福建南平市2026-2027学年人教版数学八年级上册期中质量监测 数学三)

南平市八年级（上）期中质量监测·数学（三） 本卷满分：150 分 考试时长：120 分钟 考查版本：人教版 （考试学生卷 · 闭卷测试） 一、选择题（共 10 题） 1. （4分）下列图形中，一定是轴对称图形的是（　　）。 A. 有两边相等的三角形 B. 有两个角分别为 和 的三角形 C. 三边互不相等的三角形 D. 有一个角为 的直角三角形 2. （4分）下列长度的三条线段能首尾顺次相接组成三角形的是（　　）。 A. B. C. D. 3. （4分）已知 ，，，则 的度数为（　　）。 A. B. C. D. 4. （4分）一个正多边形的每一个外角都比与它相邻的内角小 ，则这个正多边形的边数和内角和分别是（　　）。 A. 条边，内角和为 B. 条边，内角和为 C. 条边，内角和为 D. 条边，内角和为 5. （4分）在 中，延长 到点 ，延长 到点 ， 与 的平分线交于点 。若 ，则 的度数为（　　）。 A. B. C. D. 6. （4分）在 中， 平分 交 于点 ， 于点 ， 于点 。若 ，， 的面积为 ，则 的面积为（　　）。 A. B. C. D. 7. （4分）在 和 中，顶点 、、 的对应顶点依次是 、、。下列条件中，能判定 的是（　　）。 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. （4分）如图，在 中，， 平分 交 于点 。若 ，，则 的长为（　　）。 A. B. C. D. 9. （4分）在 中，，点 在边 上（不与点 、 重合），连接 。若 与 都是等腰三角形，则 的度数为（　　）。 A. 或 B. 或 C. 或 D. 、 或 10. （4分）如图，在 中，。将 沿直线 折叠，使点 落在 边上的点 处。折痕 分别交 、 于点 、。若 ，则 的度数为（　　）。 A. B. C. D. 二、填空题（共 6 题） 11. （4分）推拉门的门框是四边形的，在推拉时门框容易变形；把门框斜着钉上一根木条后，门框就不再变形。这样做的数学依据是 ________。 12. （4分）若一个等腰三角形的两条边长分别为 和 ，则它的周长为 ________。 13. （4分）在 中，，，则 的度数为 ________。 14. （4分）在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标是 ，则点 的坐标是 ________。 15. （4分）在 中，，。 平分 交 于点 ，则 的度数为 ________。 16. （4分）在 中，， 是 边上的中线，且把 的周长分成 和 两部分，则 的长为 ________。 三、解答题（共 9 题） 17. （8分）在 中，，， 是 的平分线，交 于点 。 （1） 求 的度数。（4分） （2） 求 的度数。（4分） 18. （8分）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ，，，网格中每个小正方形的边长均为 。 （1） 画出 关于 轴对称的 ，并写出点 、、 的坐标。（4分） （2） 求四边形 的面积。（4分） 19. （8分）如图，在 中， 于点 ， 于点 ，，，，点 是 的中点。 （1） 求 的面积。（3分） （2） 求 的长。（2分） （3） 求 的面积，并求点 到 的距离。（3分） 20. （8分）如图，在 中，。 （1） 用无刻度的直尺和圆规作 的平分线，保留作图痕迹，不写作法。（4分） （2） 第（1）问作图时，以点 为圆心、适当长为半径画弧，分别交 、 于点 、；分别以点 、 为圆心、大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部交于点 。连接 。求证：，并由此说明 平分 ，即第（1）问作法正确的道理。（4分） 21. （8分）如图，在 中， 是 边上的中线，延长 到点 ，使 ，连接 。 （1） 求证：。（4分） （2） 若 ，，求 的取值范围。（4分） 22. （10分）如图，在 中，，。直线 经过点 ，点 、 在直线 的同侧。 于点 ， 于点 。 （1） 求证：。（5分） （2） 若 ，，求 的长。（5分） 23. （10分）如图，在 中，，， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 。 （1） 求证： 平分 。（5分） （2） 求证：。（5分） 24. （12分）如图，在 中，，，点 在边 上（不与点 、 重合），点 在边 上，且 ，连接 、。 （1） 求 的度数。（2分） （2） 若 是等腰三角形，求 的度数。（5分） （3） 当 时，求 的度数。（5分） 25. （14分）如图，在 中，，，将 沿直线 折叠，使点 与点 重合，折痕 分别交 、 于点 、，连接 。 （1） 求 的度数。（4分） （2） 求证： 是等边三角形。（5分） （3） 若 ，探究：在直线 上是否存在一点 ，使 的值最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由。（5分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 南平市八年级（上）期中质量监测·数学（三） 本卷满分：150 分 考试时长：120 分钟 考查版本：人教版 （教师解析与考点分析版） 一、选择题（共 10 题） 1. （4分）下列图形中，一定是轴对称图形的是（　　）。 A. 有两边相等的三角形 B. 有两个角分别为 和 的三角形 C. 三边互不相等的三角形 D. 有一个角为 的直角三角形 【标准答案】 A。 【考点分析】 轴对称图形沿某一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合。三角形是轴对称图形等价于这个三角形是等腰三角形。 【详细解析】 A 中等腰三角形沿顶角平分线所在直线对折，两部分完全重合，是轴对称图形。B 中三角形的三个内角分别为 、、，三边互不相等，不是轴对称图形。C 中三角形三边互不相等，不是轴对称图形。D 中三角形的三个内角分别为 、、，三边互不相等，不是轴对称图形。故选 A。 2. （4分）下列长度的三条线段能首尾顺次相接组成三角形的是（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 D。 【考点分析】 判断三条线段能否组成三角形，只需检验两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度。 【详细解析】 A 中 ，不能组成三角形。B 中 ，不能组成三角形。C 中 ，不能组成三角形。D 中 ，，，能组成三角形。故选 D。 3. （4分）已知 ，，，则 的度数为（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 B。 【考点分析】 全等三角形的对应角相等， 与 是对应角。 【详细解析】 在 中，由三角形内角和定理得 。由 得 。故选 B。 4. （4分）一个正多边形的每一个外角都比与它相邻的内角小 ，则这个正多边形的边数和内角和分别是（　　）。 A. 条边，内角和为 B. 条边，内角和为 C. 条边，内角和为 D. 条边，内角和为 【标准答案】 A。 【考点分析】 正多边形的每一个外角与和它相邻的内角互补。先由两角之和为 、两角之差为 定出外角的度数，再用外角和求边数，最后用内角和公式求内角和。 【详细解析】 设每一个外角为 ，则和它相邻的内角为 。由邻补角关系得 ，解得 。所以边数为 。内角和为 。故选 A。 5. （4分）在 中，延长 到点 ，延长 到点 ， 与 的平分线交于点 。若 ，则 的度数为（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 C。 【考点分析】 、 分别是 、 的邻补角。先由邻补角与角平分线把 、 用原三角形的两内角表示，得到 ，再逆向代入求 。此处是两条外角平分线，公式与两条内角平分线的情形不可混用。 【详细解析】 因为点 、、 在同一条直线上，所以 。由 平分 得 。同理 。（本步2分） 在 中，由内角和定理得 。又 ，故 。（本步1分） 由 得 ，所以 ，。故选 C。（本步1分） 6. （4分）在 中， 平分 交 于点 ， 于点 ， 于点 。若 ，， 的面积为 ，则 的面积为（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 B。 【考点分析】 题中没有给出 与 的比。先用角平分线的性质得 ，即两个小三角形在 、 边上的高相等，于是面积比等于底之比 ；再把这个比迁移为 占整个三角形面积的 。若先求 ，也可由 与 在 边上的高相同、面积比等于 得到同一个比。 【详细解析】 因为 平分 ， 于点 ， 于点 ，所以 。设 。 则 ，，所以 。 又 与 的底 、 在同一条直线 上，高都是点 到 的距离，所以 ，由此还可得 。 所以 。故选 B。 7. （4分）在 和 中，顶点 、、 的对应顶点依次是 、、。下列条件中，能判定 的是（　　）。 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【标准答案】 D。 【考点分析】 顶点 、、 依次对应 、、，故对应边为 与 、 与 、 与 。逐项判断时，两边及其中一边的对角对应相等不能判定全等，边与角不对应也不能判定全等；只有三组对应边分别相等（SSS）才能判定。 【详细解析】 顶点 、、 依次对应 、、，所以 与 、 与 、 与 是对应边。 A 中给出 、 与 ，其中 是边 的对角，属于两边及其中一边的对角对应相等，不能判定全等。 B 中给出 、 与 ，其中 是边 的对角，同样是两边及其中一边的对角对应相等，不能判定全等。 C 中给出 、 与 ，两角对应相等，但边 的对应边是 ，而条件中的 的对应边是 ，边与角不对应，不能判定全等。 D 中给出 、、，三组对应边分别相等，由 SSS 能判定全等。 故选 D。 8. （4分）如图，在 中，， 平分 交 于点 。若 ，，则 的长为（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 C。 【考点分析】 由角不能直接算边，须构造辅助线：在 上截取 ，连接 ，先证 ，再用外角性质推出 ，发现 是隐含的等腰三角形，最后把 拆成 与 之和。不构造辅助线难以入手，等腰三角形是由"角平分线＋外角"推出的隐含结论。 【详细解析】 在 上截取 ，连接 。由 平分 得 。又 ，，所以 。（本步2分） 由 得 ，。由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ，所以 ，所以 。（本步1分） 所以 。故选 C。（本步1分） 9. （4分）在 中，，点 在边 上（不与点 、 重合），连接 。若 与 都是等腰三角形，则 的度数为（　　）。 A. 或 B. 或 C. 或 D. 、 或 【标准答案】 D。 【考点分析】 两个三角形各自等腰，须先对含 角的 按相等的两边分三种情形，再对每一种情形检验 能否等腰，交叉枚举并剔除内角和超过 的矛盾情形。三种情形都能成立，答案为三个值的并集，漏掉任何一种情形就会误选。 【详细解析】 在 中，，按相等的两边分三种情形讨论。 若 ，则 ，。若 或 ，则 中有两个角为 ，内角和超过 ，不成立；若 ，则 ，，且 ，成立。所以 。（本步1分） 若 ，则 ，，。若 ，则 ，，，内角和成立；若 ，则 ，内角和也成立；若 ，则 ，，内角和同样成立。所以 。（本步1分） 若 ，则 ，，。若 或 ，则 中有两个角为 ，内角和超过 ，不成立；若 ，则 ，，且 ，成立。所以 。（本步1分） 综上， 的度数为 或 或 。故选 D。（本步1分） 10. （4分）如图，在 中，。将 沿直线 折叠，使点 落在 边上的点 处。折痕 分别交 、 于点 、。若 ，则 的度数为（　　）。 A. B. C. D. 【标准答案】 A。 【考点分析】 折叠是轴对称，所以 ，。先在点 处用平角求 ，再在 中求 ，最后在点 处用平角求 。 【详细解析】 由折叠得 ，。因为点 、、 在同一条直线上，所以 。所以 ，得 。在 中，由三角形内角和定理得 。所以 。因为点 、、 在同一条直线上，所以 。故选 A。 二、填空题（共 6 题） 11. （4分）推拉门的门框是四边形的，在推拉时门框容易变形；把门框斜着钉上一根木条后，门框就不再变形。这样做的数学依据是 ________。 【标准答案】 三角形的稳定性。 【考点分析】 斜钉的木条与门框的两条边组成三角形，三角形的三条边长度确定后形状不再改变。 【详细解析】 门框是四边形，四条边的长度确定后，门框的形状仍会改变。斜钉一根木条后，木条与门框的两条边组成三角形，三角形的三条边长度确定后形状和大小都不再改变，所以门框不再变形。所以这样做的数学依据是三角形的稳定性。 12. （4分）若一个等腰三角形的两条边长分别为 和 ，则它的周长为 ________。 【标准答案】 。 【考点分析】 腰长可能是 ，也可能是 ，需要分两种情形讨论，再用三角形三边关系剔除不能组成三角形的数据。 【详细解析】 若腰长为 ，则三边长为 、、。因为 ，这三条线段不能组成三角形，所以这种情形不成立。若腰长为 ，则三边长为 、、。因为 ，这三条线段能组成三角形。所以周长为 。 13. （4分）在 中，，，则 的度数为 ________。 【标准答案】 。 【考点分析】 先用三角形内角和求出 ，再与已知的差联立求 。 【详细解析】 由三角形内角和定理得 。又 。两式相减得 ，所以 。 14. （4分）在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标是 ，则点 的坐标是 ________。 【标准答案】 。 【考点分析】 关于 轴对称的两个点纵坐标相同、横坐标互为相反数。已知对称点求原点，同样由这两条对应关系反推。 【详细解析】 由关于 轴对称的两点纵坐标相同，得点 的纵坐标为 。由两点横坐标互为相反数，得点 的横坐标为 。所以点 的坐标是 。 15. （4分）在 中，，。 平分 交 于点 ，则 的度数为 ________。 【标准答案】 。 【考点分析】 先由等边对等角把三个内角都用 表示，求出 与 ；再由角平分线求 ，最后用三角形的外角性质求 。 【详细解析】 由 得 ，所以 。由三角形内角和定理得 ，所以 ，，。由 平分 得 。由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 。 16. （4分）在 中，， 是 边上的中线，且把 的周长分成 和 两部分，则 的长为 ________。 【标准答案】 。 【考点分析】 中线 把周长分成 与 两部分，其中 。腰长有两种可能，须分两种情况，再用三角形三边关系剔除不能构成三角形的那一种。 【详细解析】 设 ，则 ，两部分的长分别为 与 。若 ，则 ，，。因为 ，这三条线段不能构成三角形，这种情况不成立。若 ，则 ，，。因为 ，这三条线段能构成三角形。所以 。 三、解答题（共 9 题） 17. （8分）在 中，，， 是 的平分线，交 于点 。 （1） 求 的度数。（4分） （2） 求 的度数。（4分） 【标准答案】 ；。 【考点分析】 先用三角形内角和求 ，再用角平分线的定义求 ，最后用三角形的外角性质求 。 【详细解析】 在 中，由三角形内角和定理得 。（本步4分） 由 平分 得 。（本步2分） 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 。（本步2分） 18. （8分）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ，，，网格中每个小正方形的边长均为 。 （1） 画出 关于 轴对称的 ，并写出点 、、 的坐标。（4分） （2） 求四边形 的面积。（4分） 【标准答案】 ，，，作图见解题过程；四边形 的面积为 。 【考点分析】 关于 轴对称的两个点横坐标相同、纵坐标互为相反数。点 与点 的纵坐标相同，点 与点 的横坐标相同，由此判断四边形 是矩形，再用长乘宽求面积。 【详细解析】 点 、、 关于 轴的对称点分别为 、、。（本步2分） 在网格中描出点 、、，依次连接 、、，所得 即为所求。（本步2分） 点 与点 的纵坐标相同，所以 轴；点 与点 的横坐标相同，所以 轴。所以 。（本步1分） ，。（本步1分） 同理 ，，所以四边形 是矩形。（本步1分） 所以四边形 的面积为 。（本步1分） 19. （8分）如图，在 中， 于点 ， 于点 ，，，，点 是 的中点。 （1） 求 的面积。（3分） （2） 求 的长。（2分） （3） 求 的面积，并求点 到 的距离。（3分） 【标准答案】 的面积为 ；； 的面积为 ，点 到 的距离为 。 【考点分析】 同一个三角形的面积可以用不同的底和对应的高表示，用两种表示法建立等式即可求高。第三问先用中线把 的面积平分得到 的面积，再把 看作底，由面积反求点 到 的距离。 【详细解析】 以 为底、 为高，得 。（本步3分） 以 为底、 为高，得 。所以 ，解得 。（本步2分） 因为点 是 的中点，所以 是 的中线，所以 。（本步1分） 设点 到 的距离为 ，以 为底得 ，即 ，解得 。（本步2分） 20. （8分）如图，在 中，。 （1） 用无刻度的直尺和圆规作 的平分线，保留作图痕迹，不写作法。（4分） （2） 第（1）问作图时，以点 为圆心、适当长为半径画弧，分别交 、 于点 、；分别以点 、 为圆心、大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部交于点 。连接 。求证：，并由此说明 平分 ，即第（1）问作法正确的道理。（4分） 【标准答案】 第（1）问的作图见解题过程；第（2）问证明见解题过程。 【考点分析】 第一问按作已知角的平分线的尺规步骤作图，不预设平分线的名字。第二问要用作图痕迹本身提供的信息：同一次画弧得到 ，同样半径的两条弧相交得到 ，再加上公共边 ，用 SSS 证全等，从而说明 平分 ，即作法正确的依据；只叙述作图步骤不得分。 【详细解析】 以点 为圆心、适当长为半径画弧，分别交 、 于点 、。分别以点 、 为圆心、大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部交于点 。作射线 ，射线 即为所求。（本步4分） 由作图得 ，。（本步1分） 在 和 中，，，，所以 。（本步2分） 所以 ，即 平分 ，这说明第（1）问的作法是正确的。（本步1分） 21. （8分）如图，在 中， 是 边上的中线，延长 到点 ，使 ，连接 。 （1） 求证：。（4分） （2） 若 ，，求 的取值范围。（4分） 【标准答案】 证明见解题过程；。 【考点分析】 把中线 延长一倍，可把 转移到 中，再用三角形三边关系求 的范围。 【详细解析】 因为 是 边上的中线，所以 。（本步1分） 因为 与 是对顶角，所以 。（本步1分） 又 ，所以 。（本步2分） 由 得 。（本步2分） 在 中，由三角形三边关系得 ，即 。所以 。（本步2分） 22. （10分）如图，在 中，，。直线 经过点 ，点 、 在直线 的同侧。 于点 ， 于点 。 （1） 求证：。（5分） （2） 若 ，，求 的长。（5分） 【标准答案】 证明见解题过程；。 【考点分析】 由点 、 在直线 的同侧，得点 、、 依次在直线 上。由 得 与 互余。由 得 与 互余，所以 。再由 用 AAS 证全等。全等后把 、 分别换成 、。由点 在线段 上得 。 【详细解析】 因为 ，，所以 。（本步1分） 由点 、 在直线 的同侧，得点 、、 依次在直线 上，所以 。（本步1分） 因为 ，所以 。（本步1分） 在 中，，所以 。（本步1分） 在 和 中，，，，所以 。（本步1分） 由 得 ，。（本步2分） 所以 ，。（本步1分） 因为点 、、 依次在直线 上，所以点 在线段 上，所以 。（本步1分） 所以 。（本步1分） 23. （10分）如图，在 中，，， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 。 （1） 求证： 平分 。（5分） （2） 求证：。（5分） 【标准答案】 证明见解题过程。 【考点分析】 用线段垂直平分线的性质得 ，从而得 。第二问用直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半。 【详细解析】 因为 是 的垂直平分线，所以 。（本步1分） 所以 。（本步1分） 因为 ，，所以 。（本步1分） 所以 ，所以 ，所以 平分 。（本步2分） 因为点 在边 上，所以 。（本步1分） 在 中，，所以 。（本步2分） 由 得 ，即 。（本步2分） 24. （12分）如图，在 中，，，点 在边 上（不与点 、 重合），点 在边 上，且 ，连接 、。 （1） 求 的度数。（2分） （2） 若 是等腰三角形，求 的度数。（5分） （3） 当 时，求 的度数。（5分） 【标准答案】 ； 或 ；。 【考点分析】 第一问用等边对等角与内角和求底角。第二问 中已有 ，三条边两两都可能相等，须分三种情形讨论；其中一种情形会迫使点 与点 重合，必须自行剔除。第三问先由 得 ，从而判定 是等边三角形，再用外角性质与角的和差求 。 【详细解析】 因为 ，所以 。由三角形内角和定理得 。（本步2分） 若 ，则 ，所以 。因为点 在边 上且不与点 重合，所以 ，这与 矛盾，这种情形不成立。（本步2分） 若 ，则 。（本步2分） 若 ，则 。（本步1分） 所以 的度数为 或 。 当 时，。（本步2分） 由 得 是等腰三角形，又 ，所以 是等边三角形，。（本步2分） 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 。所以 。（本步1分） 25. （14分）如图，在 中，，，将 沿直线 折叠，使点 与点 重合，折痕 分别交 、 于点 、，连接 。 （1） 求 的度数。（4分） （2） 求证： 是等边三角形。（5分） （3） 若 ，探究：在直线 上是否存在一点 ，使 的值最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由。（5分） 【标准答案】 ； 是等边三角形，证明见解题过程；存在这样的点 ， 的最小值为 。 【考点分析】 折叠使点 与点 关于折痕对称，由此得到 。第三问借助对称把 转化为 ，再用两点之间线段最短求最小值。 【详细解析】 由折叠得 。（本步2分） 所以 。（本步2分） 因为 ，所以 。（本步2分） 因为 ，，所以 。（本步1分） 所以 。（本步1分） 所以 ，所以 是等边三角形。（本步1分） 存在。（本步1分） 由折叠得直线 是线段 的垂直平分线，所以对直线 上的任意一点 ，都有 。（本步1分） 所以 。（本步1分） 由两点之间线段最短得 ，当点 在线段 上时取等号。因为 与 的交点为 ，且点 在线段 上，所以当点 与点 重合时， 取得最小值。（本步1分） 因为 ，，所以 。所以 的最小值为 。（本步1分） 学科网（北京）股份有限公司 $