中的感应电动势为：E＝2BLv0，a点电势高。 导体棒ab两端电压：Uab； （2）稳定运动时，电路中电流为零，导体棒ab、cd切割产生的感应电动势大小相等，方向相反，相互抵消。 设此时导体棒ab、cd的速度分别为v1、v2，感应电动势2BLv1＝BLv2 设导体棒ab、cd变速运动的时间为Δt，取向右为正方向，由动量定理得： 对ab棒有：﹣2BLΔt＝3mv1﹣3mv0 对cd棒有：BLΔt＝mv2﹣0 联立解得：v1，v2； （3）根据能量守恒定律可知回路产生总的内能：Q总 解得：Q总 则cd从开始运动至稳定运动的过程中产生热量：Q。 题型06：有外力的不等间距双杆题型 【典型例题1】如图所示，水平面上有足够长且电阻不计的水平光滑导轨，导轨左端间距为L1＝4L，右端间距为L2＝L。整个导轨平面固定放置于竖直向下的匀强磁场中，左端宽导轨处的磁感应强度大小为B，右端窄导轨处的磁感应强度大小为4B。现在导轨上垂直放置ab和cd两金属棒，质量分别为m1、m2，电阻分别为R1、R2。开始时，两棒均静止，现给cd棒施加一个方向水平向右、大小为F的恒力，当恒力作用时间t时，ab棒的速度大小为v1，该过程中cd棒发热量为Q。整个过程中ab棒始终处在左端宽导轨处，cd棒始终处在右端窄导轨处。则（ ） A．t时刻cd棒的速度大小v2＝ B．ab棒、cd棒组成的系统稳定时加速度大小a＝ C．最终cd棒与ab棒的速度差Δv＝ D．t时间内cd棒发生的位移大小x＝ 【答案】D 【解析】A、设时间t内回路的平均电流为，对cd棒，由动量定理：Ft－＝m2v2－0，对ab棒，由动量定理：＝mv1－0，联立知，t时刻cd棒的速度大小v2＝，故A错误； BC、当ab和cd棒的加速度相同时，系统到达稳定，设此时回路的电流为I，对cd棒，由牛顿第二定律：F－4BIL＝m2a，对ab棒，由牛顿第二定律：BI·4L＝m1a，联立知，ab棒、cd棒组成的系统稳定时加速度大小a＝，I＝，由I＝和Δv＝vcd－vab解得最终cd棒与ab棒的速度差Δv＝，故BC错误； D、对ab和cd棒组成的系统，由功能关系：Fx＝，解得t时间内cd棒发生的位移大小x＝，故D正确。 【典型例题2】如图甲，abcd和a'b'c'd'为在同一水平面内的固定光滑平行金属导轨，左右导轨间距分别为2L、L，整个导轨处于竖直向下的匀强磁场中，左侧导轨间的磁感应强度大小为B0，右侧导轨间的磁感应强度大小按图乙规律变化，两根金属杆M、N分别垂直两侧导轨放置，N杆与cc'之间恰好围成一个边长为L的正方形，M杆中点用一绝缘细线通过轻质定滑轮与一重物相连，t=0时释放重物，同时在N杆中点处施加一水平向右的拉力F，两杆在0~t0时间内均处于静止状态，从t0时刻开始，拉力F保持不变，重物向下运动x距离时（M杆未到达定滑轮处），速度达到最大，已知M、N杆和重物的质量都为m，M、N接入电路的电阻都为R，不计导轨电阻，重力加速度为g，下列说法不正确的是（　　） A．0~t0时间内，回路中的感应电动势为 B．0~t0时间内，施加在N杆上的拉力F随时间t变化的关系为 C．重物下落的最大速度为 D．从t=0时刻到重物达到最大速度的过程中，回路产生的焦耳热为 【答案】B 【解析】A．0~t0时间内回路的感应电动势为 根据图乙可知，解得，故A正确； B．根据图乙可知，令0~t0时间内回路的感应电流为I0，对M有 对N有，联立解得，故B错误； C．根据上述，t0时刻的拉力大小为，t0时刻之后，对M与重物整体进行分析有 对N进行分析有，解得 可知M、N的加速度大小相等，当时，重物速度最大，即，其中 解得，故C正确； D．在0~t0时间内，有，在0~t0时间内，产生的热量为 由，M、N杆的速度在任意时刻大小均相等，位移大小也相等。则从t0时刻开始到重物最大速度的过程中有，解得 则回路产生的焦耳热为，故D正确。 本题选错误的，故选B。 【典型例题3】（多选）如图所示，左右两部分间距之比为1∶2的光滑水平导轨分别放在大小相等、方向相反且与导轨平面垂直的匀强磁场中。两根质量均为，电阻之比的金属棒垂直静置在水平轨道上。现用水平拉力作用在CD棒上，使其向右移动0.5m时撤去拉力，此时，在此过程中CD棒产生的热量为30J。设导轨足够长且两棒始终在不同的磁场中运动，导轨电阻不计，下列说法正确的是（　　） A．撤去外力时导体棒AB的速度为4m/s B．撤去外力F后，棒AB、CD的加速度始终相等 C．运动的全过程中回路产生的焦耳热为73.8J D．从撤去外力到两棒达到稳定状态，棒AB、CD运动的位移之比为1∶3 【答案】AC 【解析】A．撤去外力时，根据能量守恒定律可知 由题可知，根据焦耳定律 结合，可得 又因为，联立解得撤去外力时导体棒AB的速度为，故A正确； B．撤去外力F后，回路中的电流相等，根据牛顿第二定律可知BIL=ma 其中棒AB、CD的长度不同，故棒AB、CD的加速度不相等，故B错误； C．最终电路中电流为0，设此时AB、CD的速度为、，则有 规定向右为正方向，运动过程中对AB根据动量定理有 对CD根据动量定理有，联立可得， 由能量守恒定律，整个过程中的焦耳热为，解得Q=73.8J，故C正确； D．从撤去外力到两棒达到稳定状态，若棒AB、CD均做匀变速直线运动，则运动的位移之比为，解得 而实际AB做加速度减小的加速运动，位移大于匀加速直线运动的位移xAB，实际CD做加速度减小的减速运动，位移小于匀减速直线运动的位移xCD，即实际上运动的位移之比大于13∶14，不可能为1∶3，故D错误。 故选AC。 【典型例题4】（多选）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为d和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是MN的2倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是（　　） A．弹簧伸展过程中，回路中产生顺时针方向的电流 B．PQ速率为v时，MN所受安培力大小为 C．整个运动过程中，MN与PQ的路程之比为2：1 D．整个运动过程中，通过MN的电荷量为 【答案】AC 【解析】A．弹簧伸展过程中，根据右手定则可知，回路中产生顺时针方向的电流，选项A正确； B．任意时刻，设电流为I，则PQ受安培力 方向向左；MN受安培力 方向向右，可知两棒系统受合外力为零，动量守恒，设PQ质量为2m，则MN质量为m， PQ速率为v时，则 解得 回路的感应电流 MN所受安培力大小为 选项B错误； C．两棒最终停止时弹簧处于原长状态，由动量守恒可得 可得则最终MN位置向左移动 PQ位置向右移动 因任意时刻两棒受安培力和弹簧弹力大小都相同，设整个过程两棒受的弹力的平均值为F弹，安培力平均值F安，则整个过程根据动能定理 可得 选项C正确； D．两棒最后停止时，弹簧处于原长位置，此时两棒间距增加了L，由上述分析可知，MN向左位置移动，PQ位置向右移动，则 选项D错误。 故选AC。 【典型例题5】如图所示，由同种材料制成的两根匀质金属棒a、b垂直静置在足够长的光滑水平导轨上，金属棒a、b的质量分别为m、3m，电阻分别为R、3R，长度分别为L、3L，导轨左侧间距为L，右侧间距为3L，两导轨处于方向竖直相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场中。某时刻，金属棒a在水平向左、大小为F的恒力作用下向左加速，金属棒b随之向右加速，经时间t0后回路中的电流恒定。已知两金属棒运动过程中始终与导轨接触良好，不计导轨的电阻，求： (1)稳定时回路中的感应电流I； (2)t0时间内通过回路中某截面的电荷量q。 【答案】(1)(2) 【解析】（1）由于金属棒a受恒定的拉力作用，稳定状态时两棒都有固定的加速度，即金属棒b受到恒定的安培力，回路中有恒定的电流，设t0时刻金属棒a、b的速度大小分别为v1、v2，加速度大小分别为a1、a2，则有 电流的变化率 由牛顿第二定律，，解得 （2）对金属棒a、b有，，其中 又 联立解得 【典型例题6】如图所示，上方的平行金属导轨与间距为，下方的金属导轨由圆弧导轨、与水平导轨、平滑连接而成，上方导轨和下方导轨没有连接在一起，圆弧导轨与的圆心角为、半径为，与的间距，与的间距，与的高度差为。导轨、左端接有的电阻，导轨与间的圆弧区域内没有磁场，平直部分存在宽度为、磁感应强度方向竖直向上的匀强磁场；圆弧导轨与的区域内没有磁场，平直部分右侧存在磁感应强度方向竖直向上的匀强磁场图中没有画出，导体棒质量为，棒接在电路中的电阻；导体棒质量为，棒接在电路中的电阻。导体棒从距离导轨、平直部分处静止释放，恰好沿圆弧轨道与的上端切线方向落在圆弧轨道上端，接着沿圆弧轨道下滑；导体棒最初静止在水平导轨与上。重力加速度：，不计导轨电阻、一切摩擦及空气阻力。求： (1)导体棒刚进入磁场时电阻 的电流大小和方向； (2)的大小； (3)导体棒从静止开始到匀速运动的过程中，导体棒上产生的焦耳热。导轨与、与均足够长，导体棒只在导轨与上运动 【答案】(1)电流的方向为由到 (2) (3) 【解析】（1）根据动能定理可知 解得导体棒刚进入磁场时的速度大小为 导体棒产生的电动势为 由闭合电路欧姆定律可得 联立解得 由右手定则可判断，此时电阻的电流的方向为由到。 （2）导体棒到达时速度方向与水平方向的夹角为，则 导体棒到达时的速度为 由题可知在导轨与平直部分从左到右，根据动量定理可得 又 联立解得。 （3）导体棒到达时的速度为 导体棒刚进入磁场时的速度为，则 解得 最终匀速运动时，电路中无电流，则有 此过程中，对导体棒由动量定理得 对导体棒由动量定理得 联立解得， 该过程中整个回路产生的总焦耳热为 解得 金属棒上产生的焦耳热为 【变式训练6-1】光滑平行导轨abcd与a′b′c′d′如图所示，轨道的水平部分bcd，b′c′d′处于竖直向上的匀强磁场中，bc段轨道宽度为cd段轨道宽度的2倍，bc段和cd段轨道都足够长，轨道的电阻不计。现将质量均为m的金属棒P和Q（P和Q都有电阻，但具体阻值未知）分别置于轨道上的ab段和cd段，将P棒置于距水平轨道高为h处由静止释放，使其自由下滑，重力加速度为g。则（　　） A．当P棒进入轨道的水平部分后，P棒先做加速度逐渐增大的减速直线运动 B．当P棒进入轨道的水平部分后，Q棒先做匀加速直线运动 C．从静止释放P棒直至P棒、Q棒稳定运动的过程中，系统的生热量为 D．从静止释放P棒直至P棒、Q棒稳定运动的过程中，系统的生热量为 【答案】D 【解析】解：AB．设cd轨道宽度为L，bc段轨道宽度为2L。P棒进入磁场后切割磁感线产生感应电动势，回路中形成感应电流。由于vP减小、vQ增大，导致I减小，由F＝BIL可知两棒所受安培力减小，根据牛顿第二定律，P做加速度减小的减速运动，Q做加速度减小的加速运动，故AB错误； CD．设P棒初速度为v0，由动能定理得。当两棒电动势平衡时满足2BLvP＝BLvQ，解得2vP＝vQ。此过程中安培力对P的冲量为Q的两倍，由动量定理得：对P棒﹣2I＝mvP﹣mv0，对Q棒I＝mvQ，联立解得，。系统产生的热量，故C错误，D正确。 故选：D。 【变式训练6-2】如图所示，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，以直线MN为分界线，MN左、右两侧导轨的间距分别为l、2l。导轨处在竖直向上的匀强磁场中，其中MN左侧磁场的磁感应强度大小为2B、MN右侧磁场的磁感应强度大小为B。质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，两导体棒接入电路中的阻值均为R，其余电阻不计。初始时两导体棒均静止，现对a棒施加水平向左的恒力F1，同时对b棒施加水平向右的恒力F2。且F1＝F2＝F，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触。已知从开始运动到两棒运动状态刚好稳定的过程中b棒的位移大小为x，则此过程中（　　） A．同一时刻a棒的加速度大小等于b棒加速度大小 B．运动状态稳定时a棒做匀加速运动 C．运动状态稳定时b棒的速度大小为 D．a棒产生的焦耳热为 【答案】D 【解析】解：A．设回路电流为i，对a棒应用牛顿第二定律得F﹣2Bil＝ma1，对b棒有F﹣Bi×2l＝2ma2，解得a1＝2a2，故A错误； B．初始阶段两棒加速运动，随速度增加，回路电动势E增大导致电流i增大，安培力随之增大，两棒做加速度减小的加速运动，最终安培力与恒力F平衡时达到稳定状态，做匀速运动，故B错误； C．稳定时设速度分别为va、vb，回路总电动势E＝2Blva+B×2lvb＝2Bl（va+vb）。任意时刻满足a1＝2a2，即a1Δt＝2a2Δt，得va＝2vb。稳定时F＝2Bil，其中，联立解得，故C错误； D．任意时刻v'a＝2v'b，故稳定时位移关系xa＝2xb＝2x。稳定速度。根据能量守恒，a棒焦耳热，解得，故D正确。 故选：D。 【变式训练6-3】如图所示，两根质量均为m的金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，左、右两部分导轨间距之比为1：2，导轨间左、右两部分有大小相等、方向相反的匀强磁场，两棒单位长度的电阻相同，不计导轨电阻，现用水平恒力F向右拉CD棒，在CD棒向右运动距离为s的过程中，AB棒上产生的焦耳热为Q，此时AB棒和CD棒的速度大小均为v，此时立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，则下列说法正确的是（　　） A．v的大小等于 B．撤去拉力F后，AB棒的最终速度大小为v，方向向右 C．撤去拉力F后，CD棒的最终速度大小为v，方向向右 D．撤去拉力F后，整个回路产生的焦耳热为mv2 【答案】C 【解析】解：A、两棒的长度之比为1：2，所以电阻之比为1：2， 由于流过两金属棒的电流在任何时刻均相等，由焦耳定律Q＝I2Rt可知，CD棒产生的焦耳热是AB棒产生焦耳热2倍，即CD棒产生的焦耳热为2Q，在CD棒向右运动距离为s的过程中，对系统由功能关系得：Fs，解得：v，故A错误； BC、令AB棒的长度为L，则CD棒长为2L，撤去拉力F后，AB棒继续向左加速运动，而CD棒向右开始减速运动，两棒最终匀速运动时，电路中电流为零，两棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等，感应电动势：BLvAB＝B•2LvCD，解得：vAB＝2vCD， 撤去外力后到棒匀速运动过程，由动量定理得： 对AB：FABt＝mvAB﹣mv 对CD：﹣FCDt＝mvCD﹣mv， 由安培力公式F＝BIL可知，安培力大小：FCD＝2FAB， 解得：vABv，水平向左 vCDv，水平向右，故B错误，C正确； D、撤去外力F到最终稳定运动过程中，由能量守恒定律得； 解得：Q′，故D错误。 故选：C。 【变式训练6-4】（多选）如图所示，左右两部分间距如分别为、的光滑水平导轨分别放在大小相等、方向相反且与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。两金属棒垂直静置在水平轨道上，已知a、b棒电阻分别为R、2R，质量分别为m、2m，金属导轨电阻忽略不计。对金属棒b施加水平向右的恒力，经过一段时间，两金属棒中的电流达到最大值Im，此时a、b棒加速度大小分别为a1、a2。下列说法正确的是（　　） A．稳定后，两棒速度保持不变 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】BCD．两棒运动达到稳定后，电流达到最大值Im且保持恒定，则电路中总电动势为 保持恒定，则 由可得 由牛顿第二定律可知， 联立可得，，，故BCD正确； A．稳定后，两棒的加速度不变，两棒速度均增大，故A错误。 故选BCD。 【变式训练6-5】（多选）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，以直线为分界线，左、右两侧导轨的间距分别为、。导轨处在竖直向上的匀强磁场中，其中左侧磁场的磁感应强度大小为、右侧磁场的磁感应强度大小为。质量分别为、的导体棒、均垂直导轨放置，两导体棒接入电路中的阻值均为，其余电阻不计。初始时两导体棒均静止，现对棒施加水平向左的恒力，同时对棒施加水平向右的恒力，且，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触。已知从开始运动到两棒运动状态刚好稳定的过程中棒的位移大小为，则此过程中（    ） A．同一时刻棒的加速度大小等于棒加速度大小的2倍 B．运动状态稳定时棒做匀加速运动 C．运动状态稳定时棒的速度大小为 D．棒产生的焦耳热为 【答案】AD 【解析】A．设回路中的电流为，根据牛顿第二定律，对棒有 对棒有可得，A正确； B．分析可知两棒稳定的运动状态均为匀速直线运动，B错误； C．设两棒运动状态稳定时速度大小分别为、，此时闭合回路中的总感应电动势 在达到稳定运动状态前的任意时刻有，则，可得 又稳定时有，其中 联立解得，C错误； D．在运动状态稳定前的任意时刻均有 则从开始运动到运动状态稳定，棒的位移大小，稳定运动时 对、棒组成的系统根据能量守恒定律有棒产生的焦耳热 联立解得，D正确。 故选AD。 【变式训练6-6】（多选）如图所示，两个“U”型光滑导轨水平放置，处于竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，导轨间所接电源电动势E大小未知，内阻为R。两根材料、粗细都相同的导体棒、，长度分别为d、2d，导体棒电阻为R、质量为m。导体棒始终与导轨垂直，两端与导轨接触良好，导轨足够长且不计电阻。闭合开关，两导体棒由静止开始运动，最终稳定时导体棒的速度大小为v。下列说法正确的是（　　） A．闭合开关后，导体棒可能做匀加速运动 B．闭合开关后，加速过程中导体棒、的加速度大小相等 C．电源电动势 D．整个过程中，导体棒中产生的焦耳热为 【答案】BD 【解析】A．闭合开关后，两导体棒在安培力的作用下均开始加速运动，根据法拉第电磁感应定律，可知两者切割磁感线产生逐渐增大的感应电动势，而感应电动势与电源电动势相反，则回路的总电动势逐渐减小，回路中的电流，以及两导体棒受到的安培力均减小，根据牛顿第二定律，可知两导体棒均做加速度减小的加速运动，故A错误； B．由题意可知，导体棒电阻为R、质量为m；导体棒的质量为2m，电阻为2R。加速过程中当电流为I时，导体棒、受到的安培力大小分别为， 根据牛顿第二定律有，，解得， 可知在加速过程中导体棒、的加速度大小相等，故B正确； C．由上述分析可知最终稳定时，两棒均以速度v做匀速直线运动，此时两棒的感应电动势之和等于电源电动势，即电源电动势为，故C错误； D．设全程通过回路的电荷量为q，以导体棒为研究对象，以其运动方向为正方向，根据动量定理得，其中 整个过程电源输出的电能为，联立解得 由能量守恒定律可得回路产生的总焦耳热为 根据焦耳定律可得导体棒中产生的焦耳热为 故D正确。 故选BD。 【变式训练6-7】（多选）如图所示，足够长的光滑金属导轨水平放置，导轨两个边分别平行，电阻可忽略。导体棒PQ、MN置于导轨上不同宽度处，初状态均处于静止状态，左侧导轨间距为右侧导轨间距的2倍。用水平恒力F向右拉动MN，运动过程中，装置始终处于竖直向上的匀强磁场中，导体棒未脱离原宽度处的导轨且与导轨保持良好接触。经过一段时间后（　　） A. 导体棒MN的速度大小趋于恒定值 B. 导体棒MN的加速度大小趋于恒定值 C. 导体棒PQ所受安培力的大小趋于恒定值 D. 导体棒MN和导体棒PQ的速度趋于相等 【答案】BC 【解析】导体棒MN切割磁感线产生电动势，形成电流，导体棒PQ受到向右的安培力，向右做加速运动，MN受到向左的安培力，也向右做加速运动。导体棒MN和PQ一起切割磁感线，设导轨宽度分别为2L和L，导体棒PQ和MN的速度分别为、，则电路中的电动势 电路中的电流 导体棒PQ和导体棒MN受到的安培力分别为 与运动方向相同。 与运动方向相反。 设导体棒PQ和MN的质量分别为、，则对导体棒PQ，有 对导体棒MN，有 初始速度均为零，则从零开始逐渐增加，从开始逐渐减小。当时，速度关系为 保持恒定。 综上可得，金属框的加速度趋于恒定值，安培力也趋于恒定值。故BC正确；AD错误。 【变式训练6-8】（多选）如图，光滑的水平导轨由间距为的宽导轨和间距为L的窄导轨组成，宽导轨处在竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中，窄导轨处在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，由同一粗细均匀的直导棒截成的a、b两段导棒分别垂直宽、窄导轨放置，a、b两段导棒的质量分别为、m，接入电路的电阻分别为、R，给导棒a一个向右的初速度，当a刚要滑离宽导轨时加速度恰好为零，此后导棒a滑上窄导轨，不计导轨电阻，窄导轨足够长，两导棒在导轨上运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，下列说法正确的是（　　） A．导棒a开始运动时的加速度大小为 B．导棒a刚要滑离宽导轨时速度大小为 C．导棒b最终的速度大小为 D．整个过程回路中产生的焦耳热为 【答案】ABD 【解析】A．导棒a开始运动时的加速度大小为 故A正确； B．设导棒a刚要滑离宽导轨时，a、b导体棒的速度分别为，，则有 对a、b导体棒根据动量定理有 解得 ， 故B正确； C．a滑上窄导轨后，a、b组成的系统动量守恒，则 解得 故C错误； D．整个过程回路中产生的焦耳热为 故D正确。 故选ABD。 【变式训练6-9】（多选）某科技小组利用物理知识研究一款无接触驱动的游戏装置，如图所示，导轨a、b由半径为r＝0.4m的四分之一光滑圆弧平行导轨与水平导轨组成，其右端与水平导轨c、d良好衔接，导轨a、b部分宽度为L1＝2m，导轨c、d部分宽度为L2＝1m，金属棒P与金属棒Q上分别固定有绝缘卡通玩偶，营造出猫追老鼠的氛围，两者将随金属棒始终无翻转水平运动，金属棒P与“猫”总质量为M＝2kg，金属棒Q与“老鼠”总质量为m＝1kg，接入导轨间的电阻大小均为R＝1Ω，Q棒静止在c、d导轨上并被锁定，整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B＝1T。现将P棒从圆弧导轨圆心等高处无初速释放，经过t＝1s时间P棒到达圆弧轨道最低点，此时P棒对导轨压力为其重力的两倍，金属棒与轨道接触良好，不考虑一切摩擦，重力加速度为g取10m/s2，则（　　） A．从释放P棒到运动至圆弧轨道最低点过程中通过金属棒的电荷量为0.3C B．在Q棒一直锁定下，要使P棒不能带“猫”进入c、d轨道，则a、b轨道水平部分长度至少为2m C．当P棒到达圆弧最低点时，若Q棒立即解除锁定，水平导轨均足够长，且P棒始终在ab上运动，Q棒始终在cd上运动，则两金属棒运动稳定时速度大小分别为vPm/s，vQm/s D．P棒在导轨ab的水平部分运动过程，两者运动状态第一次稳定后，P棒进入cd导轨时，若此时距Q棒1m，则此后两者将会相碰 【答案】BC 【解析】解：A、从释放P捧到运动至圆弧轨道最低点过程中通过金属棒的电荷量 代入数据可得q＝0.4C 故A错误； B、导体棒P到达圆弧导轨最低点时速度为v0，由牛顿第二定律有 且N＝2Mg 代入数据可得v＝2m/s 在Q棒一直锁定下，P棒将减速到停，规定初速度方向为正，由动量定理﹣BIL1t＝0﹣Mv0 I为平均电流，由，E为平均感应电动势， 联立可得 代入数据可得x＝2m，故B正确； C、解除锁定后，P棒做减速运动，Q棒做加速运动，两棒最终均做匀速运动，回路中电流为零，设两棒最终速度分别为vP和vQ，由于EQ＝EP 即B L1vP＝B L2vQ 规定初速度方向为正，由动量定理对P棒有﹣BIL1t＝M（vP﹣v0） 对Q棒有BIL2t＝m vQ 代入数据可得，，故C正确； D、P棒在导轨ab的水平部分运动过程两者运动状态第一次稳定后速度小于Q棒，上到cd轨道后虽然加速，但距离还会加大，最后速度相等，不可能碰上，故D错误。 故选：BC。 【变式训练6-10】如图所示，电阻可忽略的导轨EFGH与EFGH组成两组足够长的平行导轨，其中EFEF组成的面与水平面夹角为θ=30°，且处于垂直于斜面向下大小为B0的匀强磁场中，EF与EF之间的距离为2L，GHG'H'水平，且处于竖直向下，大小也为B0的匀强磁场中，GH与G'H'之间的距离为L，质量为2m，长为2L，电阻为2R的导体棒AB横跨在倾斜导轨上并与导轨垂直，且与倾斜导轨之间无摩擦，质量为m，长为L，电阻为R的导体棒CD横跨在水平导轨上并与导轨垂直，且与水平导轨之间动摩擦因数为μ=0.5，导体棒CD通过一轻质细线跨过一个定滑轮与一质量也为m的物块相连，不计细线与滑轮的阻力和空气阻力。 （1）固定AB导体棒，试求CD棒能达到的最大速度； （2）若固定CD棒，将AB棒由静止释放，则AB棒两端的最大电压为多少； （3）同时释放AB棒和CD棒，试求两导体棒能达到的最大速度分别为多大。 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】（1）CD棒达到的最大速度，根据平衡条件有 根据闭合电路欧姆定律有 由此可得 （2）对AB，根据共点力平衡有 根据闭合电路欧姆定律有 由此可得 AB两端的电压为 （3）对导体棒AB分析 对导体棒CD分析 由以上两式可得 始终成立，因而任意时刻 研究CD棒，最终 ， 可解得 【变式训练6-11】如图所示，两宽度不等、足够长且不计电阻的光滑平行金属导轨水平固定，导轨HG宽度为L，MN宽度为2L，导轨HG和MN所在空间均存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为2B和B，磁场方向均垂直纸面向里。将质量均为m的金属棒ab、cd分别垂直轻放在水平轨道上，两金属棒接入电路中的电阻均为R0，MN两端接有阻值也为R0的电阻。先闭合开关S1、断开开关S2，在ab棒上沿导轨方向施加恒力F，经过时间t，ab棒达到匀速运动状态，求： （1）ab棒匀速时的速度大小； （2）ab棒从静止开始到匀速运动状态的位移大小； （3）ab棒达到匀速运动状态后，断开开关S1、闭合开关S2，同时撤去力F，当ab棒再次匀速运动时，cd棒产生的焦耳热为多少。 【答案】见解析 【解析】（1）闭合开关S1、断开开关S2，ab棒做加速度逐渐减小的加速运动， 设匀速时ab棒的速度为v，有E＝B·2Lv 回路电流I＝ ab棒受到的安培力FA＝B·2LI 因ab棒匀速有F＝FA，解得v＝ （2）ab棒从静止开始到达到匀速运动， 根据动量定理Ft－＝mv，＝，＝， 解得x＝ （3）ab棒达到匀速运动状态，断开开关S1、闭合开关S2，ab向右运动切割磁感线产生感应电流，由b→a，电流再流经cd棒，方向由c到d。由左手定则可知，ab棒受水平向左的安培力，做减速运动；cd棒受水平向右的安培力，向右做加速运动，ab、cd产生互相抵消的电动势，当完全抵消时，电路中无电流。ab、cd做匀速运动速度分别为v1、v2，则B·2Lv1＝2BLv2，可得v1＝v2 ab、cd中电流相等，ab、cd的安培力分别为F1＝B×2LI＝2BIL，F2＝2BIL 安培力大小相等、方向相反，ab、cd满足动量守恒，有mv＝mv1＋mv2 联立解得v1＝v2＝ 电路中的总热量为Q＝ 因为ab、cd的阻值相等，所以cd棒产生的焦耳热为Qcd＝，解得Qcd＝  【变式训练6-12】如图所示，平行光滑的金属导轨由倾斜部分和水平部分组成，倾斜导轨与水平导轨由两小段光滑绝缘圆弧（长度可忽略）相连，倾斜部分由倾角为θ、间距为l的导轨ab、fg构成，水平部分由两段足够长但不等宽的平行金属导轨构成，bc、gh段间距为l，de、ij段间距为2l，导轨的a、f之间接有阻值为R的定值电阻。倾斜导轨处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为2B，水平导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B（磁场方向均未画出）。导体棒Ⅱ静止于de、ij段，导体棒Ⅰ从倾斜导轨上与bg相距为L处由静止释放，到达bg前速度已达到最大。导体棒Ⅰ、Ⅱ的质量均为m，电阻均为R，两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，导轨电阻和空气阻力均可忽略不计。求： （1）导体棒Ⅰ到达bg时的速度大小； （2）导体棒Ⅰ在水平导轨上运动的过程中，导体棒Ⅰ、Ⅱ达到稳定前，两导体棒和导轨围成的回路面积的改变量大小； （3）整个运动过程中，导体棒Ⅰ上产生的焦耳热。 【答案】（1）导体棒Ⅰ到达bg时的速度大小为； （2）导体棒Ⅰ在水平导轨上运动的过程中，导体棒Ⅰ、Ⅱ达到稳定前，两导体棒和导轨围成的回路面积的改变量大小为； （3）整个运动过程中，导体棒Ⅰ上产生的焦耳热为。 【解析】（1）由题意知，导体棒Ⅰ从到达bg前速度已达到最大，由平衡条件可得：2BIl＝mgsinθ 又：I 联立解得：vm； （2）稳定时，两导体棒两端的感应电动势相等，则有：Blv1＝B•2lv2 解得：v1＝2v2 取向右为正方向，对Ⅰ棒由动量定理得：﹣Blt＝mv1﹣mvm 对Ⅱ棒由动量定理得：2Blt＝mv2 又：qt 解得：q 又有：q 解得：ΔS； （3）设导体棒Ⅰ在倾斜导轨上运动时产生的热为Q1，根据能量守恒定律可得： mglsinθ＝2Q1 解得：Q1 设导体棒Ⅰ在水平导轨上运动时产生的热为Q2，根据能量守恒定律可得： 2Q2 解得：Q2 整个运动过程中，导体棒Ⅰ上产生的焦耳热为：Q＝Q1+Q2 联立解得：Q。 【变式训练6-13】如图所示，在绝缘水平面上固定两根光滑平行金属导轨，左右两侧导轨处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为B和2B，导轨间距分别为2d和d，已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是MN的2倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为5L的轻质绝缘弹簧，弹簧的劲度系数为k。释放弹簧后两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。求： （1）导体棒PQ的速率为v时，导体棒MN的运动速率及回路的总电功率； （2）弹簧伸展过程中流过导体棒MN的电流方向及弹簧释放的整个过程中通过导体棒PQ的电荷量。 【答案】（1）导体棒PQ的速率为v时，导体棒MN的运动速率等于2v，回路的总电功率等于； （2）弹簧伸展过程中流过导体棒MN的电流方向为M指向N，弹簧释放的整个过程中通过导体棒PQ的电荷量为。 【解析】解：（1）设任意时刻回路电流为I，则PQ受安培力F1＝BI2d 左手定则可知其方向向右； MN受安培力F2＝2BId 左手定则可知其方向向左，可知两棒系统受合外力为零，系统动量守恒，设PQ质量为2m，则MN质量为m，PQ速率为v时，以向左为正方向，则2mv＝mv1 解得导体棒MN的运动速率v1＝2v 此时电流中的电流 则此时回路的总电功率 联立解得 （2）弹簧伸展过程中，根据右手定则可知，回路中产生顺时针方向的电流，导体棒MN中的电流方向由M指向N。两棒最终停止时弹簧处于原长状态，此时两棒间距增加了5L，对双棒，由动量守恒可得2mvPQ＝mvMN 整理得2mvPQ×t＝mvMN×t 可得2mxPQ＝mxMN 因为xPQ+xMN＝5L 可得则最终MN位置向右移动 PQ位置向左移动 则 因为 ΔΦ＝B×2d×xPQ+2B×d×xMN 联立解得， 答：（1）导体棒PQ的速率为v时，导体棒MN的运动速率等于2v，回路的总电功率等于； （2）弹簧伸展过程中流过导体棒MN的电流方向为M指向N，弹簧释放的整个过程中通过导体棒PQ的电荷量为。 1.如图甲所示，水平面内有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨固定且间距为L。空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将两根材料相同、横截面积不同、长度均为L的金属棒ab、cd分别静置在导轨上。现给ab棒一水平向右的初速度v0，其速度随时间变化的关系如图乙所示，两金属棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好。已知ab棒的质量为m，电阻为R。导轨电阻可忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．ab棒刚开始运动时，cd棒中的电流方向为d→c B．ab运动后，cd棒将做加速度逐渐增大的加速运动 C．在0﹣t0时间内，ab棒产生的热量为 D．在0∼t0时间内，通过cd棒的电荷量为 【答案】D 【解析】解：A、金属棒ab刚开始运动时，根据右手定则可知cd棒中的电流方向为c→d，故A错误； B、ab运动后，由于安培力作用，速度会逐渐减小，同时cd棒将做加速运动，回路总电动势减小，电流减小，cd棒受到的安培力会减小，由于：F＝m′a，可知，cd棒的加速度会减小，故B错误； C、两金属棒组成的系统动量守恒：，解得：m′＝2m，由于ab棒与cd棒质量之比为1：2，且它们的材料和长度相同，故横截面积之比为1：2，由，得电阻之比为2：1，故ab棒与cd棒产生的热量之比为2：1，根据两棒组成的系统能量守恒有： 0～t0时间内ab棒产生的热量：，故C错误； D、对cd棒列动量定理有：，又：，则在0～t0时间内，通过cd棒的电荷量：，故D正确。 故选：D。 2.如图所示，与水平面成θ角的平行的倾斜导轨MN和PQ，不计电阻，在其上垂直导轨放置两根金属棒ab和cd，整个装置处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中（磁场图中未画出），金属棒恰好保持静止。已知最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，下列判断正确的是（　　） A．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒都会停下来 B．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 C．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒速度不同而加速度相同 D．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 【答案】C 【解析】解：AB、若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，ab棒做切割磁感线运动，产生感应电流，受到沿导轨向上的安培力而减速。cd棒受到沿导轨向下的安培力而加速，当两棒速度相同时，不再产生感应电流，因两棒受到的滑动摩擦力大小f＝mgsinθ，两棒的合外力均为零，所以最终两棒分别以大小相等的速度匀速运动，故AB错误； CD、若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，ab棒沿导轨向下做加速运动，产生感应电流，cd棒受到沿导轨向下的安培力而加速，开始阶段，ab棒的加速度大于cd棒的加速度，两棒的速度差增大，回路总的电动势增大，感应电流增大，两棒受到的安培力增大，则ab棒的合外力减小，加速度减小。cd棒的合外力增大，加速度增大，当两棒的加速度相同时，速度差不变，产生的感应电流不变，两棒受到的安培力不变，加速度不变，所以最终两棒速度不同而加速度相同，故C正确，D错误。 故选：C。 3.如图所示，固定在水平面内的光滑不等距平行轨道处于竖直向上、大小为B的匀强磁场中，ab段轨道宽度为2L，bc段轨道宽度是L，ab段轨道和bc段轨道都足够长，将质量均为m、接入电路的电阻均为R的金属棒M和N分别置于轨道上的ab段和bc段，且与轨道垂直。开始时金属棒M和N均静止，现给金属棒M一水平向右的初速度v0，不计导轨电阻，则（　　） A．M棒刚开始运动时的加速度大小为 B．金属棒M最终的速度为 C．金属棒N最终的速度为 D．整个过程中通过金属棒的电荷量为 【答案】D 【解析】解：A、M棒刚开始运动时，M棒产生的感应电动势为E＝B•2Lv0 根据闭合电路欧姆定律得 由牛顿第二定律得2BIL＝ma 联立解得，故A错误； BC、最终两棒产生的感应电动势大小相等，回路中的电流为0，则有2BLvM＝BLvN 对金属棒M，取向右为正方向，由动量定理得 ﹣B•2L•t＝mvM﹣mv0 对金属棒N，取向右为正方向，由动量定理得 BL•t＝mvN 联立解得，，故BC错误； D、通过金属棒的电荷量为q•t 对金属棒N，取向右为正方向，由动量定理得 BL•t＝mvN 联立解得整个过程中通过金属棒的电荷量为，故D正确。 故选：D。 4.如图所示，两根质量均为m的金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，左、右两部分导轨间距之比为1：2，导轨间左、右两部分有大小相等、方向相反的匀强磁场，两棒单位长度的电阻相同，不计导轨电阻，现用水平恒力F向右拉CD棒，在CD棒向右运动距离为s的过程中，AB棒上产生的焦耳热为Q，此时AB棒和CD棒的速度大小均为v，此时立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，则下列说法正确的是（　　） A．v的大小等于 B．撤去拉力F后，AB棒的最终速度大小为v，方向向右 C．撤去拉力F后，CD棒的最终速度大小为v，方向向右 D．撤去拉力F后，整个回路产生的焦耳热为mv2 【答案】C 【解析】解：A、两棒的长度之比为1：2，所以电阻之比为1：2， 由于流过两金属棒的电流在任何时刻均相等，由焦耳定律Q＝I2Rt可知，CD棒产生的焦耳热是AB棒产生焦耳热2倍，即CD棒产生的焦耳热为2Q，在CD棒向右运动距离为s的过程中，对系统由功能关系得：Fs，解得：v，故A错误； BC、令AB棒的长度为L，则CD棒长为2L，撤去拉力F后，AB棒继续向左加速运动，而CD棒向右开始减速运动，两棒最终匀速运动时，电路中电流为零，两棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等，感应电动势：BLvAB＝B•2LvCD，解得：vAB＝2vCD， 撤去外力后到棒匀速运动过程，由动量定理得： 对AB：FABt＝mvAB﹣mv 对CD：﹣FCDt＝mvCD﹣mv， 由安培力公式F＝BIL可知，安培力大小：FCD＝2FAB， 解得：vABv，水平向左 vCDv，水平向右，故B错误，C正确； D、撤去外力F到最终稳定运动过程中，由能量守恒定律得； 解得：Q′，故D错误。 故选：C。 5.（多选）如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ水平放置，导轨间距为L，虚线OO'垂直导轨，导轨所在空间区域OO′两侧存在着方向相反的竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。两长度均为L、电阻均为R、质量均为m的金属导体棒a、b垂直导轨放在OO′左右两侧，并与导轨保持良好接触。不计导轨的电阻，现使a获得一个水平向左的初速度v0，下列关于a、b两棒此后整个运动过程的说法正确的是（　　） A．a、b两棒受到的安培力大小相等，方向相同 B．棒a最终停止运动 C．导体棒b最终产生的热量为 D．稳定前，若通过导体棒a的电荷量为q，此过程中两棒运动的位移大小之差为 【答案】ACD 【解析】解：A、a棒向左运动时切割磁感线，产生感应电流，根据右手定则判断可知回路中感应电流沿逆时针方向，由左手定则可知a棒所受安培力方向水平向右，b棒所受安培力方向水平向右。通过两棒的电流大小相等，由F＝BIL可知，ab两棒受到的安培力大小相等，故A正确； B、b棒在安培力作用下向右运动，也要产生感应电动势，当两棒产生的感应电动势抵消时回路中没有感应电流，两棒不再受安培力，从而做匀速直线运动，达到稳定状态，此时有BLva＝BLvb，则得va＝vb，即稳定时两棒速度大小相等。 对a棒，取水平向左为正方向，根据动量定理得 ﹣BL•Δt＝mva﹣mv0 对b棒，取水平向右为正方向，根据动量定理得 BL•Δt＝mvb﹣0 联立解得va＝vb，故a、b两棒最终都将以大小为的速度做匀速直线运动，故B错误； C、对两棒组成的系统，由能量守恒定律得：2m（）2+Q总，b棒最终产生的热量QbQ总，解得：Qb，故C正确； D、设此过程中两棒运动的位移大小之差为Δx。根据qtt，可得Δx，故D正确。 故选：ACD。 6.（多选）如图所示，用金属制作的曲线导轨与水平导轨平滑连接，水平导轨宽轨部分间距为2L，有竖直向下的匀强磁场，窄轨部分间距为L，有竖直向上的匀强磁场，两部分磁场磁感应强度大小均为B。质量均为m的金属棒M、N垂直于导轨静止放置，现将金属棒M自曲线导轨上距水平导轨h高度处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，两棒接入电路中的电阻均为R，其余电阻不计，导轨足够长，M棒总在宽轨上运动，N棒总在窄轨上运动，不计所有摩擦。下列说法正确的是（　　） A．M棒刚进入磁场时加速度为 B．M棒刚进入磁场时加速度为 C．通过N棒的最大电量为 D．通过N棒的最大电量为 【答案】AD 【解析】解：金属棒M沿曲线导轨下滑过程中，根据机械能守恒定律有，解得棒M进入水平导轨时的速度。 AB、棒M进入磁场瞬间，其切割磁感线产生的感应电动势E＝B•2L•v0，由闭合电路欧姆定律可得回路中的感应电流， 此时棒M所受安培力，根据牛顿第二定律可得棒M的加速度，故A正确，B错误； CD、设棒M的初速度方向为正方向，对棒M应用动量定理有，即﹣2BLq＝mvM﹣mv0； 棒N所在回路磁场方向相反，其安培力方向与M相同，对棒N应用动量定理有，即BLq＝mvN； 当两棒产生的感应电动势大小相等且相互抵消时，回路电流为零，系统达到稳定状态，此时满足B•2L•vM＝B•L•vN，即vN＝2vM； 联立上述方程，解得通过棒N的电量，故C错误，D正确。 故选：AD。 7.（多选）如图所示，两条足够长的光滑金属导轨平行放置在绝缘水平面上，左侧导轨间距为2L，右侧导轨间距为L，整个装置处在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。由同种材料制成的、粗细相同的导体棒C和导体棒D分别垂直于导轨放置。已知D棒的长度为L、电阻为R、质量为m，C棒的长度为2L，导轨电阻不计。第一次锁定D棒，让C棒以初速度v0向右运动，C棒运动一段距离x后停止运动（未到两导轨连接处），该过程中通过C棒的电荷量为q1。第二次解除锁定，让C棒仍以初速度v0向右运动，当C棒的速度稳定时还未到两导轨连接处，该过程中通过D棒的电荷量为q2，D棒中产生的焦耳热为Q，x、q1、q2、Q均未知，下列说法正确的是（　　） A． B．q1：q2＝3：2 C． D．第一次C棒运动的过程中，其热功率与速度的平方成正比 【答案】ABD 【解析】解：A、锁定D棒，C棒滑行并逐渐停下，规定向右为正方向，由动量定理得 解得 又由和 可知 又ΔΦ＝B•2Lx，解得，故A正确； B、第二次解除锁定后两棒都运动，稳定时回路中无电流，则有B•2Lv1＝BLv2 规定向右为正方向，对C棒，由动量定理有 对D棒，由动量定理有 解得，， 可得，故B正确； C、由能量守恒定律有 解得，故C错误； D、锁定D棒，C棒滑行过程中速度逐渐减小，对应的感应电动势逐渐减小，因此其热功率也逐渐减小，由E1＝B•2Lv和，可知，即第一次C棒运动的过程中，其热功率与速度的平方成正比，故D正确。 故选：ABD。 8.（多选）如图所示，足够长的水平轨道左侧b1b2﹣c1c2部分轨道间距为2L，右侧c1c2﹣d1d2部分的轨道间距为L，曲线轨道与水平轨道相切于b1b2，所有轨道均光滑且电阻不计。在水平轨道内有斜向下与竖直方向成θ＝37°的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1T。质量为M＝0.2kg的金属棒B垂直于导轨静止放置在右侧窄轨道上，质量为m＝0.1kg的金属棒A自曲线轨道上距水平轨道高为h的a1a2处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与轨道保持良好接触，金属棒A在宽轨道上运动稳定很长一段时间后进入窄轨道上运动，金属棒B总在窄轨道上运动。已知：金属棒A在宽轨道上运动时，两金属棒接入电路的有效电阻均为R＝0.2Ω，h＝0.2m，L＝0.2m，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2。则（　　） A．金属棒A在宽轨道上稳定运动的速度大小m/s B．金属棒A在宽轨道上运动过程中，通过金属棒A某截面的电荷量C C．金属棒A在宽轨道上运动过程中，金属棒A、B在水平轨道间扫过的面积之差是m2 D．金属棒B最终速度大小为m/s 【答案】BD 【解析】解：AB、金属棒A下滑至水平轨道时的初速度，解得：v0＝2m/s；磁场垂直于轨道平面的分量B1＝Bcos37°，解得：B1＝0.08T。在宽轨道稳定运动时，回路电动势平衡，有B1（2L）vA1＝B1LvB1，解得：vB1＝2vA1；根据动量定理，对棒A有﹣∫B1（2L）Idt＝m（vA1﹣v0），对棒B有∫B1LIdt＝M（vB1﹣0），联立方程得m（v0﹣vA1）＝2MvB1，代入数据解得金属棒A稳定时的速度，棒B的速度，故A错误；通过金属棒的电荷量，代入数据解得，故B正确； C、在宽轨道运动过程中，回路磁通量的变化量ΔΦ＝B1（2LxA﹣LxB）＝B1ΔS，根据电荷量公式，代入数据解得面积之差，解得：，故C错误； D、当棒A进入窄轨道后，两棒均在间距为L的轨道上运行，系统动量守恒，有mvA1+MvB1＝（m+M）vB2，代入数据解得最终速度，故D正确。 故选：BD。 D．从缓冲槽着地到线圈的ab边落至缓冲槽底端的过程中，依据能量守恒定律有，故D正确。 故选：AD。 9.如图所示，在水平桌面上固定两根光滑且足够长的平行金属导轨，将两根导体棒a、b垂直导轨放置，空间存在垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场。ma＝2mb＝2m，两棒长度均为L，相距为d0，棒a的电阻为R，棒b的电阻为2R；刚开始棒b静止，棒a以初速度v0水平向右运动，且运动过程中导体棒a与b不会发生碰撞，求在整个过程中： （1）棒a加速度的最大值； （2）棒b产生的焦耳热Qb； （3）两棒间的最小距离d。 【答案】（1）棒a加速度的最大值为； （2）棒b产生的焦耳热为； （3）两棒间的最小距离为。 【解析】解：（1）棒a向右运动时，由右手定则，可得到感应电流方向，由左手定则，可得到棒a受到水平向左的安培力，即棒a减速； 由法拉第电磁感应定律可得：E＝BLv，由闭合电路欧姆定律可得：，由安培力公式可得：F＝BIL，解得：，根据牛顿第二定律，可得：，初$ 第05讲 电磁感应——双杆模型 目 录 思维导图 1 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 2 题型归纳 5 题型01：无外力光滑等距双杆模型 5 （一)一个杆有初速度 5 （二） 两个杆均有初速度 16 （三）先用动能定理再转化成一个杆初速度 20 题型02：有外力光滑等距轨道双杆模型 22 （一)水平轨道 22 （二）倾斜轨道 32 题型03：有外力不光滑等距轨道双杆模型 40 题型04：其他情况下的等间距双杆模型 44 题型05：无外力的不等间距双杆题型 51 题型06：有外力的不等间距双杆题型 64 巩固提升 73 1.考查位置：高考物理压轴/次压轴大题，多选也会出简版双杆；属于电磁感应综合天花板模型，常结合动量守恒、能量、电路、牛顿定律。 2.两大基础类型： ①无外力、光滑导轨：等距双杆，安培力为系统内力，动量守恒（高频！） ②单杆受恒力F：系统动量不守恒，最终达到稳定匀速（加速度相同、速度差恒定） 3.命题方向：求稳定速度、热量、位移、电荷量、最大速度；偶尔加电阻不等、导轨不等距、有摩擦、倾斜导轨变式。 4.难点坑点：容易乱用动量守恒；分不清“共速”和“加速度相等（速度差恒定）”两种末态；忽略回路总电动势是两杆动生电动势的差值。 一句话总结：光滑无外力→最后共速；一杆拉、光滑→最后a相等、Δv不变，不共速。 1.能快速区分双杆各个模型，判断动量是否守恒 2.会写回路总电动势、总电流、安培力表达式 3.熟练使用：动量定理（系统/单杆）、能量守恒求焦耳热 4.分清两种末态：①共速 ②加速度相同、速度差恒定 5.会计算电荷量、单杆位移、相对位移 6.识别变式：有摩擦、倾斜导轨、杆电阻不同 双杆模型 一：模型特点 1.一杆切割时，分析同单杆类似。 2.两杆同时切割时，回路中的感应电动势由两杆共同决定，E＝＝Bl(v1－v2)。 二：电磁感应中的“双杆”问题分析 1.初速度不为零，不受其他水平外力的作用 光滑的平行导轨 光滑不等距导轨 示意图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝2La 力学观点 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2 运动图像 能量观点 一部分动能转化为内能：Q＝－ΔEk 动量观点 两杆组成的系统动量守恒 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 2.初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用 光滑的平行导轨 不光滑的平行导轨 示意图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 摩擦力Ffb＝Ffa 力学观点 开始时，两杆受安培力做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 开始时，若Ff<F≤2Ff，则a杆先变加速后匀速运动；b杆静止。若F>2Ff，a杆先变加速后匀加速运动，b杆先静止后变加速最后和a杆同时做匀加速运动，且加速度相同 运动图像 能量观点 F做的功转化为两杆的动能和内能：WF＝ΔEk＋Q F做的功转化为两杆的动能和内能(包括电热和摩擦热)： WF＝ΔEk＋Q电＋Qf 动量观点 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 3.力的作用下的不等间距双杆模型 （1）力学观点：导体棒1做加速度逐渐减小的加速运动，导体棒2做加速度逐渐增大的加速运动，最终两棒以相同的加速度做匀加速直线运动 （2）动量观点：系统动量不守恒,对单杆可以用动量定理 （3）能量观点：外力做的功＝棒1增加的动能＋棒2增加的动能＋焦耳热 注意：对于不在同一平面上运动的双杆的问题，动量守恒定律不适用，可以用牛顿运动定律、能量观点、动量定理进行解决。 一：固定四步流程 步骤1：判模型，定规律（最关键第一步） 口诀：无外力，光滑碰，最后一定一起动；有拉力，光滑跑，加速度相同差不变。 步骤2：写电磁感应关系式 步骤3：选方程（优先顺序） ①求速度：动量守恒 / 系统动量定理（积分思路，对付安培力变力） ②求焦耳热Q：能量守恒 ③稳定态：牛顿第二定律联立 步骤4：分配热量（串联电路） 二：高频易错清单 1.只要有外力F，不能用动量守恒，只能动量定理 2.两根杆切割，电动势是相减，不是相加（同向切割）；反向运动切割才相加 3.有摩擦导轨：系统合外力不为零，动量守恒失效 4.不等距导轨B不同、L不同：稳定条件不再是a相等，要重新列方程，高考较少 三：极简速记版（方便背诵） 1.无外力光滑：动量守恒→末态共速，能量损失全部变成焦耳热 2.恒力拉动光滑：动量不守恒→稳定a相同、速度差恒定 3.核心工具：动量定理求速度、电荷量；能量守恒求热量； 题型01：无外力光滑等距双杆模型 （一)一个杆有初速度 【典型例题1】如图，两根足够长的平行光滑导轨固定在绝缘水平面上，所在空间有方向垂直于水平面、磁感应强度为B的范围足够大的匀强磁场，导轨的间距为L，电阻不计；导轨上静置两根长度均为L的导体棒PQ和MN，其中PQ的质量为2m、阻值为R，MN的质量为m、阻值为2R。若在时刻给PQ一个平行于导轨向右的初速度，不计运动过程中PQ和MN的相互作用力，则（    ） A．时刻，两导体棒的加速度大小相等 B．时刻，PQ两端的电压为 C．PQ匀速运动时的速度大小为 D．从时刻到PQ匀速运动的过程中，导体棒MN产生的焦耳热为 【典型例题2】如图所示，足够长、间距为L的平行光滑金属导轨固定在水平面上，MN左侧导轨处在垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，MN右侧导轨处在垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为2B的匀强磁场中，质量均为m的金属棒a、b分别垂直放置在MN右侧与左侧的导轨上，给金属棒a一个水平向右、大小为v0的初速度，此后两金属棒运动过程中始终垂直导轨并接触良好，两金属棒接入电路的电阻均为R，不计金属导轨的电阻及电磁辐射产生的能量损失。则下列说法正确的是（　　） A．金属棒b受到的安培力做负功 B．两金属棒组成的系统动量守恒 C．从开始运动到最终匀速运动，通过金属棒b的电荷量为 D．从开始运动到最终匀速运动，金属棒b中产生的焦耳热为 【典型例题3】（多选）如图，两根足够长的固定的光滑平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l。导轨上面横放着两根导体棒1和2，构成矩形回路。两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。初始棒2静止，棒1有指向棒2的初速度v0。若两导体棒在运动中始终不接触，则（　　） A．棒1的最小速度为零 B．棒2的最大加速度为 C．棒1两端电压的最大值为BLv0 D．棒2产生的最大热量为 【典型例题4】（多选）如图，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨足够长且电阻可忽略不计。图中EFHG矩形区域有一方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在时刻，两均匀金属棒a、b分别从磁场边界EF、GH进入磁场，速度大小均为；一段时间后，流经a棒的电流为0，此时，b棒仍位于磁场区域内。已知金属棒a、b长度均为L，电阻分别为R和2R，质量分别为2m和m。在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b棒没有相碰，则（　　） A．时刻b棒的速度为0 B．时刻b棒加速度大小为 C．时间内，a棒产生的焦耳热为 D．时间内，通过a棒横截面的电荷量是b棒的2倍 【典型例题5】（多选）如图所示，M、N是两根固定在绝缘水平台面上的光滑平行金属导轨，导轨足够长且电阻忽略不计，导轨间存在垂直于台面向下的匀强磁场。阻值相等的两金属棒、的质量分别为、，两棒置于导轨上，最初两棒间存在一定的距离。时刻，棒获得一水平向右、大小为（可调）的初速度，此后运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好。设、的间距为x，通过棒的电荷量为q，安培力对棒冲量的大小为I，从时刻至两棒运动稳定，棒上产生的焦耳热为Q。下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【典型例题6】如图所示，粗糙水平导轨和光滑水平导轨在处平滑连接，但彼此绝缘，导轨间距均为d，电阻均忽略不计；导轨右端之间连接直流电阻不计的线圈，其自感系数为L，整个导轨处于竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。在导轨上垂直放置两根质量均为m，长度均为d的金属棒a和b，棒a电阻为R，棒b电阻不计。开始时棒b恰好处于导轨的最右端且被锁定，棒a处于距离为d处：现给棒a一个平行于导轨向右、大小为的瞬时冲量，当两棒即将碰撞时解除棒b的锁定，两棒之间发生弹性正碰，碰撞后瞬间棒b的速度。已知棒a与导轨间的动摩擦因数为，重力加速度为，两棒碰撞时间极短。 （1）求棒a获得初速度大小；此时金属杆a两端A、C两点的电势差； （2）求两棒碰撞前的过程中，棒a上产生的焦耳热： （3）已知棒b在导轨上的运动是简谐运动的一部分，求棒b从滑上导轨到再次回到所用的时间。（提示：简谐运动的回复力与位移的关系为，运动周期，线圈产生的感应电动势） 【典型例题7】如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度向右运动，磁场内的细金属杆N处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。 （1）求M刚进入磁场时受到的安培力F的大小和方向； （2）若两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为，求：①N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量q；②初始时刻N到的最小距离x； （3）初始时刻，若N到的距离与第（2）问初始时刻的相同、到的距离为，求M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围。 【变式训练1-1-1】如图所示，在水平面上有两条导电导轨MN、PQ，导轨间距为d，匀强磁场垂直于导轨所在的平面向里，磁感应强度的大小为B。两根完全相同的金属杆1、2间隔一定的距离摆开放在导轨上，且与导轨垂直，它们的电阻均为R，两杆与导轨接触良好，导轨电阻不计，金属杆与导轨间的摩擦不计。杆1以初速度v0滑向杆2，为使两杆不相碰，则杆2固定与不固定两种情况下，最初摆放两杆时的最小距离之比为(　　) A．1∶1 B.1∶2 C.2∶1 D.3∶1 【变式训练1-1-2】如图甲所示，水平面内有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨固定且间距为L。空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将两根材料相同、横截面积不同、长度均为L的金属棒ab、cd分别静置在导轨上。现给ab棒一水平向右的初速度v0，其速度随时间变化的关系如图乙所示，两金属棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好。已知ab棒的质量为m，电阻为R。导轨电阻可忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．ab棒刚开始运动时，cd棒中的电流方向为d→c B．ab运动后，cd棒将做加速度逐渐增大的加速运动 C．在0﹣t0时间内，ab棒产生的热量为 D．在0∼t0时间内，通过cd棒的电荷量为 【变式训练1-1-3】如图所示，日字形金属框长、宽L，放置在光滑绝缘水平面上，左侧接一个阻值为的定值电阻，中间位置和右端接有阻值为的金属棒和金属棒，其它电阻不计，线框总质量为m。金属框右侧有宽为的匀强磁场区域，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小为B。已知金属框以初速度进入匀强磁场，最终棒恰好没从磁场中穿出。下列说法正确的是（　　） A．在棒进入磁场前，通过棒间定值电阻的总电荷量为 B．在棒进入磁场后，通过间定值电阻的总电荷量为 C．棒刚进入磁场时的速度为 D．整个过程中间定值电阻产生的焦耳热为 【变式训练1-1-4】如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图象中可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-1-5】如图（a）所示，相距L的两足够长平行金属导轨放在同一水平面内，两长度均为L、电阻均为R的金属棒ab、cd垂直跨放在两导轨上，金属棒与导轨接触良好。导轨电阻忽略不计。导轨间存在与导轨平面垂直的匀强磁场，其磁感应强度大小B随时间变化的图像如图（b）所示，时刻，。时刻，两棒相距，ab棒速度为零，cd棒速度方向水平向右，并与棒垂直，则0~T时间内流过回路的电荷量为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-1-6】如图，M、N是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，导轨足够长且电阻可忽略不计；导轨间有一垂直于水平面向下的匀强磁场，其左边界垂直于导轨；阻值恒定的两均匀金属棒a、b均垂直于导轨放置，b始终固定。a以一定初速度进入磁场，此后运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，并与b不相碰。以O为坐标原点，水平向右为正方向建立x轴坐标；在运动过程中，a的速度记为v，a克服安培力做功的功率记为P。下列v或P随x变化的图像中，可能正确的是（　　） A．B．C．D． 【变式训练1-1-7】（多选）如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两导体棒a、b均垂直于导轨静止放置。已知导体棒a质量为2m，导体棒b质量为m；长度均为l，电阻均为r；其余部分电阻不计。现使导体棒a获得瞬时平行于导轨水平向右的初速度v0。除磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用，在两导体棒运动过程中，下列说法正确的是(　　) A．任何一段时间内，导体棒b动能增加量跟导体棒a动能减少量的数值总是相等的 B．任何一段时间内，导体棒b动量改变量跟导体棒a动量改变量总是大小相等、方向相反 C．全过程中，通过导体棒b的电荷量为 D．全过程中，两棒共产生的焦耳热为 【变式训练1-1-8】（多选）如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两导体棒a、b均垂直于导轨静止放置。已知导体棒a质量为2m，电阻是r，导体棒b质量为m，电阻为2r，两导体棒长度均为l，其余部分电阻不计。现使导体棒a获得瞬时平行于导轨水平向右的初速度。除磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用。在两导体棒运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．最终a、b棒的速度相同，做匀速直线运动 B．最终a、b棒的加速度相同，且不为零 C．全过程中，通过导体棒b的电荷量为 D．全过程中，导体棒a共产生的焦耳热为 【变式训练1-1-9】（多选）两根足够长的平行光滑导轨固定在绝缘水平面上，所在空间有方向垂直于水平面、磁感应强度为B的范围足够大的匀强磁场，导轨的间距为L，电阻不计；导轨上静置两根长度均为L的导体棒PQ和MN，其中PQ的质量为2m、阻值为R，MN的质量为m、阻值为2R。若在t＝0时刻给PQ一个平行于导轨向右的初速度v0，不计运动过程中PQ和MN的相互作用力，则（　　） A．t＝0时刻，两导体棒的加速度大小相等 B．t＝0时刻，PQ两端的电压为BLv0 C．PQ匀速运动时的速度大小为v0 D．从t＝0时刻到PQ匀速运动的过程中，导体棒MN产生的焦耳热为 【变式训练1-1-10】（多选）如图所示，方向竖直向下的匀强磁场B中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，导轨间的距离为L，两电阻均为R的光滑导体棒静止在导轨上，的质量是m，的质量是。时，棒以初速度向右滑动。运动过程中，始终与导轨垂直并接触良好。下列说法正确的是（　　） A．0时刻棒的加速度大小为 B．最终两棒的速度均为 C．整个过程中通过棒横截面的电荷量是 D．整个过程中两棒间增加的距离是 【变式训练1-1-11】（多选）如图所示，两足够长的光滑平行导轨、水平放置，导轨间距为L，虚线垂直导轨，所在空间区域存在着磁感应强度大小均为B的方向相同的竖直匀强磁场，两长度均为L、电阻均为R、质量均为m的金属导体棒、垂直放在导轨上，并与导轨保持良好接触，不计其他电阻。现给导体棒一个瞬时冲量，使获得一个水平向右的初速度，下列关于两棒此后整个运动过程的说法正确的是（　　） A．两棒组成的系统动量守恒 B．两棒最终都将以大小为的速度做匀速直线运动 C．整个过程中，棒上产生的焦耳热 D．整个过程中，流过棒的电荷量 【变式训练1-1-12】（多选）如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ水平放置，导轨间距为L，虚线OO'垂直导轨，导轨所在空间区域OO′两侧存在着方向相反的竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。两长度均为L、电阻均为R、质量均为m的金属导体棒a、b垂直导轨放在OO′左右两侧，并与导轨保持良好接触。不计导轨的电阻，现使a获得一个水平向左的初速度v0，下列关于a、b两棒此后整个运动过程的说法正确的是（　　） A．a、b两棒受到的安培力大小相等，方向相同 B．棒a最终停止运动 C．导体棒b最终产生的热量为 D．稳定前，若通过导体棒a的电荷量为q，此过程中两棒运动的位移大小之差为 【变式训练1-1-13】（多选）如图所示，两个相同的足够长光滑“”型金属导轨ACDE和FGHJ固定在同一水平面内，AC、FG、DE、HJ互相平行且间距均为L，金属棒a、b垂直静止在导轨上，a、b的质量分别为2m和m，它们接入电路的电阻分别为R和2R，金属导轨的电阻不计，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现给a一个水平向右的初速度v0，此后a、b运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，则下列说法正确的是（ ） A．b向左运动 B．b最终的速度大小为 C．通过b的电量为 D．b中产生的焦耳热为 【变式训练1-1-14】（多选）如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图象中可能正确的是(　　) 【变式训练1-1-15】如图所示，两条足够长的平行导电导轨MN、PQ水平放置，导轨间距L=1.0m，在轨道区域内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=1T。导体棒a、b质量均为m=1kg，电阻均为R=0.5Ω，与导轨间的动摩擦因数均为=0.3，运动过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好。重力加速度g=10m/s2，导轨电阻可忽略，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）若开始时导体棒a初速度为零，导体棒b获得=2m/s的水平向右的初速度，求此时导体棒a和b的加速度大小； （2）若同时分别给两导体棒不同的冲量，使导体棒a获得平行于导轨向左的初速度=2m/s的同时，导体棒b获得向右的平行于导轨的初速度=4m/s，求流经导体棒a的最大电流； （3）在（2）的条件下，从导体棒a速度为零到两棒相距最远的过程中，已知导体棒b产生的焦耳热为0.25J，求此过程中导体棒b的位移。 【变式训练1-1-16】如图所示，在水平桌面上固定两根光滑且足够长的平行金属导轨，将两根导体棒a、b垂直导轨放置，空间存在垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场。ma＝2mb＝2m，两棒长度均为L，相距为d0，棒a的电阻为R，棒b的电阻为2R；刚开始棒b静止，棒a以初速度v0水平向右运动，且运动过程中导体棒a与b不会发生碰撞，求在整个过程中： （1）棒a加速度的最大值； （2）棒b产生的焦耳热Qb； （3）两棒间的最小距离d。 【变式训练1-1-17】如图所示，间距为L、足够长的光滑平行金属导轨MM′、NN′水平放置，细金属棒a、b和细塑料棒c垂直导轨放置并与导轨接触良好，整个装置处在竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。已知a、b、c棒的质量分别为m、2m、3m，a、b棒接入电路的电阻均为R、初始间距为x0，导轨电阻忽略不计。现给c棒一个初速度v0，设c与a的碰撞为弹性碰撞，试求： （1）c与a碰撞后的瞬间，a、c两棒的速度各为多大？ （2）c与a碰撞后的运动过程中，a、b两棒的最终速度各为多大？ （3）c与a碰撞后的运动过程中，a与b之间、a与c之间的最大距离各为多少？ 【变式训练1-1-18】如图，水平桌面上固定一光滑U型金属导轨，其平行部分的间距为，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。一质量为、电阻为、长度也为的金属棒P静止在导轨上。导轨上质量为的绝缘棒Q位于P的左侧，以大小为的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点。P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行。不计空气阻力。求 （1）金属棒P滑出导轨时的速度大小； （2）金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量； （3）与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间。 【变式训练1-1-19】如图所示，两根足够长且电阻不计的光滑金属导轨固定在水平桌面上，间距L＝0.5 m。在轨道上有两根质量分别为ma＝0.3 kg、mb＝0.2 kg，接入电路电阻分别为Ra＝2 Ω、Rb＝3 Ω的导体棒a和b，在轨道区域内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝1 T。现给导体棒a一个向右的、大小为v0＝5 m/s的初速度，两导体棒在运动过程中始终保持与导轨垂直，且两导体棒未相碰，g＝10 m/s2。求： (1)流经导体棒b的最大电流； (2)从开始运动到两棒相距最近的过程中，流经b的电荷量； (3)从开始运动到两棒相距最近的过程中，导体棒a上产生的焦耳热； (4)当导体棒a的速度大小为va＝4 m/s时，b的加速度大小。 （2） 两个杆均有初速度 【典型例题1】如图所示，光滑平行的水平导轨ab、cd之间有垂直纸面向里的匀强磁场，导轨间距为L，电阻均为R、长均为L的金属棒A、B置于导轨上，与导轨接触良好，导轨左侧接了阻值也为R的定值电阻。现同时分别给A、B一个初速度vA、vB，且2vA＜vB。导轨电阻不计，则A、B棒开始运动的瞬间流过金属棒B中的电流大小为（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】（多选）如图所示，两电阻可以忽略不计的光滑平行金属长直导轨固定在水平面上，相距为L。导轨间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。导体棒a、b质量分别为m和2m，长度均为L，电阻均为R，均垂直静置于导轨上。某时刻使左侧的导体棒a获得大小为的向左的初速度，右侧的导体棒b获得大小为的向右的初速度，则下列结论正确的是（　　） A．当导体棒a的速度大小为时，回路中产生的感应电动势可能大于 B．当导体棒a的速度大小为时，回路中产生的感应电动势可能小于 C．从开始运动到最终处于稳定状态的过程中，系统产生的热量为 D．从开始运动到最终处于稳定状态的过程中，系统产生的热量为 【变式训练1-2-1】如图所示，光滑金属导轨MN、PQ水平固定放置，间距为L，两导轨之间存在着与导轨平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B。金属棒ab与cd质量分别为4m、m，电阻分别为R、4R，长度均为L，放置在导轨上并与导轨垂直。现同时给金属棒ab与cd一个大小为v0的初速度，方向分别向左、向右，两金属棒运动过程中始终与导轨接触良好，不计导轨电阻，忽略感应电流产生的磁场，则下列说法正确的是（　　） A．通过金属棒ab的最大电流为 B．金属棒cd的最大加速度为 C．金属棒cd的速度减为零时，回路中的电流为 D．从初始时刻到金属棒cd的速度减为零时，两导体棒之间的距离增大了 【变式训练1-2-2】（多选) 如图，绝缘水平面上四根完全相同的光滑金属杆围成矩形，彼此接触良好，匀强磁场方向竖直向下。金属杆2、3固定不动，1、4同时沿图箭头方向移动，移动过程中金属杆所围成的矩形周长保持不变。当金属杆移动到图位置时，金属杆所围面积与初始时相同。在此过程中（　　） A．金属杆所围回路中电流方向保持不变 B．通过金属杆截面的电荷量随时间均匀增加 C．金属杆1所受安培力方向与运动方向先相同后相反 D．金属杆4所受安培力方向与运动方向先相反后相同 【变式训练1-2-3】（多选) 如图甲所示，绝缘水平面上固定有两条足够长的平行光滑金属导轨，导轨电阻不计，间距为。金属棒、垂直导轨放置，电阻均为，质量分别为和。虚线右侧存在磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场。两金属棒、分别以初速度和同时沿导轨向右运动，先后进入磁场区域。从棒进入磁场区域开始，其电流随时间变化的图像如图乙所示，则（　　） A．、棒的初速度满足 B．棒即将进入磁场时，棒在磁场中移动的距离为 C．两棒最终的间隔距离为 D．两棒最终的间隔距离为 【变式训练1-2-4】（多选) 如图所示，间距d＝1 m的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面内，垂直于导轨的虚线AB的左、右两侧存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B1＝0.5 T、B2＝1 T。质量m1＝1 kg、阻值R1＝1.5 Ω的金属棒a静止在虚线AB左侧足够远的位置，质量m2＝1 kg、阻值R2＝0.5 Ω的金属棒b静止在虚线AB的右侧。0时刻，金属棒a以初速度v0＝2 m/s、金属棒b以初速度2v0＝4 m/s沿导轨运动，t时刻，金属棒b达到最小速度vmin。已知a、b两棒的长度均为d，且始终与导轨垂直并接触良好，导轨电阻不计。则在a、b棒的运动过程中，下列说法正确的是 A．通过金属棒a的最大电流为1.5 A B．金属棒b的最小速度vmin＝3.2 m/s C．0～t时间内通过金属棒a的电荷量为2.4 C D．0～t时间内金属棒a上产生的焦耳热为3.6 J 【变式训练1-2-5】（多选) 如图所示，绝缘的水平面上固定有两条平行的光滑金属导轨，导轨电阻不计，两相同金属棒a、b垂直导轨放置，其右侧矩形区域内存在恒定的匀强磁场，磁场方向竖直向上。现两金属棒分别以初速度2v0和v0同时沿导轨自由运动，先后进入磁场区域。已知a棒离开磁场区域时b棒已经进入磁场区域，则a棒从进入到离开磁场区域的过程中，电流i随时间t的变化图像可能正确的有（　　） A. B. C. D. 【变式训练1-2-6】如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面上，导轨间距为L=1m，垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=2T。两根长度都为1m的由同种材料制成的金属棒a、b垂直导轨放置，质量分别为，金属棒a的电阻为。初始时刻两金属棒相距足够远，现给两金属棒方向相反、大小分别为的水平初速度，两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻。求： (1)金属棒b加速度的最大值； (2)整个运动过程中金属棒b上产生的焦耳热； (3)如果初始时刻金属棒a、b相距，经过一段时间后两棒发生弹性碰撞，求碰撞结束时金属棒a、b速度大小。 （三）先用动能定理再转化成一个杆初速度 【典型例题1】（多选）间距为L的平行光滑金属导轨MN、PQ水平段处于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，导轨的弯曲段处在磁场之外，如图甲所示。导体棒a与b接入电路的有效电阻分别为R、2R。导体棒a的质量为m，b棒放置在水平导轨上足够远处，a棒在弯曲段导轨上距水平段某一高度处由静止释放，刚进入磁场时导体棒a受到的安培力的大小为F，以导体棒a刚进入磁场时为计时起点，导体棒a的速度随时间变化的v—t图像如图所示（v0未知）。运动过程中导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，重力加速度大小为g，以下说法中正确的是（　　） A．导体棒a释放时距导轨水平段的高度 B．导体棒b的质量为2m C．0~t1这段时间内通过a、b棒的电荷量之比为1：2 D．0~t2这段时间内导体棒b产生的内能 【典型例题2】如图所示，圆弧导轨与水平导轨平滑相连，其末端GH处通过绝缘物质与倾斜金属导轨平滑连接，所有导轨间距均为，倾斜导轨与水平方向夹角为θ，倾斜导轨足够远处连接有电感为L的电感线圈。CD与EF间的导轨粗糙，宽度为d，其他导轨均可视为光滑。矩形ABCD区域、EFGH区域与倾斜导轨区域均存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为。金属棒b静止在EFGH区域，金属棒a在圆弧导轨上与水平导轨间高度差为h的位置由静止释放，最终恰好停在EF边界处，此时金属棒b恰能从GH处滑入倾斜导轨。金属棒a与CD、EF间的粗糙导轨的动摩擦因数为μ，金属棒a的电阻为R，金属导轨与金属棒b的电阻均不计，金属棒a、b的质量均为m，长度均为，重力加速度取g。求： (1)在金属棒a刚进入磁场瞬间，金属棒a的速度大小与金属棒b的加速度大小； (2)金属棒a在离开ABCD区域后产生的焦耳热Q； (3)金属棒b能沿倾斜导轨向下滑行的最大距离。（已知自感线圈的自感电动势，其自身的电阻为零） 【变式训练1-3-1】（多选）如图3所示，相距L的光滑金属导轨固定于水平地面上，由竖直放置的半径为R的圆弧部分和水平平直部分组成。MNQP范围内有方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场。金属棒ab和cd(长度均为L)垂直导轨放置且接触良好，cd静止在磁场中；ab从圆弧导轨的顶端由静止释放，进入磁场后与cd没有接触；cd离开磁场时的速度是此时ab速度的一半。已知ab的质量为m、电阻为r，cd的质量为2m、电阻为2r。金属导轨电阻不计，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) 图3 A.闭合回路感应电流产生的磁场与原磁场方向相反 B.cd在磁场中运动的速度不断变大，速度的变化率不断变小 C.cd在磁场中运动的过程中通过ab横截面的电荷量q＝ D.从ab由静止释放至cd刚离开磁场时，cd上产生的焦耳热为mgR 【变式训练1-3-2】（多选）如图所示，相距L的光滑金属导轨，半径为R的圆弧部分竖直放置，平直部分固定于水平地面上，MNQP范围内有方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。金属棒ab和cd垂直导轨且接触良好，cd静止在磁场中；ab从圆弧导轨的顶端由静止释放，进入磁场后与cd没有接触，cd离开磁场时的速度是此刻ab速度的一半，已知ab的质量为m、电阻为r，cd的质量为2m、电阻为2r。金属导轨电阻不计，重力加速度为g。下列说法正确的有(　　) A．cd在磁场中运动时电流的方向为c→d B．cd在磁场中做加速度减小的加速运动 C．cd在磁场中运动的过程中流过其横截面的电荷量为 D．至cd刚离开磁场时，cd上产生的焦耳热为mgR 【变式训练1-3-3】如图所示，水平放置的、足够长的光滑金属轨道与光滑倾斜轨道以小圆弧平滑对接。在倾斜轨道上高处放置一金属杆a，在平直轨道靠右端处放置另一金属杆b，平直轨道区域有竖直向上的匀强磁扬。现由静止释放杆a，杆a下滑到水平轨道后即进入磁场，此时杆b的速度大小为，方向向左。已知，，金属杆与轨道接触良好，g取。求： （1）杆a、b在水平轨道上的共同速度大小； （2）在整个过程中电路消耗的电能。 题型02：有外力光滑等距轨道双杆模型 （一)水平轨道 【典型例题1】如图所示，水平面内ab和cd是两条平行放置的足够长的固定粗糙金属直导轨，MN和M′N′是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为2kg和1kg，两杆与导轨间的动摩擦因数相同。开始时恒定水平外力F作用在杆MN上，使两杆以大小为4m/s的速度水平向右匀速运动。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直，导轨电阻可忽略。在t=0时刻将细线烧断，保持外力F不变，金属杆和导轨始终接触良好，已知在t=t0时刻后杆MN速度大小为5m/s并保持不变，且在0~t0时间内两杆速度方向始终向右，下列说法正确的是（　　） A．细线烧断后，流经MN的电流方向为由M到N B．M′N′稳定后的速度大小为3m/s C．0~t0时间内MN和M′N′的位移大小之比大于3∶2 D．整个过程中系统动能变化量的大小等于整个系统产生的焦耳热 【典型例题2】如图所示，水平面上放置足够长的光滑导轨，一对相互平行的完全相同的导体棒、静置在导轨上。虚线两侧均有竖直方向的匀强磁场，左侧磁场竖直向下，磁感应强度大小为，右侧磁场竖直向上，磁感应强度大小为，除导体棒外其他电阻不计。现对棒施加向左的恒力，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，则（　　） A．回路中电流方向始终为逆时针，电流逐渐减小为零 B．导体棒在相同时间内所受安培力的冲量大小总为导体棒的一半 C．导体棒、经足够长时间均做匀加速直线运动，且、加速度大小相同 D．导体棒、经足够长时间均做匀加速直线运动，且导体棒的加速度为的2倍 【典型例题3】如图所示，平行光滑金属导轨间距为，导轨处在竖直向上的匀强磁场中，两根长度均为材料相同的金属棒、垂直于导轨平行放置，与导轨始终接触良好，、金属棒质量分别为、。棒的电阻为。开始时棒锁定在轨道上，对棒施加水平向右的恒定拉力，经时间，棒的速度达到最大值，此时撤去拉力，同时解除对棒的锁定，导轨足够长且电阻不计。则（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．撤去拉力前棒前进的距离为 C．撤去拉力前棒前进的距离为 D．全过程中棒产生的焦耳热为 【典型例题4】（多选) 例2．如图，U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，ab和dc边平行，和bc边垂直。ab、dc足够长，整个金属框电阻可忽略，一根具有一定电阻的导体棒MN置于金属框上，用水平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，MN与金属框保持良好接触，且与bc边保持平行，经过一段时间后（　　） A．金属框和导体棒速度相等 B．金属框和导体棒加速度相等 C．导体棒所受安培力不变 D．金属框的加速度不变 【典型例题5】（多选) 如图，平行金属导轨由两部分组成，MN与M′N′是圆心角为60°、半径r＝0.9m的圆弧形导轨，NQ与N′Q′是水平长直导轨，圆弧形导轨与长直导轨在N、N′处相切，平行导轨间距L＝1m。NN′右侧存在磁感应强度大小为4T、方向竖直向上的匀强磁场，导体棒a垂直导轨放置，其质量m1＝0.3kg，接入电路中的电阻R1＝6.0Ω。导体棒b的质量m2＝0.2kg，从距离MM′高度h＝0.6m处以一定初速度v0水平抛出，恰能无碰撞地从MM′滑入右侧平行导轨，导体棒b滑入平行导轨后与导轨垂直且接触良好，导体棒b接入电路中的电阻R2＝2.0Ω。两导体棒始终没有相碰。重力加速度g＝10m/s2，不计导轨电阻、一切摩擦及空气阻力，则（　　） A．导体棒b抛出时的速度 B．导体棒b刚进入磁场时回路中感应电流沿逆时针方向（俯视） C．导体棒b进入磁场后的加速度最大值为50m/s2 D．导体棒a、b在磁场中运动产生的总焦耳热（导轨足够长）为2.0J 【典型例题6】（多选) 如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨相同的光滑金属棒P、Q静止在导轨上。t＝0时用水平恒力F向右拉动金属棒Q运动过程中金属棒PQ始终与导轨垂直并接触良好金属棒P、Q与导轨构成的回路中的电流用I表示、磁通量用Φ中表示：金属棒Q的加速度用a表示，其相对金属棒P的速度用vQP表示。下列关于I、Φ、a、vQP与时间t的关系图像中错误的是（　　） A． B． C． D． 【典型例题7】如图所示，平行光滑金属导轨间距为L，导轨处在竖直向上的匀强磁场中，两根相同的金属棒ab、cd垂直于导轨平行放置，与导轨始终接触良好，每根金属棒质量为m，接入电路的电阻均为R。开始时cd棒锁定在轨道上，对ab棒施加水平向右的恒力F，经时间t，ab棒的速度达到最大值v，此时撤去拉力，同时解除对cd棒的锁定，导轨足够长且电阻不计。求： （1）匀强磁场的磁感应强度B； （2）撤去力F前，ab棒前进的位移x1； （3）从开始施加F到解除对cd棒锁定后足够长的时间内，回路产生的焦耳热Q。 【典型例题8】如图所示，两个相同的“⊂”形光滑金属导轨平行放置在水平面上，间距为L，两导轨的上轨和下轨所在平面均与水平面平行，两根由同种材料制成的匀质金属杆ab和cd静止于两导轨上，空间存在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场，现用一水平向右的恒力F拉ab杆，两金属杆在运动过程中始终与轨道垂直且接触良好。已知两金属杆的长度均为L，金属杆ab的横截面是金属杆cd的2倍，金属杆ab的电阻为R，金属杆cd的质量为m，导轨足够长且电阻不计。求： （1）金属杆ab的最小加速度amin； （2）回路中的最大电流Imax； （3）金属杆cd产生的最大热功率Pmax。 【典型例题9】在核反应堆的液态钠冷却循环系统中，工程师设计了一种双活塞电磁驱动装置。装置核心由两根平行放置的合金活塞构成，a活塞表面因接触高温钠液存在黏滞摩擦，b活塞采用特殊技术实现无摩擦运动，其原理简化为如图所示。图中质量均为m＝0.5 kg、长度为L＝1 m的金属棒a、b模拟两个活塞，系统通过电磁场控制活塞运动，其中开关K在闭合状态下电容为C＝0.25 F的电容器可用于缓冲启动电流（初始未充电）。a与导轨间动摩擦因数μ＝0.2，b光滑，a、b电阻均为R＝1.5 Ω。初始时a、b都静止，电磁控制系统关闭。通过施加F＝5 N的水平液压推力向右驱动a活塞，同时激活电磁控制系统使整个区域存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝2 T。已知a、b始终与足够长导轨接触良好，导轨电阻不计，导轨间距L＝1 m，重力加速度g＝10 m/s2。 （1）刚激活电磁控制系统时，a、b的加速度大小各是多少； （2）双活塞速度差直接影响液态钠的输送效率，请根据题中信息求出在开关K断开状态下，最终回路电流稳定时a、b的速度差Δv的大小； （3）若开关K一直处于闭合状态，b因故障与导轨间始终处于绝缘状态而静止不动，证明在拉力F作用下a做匀加速运动并求出加速度大小（结果保留三位有效数字）。 【变式训练2-1-1】如图所示，水平面上固定有间距为的两光滑平行金属导轨，导轨电阻不计，虚线与导轨垂直，右侧有一方向竖直向下、磁感应强度为的匀强磁场。质量均为、电阻均为的两导体棒a与b相邻静止在左侧，某时刻水平向右的恒力只作用在a上，a进入磁场区域时，恰好做匀速运动，此时迅速将恒力F只作用到b上，经0.3 s，相距最远。则（　　） A．a在F作用前到的距离为0.5 m B．a进入磁场时的速度大小为0.5 m/s C．相距最远时a的速度大小为0.4 m/s D．相距最远的距离为0.36 m 【变式训练2-1-2】如图所示，相距为L的两条足够长的平行金属导轨右端连接有一定值电阻R，整个装置被固定在水平地面上，整个空间存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两根质量均为m，电阻都为R，与导轨间的动摩擦因数都为μ的相同金属棒MN、EF垂直放在导轨上。现在给金属棒MN施加一水平向左的作用力F，使金属棒MN从静止开始以加速度a做匀加速直线运动，若重力加速度为g，导轨电阻不计，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等．则下列说法正确的是（　　） A．从金属棒MN开始运动到金属棒EF开始运动经历的时间为t B．若从金属棒MN开始运动到金属棒EF开始运动经历的时间为T，则金属棒EF开始运动时，水平拉力F的瞬时功率为P＝（ma+μmg）aT C．若从金属棒MN开始运动到金属棒EF开始运动经历的时间为T，则此过程中流过电阻R的电荷量为L D．从金属棒MN开始运动到金属棒EF开始运动的过程中，两金属棒的发热量相等 【变式训练2-1-3】如图所示，两根光滑平行金属长导轨、水平固定放置，导轨间存在竖直向上的匀强磁场，两根完全相同的金属棒、垂直放置在导轨上，两金属棒的长度恰好等于金属导轨的间距，时刻对金属棒施加一个水平向右的恒力F，此后两金属棒由静止开始运动，金属棒在运动过程中始终与导轨接触良好，两金属棒的速度大小分别记为、，加速度大小分别记为、，金属棒两端电压记为，闭合回路消耗的电功率记为P，电路中除金属棒以外的电阻均不计，下列关系图像错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1-4】如图所示，两光滑平行长直金属导轨水平固定放置，导轨间存在竖直向下的匀强磁场。两根相同的金属棒ab、cd垂直放置在导轨上，处于静止状态。t＝0时刻，对cd棒施加水平向右的恒力F，棒始终与导轨接触良好，导轨电阻不计。两棒的速度vab、vcd和加速度aab、acd随时间t变化的关系图像可能正确的是(　　) 【变式训练2-1-5】（多选) 如图所示，在两光滑水平金属导轨上静止放置a、b两根导体棒，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中。用水平恒力F拉动a棒，在运动过程中，a、b棒始终与导轨接触良好，若不计导轨电阻，下列说法正确的是（　　） A. 拉力F做的功等于a、b棒增加的动能与a、b棒中产生的焦耳热之和 B. 安培力对b做的功等于b棒增加的动能与b棒中产生的焦耳热之和 C. 安培力对a、b棒做功的代数和的绝对值小于a、b棒中产生的焦耳热之和 D. a棒克服安培力做功等于b棒增加的动能与a、b棒中产生的焦耳热之和 【变式训练2-1-6】（多选) 水平面上有足够长且电阻不计的两平行导电轨道，轨道之间有竖直向下的匀强磁场（未画出），两根质量相同，电阻相同的导体棒ab和cd垂直于轨道静止放置，如图所示。导体棒与轨道之间的动摩擦因数处处相等，现对导体棒施加一外力F，使cd棒向右匀速运动，则ab棒从静止开始向右运动，则关于两导体棒的运动及受力下列说法正确的是（       ） A．导体棒ab先向右加速运动，并最终以和cd棒相同的速度匀速运动 B．导体棒ab先向右加速运动，并最终以比cd棒小的速度匀速运动 C．对cd棒施加的外力F大小始终不变 D．对cd棒施加的外力F逐渐减小，当ab棒匀速运动时，F大小不再改变 【变式训练2-1-7】（多选) 如图，电阻不计的两足够长的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间距为，导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为。质量均为、接入电路的有效电阻均为的金属棒、垂直于导轨放置，均处于静止状态。时刻给棒一个方向水平向右、大小的拉力，时，金属棒和加速度刚好相等。此后撤去拉力，整个过程棒与导轨接触良好。则（　　） A．t=4s时金属棒ab和cd的加速度大小为2m/s² B．t=4s时金属棒ab的速度大小为4m/s C．t=4s时金属棒cd的速度大小为10m/s D．从t=4s到回路中电流为零的过程中，金属棒ab和cd之间距离的增加量为4m 【变式训练2-1-8】（多选) 如图所示为两根间距为L的光滑平行金属导轨，左侧向上弯曲，右侧水平，水平导轨处在磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场中。两根金属棒MN、PQ垂直导轨放置，与导轨接触良好，MN、PQ棒的长度均为L、质量均为m、阻值均为R。金属棒MN从竖直高度h处由静止释放沿导轨下滑。导轨电阻不计，整个过程金属棒MN和PQ未相碰，则（　　） A. 金属棒MN进入磁场时，金属棒PQ两端电压大小为 B. 释放后金属棒MN的最小速度为0 C. 整个过程中流过金属棒PQ的电荷量为 D. 整个过程中闭合回路产生的焦耳热为 【变式训练2-1-9】（多选) 如图，平行光滑金属导轨M、N固定在水平面上，处于竖直向下的匀强磁场中，完全相同的两金属棒P、Q搭放在导轨上，开始均处于静止状态，给P施加一与导轨平行的恒定拉力作用，运动中两金属棒始终与导轨垂直并与导轨接触良好。设导轨足够长，除两棒的电阻外其余电阻均不计，则两棒的速度及棒中的感应电流随时间变化的图像正确的是(　　) 【变式训练2-1-10】物理小组想出了一种理想化的“隔空”加速系统，该系统通过利用其中一个金属棒在磁场中运动产生感应电流从而使另一个金属棒获得速度，这样就避免了直接对其进行加速时所带来的磨损和接触性损伤，该加速系统可以建模抽象为在足够长的固定水平平行导轨上放有两个金属棒MN和PQ，磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场与导轨所在水平面垂直，方向竖直向下，导轨电阻很小，可忽略不计。如图3为模型俯视图，导轨间的距离L＝1.0 m，每根金属棒质量均为m＝1.0 kg，电阻都为R＝5.0 Ω，可在导轨上无摩擦滑动，滑动过程中金属棒与导轨保持垂直且接触良好，在t＝0时刻，两金属棒都处于静止状态，现有一与导轨平行、大小为F＝2.0 N恒力作用于金属棒MN上，使金属棒MN在导轨上滑动，经过t＝10 s，金属棒MN的加速度a＝1.6 m/s2，求： 图3 (1)此时金属棒PQ的加速度； (2)此时两金属棒MN和PQ的速度； (3)金属棒MN和PQ的最大速度差。 【变式训练2-1-11】某物理小组想出了一种理想化的“隔空”加速系统，该系统通过利用其中一个金属棒在磁场中运动产生感应电流从而使另一个金属棒获得速度，这样就避免了直接对其进行加速时所带来的磨损和接触性损伤，该加速系统可以建模抽象为在足够长的固定水平平行导轨上放有两个金属棒MN和PQ，磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场与导轨所在水平面垂直，方向竖直向下，导轨电阻很小，可忽略不计。如图3为模型俯视图，导轨间的距离L＝1.0 m，每根金属棒质量均为m＝1.0 kg，电阻都为R＝5.0 Ω，可在导轨上无摩擦滑动，滑动过程中金属棒与导轨保持垂直且接触良好，在t＝0时刻，两金属棒都处于静止状态，现有一与导轨平行、大小为F＝2.0 N恒力作用于金属棒MN上，使金属棒MN在导轨上滑动，经过t＝10 s，金属棒MN的加速度a＝1.6 m/s2，求： 图3 (1)此时金属棒PQ的加速度； (2)此时两金属棒MN和PQ的速度； (3)金属棒MN和PQ的最大速度差。 （二）倾斜轨道 【典型例题1】如图所示，两足够长平行光滑固定导轨，倾角为，导体棒用绝缘细线栓连，处于水平状态，在平行于斜面向上的恒力F作用下静止于轨道，一范围足够大的匀强磁场垂直于轨道斜面（未画出）。磁感应强度为B，轨道宽度为l，导体棒接入电路的电阻分别为R和。剪断细线，经t时间达到最大速度。已知导体棒质量为，导体棒质量为m。下列说法正确的是（　　） A．在任意时刻，与速度大小之比为1∶1 B．的最大速度为 C．在0到t时间内，流过的电荷量为 D．在0到t时间内，上滑的距离为 【典型例题2】（多选）如图，两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好，ab、cd的质量分别为2m和m，长度均为L。导轨足够长且电阻不计，重力加速度为g，两棒在下滑过程中（　　） A．回路中的电流方向为abcda B．ab中电流趋于 C．ab与cd加速度大小之比始终为2︰1 D．两棒产生的电动势始终相等 【典型例题3】（多选）如图所示，两根足够长的平行金属导轨与水平面夹角为，两导轨间距为0.4m，导轨电阻不计。导轨所在空间被分成足够长的区域I和II，两区域的边界与斜面的交线为MN，区域I中分布有垂直斜面向下的匀强磁场，区域II中分布有垂直斜面向上的匀强磁场，两磁场的磁场感应度大小均为。在区域I中，将质量，电阻的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑。然后，在区域II中将质量，电阻的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑。cd在滑动过程中始终处于区域II的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取，则（　　） A．经过足够长的时间后，ab和cd最终以相同的速度运动 B．经过足够长的时间后，ab和cd最终以相同大小的加速度运动 C．当cd的速度大小为5m/s时，ab刚要开始滑动 D．当cd的速度大小为2.5m/s时，ab刚要开始滑动 【典型例题4】（多选）如图所示，将光滑的平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间距为L，左、右倾斜导轨与水平面夹角均为θ=30°，中间导轨水平且足够长。导轨间存在竖直向下的匀强磁场，左侧倾斜导轨间磁感应强度大小为2B，中间和右侧倾斜导轨间磁感应强度大小为 B。将长度均为L的导体棒ab、cd放置在倾斜导轨上，距水平面高度均为h。两导体棒同时由静止释放，在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好，导体棒ab到达左侧倾斜导轨底端时速度大小为v，两根导体棒在水平导轨上恰好不发生碰撞。导体棒ab、cd的质量分别为2m和m，电阻分别为2R和R。导轨连接处平滑，导轨电阻不计，导体棒粗细不计，重力加速度为g，不考虑磁场的边界效应。下列说法正确的是（　　） A. 导体棒ab到达左侧倾斜导轨底端时，导体棒cd的速度大小为 B. 两导体棒在水平导轨上恰好不发生碰撞时，速度大小均为0 C. 水平导轨长度 D. 若两导体棒恰好不发生碰撞时粘连在一起，则全过程导体棒cd上产生的焦耳热为 【典型例题5】如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，倾角，两导轨间距，导轨电阻不计。导轨所在空间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小。两金属杆、垂直置于导轨上并与导轨良好接触，质量分别为、，电阻均为。初始时刻两金属杆相距，金属杆沿导轨向上运动的初速度大小为，金属杆初速度为0且始终受到沿导轨向上的恒力作用。已知当时两杆相距最近，重力加速度为。 (1)求两金属杆相距最近时共同的速度大小； (2)求内通过杆的电荷量； (3)求内杆上产生的焦耳热。 【典型例题6】MNDE和PQGF为硬质材料制成的光滑平行金属导轨如图放置，其中导轨PQ与MN水平放置（足够长），导轨QG和ND与水平成30°放置，导轨GF和DE水平放置（足够长）。导轨水平间距为L=1.0m，导轨所在区域都存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，且磁感应强度大小相等为B=1T。导轨左侧放置金属棒a，a被绝缘细绳拴住，细绳能承受的最大拉力为2N，金属棒b放置在水平导轨与倾斜导轨相连处，b距离a足够远，两金属棒的质量都为2.0kg，金属棒a的电阻R1=0.25Ω，金属棒b的电阻R2=0.50Ω，其他部分均不计电阻。现使b从静止开始沿倾斜导轨滑下，经0.4s它刚滑动到倾斜导轨底端，此时细绳恰好被拉断。已知金属棒b在由倾斜轨道运动到水平轨道时无能量损失，从金属棒b开始运动到两者运动稳定，整个过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，g取10m/s2。求： （1）细绳刚被拉断时金属棒b的速度； （2）导轨倾斜部分QG的长度； （3）整个运动过程中电路产生的热量。 【变式训练2-2-1】如图所示，两平行金属导轨ABC和A′B′C′，其中AB、A′B′段光滑且足够长，与水平方向夹角为30°，BC、B′C′段水平粗糙。空间存在方向分别与两导轨平面垂直向上、磁感应强度大小相等的匀强磁场。现有两根完全相同的导体棒a、b，导体棒b静置于水平导轨某处，导体棒a在AA′处静止释放，当a棒开始匀速运动时，b棒恰好能保持静止。导轨电阻不计，滑动摩擦力等于最大静摩擦力。关于这一过程说法正确的是（　　） A．金属棒b受到的安培力方向水平向左 B．金属棒b与水平导轨间动摩擦因数为0.5 C．金属棒a克服安培力做的功等于金属棒a产生的焦耳热 D．金属棒a所受安培力的冲量等于金属棒a的动量变化 【变式训练2-2-2】如图所示，绝缘平面上固定两条足够长的“V”字型光滑平行导轨，导轨间距为l，左右两侧导轨与水平面夹角分别为θ、2θ，均处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度分别为B、2B，不计导轨电阻。两侧顶端分别用外力固定质量为m，2m的导体棒ab、cd，电阻分别为R、2R，导体棒垂直于导轨，且运动过程中始终未脱离导轨，重力加速度为g，以下说法正确的是（　　） A．若ab棒具有沿斜面向上的初速度，则cd棒由静止释放瞬间加速度可能为零 B．若cd棒具有沿斜面向上的初速度，则ab棒由静止释放瞬间加速度可能为零 C．若cd棒始终固定，ab棒由静止释放后的稳定速度为 D．若两导体棒同时静止释放，两棒最终不可能同时匀速下滑 【变式训练2-2-3】如图所示，与水平面成θ角的平行的倾斜导轨MN和PQ，不计电阻，在其上垂直导轨放置两根金属棒ab和cd，整个装置处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中（磁场图中未画出），金属棒恰好保持静止。已知最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，下列判断正确的是（　　） A．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒都会停下来 B．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 C．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒速度不同而加速度相同 D．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 【变式训练2-2-4】（多选）如图所示，两平行金属导轨由水平部分和倾斜部分平滑连接而成，倾角为的导轨处于方向竖直向上的匀强磁场中，水平导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中，两平行金属导轨间距为，两部分磁场的磁感应大小均为。两根长为的相同金属杆、分别垂直导轨放置于导轨的倾斜部分和水平部分，每根金属杆的质量为，每根金属杆接入导轨之间的电阻均为。现由静止释放金属杆后，两金属杆开始运动，经足够长时间后，两金属杆达到稳定运动状态。两金属杆在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，导轨足够长，不计摩擦阻力和导轨电阻，重力加速度为，忽略磁场边界效应。两金属杆达到稳定运动状态后，下列说法正确的是（　　） A．金属杆中电流方向为 B．两金属杆均做匀变速直线运动，加速度的大小相同 C．金属杆做匀加速直线运动，加速度为 D．金属杆中电流大小为 【变式训练2-2-5】（多选）如图，两条足够长的平行金属导轨间距，与水平面的夹角，处于磁感应强度、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。导轨上的a、b两根导体棒质量分别为、，电阻均为。现将a、b棒由静止释放，同时用大小为2N的恒力F沿平行导轨方向向上拉a棒。导轨光滑且电阻忽略不计，运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好，取重力加速度。已知当a棒中产生的焦耳热时，其速度，a上方和b下方都足够长，下列说法正确的是（　　） A．此时b棒的速度大小为 B．此时a棒的加速度大小为 C．a棒从静止释放到速度达到所用的时间为 D．a、b两棒最后同时向上和向下做匀速直线运动 【变式训练2-2-6】（多选）如图所示，两平行金属导轨由水平部分和倾斜部分平滑连接而成，倾角为的导轨处于方向竖直向上的匀强磁场中，水平导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中，两平行金属导轨间距为，两部分磁场的磁感应大小均为。两根长为的相同金属杆、分别垂直导轨放置于导轨的倾斜部分和水平部分，每根金属杆的质量为，每根金属杆接入导轨之间的电阻均为。现由静止释放金属杆后，两金属杆开始运动，经足够长时间后，两金属杆达到稳定运动状态。两金属杆在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，导轨足够长，不计摩擦阻力和导轨电阻，重力加速度为，忽略磁场边界效应。两金属杆达到稳定运动状态后，下列说法正确的是（　　） A．金属杆中电流方向为 B．两金属杆均做匀变速直线运动，加速度的大小相同 C．金属杆做匀加速直线运动，加速度为 D．金属杆中电流大小为 【变式训练2-2-7】（多选）如图所示，两根足够长光滑平行金属导轨间距l=0.9m，与水平面夹角，正方形区域abcd内有匀强磁场，磁感应强度B=2T，方向垂直于斜面向上。甲、乙是两根质量相同、电阻均为的金属杆，垂直于导轨放置。甲置于磁场的上边界ab处，乙置于甲上方l处，现将两金属杆由静止同时释放，并立即在甲上施加一个沿导轨方向的拉力F，甲始终以的加速度沿导轨向下运动，乙进入磁场时恰好做匀速运动，g取。则（　　） A. 甲穿过磁场过程中拉力F随时间均匀增大 B. 每根金属杆的质量为0.3kg C. 乙穿过磁场过程中安培力的功率是3W D. 乙穿过磁场过程中，通过整个回路的电荷量为 【变式训练2-2-8】如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为，两导轨及其所构成的平面均与水平面成角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为．现将质量均为的金属棒垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为。   （1）先保持棒静止，将棒由静止释放，求棒匀速运动时的速度大小； （2）在（1）问中，当棒匀速运动时，再将棒由静止释放，求释放瞬间棒的加速度大小； （3）在（2）问中，从棒释放瞬间开始计时，经过时间，两棒恰好达到相同的速度，求速度的大小，以及时间内棒相对于棒运动的距离。    【变式训练2-2-9】如图（a），一倾角为的绝缘光滑斜面固定在水平地面上，其顶端与两根相距为L的水平光滑平行金属导轨相连；导轨处于一竖直向下的匀强磁场中，其末端装有挡板M、N．两根平行金属棒G、H垂直导轨放置，G的中心用一不可伸长绝缘细绳通过轻质定滑轮与斜面底端的物块A相连；初始时刻绳子处于拉紧状态并与G垂直，滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧与水平面平行．从开始，H在水平向右拉力作用下向右运动；时，H与挡板M、N相碰后立即被锁定．G在后的速度一时间图线如图（b）所示，其中段为直线．已知：磁感应强度大小，，G、H和A的质量均为，G、H的电阻均为；导轨电阻、细绳与滑轮的摩擦力均忽略不计；H与挡板碰撞时间极短；整个运动过程A未与滑轮相碰，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好：，，重力加速度大小取，图（b）中e为自然常数，．求： （1）在时间段内，棒G的加速度大小和细绳对A的拉力大小； （2）时，棒H上拉力的瞬时功率； （3）在时间段内，棒G滑行的距离． 【变式训练2-2-10】如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距为L。导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B。在区域Ⅰ中，将质量为m、电阻为R的导体棒ab放在导轨上，且被两立柱挡住，在区域Ⅱ中将质量为2m、电阻为R的导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑，经时间t，ab刚好离开立柱。ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，重力加速度为g。试求： (1)t时刻cd棒的速度大小vt； (2)在时间t内cd棒产生的电能Ecd； (3)ab棒中电流的最大值。 【变式训练2-2-11】如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角的斜面上，间距为，空间分布着磁感应强度大小为，与导轨平面垂直且向上的匀强磁场。将两根金属棒放置在导轨上，并将用轻绳通过定滑轮和物块连接。已知两棒的长度均为，电阻均为，质量均为，物块的质量也为，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不考虑其他电阻，不计一切摩擦，重力加速度大小为。 （1）将金属棒锁定，释放金属棒，求金属棒的最终速度； （2）物块以的速度竖直向下运动，同时释放金属棒，求金属棒的最终速度； （3）在（2）问中，若从开始运动经时间t到达稳定状态，求该过程中产生的总焦耳热。 题型03：有外力不光滑等距轨道双杆模型 【典型例题1】如图所示，水平面内ab和cd是两条平行放置的足够长的固定粗糙金属直导轨，MN和M′N′是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为2kg和1kg，两杆与导轨间的动摩擦因数相同。开始时恒定水平外力F作用在杆MN上，使两杆以大小为4m/s的速度水平向右匀速运动。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直，导轨电阻可忽略。在t=0时刻将细线烧断，保持外力F不变，金属杆和导轨始终接触良好，已知在t=t0时刻后杆MN速度大小为5m/s并保持不变，且在0~t0时间内两杆速度方向始终向右，下列说法正确的是（　　） A．细线烧断后，流经MN的电流方向为由M到N B．M′N′稳定后的速度大小为3m/s C．0~t0时间内MN和M′N′的位移大小之比大于3∶2 D．整个过程中系统动能变化量的大小等于整个系统产生的焦耳热 【典型例题2】（多选）如图，电阻不计足够长的金属导轨水平平行放置，处于方向竖直向下的匀强磁场中。与导轨等宽的导体棒MN和PQ垂直于导轨放置，MN质量为m，PQ质量为2m，导体棒电阻不同，它们与导轨间的动摩擦因数均为μ。现对MN施加一水平恒力F作用，则下列说法正确的是（　　） A．只要F大于，时间足够长，PQ一定会向右运动 B．只要F大于，时间足够长，PQ一定会向右运动 C．若MN向右匀加速，则PQ一定也向右匀加速但两者加速度不相同 D．若PQ向右匀加速，则MN一定也向右匀加速，且两者加速度相同 【典型例题3】如图所示，两条足够长的平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间距为L，电阻不计，导轨最右端接有阻值为R的定值电阻；整个装置处于两种磁感应强度大小均为B、方向相反的竖直匀强磁场中，虚线为两磁场的分界线。质量均为m的两根金属棒MN、PQ静止于导轨上，两金属棒接入电路的电阻均为R，与导轨间的动摩擦因数均为（设金属棒的最大静摩擦力等于滑动摩擦力），两棒始终与导轨垂直且接触良好。某时刻，用水平向左的恒力F拉MN棒，使其由静止开始运动，直到PQ刚好要滑动的过程中，通过金属棒PQ的电荷量为q，重力加速度为g，试求： （1）PQ刚好要滑动时，金属棒MN的速度大小； （2）上述过程中金属棒MN在导轨上运动的距离； （3）上述过程中金属棒MN产生的焦耳热为多少？ 【 【典型例题4】如图所示，与为水平放置的无限长平行金属导轨，与为倾角为的平行金属导轨，两组导轨的间距均为，导轨电阻忽略不计。质量为、电阻为的导体棒置于倾斜导轨上，质量为、电阻为的导体棒置于水平导轨上，轻质细绳跨过光滑滑轮一端与的中点相连、另一端悬挂一轻质挂钩。导体棒、与导轨间的动摩擦因数相同，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为。初始时刻，棒在倾斜导轨上恰好不下滑。（取，） （1）求导体棒与导轨间的动摩擦因数； （2）在轻质挂钩上挂上物体，细绳处于拉伸状态，将物体与导体棒同时由静止释放，当的质量为时，始终处于静止状态（导体棒运动过程中，、一直与平行，且没有与滑轮相碰。）求匀速运动时，导体棒速度的大小； （3）若的质量为时，由静止释放开始计时，当下降时已经处于匀速直线运动状态，求这个过程中上产生的焦耳热为多少？（始终处于静止状态） 【变式训练3-1】(多选）如图，“⅂”型金属导轨固定放置于竖直向上的匀强磁场中。其中ab、de导轨水平放置，ef、bc导轨竖直放置，到过在转角处连接良好。AA'和BB'是电阻为r＝0.5Ω的两根均质金属导体棒。已知水平和竖直导轨的宽度均为L＝1m，磁感应强度B＝2T，两根导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ＝0.2，AA'导体棒质量为mA＝2kg，BB'导体棒的质量为mB＝0.2kg。初始时，两导体棒位于图示位置，且突然给AA'杆一水平向左的初速度v0＝5m/s，并同时释放BB'杆，假如导轨无电阻且足够长，金属杆在运动中过程始终与导轨接触良好，g取10m/s2，则（　　） A．AA'杆初始时的加速度大小为10m/s2 B．BB'杆最终的加速度为10m/s2 C．若从开始至AA'杆静止，杆AA'产生的焦耳热为10.5J，则AA'的位移为1m D．BB'杆开始运动时，AA'杆的速度为1m/s 【变式训练3-2】如图所示，两条足够长的平行导电导轨MN、PQ水平放置，导轨间距L=1.0m，在轨道区域内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=1T。导体棒a、b质量均为m=1kg，电阻均为R=0.5Ω，与导轨间的动摩擦因数均为=0.3，运动过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好。重力加速度g=10m/s2，导轨电阻可忽略，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）若开始时导体棒a初速度为零，导体棒b获得=2m/s的水平向右的初速度，求此时导体棒a和b的加速度大小； （2）若同时分别给两导体棒不同的冲量，使导体棒a获得平行于导轨向左的初速度=2m/s的同时，导体棒b获得向右的平行于导轨的初速度=4m/s，求流经导体棒a的最大电流； （3）在（2）的条件下，从导体棒a速度为零到两棒相距最远的过程中，已知导体棒b产生的焦耳热为0.25J，求此过程中导体棒b的位移。 【变式训练3-3】如图所示，电阻不计的两金属导轨平行正对放置，间距为L，竖直部分粗糙，水平部分光滑，水平及竖直部分均足够长。整个空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。导体棒Q借助小立柱静置于竖直导轨上并保持水平，其与竖直导轨间的动摩擦因数为μ。导体棒P垂直于水平导轨放置，处于静止状态。两导体棒的质量均为m，接入导轨间的电阻均为R。t = 0时起，对导体棒P施加水平向右的拉力F，使其做加速度为a的匀加速直线运动，同时撤去小立柱，导体棒Q开始下滑。已知两导体棒与导轨始终垂直且接触良好，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）求拉力F随时间t变化的关系式； （2）求导体棒Q所达到的最大速度vm及下滑的总时间； （3）若在导体棒Q停止下滑的同时撤去拉力F，导体棒P继续运动多远距离时，导体棒Q又开始下滑？ 【变式训练3-4】如图所示，两条粗糙平行金属导轨固定，所在平面与水平面夹角为θ。三根完全相同的金属棒ab、cd、gh(质量均为m、电阻均为R、长度与导轨间距相同，均为L)垂直导轨放置。用绝缘轻杆ef将ab、cd连接成“工”字形框架(以下简称“工”形架)，导轨上的“工”形架与gh刚好不下滑。金属棒与导轨始终接触良好，导轨足够长，电阻不计，空间存在垂直导轨平面斜向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。 (1)若将“工”形架固定不动，用外力作用于gh，使其沿斜面向下以速度v匀速运动，求ab两端的电压U； (2)若将“工”形架固定不动，给gh沿斜面向下的初速度v0，求gh沿斜面下滑的最大位移； (3)若“工”形架不固定，给gh沿斜面向下初速度v0的同时静止释放“工”形架，最终“工”形架与gh的运动状态将达到稳定，求在整个过程中电流通过gh产生的焦耳热。 题型04：其他情况下的等间距双杆模型 【典型例题1】（多选）如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，两根足够长的光滑金属轨道间距为d，电阻不计。轨道最左侧接入由电动势为E的直流电源、电容为C的电容器、单刀双掷开关S构成的电路。质量为m、电阻为R的金属棒a垂直放置于轨道左侧某处，质量为3m的绝缘棒b垂直放置于轨道上。现将S接1，待电容器充电完毕后将S接2，a运动达到稳定状态后，再与b发生弹性碰撞。a、b均始终与轨道接触良好。下列说法正确的是（　　） A．S接通1稳定时，电容器的电量Q=CE B．S接通2瞬间，金属棒a的加速度为 C．a、b碰前瞬间，a的速度为 D．a、b碰后瞬间，a的速度方向向左 【典型例题2】（多选）如图所示，平面内有足够长的间距为L的光滑平行金属导轨MN、PQ水平固定放置，导轨处在垂直于导轨平面向上的有界匀强磁场中（虚线是磁场的左边界，其右侧磁场区域足够大）。两根材质相同的金属棒ab、cd垂直导轨放置，长度均为L，质量分别为2m、m，金属棒cd恰好位于磁场的左边界内。现给金属棒ab向右的初速度v0，两金属棒发生弹性碰撞，碰撞时间极短。已知两金属棒与导轨始终接触良好，金属棒ab的电阻为R，导轨的电阻不计，下列说法正确的是（　　） A．碰撞结束的瞬间，流过金属棒ab的电流是 B．碰撞结束的瞬间，流过金属棒cd的电流是 C．最终金属棒ab、cd相距 D．最终金属棒cd上产生的热量为 【典型例题3】（多选）如图所示，水平金属圆环由外环和内环构成，其半径分别为，，沿半径方向放置的金属杆固定在圆环上，金属圆环和金属杆以角速度绕中心轴线转动。两环通过电刷用导线连接间距为L＝0.5m的两条平行光滑水平金属导轨PM、，水平金属导轨接有理想电容器，电容C=1F。右侧是水平绝缘导轨。导体棒ab、cd，垂直静止放置于两侧，质量分别为m1=0.1kg，m2=0.2kg，电阻均为r=0.1Ω。ab放置位置与距离足够长，所有导轨均光滑，除已知电阻外，其余电阻均不计。整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B=1T，忽略磁场对电容器的影响。下列说法正确的是（　　）    A．水平金属圆环中金属杆产生的电动势为0.2V B．S掷向1，稳定后电容器所带电荷量的大小q=0.3C C．S掷向1，稳定后再将S掷向2，导体棒ab到达的速度大小是 D．S掷向1，稳定后再将S掷向2，导体棒ab到达时通过导体棒cd的电荷量是 【典型例题4】真空管道超高速列车的动力系统是一种将电能直接转换成平动动能的装置。图1是某种动力系统的简化模型，图中粗实线表示固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，电阻忽略不计。ab和cd是两根与导轨垂直、长度均为l、电阻均为R的金属棒，通过绝缘材料固定在列车底部，并与导轨良好接触，其间距也为l，列车的总质量为m。列车启动前，ab、cd处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，如图1所示。为使列车启动，需在M、N间连接电动势为E的直流电源，电源内阻及导线电阻忽略不计。列车启动后电源自动关闭。 （1）要使列车向右运行，启动时图1中M、N哪个接电源正极，并简要说明理由； （2）求刚接通电源时列车加速度a的大小； （3）列车减速时，需在前方设置如图2所示的一系列磁感应强度为B的匀强磁场区域，磁场宽度和相邻磁场间距均大于l。若某时刻列车的速度为v0，此时ab、cd均在无磁场区域，试讨论：要使列车停下来，前方至少需要多少块这样的有界磁场？ 【变式训练4-1】（多选）如图，间距的U形金属导轨，一端接有的定值电阻，固定在高的绝缘水平桌面上。质量均为的匀质导体棒a和b静止在导轨上，两导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，接入电路的阻值均为，与导轨间的动摩擦因数均为0.1（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），导体棒距离导轨最右端。整个空间存在竖直向下的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为。用沿导轨水平向右的恒力拉导体棒a，当导体棒a运动到导轨最右端时，导体棒b刚要滑动，撤去，导体棒a离开导轨后落到水平地面上。重力加速度取，不计空气阻力，不计其他电阻，下列说法正确的是（　　） A．导体棒a离开导轨至落地过程中，水平位移为 B．导体棒a离开导轨至落地前，其感应电动势不变 C．导体棒a在导轨上运动的过程中，导体棒b有向右运动的趋势 D．导体棒a在导轨上运动的过程中，通过电阻的电荷量为 【变式训练4-2】（多选）如图所示，光滑的平行长导轨水平放置，质量相等的导体棒和静止在导轨上，与导轨垂直且接触良好。已知的电阻大于的电阻，两棒间的距离为d，不计导轨电阻，忽略电流产生的磁场。将开关S从1拨到2，两棒运动一段时间后达到稳定状态，则（　　） A．S拨到2的瞬间，中的电流大于中的电流 B．S拨到2的瞬间，的加速度小于中的加速度 C．运动稳定后，电容器C的电荷量为零 D．运动稳定后，两棒之间的距离大于d 【变式训练4-3】（多选）如图所示，两光滑平行的金属导轨底部固定在绝缘水平桌面上，其两端是竖直平面内的圆弧与底部平滑连接，导轨电阻不计，右端接一定值电阻R，底部水平部分所在空间内存在竖直向上的匀强磁场。现将一导体棒垂直于导轨从左侧圆弧上距桌面高处的M点由静止释放，导体棒到达右侧圆弧的最高点为距桌面高处的N点，此过程中电阻R产生的热量为，然后返回，再次到达左侧圆弧的最高点为距桌面高处的P点，此过程中电阻R产生的热量为，运动过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好，导体棒电阻不计，下列说法正确的是（　　） A．一定等于 B．一定小于 C．一定大于 D．一定等于 【变式训练4-4】（多选）如图，倾斜金属导轨abed与水平面的倾角为，上方连接一电容器，电容。水平光滑金属轨道、平行且足够长，与倾斜导轨在be处通过绝缘材料平滑连接。虚线左侧磁场方向与导轨垂直向上，虚线右侧磁场方向竖直向上，两部分匀强磁场的磁感应强度大小均为。质量均为的导体棒P、Q在图示位置同时静止释放。导体棒Q的电阻为，其余电阻均不计。导体棒P与倾斜导轨间的动摩擦因数为，平行导轨间距、导体棒长度均为，重力加速度大小为，。已知P刚运动至处时速度为，若取此刻为计时起点，则时刻起P的速度不再变化，且全过程中P、Q始终未相遇。下列说法正确的是（　　） A．P刚释放时，其加速度大小为 B．P的初始释放点与水平导轨的高度差 C．Q的初始释放点到be的距离，以确保P、Q不相遇 D．上述时间段内，P在水平导轨上运动的位移大小为 【变式训练4-5】如图所示，上方的平行金属导轨与间距为，下方的金属导轨由圆弧导轨、与水平导轨、平滑连接而成，上方导轨和下方导轨没有连接在一起，圆弧导轨与的圆心角为、半径为，与的间距，与的间距，与的高度差为。导轨、左端接有的电阻，导轨与间的圆弧区域内没有磁场，平直部分存在宽度为、磁感应强度方向竖直向上的匀强磁场；圆弧导轨与的区域内没有磁场，平直部分右侧存在磁感应强度方向竖直向上的匀强磁场图中没有画出，导体棒质量为，棒接在电路中的电阻；导体棒质量为，棒接在电路中的电阻。导体棒从距离导轨、平直部分处静止释放，恰好沿圆弧轨道与的上端切线方向落在圆弧轨道上端，接着沿圆弧轨道下滑；导体棒最初静止在水平导轨与上。重力加速度：，不计导轨电阻、一切摩擦及空气阻力。求： (1)导体棒刚进入磁场时电阻 的电流大小和方向； (2)的大小； (3)导体棒从静止开始到匀速运动的过程中，导体棒上产生的焦耳热。导轨与、与均足够长，导体棒只在导轨与上运动 【变式训练4-6】如图所示，两平行光滑金属导轨由两部分组成，左侧部分水平，右侧部分为半径r＝0.5 m的竖直半圆，两部分平滑连接，两导轨间距离d＝0.3 m，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小B＝1 T的匀强磁场中，两导轨电阻不计．有两根长度均为d的金属棒ab、cd，均垂直导轨置于水平导轨上，金属棒ab、cd的质量分别为m1＝0.2 kg、m2＝0.1 kg，电阻分别为R1＝0.1 Ω、R2＝0.2 Ω.现让ab棒以v0＝10 m/s的初速度开始水平向右运动，cd棒进入半圆形导轨后恰好能通过其最高点PP′，cd棒进入半圆形导轨前两棒未相碰，重力加速度g取10 m/s2，求： (1)ab棒开始向右运动时cd棒的加速度大小a0； (2)cd棒刚进入半圆形导轨时ab棒的速度大小v1； (3)cd棒进入半圆形导轨前ab棒克服安培力做的总功W. 【变式训练4-7】在自动化装配车间，常采用电磁驱动的机械臂系统，如图，ab、cd为两条足够长的光滑平行金属导轨，间距为L，电阻忽略不计。导轨置于磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，导轨上有与之垂直并接触良好的金属机械臂1和2，质量均为m，电阻均为R。导轨左侧接有电容为C的电容器。初始时刻，机械臂1以初速度向右运动，机械臂2静止，运动过程中两机械臂不发生碰撞。系统达到稳定状态后，电流为零，两机械臂速度相同。 (1)求初始时刻机械臂1的感应电动势大小和感应电流方向； (2)系统达到稳定状态前，若机械臂1和2中的电流分别为和，写出两机械臂各自所受安培力的大小；若电容器两端电压为U，写出电容器电荷量的表达式； (3)求系统达到稳定状态后两机械臂的速度。若要两机械臂不相撞，二者在初始时刻的间距至少为多少？ 【变式训练4-8】间距为L的金属导轨倾斜部分光滑，水平部分粗糙且平滑相接，导轨上方接有电源和开关，倾斜导轨与水平面夹角，处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，水平导轨处于垂直竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为，两相同导体棒、与水平导轨的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两棒质量均，接入电路中的电阻均为，棒仅在水平导轨上运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不互相碰撞，忽略金属导轨的电阻，重力加速度为。 (1)锁定水平导轨上的棒，闭合开关，棒静止在倾斜导轨上，求通过棒的电流；断开开关，同时解除棒的锁定，当棒下滑距离为时，棒开始运动，求棒从解除锁定到开始运动过程中，棒产生的焦耳热； (2)此后棒在下滑过程中，电流达到稳定，求此时、棒的速度大小之差； (3)棒中电流稳定之后继续下滑，从棒到达水平导轨开始计时，时刻棒速度为零，加速度不为零，此后某时刻，棒的加速度为零，速度不为零，求从时刻到某时刻，、的路程之差。 【变式训练4-9】如图所示，间距为L的光滑平行导轨由足够长的水平导轨和固定在竖直面导轨组成，圆弧导轨最低点与水平导轨分别在M、N两点平滑连接，MN与导轨垂直，水平导轨处在竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B。长度均为L、质量均为m、电阻均为R的金属棒cd、ef垂直放在水平导轨上处于静止状态，虚线MN左侧没有磁场，质量为m、电阻为R的金属棒ab从圆弧轨道上距水平轨道高为处静止释放，三根金属棒运动过程中始终与导轨接触良好且保持垂直，金属棒间均不会相碰，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。求： （1）金属棒ab刚进入磁场时，金属棒ab两端间的电压大小； （2）金属棒ab刚进入磁场时，金属棒cd的加速度大小； （3）从ab进入磁场至ab速度大小为的过程中，ab和cd间的距离减小量。 【变式训练4-10】如图所示为某电磁发射装置，由两平行等高金属导轨、恒定电源、金属棒a、金属棒b组成。水平粗糙导轨间距.L=0.5m，其间存在磁感应强度，B=1T的匀强磁场，左端连接一电动势.E=10V的恒定电源；倾斜导轨光滑，且与水平导轨平滑连接，连接处上方一光滑卡口可让金属棒无速度损失地从水平段进入倾斜段；开始时金属棒a静止于水平导轨某处，金属棒b锁定在距离斜轨道端.L=0.5m处，其中点处焊有一绝缘轻质杆，杆长也为L。已知金属棒a和b质量均为m=1kg，电阻均为，棒a与水平导轨间动摩擦因数，倾斜导轨倾角 ，在运动过程中金属棒始终与导轨接触良好，忽略导轨电阻和电源内阻。 (1)闭合开关，金属棒a开始向右运动，运动距离后达到最大速度，仍在水平导轨上，求： ①开关刚闭合瞬间，金属棒a受到的安培力大小； ②金属棒a的最大速度 vm； ③该过程中，回路产生的总焦耳热Q。 (2)若在金属棒a与杆碰前瞬间-解锁棒b并断开图中开关，碰后a与杆粘在一起，碰撞时间极短。以顶端为原点，沿导轨向下建立x轴，从a与杆刚碰后开始计时，碰后立即施加垂直倾斜导轨向上的磁场，磁感应强度大小.（其中，），求a棒最终位置到原点的距离s。 题型05：无外力的不等间距双杆题型 【典型例题1】如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MNPQ和M1N1P1Q1固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为2L和L，金属棒a、b的质量分别为2m、m，阻值分别为2R、R，长度分别为2L、L，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。现给金属棒a一水平向右的初速度v0，经一段时间后金属棒a、b达到稳定速度。已知运动过程中两金属棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，金属棒a一直未到达NN1位置，下列说法正确的是（　　） A．稳定后金属棒a的速度大小为v0 B．稳定后金属棒b的速度大小为 C．整个运动过程中产生的热量为m D．从开始运动至达到稳定速度的过程中，流过金属棒b的电荷量为 【典型例题2】如图所示的装置水平置于竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场中，电源电动势为、内阻为，两副平行且光滑的导轨间距分别为与。材质均匀的导体棒的长度均为，电阻均为，质量分别为，垂直置于导轨上。导轨足够长且不计电阻，从闭合开关到两导体棒达到稳定状态的全过程（　　） A．稳定前棒加速度之比为 B．稳定时导体棒的速度为 C．通过棒的电量 D．导体棒中产生的焦耳热为 【典型例题3】（多选）如俯视图所示，水平面上固定着两组足够长平行光滑金属导轨PQ和MN，宽度分别为L和2L，两组导轨用导线交叉连接（导线不接触），导轨区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，PQ导轨上垂直放置导体棒a，其质量为m，接入长度为L，接入的电阻为R；MN导轨上垂直放置导体棒b，其质量为m，接入长度为2L，接入的电阻也为R。某时刻同时给两导体棒相同初速度大小为v0，导体棒运动过程中始终与导轨保持垂直且接触良好， 两导体棒始终没有进入交叉区， 不计导轨电阻。下列说法正确的是（ ） A．导体棒a的最大加速度为 B．从开始至导体棒b向右运动最远过程中，通过导体棒b的电荷量为 C．两导体棒最终速度为零 D．导体棒a产生的热量为 【典型例题4】（多选）如图，水平面内固定着足够长的光滑平行导轨abcd－a′b′c′d′，ab－a′b′导轨宽度是cd－c′d′导轨宽度的2倍，cd－c′d′导轨宽度为L，导轨处于方向垂直于轨道平面向里的匀强磁场中，金属棒PQ和MN分别垂直导轨放置在导轨ab－a′b′段和cd－c′d′段上，金属棒PQ和MN的质量之比为2∶1，长度分别为2L和L，两金属棒电阻均为R。现给金属棒MN一个向右的初速度，运动过程中两棒始终没有离开各自的导轨段，并与导轨接触良好，其余部分的电阻均不计，则(　　) A.运动过程中金属棒PQ和MN的加速度大小之比为1∶2 B.运动过程中金属棒PQ和MN所受的安培力的冲量大小之比为2∶1 C.运动到速度稳定时金属棒PQ和MN的速度之比为1∶2 D.运动到速度稳定时金属棒PQ和MN两端的电压之比为2∶1 【典型例题5】（多选）如图所示，半径为r、间距为2L的光滑圆弧导轨与水平光滑导轨在M、N处相切且平滑连接，水平导轨由两个足够长的宽窄导轨组成，宽导轨的间距为2L，窄导轨的宽度为L，虚线MN右侧存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两根粗细相同、材质相同的均匀金属棒a、b分别放在宽窄导轨上，长度与导轨宽度相同，a棒的质量为m，电阻为R。a棒从圆弧导轨顶端由静止沿圆弧导轨滑下，到a、b棒运动稳定的整个过程中，两棒始终与导轨接触良好且垂直于导轨，不计导轨的电阻，重力加速度为g。在a、b棒整个运动过程中，下列说法正确的是（　　） A. a棒克服安培力做的功大于安培力对b棒做的功 B. b棒的最大加速度大小为 C. b棒上产生的焦耳热为 D. 流过b棒的电荷量为 【典型例题6】（多选）如图，光滑且分为宽处和窄处的两平行金属导轨固定在水平绝缘桌面上，两导轨所在区域存在垂直桌面向里的匀强磁场，两粗细均匀的金属杆ab、cd静置在导轨上且相距一定距离。现使ab杆以初速度v0从导轨宽处向窄处运动，cd置于窄处，在运动过程中，两杆与导轨始终垂直并接触良好，且始终不相碰，除了两杆的电阻，其余电阻不计。 则金属杆ab、cd开始运动后的一段时间内，其速度v随时间t变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【典型例题7】如图所示，固定光滑平行轨道的水平部分处于磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场中，段轨道宽度为，段轨道宽度为，段轨道和段轨道均足够长，将质量分别为、，有效电阻分别为、的金属棒和分别置于轨道上的段和段，且均与轨道垂直，金属棒原来处于静止状态。现让金属棒从距水平轨道高为处无初速度释放，两金属棒运动过程中始终与导轨接触良好且与导轨垂直，不计其他电阻及空气阻力，重力加速度大小为，求： （1）金属棒的最大加速度； （2）回路中产生的总焦耳热； （3）两金属棒距离最近时两导轨间的电压。 【变式训练5-1】如图所示，两固定在水平面上的平行金属导轨由宽轨M1N1、M2N2，窄轨O1P1、O2P2两部分组成，宽轨部分间距为2L，窄轨部分间距为L。现将两根材料相同、横截面积相同的金属棒ab、cd分别静置在宽轨和窄轨上。金属棒cd的质量为m，电阻为R，长度为L，金属棒ab的长度为2L，两金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。金属导轨处在方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现给金属棒ab水平向右的初速度v0，此后金属棒ab始终在宽轨磁场中运动，金属棒cd始终在窄轨磁场中运动。已知除金属棒的电阻之外其余电阻不计，宽轨和窄轨都足够长，不计一切摩擦。下列说法正确（　　） A．金属棒cd开始运动后，金属棒cd中的电流方向为d→c B．当两金属棒匀速运动时，cd棒的速度为 C．金属棒ab从开始运动到匀速的过程中，通过金属棒cd的电荷量为 D．金属棒ab从开始运动到匀速的过程中，金属棒cd中产生的热量为 【变式训练5-2】如图所示，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为l、2l；质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，导体棒a接入电路的电阻为R，其余电阻均忽略不计；a、b两棒分别以v0、2v0的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，a总在窄轨上运动，b总在宽轨上运动，直到两棒达到稳定状态，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（　　） A．a棒加速度大于b棒的加速度 B．稳定时a棒的速度为1.5v0 C．电路中产生的焦耳热为 D．通过导体棒a的某一横截面的电荷量为 【变式训练5-3】如图所示，足够长光滑平行水平导轨所在空间，有垂直于导轨平面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为。导轨间距分别为和，质量为、电阻为的铜棒跨放在导轨上，同种材料、粗细相同的铜棒的长度是的两倍，两棒与导轨始终垂直且接触良好。若使棒获得一个大小为、水平向右的初速度，导轨电阻不计，则在两棒运动过程中（棒始终在宽度为的导轨上运动），下列说法正确的是（　　） A．两棒组成的系统动量守恒，且最终速度相等 B．棒最终的速度大小为 C．棒产生的焦耳热为 D．棒克服安培力做的功为 【变式训练5-4】如图所示，固定在水平面内的光滑不等距平行轨道处于竖直向上、大小为B的匀强磁场中，ab段轨道宽度为2L，bc段轨道宽度是L，ab段轨道和bc段轨道都足够长，将质量均为m、接入电路的电阻均为R的金属棒M和N分别置于轨道上的ab段和bc段，且与轨道垂直。开始时金属棒M和N均静止，现给金属棒M一水平向右的初速度v0，不计导轨电阻，则（　　） A．M棒刚开始运动时的加速度大小为 B．金属棒M最终的速度为 C．金属棒N最终的速度为 D．整个过程中通过金属棒的电荷量为 【变式训练5-5】（多选）如图，在水平面内固定的光滑平行金属导轨PQ、MN，左侧间距0.6m，右侧间距0.3m，导轨电阻不计且足够长。空间有竖直向上的磁感应强度为0.5T的匀强磁场。完全相同的导体棒a、b分别放在宽窄不同的导轨上静止，质量都为0.1kg，b棒接入导轨中的电阻为0.1Ω，两棒始终与导轨垂直。给a棒水平向右4m/s的初速度，在a棒到达宽窄导轨分界前两棒已达到稳定状态，下列说法正确的是（　　） A．达到稳定状态时a棒与b棒共速 B．达到稳定状态时a棒速度为0.8m/s C．达到稳定过程中a棒产生的焦耳热为0.64J D．达到稳定过程中回路磁通量改变了0.32Wb 【变式训练5-6】（多选）如图所示，水平面内固定有电阻可忽略且足够长的光滑“凸”形金属导轨，左侧宽度为L1，右侧宽度为L2，且L1=2L2，有两根材料相同，质量均为m的导体格垂直两平行导轨静止放置，在垂直于导轨平面内有匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直轨道平面向外。现给导体棒II一初速度v0，使其沿水平方向开始运动直至达到稳定状态，整个过程导体棒I一直在左侧导轨部分，下列说法正确的是（　　） A．导体棒I达到稳定状态时速度为 B．导体棒I达到稳定状态时速度为 C．整个过程中通过导体棒II的电荷量为 D．整个过程中导体棒II上产生的焦耳热为 【变式训练5-7】（多选）如图所示的光滑金属轨道由左、右两段足够长的轨道拼接而成，整个轨道固定在水平面内，左侧两平行导轨间距为，在上面搁置导体棒2（长度为，质量为，电阻为），右侧两平行导轨间距为，在上面搁置导体棒1（长度为，质量为，电阻为），导轨电阻不计，整个轨道所在的空间中有垂直于轨道平面的匀强磁场。现在给棒1一个初速度，它通过安培力带动棒2向右运动，运动过程中棒1、棒2均与导轨良好接触。下列说法正确的是（　　） A. 两棒一直做减速运动，最终速度为0 B. 棒1和棒2的最终速度分别为和 C. 两棒在运动过程中的同一时刻加速度大小不相等 D. 整个过程中两棒上产生的焦耳热为 【变式训练5-8】（多选）如图所示，光滑金属轨道由左、右两段足够长的轨道拼接而成，整个轨道固定在水平面内。左、右侧两平行轨道间距分别为2L、L，左、右侧轨道所在的空间中分别有垂直于轨道平面向里、向外的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。材料、横截面积均相同的导体棒a、b分别垂直于左、右侧轨道放置，且导体棒长度分别为2L、L。某时刻质量为m、电阻为R的导体棒b获得水平向右、大小为的初速度，一段时间后两导体棒达到稳定状态。轨道电阻不计，两导体棒始终与轨道接触良好。下列说法正确的是（　　） A．两导体棒重新达到稳定状态时导体棒a的速度大小为 B．两导体棒重新达到稳定状态时导体棒b的速度大小为 C．从导体棒b开始运动到两导体棒重新达到稳定状态的过程中导体棒b产生的热量为 D．从导体棒b开始运动到两导体棒重新达到稳定状态的过程中通过导体棒b的电荷量为 【变式训练5-9】（多选）如图所示，足够长的光滑平行金属直导轨固定在水平面上，左侧轨道间距为2d，右侧轨道间距为d．轨道处于竖直向下的磁感应强度大小为B的匀强磁场中．质量为2m、有效电阻为2R的金属棒a静止在左侧轨道上，质量为m、有效电阻为R的金属棒b静止在右侧轨道上．现给金属棒a一水平向右的初速度v0，经过一段时间两金属棒达到稳定状态．已知两金属棒运动过程中始终相互平行且与导轨良好接触，导轨电阻忽略不计，金属棒a始终在左侧轨道上运动，则下列说法正确的是（　　） A．金属棒b稳定时的速度大小为 B．整个运动过程中通过金属棒a的电荷量为 C．整个运动过程中两金属棒扫过的面积差为 D．整个运动过程中金属棒b产生的焦耳热为 【变式训练5-10】（多选）如图所示，光滑水平导轨置于磁场中，磁场的磁感应强度为B，左侧导轨间距为L，右侧导轨间距为2L，导轨均足够长。质量为m的导体棒ab和质量为2m的导体棒cd均垂直于导轨放置，处于静止状态。ab的电阻为R，cd的电阻为2R，两棒始终在对应的导轨部分运动，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。现瞬间给cd一水平向右的初速度，则此后的运动过程中下列说法正确的是（　　） A．导体棒ab和cd组成的系统动量不守恒 B．两棒最终以相同的速度做匀速直线运动 C．ab棒最终的速度 D．从cd获得初速度到二者稳定运动，此过程系统产生的焦耳热为 【变式训练5-11】（多选）如图所示，两条足够长的光滑金属导轨平行放置在绝缘水平面上，左侧导轨间距为2L，右侧导轨间距为L，整个装置处在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。由同种材料制成的、粗细相同的导体棒C和导体棒D分别垂直于导轨放置。已知D棒的长度为L、电阻为R、质量为m，C棒的长度为2L，导轨电阻不计。第一次锁定D棒，让C棒以初速度v0向右运动，C棒运动一段距离x后停止运动（未到两导轨连接处），该过程中通过C棒的电荷量为q1。第二次解除锁定，让C棒仍以初速度v0向右运动，当C棒的速度稳定时还未到两导轨连接处，该过程中通过D棒的电荷量为q2，D棒中产生的焦耳热为Q，x、q1、q2、Q均未知，下列说法正确的是（　　） A． B．q1：q2＝3：2 C． D．第一次C棒运动的过程中，其热功率与速度的平方成正比 【变式训练5-12】（多选）如图，足够长的光滑平行导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为2L和L，图中左侧是电阻不计的金属导轨，右侧是绝缘轨道。金属导轨部分处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为；右侧以O为原点，沿导轨方向建立x轴，右侧存在分布规律为的竖直向下的磁场（图中未标出）。一质量为m、阻值为R、三边长度均为L的U形金属框，左端紧靠平放在绝缘轨道上（与金属导轨不接触）处于静止状态。长为2L，质量为2m，接入电路中的阻值为R的导体棒a处在间距为2L的金属导轨上，长为L、质量为m、接入电路中的阻值为R的导体棒b处在间距为L的金属导轨上。现同时给导体棒a、b大小相同的水平向右的初速度，当导体棒b运动至时，导体棒a中已无电流。导体棒b与U形金属框碰撞后连接在一起构成回路，导体棒a、b、金属框与导轨始终接触良好，导体棒a被立柱挡住没有进入右侧轨道。下列说法正确的是（　　） A．导体棒a、b获得相同的水平向右的初速度后，导体棒a做匀减速运动 B．导体棒b运动至时的速度大小为 C．导体棒b运动至前，导体棒a和导体棒b构成的回路产生的热量为 D．导体棒b与U形金属框碰撞后至停止的过程中，通过导体棒b截面的电荷量为 【变式训练5-13】（多选）如下图所示，足够长的水平轨道左侧部分轨道间距为2L，右侧部分的轨道间距为L，圆弧轨道与水平轨道相切于，所有轨道均光滑且电阻不计。在水平轨道内有斜向下与竖直方向夹角的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为的金属棒C垂直于轨道静止放置在右侧窄轨道上，质量为的导体棒A自圆弧轨道上处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与轨道保持良好接触，A棒总在宽轨上运动，C棒总在窄轨上运动。已知：两金属棒接入电路的有效电阻均为，，，，，g取10，则下列说法正确的是（　　） A. 金属棒A滑到处时的速度大小为9 B. 金属棒C匀速运动的速度大小为2 C. 在两棒整个的运动过程中通过金属棒A某截面的电荷量为26C D. 在两棒整个的运动过程中金属棒A、C在水平轨道间扫过的面积之差为130 【变式训练5-14】（多选）如图所示，两根平行且光滑的金属导轨由圆弧部分和水平部分组成，圆弧部分由两段间距为2l、竖直放置的四分之一圆弧导轨构成，水平部分由足够长、但不等宽的水平导轨构成，水平导轨的宽、窄部分间距分别为2l、l，虚线MN右侧导轨区域处于竖直向上的匀强磁场中，宽、窄两部分区域内的磁感应强度大小分别为B、2B。金属棒ab与cd的质量均为m、电阻均为R，长度分别为l、2l，金属棒ab静止在窄导轨上。现将金属棒cd从圆弧轨道上距水平导轨h高度处由静止释放，在此后的运动过程中，cd始终在宽导轨上运动，ab始终在窄导轨上运动，两金属棒始终垂直于导轨且与导轨接触良好。导轨各部分之间均平滑连接，导轨电阻不计，重力加速度为g，则（　　） A．金属棒cd刚进入磁场时的速度大小为 B．通过金属棒ab的最大电流为 C．整个过程中金属棒cd上产生的焦耳热为mgh D．整个过程中通过金属棒cd的电荷量为 【变式训练5-15】（多选）如图所示，足够长的水平轨道左侧b1b2﹣c1c2部分轨道间距为2L，右侧c1c2﹣d1d2部分的轨道间距为L，曲线轨道与水平轨道相切于b1b2，所有轨道均光滑且电阻不计。在水平轨道内有斜向下与竖直方向成θ＝37°的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1T。质量为M＝0.2kg的金属棒B垂直于导轨静止放置在右侧窄轨道上，质量为m＝0.1kg的金属棒A自曲线轨道上距水平轨道高为h的a1a2处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与轨道保持良好接触，金属棒A在宽轨道上运动稳定很长一段时间后进入窄轨道上运动，金属棒B总在窄轨道上运动。已知：金属棒A在宽轨道上运动时，两金属棒接入电路的有效电阻均为R＝0.2Ω，h＝0.2m，L＝0.2m，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2。则（　　） A．金属棒A在宽轨道上稳定运动的速度大小m/s B．金属棒A在宽轨道上运动过程中，通过金属棒A某截面的电荷量C C．金属棒A在宽轨道上运动过程中，金属棒A、B在水平轨道间扫过的面积之差是m2 D．金属棒B最终速度大小为m/s 【变式训练5-16】（多选）如图6所示，用金属制作的曲线导轨与水平导轨平滑连接，水平导轨宽轨部分间距为3L，有竖直向下的匀强磁场，窄轨部分间距为2L，有竖直向上的匀强磁场，两部分磁场磁感应强度大小均为B。质量均为m的金属棒M、N垂直于导轨静止放置，现将金属棒M自曲线导轨上h高度处静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，两棒接入电路中的电阻均为R，其余电阻不计，导轨足够长，M棒总在宽轨上运动，N棒总在窄轨上运动，不计所有摩擦。下列说法正确的是(　　) 图6 A.M棒刚进入磁场时N棒的加速度为 B.N棒的最终速度大小为 C.通过M棒的电荷量为 D.N棒产生的热量为mgh 【变式训练5-17】如图所示，光滑平行轨道abcd的水平部分处于竖直向上大小为B的匀强磁场中，bc段轨道宽度为L，bc段轨道宽度是cd段轨道宽度的2倍，bc段轨道和cd段轨道都足够长，将质量相等的金属棒P和Q分别置于轨道上的ab段和cd段，且与轨道垂直．P、Q棒电阻均为r,导轨电阻不计，Q棒静止，让P棒从距水平轨道高为h的地方由静止释放，求： （1）P棒滑至水平轨道瞬间的速度大小； （2）P棒滑至水平轨道瞬间Q棒受到的安培力； （3）P棒和Q棒最终的速度． 【变式训练5-18】如图所示，M、N、P、Q四根光滑的足够长的金属导轨平行放置在水平面内，导轨间距分别为2L和L，两组导轨间由导线相连，导轨间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，两根质量分别为3m和m的导体棒ab、cd垂直于导轨静止放置，接入电路的电阻分别为2R和R，其余部分电阻不计。t＝0时给导体棒ab向右的初速度v0，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并与导轨接触良好，且达到稳定运动时导体棒ab未到两组导轨连接处。求： （1）t＝0时导体棒ab两端电压Uab； （2）导体棒ab稳定运动时的速度大小； （3）导体棒cd从开始运动至稳定运动的过程中产生热量。 题型06：有外力的不等间距双杆题型 【典型例题1】如图所示，水平面上有足够长且电阻不计的水平光滑导轨，导轨左端间距为L1＝4L，右端间距为L2＝L。整个导轨平面固定放置于竖直向下的匀强磁场中，左端宽导轨处的磁感应强度大小为B，右端窄导轨处的磁感应强度大小为4B。现在导轨上垂直放置ab和cd两金属棒，质量分别为m1、m2，电阻分别为R1、R2。开始时，两棒均静止，现给cd棒施加一个方向水平向右、大小为F的恒力，当恒力作用时间t时，ab棒的速度大小为v1，该过程中cd棒发热量为Q。整个过程中ab棒始终处在左端宽导轨处，cd棒始终处在右端窄导轨处。则（ ） A．t时刻cd棒的速度大小v2＝ B．ab棒、cd棒组成的系统稳定时加速度大小a＝ C．最终cd棒与ab棒的速度差Δv＝ D．t时间内cd棒发生的位移大小x＝ 【典型例题2】如图甲，abcd和a'b'c'd'为在同一水平面内的固定光滑平行金属导轨，左右导轨间距分别为2L、L，整个导轨处于竖直向下的匀强磁场中，左侧导轨间的磁感应强度大小为B0，右侧导轨间的磁感应强度大小按图乙规律变化，两根金属杆M、N分别垂直两侧导轨放置，N杆与cc'之间恰好围成一个边长为L的正方形，M杆中点用一绝缘细线通过轻质定滑轮与一重物相连，t=0时释放重物，同时在N杆中点处施加一水平向右的拉力F，两杆在0~t0时间内均处于静止状态，从t0时刻开始，拉力F保持不变，重物向下运动x距离时（M杆未到达定滑轮处），速度达到最大，已知M、N杆和重物的质量都为m，M、N接入电路的电阻都为R，不计导轨电阻，重力加速度为g，下列说法不正确的是（　　） A．0~t0时间内，回路中的感应电动势为 B．0~t0时间内，施加在N杆上的拉力F随时间t变化的关系为 C．重物下落的最大速度为 D．从t=0时刻到重物达到最大速度的过程中，回路产生的焦耳热为 【典型例题3】（多选）如图所示，左右两部分间距之比为1∶2的光滑水平导轨分别放在大小相等、方向相反且与导轨平面垂直的匀强磁场中。两根质量均为，电阻之比的金属棒垂直静置在水平轨道上。现用水平拉力作用在CD棒上，使其向右移动0.5m时撤去拉力，此时，在此过程中CD棒产生的热量为30J。设导轨足够长且两棒始终在不同的磁场中运动，导轨电阻不计，下列说法正确的是（　　） A．撤去外力时导体棒AB的速度为4m/s B．撤去外力F后，棒AB、CD的加速度始终相等 C．运动的全过程中回路产生的焦耳热为73.8J D．从撤去外力到两棒达到稳定状态，棒AB、CD运动的位移之比为1∶3 【典型例题4】（多选）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为d和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是MN的2倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是（　　） A．弹簧伸展过程中，回路中产生顺时针方向的电流 B．PQ速率为v时，MN所受安培力大小为 C．整个运动过程中，MN与PQ的路程之比为2：1 D．整个运动过程中，通过MN的电荷量为 【典型例题5】如图所示，由同种材料制成的两根匀质金属棒a、b垂直静置在足够长的光滑水平导轨上，金属棒a、b的质量分别为m、3m，电阻分别为R、3R，长度分别为L、3L，导轨左侧间距为L，右侧间距为3L，两导轨处于方向竖直相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场中。某时刻，金属棒a在水平向左、大小为F的恒力作用下向左加速，金属棒b随之向右加速，经时间t0后回路中的电流恒定。已知两金属棒运动过程中始终与导轨接触良好，不计导轨的电阻，求： (1)稳定时回路中的感应电流I； (2)t0时间内通过回路中某截面的电荷量q。 【典型例题6】如图所示，上方的平行金属导轨与间距为，下方的金属导轨由圆弧导轨、与水平导轨、平滑连接而成，上方导轨和下方导轨没有连接在一起，圆弧导轨与的圆心角为、半径为，与的间距，与的间距，与的高度差为。导轨、左端接有的电阻，导轨与间的圆弧区域内没有磁场，平直部分存在宽度为、磁感应强度方向竖直向上的匀强磁场；圆弧导轨与的区域内没有磁场，平直部分右侧存在磁感应强度方向竖直向上的匀强磁场图中没有画出，导体棒质量为，棒接在电路中的电阻；导体棒质量为，棒接在电路中的电阻。导体棒从距离导轨、平直部分处静止释放，恰好沿圆弧轨道与的上端切线方向落在圆弧轨道上端，接着沿圆弧轨道下滑；导体棒最初静止在水平导轨与上。重力加速度：，不计导轨电阻、一切摩擦及空气阻力。求： (1)导体棒刚进入磁场时电阻 的电流大小和方向； (2)的大小； (3)导体棒从静止开始到匀速运动的过程中，导体棒上产生的焦耳热。导轨与、与均足够长，导体棒只在导轨与上运动 【变式训练6-1】光滑平行导轨abcd与a′b′c′d′如图所示，轨道的水平部分bcd，b′c′d′处于竖直向上的匀强磁场中，bc段轨道宽度为cd段轨道宽度的2倍，bc段和cd段轨道都足够长，轨道的电阻不计。现将质量均为m的金属棒P和Q（P和Q都有电阻，但具体阻值未知）分别置于轨道上的ab段和cd段，将P棒置于距水平轨道高为h处由静止释放，使其自由下滑，重力加速度为g。则（　　） A．当P棒进入轨道的水平部分后，P棒先做加速度逐渐增大的减速直线运动 B．当P棒进入轨道的水平部分后，Q棒先做匀加速直线运动 C．从静止释放P棒直至P棒、Q棒稳定运动的过程中，系统的生热量为 D．从静止释放P棒直至P棒、Q棒稳定运动的过程中，系统的生热量为 【变式训练6-2】如图所示，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，以直线MN为分界线，MN左、右两侧导轨的间距分别为l、2l。导轨处在竖直向上的匀强磁场中，其中MN左侧磁场的磁感应强度大小为2B、MN右侧磁场的磁感应强度大小为B。质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，两导体棒接入电路中的阻值均为R，其余电阻不计。初始时两导体棒均静止，现对a棒施加水平向左的恒力F1，同时对b棒施加水平向右的恒力F2。且F1＝F2＝F，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触。已知从开始运动到两棒运动状态刚好稳定的过程中b棒的位移大小为x，则此过程中（　　） A．同一时刻a棒的加速度大小等于b棒加速度大小 B．运动状态稳定时a棒做匀加速运动 C．运动状态稳定时b棒的速度大小为 D．a棒产生的焦耳热为 【变式训练6-3】如图所示，两根质量均为m的金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，左、右两部分导轨间距之比为1：2，导轨间左、右两部分有大小相等、方向相反的匀强磁场，两棒单位长度的电阻相同，不计导轨电阻，现用水平恒力F向右拉CD棒，在CD棒向右运动距离为s的过程中，AB棒上产生的焦耳热为Q，此时AB棒和CD棒的速度大小均为v，此时立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，则下列说法正确的是（　　） A．v的大小等于 B．撤去拉力F后，AB棒的最终速度大小为v，方向向右 C．撤去拉力F后，CD棒的最终速度大小为v，方向向右 D．撤去拉力F后，整个回路产生的焦耳热为mv2 【变式训练6-4】（多选）如图所示，左右两部分间距如分别为、的光滑水平导轨分别放在大小相等、方向相反且与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。两金属棒垂直静置在水平轨道上，已知a、b棒电阻分别为R、2R，质量分别为m、2m，金属导轨电阻忽略不计。对金属棒b施加水平向右的恒力，经过一段时间，两金属棒中的电流达到最大值Im，此时a、b棒加速度大小分别为a1、a2。下列说法正确的是（　　） A．稳定后，两棒速度保持不变 B． C． D． 【变式训练6-5】（多选）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，以直线为分界线，左、右两侧导轨的间距分别为、。导轨处在竖直向上的匀强磁场中，其中左侧磁场的磁感应强度大小为、右侧磁场的磁感应强度大小为。质量分别为、的导体棒、均垂直导轨放置，两导体棒接入电路中的阻值均为，其余电阻不计。初始时两导体棒均静止，现对棒施加水平向左的恒力，同时对棒施加水平向右的恒力，且，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触。已知从开始运动到两棒运动状态刚好稳定的过程中棒的位移大小为，则此过程中（    ） A．同一时刻棒的加速度大小等于棒加速度大小的2倍 B．运动状态稳定时棒做匀加速运动 C．运动状态稳定时棒的速度大小为 D．棒产生的焦耳热为 【变式训练6-6】（多选）如图所示，两个“U”型光滑导轨水平放置，处于竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，导轨间所接电源电动势E大小未知，内阻为R。两根材料、粗细都相同的导体棒、，长度分别为d、2d，导体棒电阻为R、质量为m。导体棒始终与导轨垂直，两端与导轨接触良好，导轨足够长且不计电阻。闭合开关，两导体棒由静止开始运动，最终稳定时导体棒的速度大小为v。下列说法正确的是（　　） A．闭合开关后，导体棒可能做匀加速运动 B．闭合开关后，加速过程中导体棒、的加速度大小相等 C．电源电动势 D．整个过程中，导体棒中产生的焦耳热为 【变式训练6-7】（多选）如图所示，足够长的光滑金属导轨水平放置，导轨两个边分别平行，电阻可忽略。导体棒PQ、MN置于导轨上不同宽度处，初状态均处于静止状态，左侧导轨间距为右侧导轨间距的2倍。用水平恒力F向右拉动MN，运动过程中，装置始终处于竖直向上的匀强磁场中，导体棒未脱离原宽度处的导轨且与导轨保持良好接触。经过一段时间后（　　） A. 导体棒MN的速度大小趋于恒定值 B. 导体棒MN的加速度大小趋于恒定值 C. 导体棒PQ所受安培力的大小趋于恒定值 D. 导体棒MN和导体棒PQ的速度趋于相等 【变式训练6-8】（多选）如图，光滑的水平导轨由间距为的宽导轨和间距为L的窄导轨组成，宽导轨处在竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中，窄导轨处在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，由同一粗细均匀的直导棒截成的a、b两段导棒分别垂直宽、窄导轨放置，a、b两段导棒的质量分别为、m，接入电路的电阻分别为、R，给导棒a一个向右的初速度，当a刚要滑离宽导轨时加速度恰好为零，此后导棒a滑上窄导轨，不计导轨电阻，窄导轨足够长，两导棒在导轨上运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，下列说法正确的是（　　） A．导棒a开始运动时的加速度大小为 B．导棒a刚要滑离宽导轨时速度大小为 C．导棒b最终的速度大小为 D．整个过程回路中产生的焦耳热为 【变式训练6-9】（多选）某科技小组利用物理知识研究一款无接触驱动的游戏装置，如图所示，导轨a、b由半径为r＝0.4m的四分之一光滑圆弧平行导轨与水平导轨组成，其右端与水平导轨c、d良好衔接，导轨a、b部分宽度为L1＝2m，导轨c、d部分宽度为L2＝1m，金属棒P与金属棒Q上分别固定有绝缘卡通玩偶，营造出猫追老鼠的氛围，两者将随金属棒始终无翻转水平运动，金属棒P与“猫”总质量为M＝2kg，金属棒Q与“老鼠”总质量为m＝1kg，接入导轨间的电阻大小均为R＝1Ω，Q棒静止在c、d导轨上并被锁定，整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B＝1T。现将P棒从圆弧导轨圆心等高处无初速释放，经过t＝1s时间P棒到达圆弧轨道最低点，此时P棒对导轨压力为其重力的两倍，金属棒与轨道接触良好，不考虑一切摩擦，重力加速度为g取10m/s2，则（　　） A．从释放P棒到运动至圆弧轨道最低点过程中通过金属棒的电荷量为0.3C B．在Q棒一直锁定下，要使P棒不能带“猫”进入c、d轨道，则a、b轨道水平部分长度至少为2m C．当P棒到达圆弧最低点时，若Q棒立即解除锁定，水平导轨均足够长，且P棒始终在ab上运动，Q棒始终在cd上运动，则两金属棒运动稳定时速度大小分别为vPm/s，vQm/s D．P棒在导轨ab的水平部分运动过程，两者运动状态第一次稳定后，P棒进入cd导轨时，若此时距Q棒1m，则此后两者将会相碰 【变式训练6-10】如图所示，电阻可忽略的导轨EFGH与EFGH组成两组足够长的平行导轨，其中EFEF组成的面与水平面夹角为θ=30°，且处于垂直于斜面向下大小为B0的匀强磁场中，EF与EF之间的距离为2L，GHG'H'水平，且处于竖直向下，大小也为B0的匀强磁场中，GH与G'H'之间的距离为L，质量为2m，长为2L，电阻为2R的导体棒AB横跨在倾斜导轨上并与导轨垂直，且与倾斜导轨之间无摩擦，质量为m，长为L，电阻为R的导体棒CD横跨在水平导轨上并与导轨垂直，且与水平导轨之间动摩擦因数为μ=0.5，导体棒CD通过一轻质细线跨过一个定滑轮与一质量也为m的物块相连，不计细线与滑轮的阻力和空气阻力。 （1）固定AB导体棒，试求CD棒能达到的最大速度； （2）若固定CD棒，将AB棒由静止释放，则AB棒两端的最大电压为多少； （3）同时释放AB棒和CD棒，试求两导体棒能达到的最大速度分别为多大。 【变式训练6-11】如图所示，两宽度不等、足够长且不计电阻的光滑平行金属导轨水平固定，导轨HG宽度为L，MN宽度为2L，导轨HG和MN所在空间均存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为2B和B，磁场方向均垂直纸面向里。将质量均为m的金属棒ab、cd分别垂直轻放在水平轨道上，两金属棒接入电路中的电阻均为R0，MN两端接有阻值也为R0的电阻。先闭合开关S1、断开开关S2，在ab棒上沿导轨方向施加恒力F，经过时间t，ab棒达到匀速运动状态，求： （1）ab棒匀速时的速度大小； （2）ab棒从静止开始到匀速运动状态的位移大小； （3）ab棒达到匀速运动状态后，断开开关S1、闭合开关S2，同时撤去力F，当ab棒再次匀速运动时，cd棒产生的焦耳热为多少。 【变式训练6-12】如图所示，平行光滑的金属导轨由倾斜部分和水平部分组成，倾斜导轨与水平导轨由两小段光滑绝缘圆弧（长度可忽略）相连，倾斜部分由倾角为θ、间距为l的导轨ab、fg构成，水平部分由两段足够长但不等宽的平行金属导轨构成，bc、gh段间距为l，de、ij段间距为2l，导轨的a、f之间接有阻值为R的定值电阻。倾斜导轨处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为2B，水平导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B（磁场方向均未画出）。导体棒Ⅱ静止于de、ij段，导体棒Ⅰ从倾斜导轨上与bg相距为L处由静止释放，到达bg前速度已达到最大。导体棒Ⅰ、Ⅱ的质量均为m，电阻均为R，两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，导轨电阻和空气阻力均可忽略不计。求： （1）导体棒Ⅰ到达bg时的速度大小； （2）导体棒Ⅰ在水平导轨上运动的过程中，导体棒Ⅰ、Ⅱ达到稳定前，两导体棒和导轨围成的回路面积的改变量大小； （3）整个运动过程中，导体棒Ⅰ上产生的焦耳热。 【变式训练6-13】如图所示，在绝缘水平面上固定两根光滑平行金属导轨，左右两侧导轨处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为B和2B，导轨间距分别为2d和d，已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是MN的2倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为5L的轻质绝缘弹簧，弹簧的劲度系数为k。释放弹簧后两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。求： （1）导体棒PQ的速率为v时，导体棒MN的运动速率及回路的总电功率； （2）弹簧伸展过程中流过导体棒MN的电流方向及弹簧释放的整个过程中通过导体棒PQ的电荷量。 1.如图甲所示，水平面内有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨固定且间距为L。空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将两根材料相同、横截面积不同、长度均为L的金属棒ab、cd分别静置在导轨上。现给ab棒一水平向右的初速度v0，其速度随时间变化的关系如图乙所示，两金属棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好。已知ab棒的质量为m，电阻为R。导轨电阻可忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．ab棒刚开始运动时，cd棒中的电流方向为d→c B．ab运动后，cd棒将做加速度逐渐增大的加速运动 C．在0﹣t0时间内，ab棒产生的热量为 D．在0∼t0时间内，通过cd棒的电荷量为 2.如图所示，与水平面成θ角的平行的倾斜导轨MN和PQ，不计电阻，在其上垂直导轨放置两根金属棒ab和cd，整个装置处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中（磁场图中未画出），金属棒恰好保持静止。已知最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，下列判断正确的是（　　） A．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒都会停下来 B．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 C．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒速度不同而加速度相同 D．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 3.如图所示，固定在水平面内的光滑不等距平行轨道处于竖直向上、大小为B的匀强磁场中，ab段轨道宽度为2L，bc段轨道宽度是L，ab段轨道和bc段轨道都足够长，将质量均为m、接入电路的电阻均为R的金属棒M和N分别置于轨道上的ab段和bc段，且与轨道垂直。开始时金属棒M和N均静止，现给金属棒M一水平向右的初速度v0，不计导轨电阻，则（　　） A．M棒刚开始运动时的加速度大小为 B．金属棒M最终的速度为 C．金属棒N最终的速度为 D．整个过程中通过金属棒的电荷量为 4.如图所示，两根质量均为m的金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，左、右两部分导轨间距之比为1：2，导轨间左、右两部分有大小相等、方向相反的匀强磁场，两棒单位长度的电阻相同，不计导轨电阻，现用水平恒力F向右拉CD棒，在CD棒向右运动距离为s的过程中，AB棒上产生的焦耳热为Q，此时AB棒和CD棒的速度大小均为v，此时立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，则下列说法正确的是（　　） A．v的大小等于 B．撤去拉力F后，AB棒的最终速度大小为v，方向向右 C．撤去拉力F后，CD棒的最终速度大小为v，方向向右 D．撤去拉力F后，整个回路产生的焦耳热为mv2 5.（多选）如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ水平放置，导轨间距为L，虚线OO'垂直导轨，导轨所在空间区域OO′两侧存在着方向相反的竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。两长度均为L、电阻均为R、质量均为m的金属导体棒a、b垂直导轨放在OO′左右两侧，并与导轨保持良好接触。不计导轨的电阻，现使a获得一个水平向左的初速度v0，下列关于a、b两棒此后整个运动过程的说法正确的是（　　） A．a、b两棒受到的安培力大小相等，方向相同 B．棒a最终停止运动 C．导体棒b最终产生的热量为 D．稳定前，若通过导体棒a的电荷量为q，此过程中两棒运动的位移大小之差为 6.（多选）如图所示，用金属制作的曲线导轨与水平导轨平滑连接，水平导轨宽轨部分间距为2L，有竖直向下的匀强磁场，窄轨部分间距为L，有竖直向上的匀强磁场，两部分磁场磁感应强度大小均为B。质量均为m的金属棒M、N垂直于导轨静止放置，现将金属棒M自曲线导轨上距水平导轨h高度处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，两棒接入电路中的电阻均为R，其余电阻不计，导轨足够长，M棒总在宽轨上运动，N棒总在窄轨上运动，不计所有摩擦。下列说法正确的是（　　） A．M棒刚进入磁场时加速度为 B．M棒刚进入磁场时加速度为 C．通过N棒的最大电量为 D．通过N棒的最大电量为 7.（多选）如图所示，两条足够长的光滑金属导轨平行放置在绝缘水平面上，左侧导轨间距为2L，右侧导轨间距为L，整个装置处在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。由同种材料制成的、粗细相同的导体棒C和导体棒D分别垂直于导轨放置。已知D棒的长度为L、电阻为R、质量为m，C棒的长度为2L，导轨电阻不计。第一次锁定D棒，让C棒以初速度v0向右运动，C棒运动一段距离x后停止运动（未到两导轨连接处），该过程中通过C棒的电荷量为q1。第二次解除锁定，让C棒仍以初速度v0向右运动，当C棒的速度稳定时还未到两导轨连接处，该过程中通过D棒的电荷量为q2，D棒中产生的焦耳热为Q，x、q1、q2、Q均未知，下列说法正确的是（　　） A． B．q1：q2＝3：2 C． D．第一次C棒运动的过程中，其热功率与速度的平方成正比 8.（多选）如图所示，足够长的水平轨道左侧b1b2﹣c1c2部分轨道间距为2L，右侧c1c2﹣d1d2部分的轨道间距为L，曲线轨道与水平轨道相切于b1b2，所有轨道均光滑且电阻不计。在水平轨道内有斜向下与竖直方向成θ＝37°的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1T。质量为M＝0.2kg的金属棒B垂直于导轨静止放置在右侧窄轨道上，质量为m＝0.1kg的金属棒A自曲线轨道上距水平轨道高为h的a1a2处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与轨道保持良好接触，金属棒A在宽轨道上运动稳定很长一段时间后进入窄轨道上运动，金属棒B总在窄轨道上运动。已知：金属棒A在宽轨道上运动时，两金属棒接入电路的有效电阻均为R＝0.2Ω，h＝0.2m，L＝0.2m，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2。则（　　） A．金属棒A在宽轨道上稳定运动的速度大小m/s B．金属棒A在宽轨道上运动过程中，通过金属棒A某截面的电荷量C C．金属棒A在宽轨道上运动过程中，金属棒A、B在水平轨道间扫过的面积之差是m2 D．金属棒B最终速度大小为m/s 9.如图所示，在水平桌面上固定两根光滑且足够长的平行金属导轨，将两根导体棒a、b垂直导轨放置，空间存在垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场。ma＝2mb＝2m，两棒长度均为L，相距为d0，棒a的电阻为R，棒b的电阻为2R；刚开始棒b静止，棒a以初速度v0水平向右运动，且运动过程中导体棒a与b不会发生碰撞，求在整个过程中： （1）棒a加速度的最大值； （2）棒b产生的焦耳热Qb； （3）两棒间的最小距离d。 10.如图所示，间距为L的光滑平行导轨由足够长的水平导轨和固定在竖直面导轨组成，圆弧导轨最低点与水平导轨分别在M、N两点平滑连接，MN与导轨垂直，水平导轨处在竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B。长度均为L、质量均为m、电阻均为R的金属棒cd、ef垂直放在水平导轨上处于静止状态，虚线MN左侧没有磁场，质量为m、电阻为R的金属棒ab从圆弧轨道上距水平轨道高为处静止释放，三根金属棒运动过程中始终与导轨接触良好且保持垂直，金属棒间均不会相碰，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。求： （1）金属棒ab刚进入磁场时，金属棒ab两端间的电压大小； （2）金属棒ab刚进入磁场时，金属棒cd的加速度大小； （3）从ab进入磁场至ab速度大小为的过程中，ab和cd间的距离减小量。 11.如图所示，M、N、P、Q四根光滑的足够长的金属导轨平行放置在水平面内，导轨间距分别为2L和L，两组导轨间由导线相连，导轨间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，两根质量分别为3m和m的导体棒ab、cd垂直于导轨静止放置，接入电路的电阻分别为2R和R，其余部分电阻不计。t＝0时给导体棒ab向右的初速度v0，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并与导轨接触良好，且达到稳定运动时导体棒ab未到两组导轨连接处。求： （1）t＝0时导体棒ab两端电压Uab； （2）导体棒ab稳定运动时的速度大小； （3）导体棒cd从开始运动至稳定运动的过程中产生热量。 12.如图所示，足够长的“U”形框架沿竖直方向固定，在框架的顶端固定一定值电阻R，空间有范围足够大且垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，电阻值均为R的金属棒甲、乙垂直地放在框架上，已知两金属棒的质量分别为m=2.0×10-2kg、m乙=1.0×10-2kg。现将金属棒乙锁定在框架上，闭合电键，在金属棒甲上施加一竖直向上的恒力F，经过一段时间金属棒甲以v=10m/s的速度向上匀速运动，然后解除锁定，金属棒乙刚好处于静止状态，忽略一切摩擦和框架的电阻，重力加速度g=10m/s2。则： （1）恒力F的大小应为多大？ （2）保持电键闭合，将金属棒甲锁定，使金属棒乙由静止释放，则金属棒乙匀速时的速度v2应为多大？ （3）将两金属棒均锁定，断开电键，使磁感应强度均匀增加，经时间t=0.1s磁感应强度大小变为2B此时金属棒甲所受的安培力大小刚好等于金属棒甲的重力，则锁定时两金属棒之间的间距x应为多大？ 13.如图所示，两根间距为L=2m的金属导轨，电阻不计，左端与水平面倾角为θ，其余水平，水平导轨左侧CDEF区域存在竖直向上的匀强磁场I，其中CE=DF=d=2m，磁感应强度大小为B1=1T，右侧有另一竖直向下的磁场II，且右侧导轨足够长，磁感应强度大小为B2=2T。有两根质量均为m=2kg、电阻均为R=2Ω的金属棒a与b与导轨垂直放置，b棒置于磁场II中PQ处，导轨除P、Q两处（对应的距离极短）外其余均光滑，两处对棒可产生总的最大静摩擦力为棒重力的k=0.5倍，a棒从倾斜导轨AB处由静止释放，忽略CD位置的能量损失。 （1）若a棒释放的高度大于h0，则a棒进入磁场I时才会使b棒运动，请求出h0。 （2）若将a棒从高度h1=1m释放，导体棒在到达EF边界前的某点时，累计通过PQ的电荷量q=0.4C，求该点距离CD的距离x； （3）在第(2)问中，若a棒穿出磁场I区域时速度为v1=4m/s，且当a棒进入磁场II区域时，b棒可以运动，则从开始释放a棒到最后稳定的过程中，b棒产生的热量？（a、b足够远未碰撞） 14.如图所示，足够长的平行金属导轨倾斜放置，导轨所在平面倾角θ=37o, 导轨间距L=1m，在水平虚线的上方有垂直于导轨平面向下的匀强磁场B1，水平虚线下方有平行于导轨平面向下的匀强磁场B2，两磁场的磁感应强度大小均为B=1T. 导体棒ab、cd垂直放置在导轨上，开始时给两导体棒施加约束力使它们静止在斜面上，现给ab棒施加沿斜面向上的拉力F，同时撤去对两导体棒的约束力，使ab沿斜面向上以a=1m/s2的加速度做匀加速直线运动，cd棒沿斜面向下运动，运动过程中导体棒始终与导轨垂直并接触良好已知导体棒与导轨间的动摩擦因数均为μ=0.5，导体棒的质量均为m=0.1kg，两导体棒组成的回路总电阻为R=2Ω，导轨的电阻不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： （1）当cd棒运动的速度达到最大时，ab捧受到的拉力大小； （2）当回路中的瞬时电功率为2W时，在此过程中，通过ab棒横截面的电量； （3）当cd棒速度减为零时，在此过程中，拉力F对ab棒的冲量大小. 1 学科网（北京）股份有限公司 $