专题17 圆中的最值问题 专项训练讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题17 圆中的最值问题 ▌专题目标 1. 掌握点与圆上点距离最值的d±r模型。 2. 会求圆中弦（线段）的最值。 3. 会用对称转化解决圆上的将军饮马型最值。 4. 掌握隐圆模型（定点定长、定弦定角）识别与应用。 5. 会处理与圆有关的面积最值问题，发展几何直观与模型观念。 ▌专题目录 题型01：点与圆上点的距离最值（d±r模型） 题型02：圆中弦（线段）的最值问题 题型03：将军饮马型最值（圆上的对称转化） 题型04：隐圆模型（定点定长、定弦定角）求最值 题型05：与圆有关的面积最值问题 ▌题型01：点与圆上点的距离最值（d±r模型） 题型描述：题干给出圆外（内）一点P与圆上一动点Q，求PQ的最大值、最小值。核心得分点是最值在点P与圆心连线与圆的交点处取得。 基础知识： 1. 设圆心O、半径r、OP＝d； 2. P在圆外：PQ最小＝d－r，最大＝d＋r； 3. P在圆内：PQ最小＝r－d，最大＝r＋d； 4. 取最值时O、Q、P三点共线。 解题方法： 1. 连圆心：连接OP并延长交圆于两点； 2. 算d：求点P到圆心的距离； 3. 套模型：d±r得最值； 4. 定位置：说明取得最值时Q的位置。 解题思路： 口诀：心、d、±r、位。圆上动点的距离最值“连圆心，加减半径”；先算d，再判点在圆内还是圆外。 1．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为，半径为3，其中点A坐标为，点M是上的一个动点，连接，取中点N，连接，则的最大值（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【分析】取点，连接，，，根据三角形中位线定理得到，当，，三点共线时最大，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：取点，连接，，， ，， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ∵ ∴ 当点在的延长线上时，取得最大值， 在中，， ， 的半径为， 的最大值为， 的最大值为． 2．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，，，点是边上一点．将绕点按顺时针方向旋转，得到，点是边上一点，且．针对的长度，两人的说法如下： 甲：长度的最小值是； 乙：长度的最大值是． 下列判断正确的是（    ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都不对 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质求出 的长，利用面积法求出点 到的距离；根据旋转的性质和线段关系求出 的长，确定点 的轨迹；结合点在上运动，分析 的最大值和最小值，从而判断甲、乙说法的正误． 【详解】解：在 中，， ， ， 过点 作 于点 ， ， 由旋转的性质可知 ， 点 在边 上，且 ， ， 绕点 旋转， 点 在以点 为圆心，2 为半径的圆上运动， 点 是边 上一点， 当点 与点 重合，且点 在线段 上时， 取得最小值 ， ，故甲的说法正确， 当点 与点 重合，且点 在 的延长线上时， 取得最大值， ， 乙的说法错误 故选 A 3．（2026·四川绵阳·一模）如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 【答案】C 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理求出的长度，从而确定点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆，最后根据点与圆的位置关系求出的最小值． 【详解】解：取的中点，连接，， 为的中点，为的中点 ， 为的中位线 ， ， 的半径为，即 ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上 ， ，为的中点， ， 当点在线段上时，取得最小值， 的最小值为． 4．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为D，P是以点为圆心，4为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接．则线段的最小值是（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】先求抛物线与x轴交点A、顶点D的坐标，令抛物线解析式中求解A点坐标，根据顶点式或顶点坐标公式求D点坐标．利用Q是中点的条件，结合三角形中位线定理，找和P点相关线段的数量关系，确定Q点的运动轨迹．计算D点到Q点轨迹圆心的距离，再根据圆上一点到定点的最短距离为两点距离减半径，求出的最小值． 【详解】令抛物线中， 解得， 结合图像A在x轴负半轴，得； 抛物线的顶点D在y轴上，坐标为． 连接和， ∵Q是的中点，A点是定点，取线段的中点M， 根据三角形中位线定理，可得． ∵圆C半径为4， ∴， ∴， ∴Q点的轨迹是以定点M为圆心、半径为2的圆． ∵、， ∴中点M的坐标为； 根据两点距离公式 ， 点D到圆M上点的最短距离为“点到圆心的距离减去半径”， ∴的最小值为． ▌题型02：圆中弦（线段）的最值问题 题型描述：题干给出过定点（或变化）的弦，求弦长的最大值、最小值。核心得分点是弦长与弦心距的关系：弦心距越小弦越长。 基础知识： 1. 弦长＝，d为弦心距； 2. 直径是最长的弦； 3. 过圆内定点P的弦中：过圆心时最长（直径），与OP垂直时最短； 4. 最短弦长＝。 解题方法： 1. 写弦长：用r与弦心距表示弦长； 2. 析d范围：确定弦心距的最大、最小值； 3. 求最值：d最小弦最长，d最大弦最短； 4. 验位置：说明弦的位置。 解题思路： 口诀：弦、d、反、值。弦长与弦心距“此消彼长”；过定点的弦“正着最长（直径）、竖着最短”。 5．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知的半径为，为内一点，若，则经过点的弦长可能是（   ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质和勾股定理．熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关键． 根据圆的弦长性质，求出经过圆内一点的弦长的取值范围，再据此判断即可． 【详解】解：的半径，， ∴最小弦长， 最大弦长， ∴弦长的取值范围为． 选项A中.，不符合要求． 选项B中.，不符合要求． 选项C中.在弦长的取值范围内，符合要求． 选项D中.，不符合要求． 故选C． 6．（2025·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为______．当为直角三角形时，的长为____________________ ． 【答案】 8 5或 【分析】本题考查翻折的性质，矩形的性质等知识，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键．连接，则，当在上时，取最小值，即可求解；分情况讨论：当时，当时，当时，再分别利用勾股定理和翻折的性质可得答案． 【详解】解：连接， 在矩形中，，， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴ ∵， ∴当在上时，取最小值，最小值为； ∵为直角三角形， 当时， ∵点N是边上的中点，， ∴， ∵， ∴点B的对应点不能落在所在直线上， ∴，不存在此类情况； 当时，如图所示， 由折叠性质可得， ， ∴； 当时，如图所示 ∵， ∴、N、C三点共线， 设，则， ∴， 解得：， 综上所述的长为或5． 故答案为：8；或5． 7．（2025·江苏徐州·二模）如图，在中，，点D是的中点，，则的最大值为______． 【答案】 【分析】在中，，点D是的中点，得出，又，得出点A在以为弦，圆周角的圆上，如图，构造，其中，，如图，当点三点共线时，取得最大值，证明，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，点D是的中点，， ∴， 又， ∴点A在以为弦，圆周角的圆上， 如图，构造，其中，， 则，故圆心在的垂直平分线上， 如图，当点三点共线时，取得最大值， 此时，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题考查了几何中的最值问题，定角对定边轨迹为圆，涉及勾股定理，等腰三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点，根据题意构造符合条件的圆，确定出点A的轨迹是解题的关键． 8．（2025·湖北黄石·一模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，连接，则面积的最小值为  ________． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得：，进而可确定点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上的一段弧，如图，作，，由于，故当最小时的面积最小，因为，故只需要求出即可． 【详解】解：由折叠的性质可得：， 点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上的一段弧， 如图，作，，垂足分别为、， 四边形是矩形，， ，， ，， 四边形是矩形， ， ∵， 当最小时， 的面积最小， ， ， 当点在上时，最小，最小为， 面积的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、圆的基本性质、折叠的性质以及垂线段最短等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、得出的最小值是解题的关键． ▌题型03：将军饮马型最值（圆上的对称转化） 题型描述：题干给出圆上（或圆与直线上的）动点，求折线路径（距离和）的最小值。核心得分点是作对称点或利用圆的对称性化折为直。 基础知识： 1. 和最小：作定点关于直线的对称点，连线与轨迹的交点即动点； 2. 圆上的点可结合“d±r”模型求最小距离； 3. 最小值常＝对称点到圆心距离－半径； 4. 三点共线时取得最值。 解题方法： 1. 作对称：作定点关于直线（切线、弦所在直线）的对称点； 2. 连求交：连线确定动点位置； 3. 算距离：求对称点到目标（圆心）的距离； 4. 修半径：到圆上点的最值再±r。 解题思路： 口诀：称、连、距、r。饮马到圆上，先对称再“减半径”；两段路径一段到圆，本质是“点到圆”的最值。 9．（2026·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值，根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值； 矩形中，，，的半径为2，的半径为1， ，，，， ， ， ． 10．（2026·安徽合肥·二模）如图，在中，，P是内部一点，且，E是的中点，F是边上的一个动点，连接，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】点P的轨迹是以为直径的在内部的圆弧，作点E关于直线的对称点G，交直线于点M，连接，连接，交于点N，交圆弧于点K，根据三角形全等，三角函数性质等求解即可； 【详解】解：因为四边形是平行四边形，，， 所以，， 所以， 所以， 因为， 所以， 故点P的轨迹是以为直径的在内部的圆弧， 因为， 故的半径为2， 设圆弧与的交点为点Q， 则， 因为， 所以是等边三角形， 所以，， 因为， 所以， 作点E关于直线的对称点G，交直线于点M，连接，连接，交于点N，交圆弧于点K， 则， 因为E是的中点， 所以， 根据对称性质，得， 所以， 因为四边形是平行四边形， 所以， 所以， 根据对称性质，得， 所以， 所以，， 根据对顶角相等，得， ∵， ∴， ∴， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 连接， 因为， 所以， 所以， 所以 连接， 根据对称性质，得， 所以的最小值就转化为的最小值， 因为， 故当三点共线时，取得最小值， 而当P与点K重合时，才有最小值，此时最小值为， 故的最小值为； 11．（2025·黑龙江牡丹江·二模）在菱形中，点在上，，，，点是平面内一点，，点在直线上，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查性质的性质，点到圆上一点的最小距离，含角的直角三角形的性质，轴对称，勾股定理，熟练掌握相关性质并确定点的轨迹是解题的关键．先确定点的轨迹在以点E为圆心，为半径的圆上作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，由对称性得，，，则，由两点之间线段最短，并结合点到圆上一点的最短距离可知当、、依次共线时最小，此时点为，最小值为，再进行计算即可． 【详解】解：∵点是菱形内部一点，， ∴点的轨迹在以点E为圆心，为半径的圆上，如图， 作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 由对称性得，，， ∴， 由两点之间线段最短，并结合点到圆上一点的最短距离可知当、、依次共线时最小，此时点为，最小值为， ∵菱形中，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即最小为， 故答案为：． 12．（2025·陕西商洛·一模）问题提出 （1）如图①，在等边三角形中，，点为上一动点，求的最小值； 问题解决 （2）如图②，某市计划将四边形修建为一个批发市场，其中E为该批发市场的车辆入口，为货物零售区域，现需在边上的点F处设置一个快递分类装车点，并修建车道用来运送货物．已知．为节约成本，需将车道修建的尽可能短，则的值是否存在最小值？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 【答案】（1）；（2）存在最小值，为 【分析】（1）作点关于的对称点，连接、，如图所示，从而得到，由由三角形三边关系可知，则当三点共线时，有最小值，为，由等边三角形性质及平行四边形的判定与性质即可得到答案； （2）根据题意，由“定弦定角”模型可知，点在的外接圆上运动，进而得到点在上运动，作点关于的对称点，连接、、，如图所示，求的最小值就是求的外接圆半径，为便于计算，将图补全，在圆中结合圆内接四边形、垂径定理和含的直角三角形性质求出线段长即可得到答案． 【详解】解：（1）作点关于的对称点，连接、，如图所示： 点与点关于对称， ，则， ， 由三角形三边关系可知，则当三点共线时，有最小值，为， 连接，如图所示： 在等边三角形中，，；由对称性可知，，， ，则， ， 四边形是平行四边形，则， 故的最小值为； （2）存在最小值， ，， ， ， 由三角形内角和定理可知，， ， 由“定弦定角”模型可知，点在的外接圆上运动，如图所示： 计划将四边形修建为一个批发市场，为货物零售区域， 点在上运动， 作点关于的对称点，连接、、，如图所示： 将图补全，作出的外接圆，作线段的中垂线，交于点，过点作，作，过作，如图所示： 在圆内接四边形中，，则， ， 在中，由垂径定理可知，则， 在中，，，则，， 与重合， ，则， 在中，，，则由勾股定理可得， 的外接圆半径， 的最小值为． 【点睛】本题属于中考数学压轴题，考查动点最值问题的两种类型：①轨迹是直线型；②轨迹是圆弧型；综合性强、难度较大，涉及动点最值问题-将军饮马模型的解法、动点最值问题-点圆模型的解法，主要知识点是对称性、三角形三边关系、平行四边形的判定与性质、辅助圆定弦定角模型、圆内接四边形、垂径定理、勾股定理和含的直角三角形性质等，掌握动点最值问题的基本模型及解法是解决问题的关键． ▌题型04：隐圆模型（定点定长、定弦定角）求最值 题型描述：题干中动点满足“到定点距离为定长”或“对定线段张角为定角”，求相关最值。核心得分点是识别动点轨迹是圆（弧），转化为圆上最值。 基础知识： 1. 定点定长：动点轨迹是以定点为圆心、定长为半径的圆； 2. 定弦定角：对定线段张角为90°时轨迹是以该线段为直径的圆； 3. 识别轨迹后用最值模型（d±r）处理； 4. 构造辅助圆是解题关键。 解题方法： 1. 识轨迹：由“定长、直角”等条件发现隐圆； 2. 定圆素：确定圆心与半径； 3. 套模型：用d±r等求最值； 4. 验范围：确认动点可取到最值位置。 解题思路： 口诀：迹、圆、模、验。见“PA＝定值”想圆，见“∠APB＝90°”想直径圆；最值都在“连心线”上取得。 13．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________． 【答案】 【分析】将正方形绕点顺时针旋转得到正方形，作的中点，连接，利用旋转的性质进一步证明，得到，确定点是在以点为圆心，为半径的圆上运动，利用圆外一点到圆上的最短距离求解． 【详解】解：如图所示，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形， 取的中点，连接， ， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∵， ∴点共线， ∵, ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即，     ∵E是的中点，为的中点，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵点为定点，为定长， ∴点是在以点为圆心，半径为半径的圆上运动， ∴， ∴的最小值为． 14．（2026·江苏南京·二模）如图，在中， ，，D是外一点，且，G是中点，连接，则的最大值为_______ ． 【答案】 【分析】取的中点O，连接，利用直角三角形斜边中线性质求出长；取的中点K，连接，利用三角形中位线定理求出的长，根据可得的最大值为．过点B作的垂线，利用勾股定理构建方程求出垂足位置，进而计算的长，最终求得的最大值． 【详解】解：如图：取的中点O，连接， ，O为中点 ， ． 取的中点K，连接，, ∵ G是中点，K是中点， 是的中位线 ， ， ∵， ∴的最大值为． 过点B作于点H，设，则， 在和中， 由勾股定理得： ， ∴ ，解得： ， ， ∵K是的中点，， ， ， 在中， ， 在中， ， 的最大值为． 15．（25-26八年级下·重庆綦江·期末）如图，点为正方形边上的一动点（不与点、点重合）将正方形纸片折叠，折痕为，使点落在处，点落在处，交于，连接，，与交于点． (1)求证：； (2)探究，的数量关系，并证明； (3)当面积最大时，请直接写出的值． 【答案】(1)证明：∵由折叠的性质得， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵，， ∴． (2)证明：，理由如下： 如图所示，过点作交于点，连接， ， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， 由（1）知，， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ， ∴， 又， ∴， 由折叠知，所在直线是线段的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用折叠的性质，得到，根据“等角减去相等的角仍相等”证明即可； （2）过点作交于点，利用正方形的性质证得与，从而证得，再根据折叠的性质证出是等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可； （3）由（2）可知多边形的面积，根据，边上的高等于正方形的边长得到当时，最小，此时最大，然后利用正方形的性质与等腰三角形及勾股定理求解． 【详解】（1）证明：见答案 （2）证明：见答案 （3）解：由（2）知，，， ∴，多边形的面积， 在中，，边上的高等于正方形的边长， ∴作的外接圆，连接，过点作， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴，则， 欲最小，则需最小， 当过圆心时，最小，最小，此时， ∴当时，最小，此时最大， 如图所示， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 由折叠的性质知，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴正方形的边长为， ∴， ∴． 16．（2026·四川达州·中考真题）综合与探究 【方法探究】 (1)如图1，直线，A，B两点在直线上，，，三点在直线上，连接，，，，，，我们发现，，面积的数量关系是______，理由是______ (2)如图2，是的直径，C是上的动点（C不与A重合）、D是的中点，用圆规和无刻度直尺在图2中作出点D的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由； (3)【问题解决】如图3，直线，是上一点，，垂足为N，、是射线上的动点，连接，过点在上方作射线，是上的一点，连接，，求线段的最大值． 【答案】(1)相等，等底等高的三角形面积相等 (2) 点D的运动路径是以线段为直径的圆（不包含点）． 证明：连接， ∵是中点，是的中点， ∴是的中位线 ∴． 又∵是直径 ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上． 又∵点、不重合，故点D不与点重合， ∴点D的运动路径是以线段为直径的圆（不包含点）． (3)8 【分析】（1）根据平行线间的距离处处相等即可得出结论； （2）根据三角形中位线性质可得，由此得出，根据角所对弦是直径，可得点D的运动路径是以线段为直径的圆（不包含点）； （3）过点作，交于，交于，利用（1）可得，根据求得，再由四边形是平行四边形，可得，由可得是直角三角形，取中点，则，根据点到圆上一点的距离最值即可得，即当点在延长上时，最大，最大值为． 【详解】（1）解：​、​、​面积相等． 理由：它们共底边，且由于，顶点到直线​的距离（即高）相等，故面积相等． （2）略 （3）解：过点作，交于，交于， 由（1）可得：， ∵，，， ∴，即， 解得：， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵，即， ∴， ∴点在以为直径的半圆弧（上方，不含、两点）上运动， 取中点，则，连接、， ∴， 当点在延长上时，最大，最大值为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 即最大值为8． 【点睛】解题关键是利用平行转化三角形面积，抓“定角对定弦”构造辅助圆，化“动”为“静”；利用“圆外一点到圆上点的最大距离”模型，巧解线段最值． ▌题型05：与圆有关的面积最值问题 题型描述：题干给出圆内接（或相关）三角形、四边形，求面积的最大值。核心得分点是把面积表示为单变量的函数，结合圆的性质求最值。 基础知识： 1. 圆内接三角形：底固定时，高最大经过圆心（顶点在垂直平分线与圆的交点处）； 2. 圆内接n边形面积最大为正n边形； 3. 面积＝底×高÷2，高的最值用d±r模型； 4. 定弦对定角时，面积最值在等腰（等边）时取得。 解题方法： 1. 定底边：选固定的边作底； 2. 求高最值：高的最大值＝弦心距情形±r（过圆心）； 3. 算面积：最大面积＝底×最大高÷2； 4. 说位置：注明取得最值时图形的位置（形状）。 解题思路： 口诀：底、高、r、积。底一定，面积最值看高；高最大时顶点在“底边中垂线与圆的交点”。 17．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，．将绕点旋转得到，点的对应点分别为点，连接．在旋转过程中，当点在直线两旁时， 面积的最大值分别是和，则______． 【答案】 【分析】根据旋转性质可知，为定值，点在以点为圆心，为半径的圆上，面积最值为圆上点到的距离最值． 【详解】解：根据旋转性质可知，为定值，点在以点为圆心，为半径的圆上， 设到的距离为，又， ， 当点在直线远离点的一侧，点到的距离最大为， 当点在直线靠近点的一侧，点到的距离最小为， ， ． 18．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，劣弧的度数为，点是优弧上的动点，且不与点、点重合，弦的垂直平分线分别交射线，弦于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； (3)若的半径为，则面积的最大值是_________． 【答案】(1)证明：如图，连接，， 劣弧的度数为， ， ， 是的垂直平分线， ， 是等边三角形． (2)能为等腰三角形，的度数为或或 (3)面积的最大值为 【分析】（1）由垂直平分线得，利用弧的度数求出圆周角，证出有一个角的等腰三角形是等边三角形； （2）分、、三种情况讨论，结合等边三角形性质、角度推理，舍去不存在的情况，求出对应； （3）先由证出，将求面积的最大值转化为求面积的最大值，确定动点轨迹为以点为圆心，长为半径的圆，找到到的最大值，代入三角形面积公式求最大值． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，如图， 是的半径， 此时也是的半径， 点在上，易知点与点重合， 由（1）可知是等边三角形， ， ； ②当时，有两种情况： 当点靠近点时，如图， 是的垂直平分线， 点在直线上，即，，三点共线， 据（1）可知是等边三角形， ， ． ， ； 当点靠近点时，如图， ， ， ， ； ③当时， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ． ， ， 即此时点在的延长线上，易知此时点与点重合， 以，，为顶点不构成三角形， 故此情况不存在， 综上所述，能为等腰三角形，的度数为或或． （3）解：如图，取的中点， 连接，，，，，， 是的垂直平分线， 点在直线上，， 在和中， ， 由为等边三角形，可得， 在圆内接四边形中，， 据（1）可知是等边三角形， ， 点，，在以点为圆心，长为半径的上， ， 和中， ， ， 又， 为等边三角形， ， 点在上， 过点作于点， 当点，，三次共线时，的长最大，最大，即最大， 此时，， ， ， ， 面积的最大值为． 19．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在半径为6的扇形中，，点是弧上的一个动点（不与点、重合），，垂足分别为、． (1)在中是否存在长度保持不变的边？若存在，求出其值；若不存在，说明理由； (2)在中是否存在角度保持不变的角？若存在，求出其值；若不存在，说明理由； (3)当动点C在圆弧上由点B向点A滑动时，的外接圆大小是否变化？若不变，求出此外接圆面积的值；若变化，求出它变化过程中面积的最大值． 【答案】(1)存在，，理由： 如图，连接，， ，， ， ； ，， ，， 是的中位线， ． (2)存在，，理由： ，，且， ，， ， 即． (3)的外接圆大小不变，其面积为 【分析】（1）连接，，根据勾股定理求出，根据垂径定理，三角形中位线，推出是的中位线，即可解答； （2）根据等腰三角形三线合一，得到，，即可解答； （3）由（1）、（2）中的角度和边长不变的关系，得出的外接圆半径始终为，根据面积公式计算出该外接圆面积为． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设点为的外接圆圆心，连接，，如图： 则， 又， 为等腰直角三角形， ， 的外接圆大小不变，其面积为． 20．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知正方形中，为边上动点，，连接，，过作于． (1)将绕点逆时针旋转得到，请作出图形； (2)在（1）的条件下，连接，交于，求证：； (3)如图2，为上一点，当时，请直接写出面积的最小值为____________． 【答案】(1) 如图，即为所求作的三角形； (2) 证明：延长交于点G，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， 根据旋转可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）延长交于点G，根据旋转可得：，根据全等三角形的性质得出，证明，得出，，证明，得出，根据，即可得出答案； （3）将绕点逆时针旋转得到，过点E作于点H，过点F作于点N，根据，，得出，说明当的面积最小时，的面积最小，设外接圆的圆心为点O，半径为R，过点O作，于点H，连接，，，证明四边形为矩形，得出，证明为等边三角形，得出，求出，得出，根据，得出，求出，说明当点O在上，外接圆的半径最小，且最小值为，求出结果即可． 【详解】（1）解：略． （2）略． （3）解：将绕点逆时针旋转得到，过点E作于点H，过点F作于点N，如图所示： 则， 根据旋转可得：，，， ∴， ∴、C、F在同一直线上， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴当的面积最小时，的面积最小， 如图，设外接圆的圆心为点O，半径为R，过点O作，于点H，连接，，， 则，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当点O在上，外接圆的半径最小，且最小值为， ∵， ∴的最小值为， ∴面积的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，圆周角定理，三角形面积计算，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． ▌专题综合训练 一、选择题 1．（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连接，则面积的最大值是（　　） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一次函数图象与坐标轴的交点坐标、圆上动点问题，勾股定理，求出圆上距离直线最近的点到直线的距离是解决此题的关键．过作于，的延长线交于，连接，根据一次函数求出点A、B的坐标，然后利用等面积即可求出的值，根据圆上距离直线最远的点为，即可求得最大值，进而求得答案． 【详解】解：过作于，连接， 将，代入中，得， 将代入中，得 ∴点B的坐标为点A的坐标为 ∴ 根据勾股定理可得 则由三角形面积公式得，， ∴， ∴， 的半径 ∴圆上点到直线的最大距离是，即点P为与的交点时 ∴面积的最大值是， 故选：C． 2．（2026·河北石家庄·二模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理得，又长度一定，则点P在以中点O为圆心，长为半径的圆上运动，所以当B、P、O三点共线时，最短；在中，利用勾股定理可求的长，并得到点P是的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可求解． 【详解】解：， ∴， 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在此圆上运动，当B、P、O三点共线时，最短， ， ，， ， ， ∴点P是的中点， ∴在中，． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，点和圆的位置关系，勾股定理，由题意可得点在以点为圆心、为半径的圆上，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，则，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点在以点为圆心、为半径的圆上， 如图，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即最小值是， 故选：． 4．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的一个交点为，点C是抛物线的顶点，且与y轴相切，点P为上一动点．若点D为的中点，连接，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的性质、二次函数的综合、圆的最值问题及三角形中位线，熟练掌握切线的性质、二次函数的综合、圆的最值问题及三角形中位线是解题的关键；取点关于原点的对称点，连接，由题意易得，则有，即的半径为4，然后可得，进而根据圆的最值问题可进行求解． 【详解】解：如图，取点关于原点的对称点，连接， ∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵抛物线过原点与点， ∴对称轴为， 当时，． ∴顶点， ∵与y轴相切， ∴的半径为4， ∵点D为的中点，点O为的中点， ∴， ∴最大时，有最大值， ∴当过点C时，有最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故选：A． 二、填空题 5．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，在四边形中，，则的最大值为___________．    【答案】8 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，四点共圆，取的中点O，则，即四点共圆，当是圆的直径时，其值最大为8． 【详解】解：取的中点O，连接，   ， ， 四点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上， ∴当是圆的直径时，其值最大为8． 故答案为：8． 6．（2025·海南·模拟预测）如图，在中，，，以点B为圆心，2为半径作圆，D是上的任意一点，将点D绕点A逆时针旋转90°得到点E，连接CE、BE，则______，线段BE的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，点与圆上一点的最短距离，确定点运动的轨迹是解题的关键． 连接，证明可得，进而确定点运动的轨迹是以为圆心，半径为的圆，根据圆的性质求解即可． 【详解】连接， ∵点D绕点A逆时针旋转90°得到点E， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴点是在以为圆心，半径为的圆上， ∴当点在线段上时，线段BE最小，最小值为：， 故答案为：，． 7．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，矩形的边为上的点，是矩形内部一动点，且满足为边上的一个动点，连接，则的最小值为______________． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，先找出点的运动路线为以为直径的圆，作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值为，再求出的长度即可，推出的最小值为是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动路线为以为直径的圆， 作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，取点的中点，连接， 则， ∴， ∴的最小值为； ∵四边形是矩形，点是的中点，是的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为， 故答案为：． 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，点P是右侧一点，连接、、，若，，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】将点P绕点C顺时针旋转到点M，连接、，则，证明，则，当、、三点共线时，有最大值，即可得解． 【详解】解：将点P绕点C顺时针旋转到点M，连接、， 由旋转的性质可得，， ∴，即， 又∵， 则有，即， ∵， 在和中有， ， ∴， ∴， ∵当、、三点共线时，有最大值为， ∴的最大值为． 三、解答题 9．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）定义：P、Q分别是两条线段a，b上任意一点，线段长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知，，，，是平面直角坐标系中四点． (1)根据上述定义，当，时，如图1，线段与线段的距离为__________； (2)当，时，如图2，线段与线段的距离（即线段的长）为__________； (3)如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段与线段的距离记为d，求d关于m的函数解析式． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）理解新定义，按照新定义的要求求出距离； （2）按照新定义的要求，得出求出即可． （3）如图3所示，当点B落在上时，m的取值范围为：当，显然线段与线段的距离等于半径，即；当时，作轴于点N，线段与线段的距离等于长． 【详解】（1）解：当，时，，，如图1， ∴轴， ∴线段与线段的距离等于平行线之间的距离，即为2； （2）解：当，时，B点坐标为，，线段与线段的距离，即为线段的长， 过点B作轴于点N，则，，如图2， 在中，由勾股定理得：； （3）解：如图3所示， 当点B落在上时，m的取值范围为：： 当，显然线段与线段的距离等于半径，即； 当时，作轴于点N，线段与线段的距离等于长， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得： 故． 故． 10．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）新趋势综合与实践：小新和小颖在学习等腰三角形的相关知识后，明白了要把两腰分散到两个三角形中用全等去思考，寻找或构造两腰为斜边的两个直角三角形全等，再由全等三角形的性质得出结论解决问题，这就是数学中重要的学习方法“构造法”． 【初步感知】 (1)如图1，等腰直角三角形中，小新先得出然后得出了三条线段的数量关系，在此过程中，全等的依据是_，三条线段的数量关系为_____． 【实践解决】 (2)如图2，四边形中，为等腰直角三角形，若，求的面积． 小颖发现，可以构造以为斜边的两个直角三角形，具体如下：作于点M，交的延长线于点N，请你根据提示，求出的面积． 【拓展应用】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)3 (3)线段长的最大值为，点的坐标为或者 【分析】（1）利用同角的余角相等得到，再证，得到对应的线段相等，等量代换得出答案； （2）根据题目的作图方法，利用同角的余角相等及两直线平行内错角相等得到，证明，最后等量代换求出答案； （3）将将绕点顺时针旋转得到，证，得到，将求最大转化为求最大，且因为是等腰直角三角形，得出为定长，点为定点，所以的运动轨迹是点为圆心，为半径的圆，从而解出答案． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，且， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：作于点M，交的延长线于点N， ∴， 又∵为等腰直角三角形 ∴，即 ， ∵， ∴，则， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形，则， ∵， ∴， ． （3）解：如下图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接， 则，即是等腰直角三角形， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴ ∴当最大时，就最大， 在中，， 点为定点，为， ∴点的运动轨迹为以点为圆心，为半径的圆，作交轴于点， 过点作垂直于轴， 如图2所示， ， 当点与点重合时，最大，则最大， 此时点在线段的垂直平分线上，即是线段的垂直平分线， 且是等腰直角三角形，， ∴， ∵点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0）, ∴， ， ， ， ∴点的坐标为或者． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题17圆中的最值问题 专题目标 掌握，点与圆上点距离最值的壮了模型。 2. 会求圆中弦（线段）的最值。 3. 会用对称转化解决圆上的将军饮马型最值。 掌握隐圆模型（定点定长、定弦定角）识别与应用。 会处理与圆有关的面积最值问题，发展几何直观与模型观念。 专题目录 题型01：点与圆上点的距离最值（仕r棋型） 题型02：圆中弦（线段)的最值问题 题型03：将军饮马型最值（圆上的对称转化） 题型04：隐圆模型（定点定长、定弦定角)求最值 题型05：与圆有关的面积最值问题 题型01：点与圆上点的距离最值(d±r模型) 题型描述：题干给出圆外（内）一点P与圆上一动点Q,求PQ的最大值、最小值。核心得 分点是最值在点P与圆心连线与圆的交点处取得。 基础知识： 1/15 设圆心O、半径r、OP=d: P在圆外：PQ最小=d-r,最大=d+r: P在圆内：PQ最小=r一d,最大=r十d: 取最值时O、Q、P三点共线。 解题方法： 连圆心：连接OP并延长交圆于两点： 算d:求点P到圆心的距离： 套模型：dr得最值； 定位置：说明取得最值时Q的位置。 解题思路： 口诀：心、d、士r、位。圆上动点的距离最值“连圆心，加减半径”；先算d,再判点在圆 内还是圆外。 1.（26-27九年级上：江苏镇江阶段检测)如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为P(0,3) 半径为 3,其中点A坐标为4,0，点M是OP上的一个动点，连接4M,取M中点N连接ON,则ON 的最大值() P A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 2.(2026河北邯郸模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=4,点P是边AB 上一点.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，得到△AB'C,点E是边A'C上一点，且AE=2.针对 PE的长度，两人的说法如下： 甲：PE长度的最小值是25-2 乙：PE长度的最大值是25+2 2/15 E 下列判断正确的是() A.甲对，乙不对B.甲不对，乙对 C.甲和乙都对 D.甲和乙都不对 3.(2026四川绵阳一模)如图，已知⊙0的半径为2，P是⊙0外一点，OP=4,0是⊙0上的动点，线段 PO MOP OM OM 的中点为，连结 ,则线段的最小值是() M A.0 B.0.5 C.1 D.1.5 9 4.（26-27九年级上：浙江绍兴阶段检测)如图，抛物线"=100-9与x轴交于A、B两点，顶点为D, P是以点C(0,6为圆心，4为半径的圆上的动点，O是线段2A的中点，连接D0.则线段D的最小值 是() B D A.10 B.11 C.12 D.13 题型02：圆中弦（线段）的最值问题 题型描述：题干给出过定点（或变化）的弦，求弦长的最大值、最小值。核心得分点是弦 长与弦心距的关系：弦心距越小弦越长。 基础知识： 3/15 弦长=2WP2-d”,d为弦心距； 直径是最长的弦： 过圆内定点P的弦中：过圆心时最长（直径），与OP垂直时最短； 最短弦长=2V2-0P2 解题方法： 写弦长：用r与弦心距表示弦长； 析d范围：确定弦心距的最大、最小值； 求最值：d最小弦最长，d最大弦最短： 验位置：说明弦的位置。 解题思路： 口诀：弦、d、反、值。弦长与弦心距“此消彼长”；过定点的弦“正着最长（直径)、竖 着最短”。 5.(25-26九年级上·浙江温州期中)已知⊙0的半径为10，P为⊙0内一点，若OP=8,则经过点P的弦 长可能是() A.11 B.9 c.18 D.21 6.(2025广东广州二模)如图，在矩形ABCD中，AB=10,AD=12,点N是AB边上的中点，点M 是BC边上的一动点连接MN,将△BMN沿MN折叠，若点B的对应点B',连接B'C,则B'C的最小值 为一·当△BMC为直角三角形时，BM的长为 B M 7.(2025江苏徐州二模)如图，在1BC BC=2V3 ,点D是BC的中点，∠D1C=45°，则MC的 最大值为 4/15 8.(2025湖北黄石一模)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是AB的中点，点F是AD上 的动点，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A落在点处，连接CA,DA',则△CA'D面积的最小值 为 题型03：将军饮马型最值（圆上的对称转化） 题型描述：题干给出圆上（或圆与直线上的）动点，求折线路径（距离和）的最小值。核 心得分点是作对称点或利用圆的对称性化折为直。 基础知识： 和最小：作定点关于直线的对称点，连线与轨迹的交点即动点： 圆上的点可结合“仕r”模型求最小距离； 最小值常=对称点到圆心距离一半径： 三点共线时取得最值。 解题方法： 作对称：作定点关于直线（切线、弦所在直线）的对称点： 连求交：连线确定动点位置： 算距离：求对称点到目标（圆心）的距离： 修半径：到圆上点的最值再±。 解题思路： 口诀：称、连、距、r。饮马到圆上，先对称再“减半径”；两段路径一段到圆，本质是 “点到圆”的最值。 9.(2026山东临沂二模)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,以A、D为圆心，半径分别为2和1 5/15 画圆，E、F分别是OA、OD上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是() B A.6 B.7 C.8 D.10 10.(2026安徽合肥·二模)如图，在口ABCD中，AB=6,AD=4,∠DAB=60°，P是口ABCD内部一点， 且∠CDP+∠PAB=90°，E是BC的中点，F是边AB上的一个动点，连接PF,EF,则PF+EF的最小 值为() A.5 B.3+V5 C.4 D.4V5-2 11.(2025·黑龙江牡丹江·二模)在菱形ABCD中，点E在AD上，AB=4,AE=2,∠B=30°，点F是 平面内一点，AE=FE,点G在直线BC上，则GF+GD的最小值为 A E B G 12.(2025·陕西商洛·一模)问题提出 (I如图O,在等边三角形BC中，B=CD-号BC=2,点p为BC上一动点。求BF+D的最小 3 值： 问题解决 (2)如图②，某市计划将四边形ABCD修建为一个批发市场，其中E为该批发市场的车辆入口， △BCG 为货物零售区域，现需在MD EF,FG 边上的点F处设置一个快递分类装车点，并修建车道 用 6/15 来运送货物.已知 ∠ABC=60°，∠BCD=∠ADC=90°，∠ABG+∠DCG=90°，AB=BC=300V3m,CE=DE .为节约成本， 需将车道EF,FG修建的尽可能短，则EF+FG的值是否存在最小值？若存在，求EF+FG的最小值： 若不存在，请说明理由，（结果保留根号） B B 图① 图② 题型04：隐圆模型（定点定长定弦定鱼）求最值 题型描述：题干中动点满足“到定点距离为定长”或“对定线段张角为定角”，求相关最 值。核心得分点是识别动点轨迹是圆（弧），转化为圆上最值。 基础知识： 定点定长：动点轨迹是以定点为圆心、定长为半径的圆： 定弦定角：对定线段张角为90°时轨迹是以该线段为直径的圆； 识别轨迹后用最值模型(d壮r)处理： 构造辅助圆是解题关键。 解题方法： 识轨迹：由“定长、直角”等条件发现隐圆： 定圆素：确定圆心与半径： 套模型：用dr等求最值； 验范围：确认动点可取到最值位置。 解题思路： 口诀：迹、圆、模、验。见“PA=定值”想圆，见“∠APB=90°”想直径圆；最值都在 “连心线”上取得。 13.(25-26八年级下·北京期末)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在正方形 7/15 ABCD内，且EF=BE,AG⊥AF且AG=AF,则线段GE的长的最小值是 B 14.(2026江苏南京二模)划图，在△M8C中，松=45，BC=64C=8,D是△MBC外-点，且 ∠ADC=90°，G是CD中点，连接BG,则BG的最大值为 B 15.(25-26八年级下·重庆綦江期末)如图，点P为正方形ABCD边AD上的一动点（不与点A、点D重 合)将正方形纸片折叠，折痕为EF,使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,连接BP, BH,BH与EF交于M点. P D M B (I)求证：∠APB=∠BPH: (2)探究PB,BM的数量关系，并证明： FC B)当△DPH面积最大时，请直接写出AB的值. 16.(2026四川达州中考真题)综合与探究 8/15 1 D MB 子 ND 图1 图2 图3 【方法探究】 ①如图1，直线，AB两点在直线上，G,G,G三点在直线上，连接4 AC AC2 AC3 BC BC2 BC3 △ABC△ABC2△ABC3 ,我们发 面积的数量关系是 ,理由是 (②)如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙0上的动点(C不与A重合)、D是AC的中点，用圆规和无刻 度直尺在图2中作出点D的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由： B)【问题解决】如图3，直线AB∥CD,M是AB上一点，MN⊥CD,垂足为N,MN=4、E是射 线NC上的动点，连接EM,过点M在AB上方作射线MF⊥ME,G是MF上的一点，连接EG, SA△EMG=12 NG ,求线段 的最大值. 题型05：与圆有关的面积最值问题 题型描述：题干给出圆内接（或相关）三角形、四边形，求面积的最大值。核心得分点是 把面积表示为单变量的函数，结合圆的性质求最值。 基础知识： 圆内接三角形：底固定时，高最大经过圆心（顶点在垂直平分线与圆的交点处）； 圆内接n边形面积最大为正n边形： 面积=底×高÷2，高的最值用dr模型； 定弦对定角时，面积最值在等腰（等边）时取得。 解题方法： 定底边：选固定的边作底： 9/15 求高最值：高的最大值=弦心距情形±r(过圆心)： 算面积：最大面积=底×最大高÷2： 说位置：注明取得最值时图形的位置（形状）。 解题思路： 口诀：底、高、八、积。底一定，面积最值看高：高最大时顶点在“底边中垂线与圆的交 点”。 17.(25-26七年级下·江苏泰州期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,BC=6,AC=8.将△ABC 绕点C旋转得到△DEC,点A,B的对应点分别为点D,E,连接AE,BE.在旋转过程中，当点E在直 线1B两旁时，△1BE面积的最大值分别是m和n(m> ,则m:n= D 18.(26-27九年级上江苏南京阶段检测)如图，在O0中，劣弧1B的度数为 ⊙0 120° P AB ，点是优弧 的动点，且不与点A、点B重合，弦PB的垂直平分线分别交射线PA,弦PB于点C、D. 备用图 (I)求证：△PCB是等边三角形： (2)△POC能否为等腰三角形？如果能，求此时∠POC的度数；如果不能，请说明理由： 3)若⊙0的半径为2，则△POC面积的最大值是 19.(26-27九年级上江苏盐城阶段检测)如图，在半径为6的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧 AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E. 10/15 D (I)在△DOE中是否存在长度保持不变的边？若存在，求出其值：若不存在，说明理由： (2)在△DOE中是否存在角度保持不变的角？若存在，求出其值；若不存在，说明理由： 3)当动点C在圆弧上由点B向点A滑动时，△ODE的外接圆大小是否变化？若不变，求出此外接圆面 积的值；若变化，求出它变化过程中面积的最大值. 20.(25-26九年级上湖北武汉阶段检测)已知正方形ABCD中，E为边AB上动点，AB=4,连接ED, EC,过D作DM⊥CE于M D D E 图1 图2P (Q)将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△CDF,请作出图形： ®在()的条件下，连接A仁，交DM于N,求正：DN-CE, 3)如图2，P为BC上一点，当∠EDP=60°时，请直接写出△DEP面积的最小值为. 专题综合训练 一、选择题 3 1.(2425九年级上山东泰安阶段检测)如图，已知直线y=x-3与x轴、y轴分别交于4，B两点，P 是以CQ,)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PAPB,则aPMB面积的最大值是《) 11/15 B A.8 B.32 C. D.25 2.(2026河北石家庄·二模)如图， R△MBC中.∠ACB=0,4C=25.BC-=3.点P为BC 一 点，且满足PA+PC2=AC2.当PB的长度最小时，则CP的长是() B 5 33 A.1 B.2 C.5 D.2 3.(25-26九年级上·安徽合肥阶段检测)如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点E在AD边上且 AE=1,点F为直线AB上一动点，连接EF,将△AEF沿着折痕EF折叠，得到△MEF,动点P在BC 边上，连接PA',则PA'+PD最小值是() B P A.4 B.5 C.6 D.7 4.(25-26九年级上山东淄博阶段检测)如图，已知在平面直角坐标系x0中，0为坐标原点，抛物线 y=各2+b:与水错的一个交点为4(80，点C是糙物线的顶点，且OC与y精相切，点P为0C上 12115 一动点.若点D为PA的中点，连接OD,则OD的最大值是() A 17 B.2 9 C.2 5-2 D 二、填空题 5.(24-25九年级上广西贵港期末)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=8，,则BD的 最大值为 B 6.(2025海南模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4,以点B为圆心，2为半径 作圆，D是⊙B上的任意一点，将点D绕点A逆时针旋转90°得到点B,连接CE、BE,则CE=一， 线段BE的最小值为一 E 7.(2425九年级下·黑龙江大庆期中)如图，矩形ABCD的边AB=10,AD=6,M为BC上的点， CM=2,P ∠ADP=∠PAB,N、CD PN,MN 是矩形内部一动点，且满足 为边上的一个动点，连接，则 PN+MN的最小值为 13/15 夕 P M 8.(25-26八年级下·陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点P是△ABC右 侧一点，连接PA、PB、PC,若PC=1,PB=3,则PA的最大值为 B 三、解答题 9.(26-27九年级上江苏无锡阶段检测)定义：P、Q分别是两条线段a,b上任意一点，线段P9长度的 最小值叫敬线段a与线段b的距离.已知，O(0,0),A(3,0).B(m,m）C(m+4, 是平面直角坐标系 中四点. B 图1 图2 图3 (I)根据上述定义，当m=2,n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离为 (2)当m=5,n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB的长）为 3)如图3，若点B落在圆心为A,半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d,求d关于m的 函数解析式， 10.(25-26八年级下·山东枣庄·期中)新趋势综合与实践：小新和小颖在学习等腰三角形的相关知识后， 明白了要把两腰分散到两个三角形中用全等去思考，寻找或构造两腰为斜边的两个直角三角形全等， 再由全等三角形的性质得出结论解决问题，这就是数学中重要的学习方法“构造法”. 14/15 V角 B衣 M 图1 图2 图3 备用图 【初步感知】 )如图L,等腰直角三角形MBC 中， 4C=BC,∠ADC=∠E=90,小新先得出△MCD2aCB 然后得出 了三条线段AD,DE,BE的数量关系，在此过程中，全等的依据是，三条线段AD,DE,BE的数量关系 为 【实践解决】 2)如图2，四边形1BCD AD∥BC,AB⊥BC,AEDC ， 为等腰直角三角形， ∠EDC=90,若 AD=2,BC=5 求4AED 的面积. 小颖发现，可以构造以DE,DC为斜边的两个直角三角形，具体如下：作DM⊥BC于点M, EN⊥AD交AD的延长线于点Y,请你根据提示，求出△AED的面积. 【拓展应用】 3)如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)，点P为线段AB 外一动点，且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 15/15