专题01 与三角形有关的线段（期中重难点复习）2026-2027学年人教版八年级上学期数学期中考试重难点专题训练

专题01 与三角形有关的线段（期中重难点复习） 【新教材人教版八年级上册】 题型归纳 【题型1 构成三角形的条件】 1 【题型2 确定第三边的取值范围】 2 【题型3 三角形三边关系的应用】 2 【题型4 三角形的稳定性及应用】 3 【题型5 根据三角形中线求长度】 5 【题型6 根据三角形中线求面积】 7 【题型7 三角形角平分线的定义】 10 【题型8 画三角形的高】 11 【题型9 与三角形的高有关的计算问题】 13 【题型1 】 1．下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（     ） A．15，15，25 B．15，15，30 C．10，15，25 D．10，10，25 2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（     ） A．3，3，3 B．3，6，10 C．4，4，8 D．2，3，5 3．等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长为（     ） A． B．或 C． D． 4．若一个等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为_____________． 5．有4厘米、8厘米、10厘米的小棒各2根，选其中的3根围成一个三角形，周长最短的是________厘米． 6．已知三角形的三边长分别是3、7、x，且x是偶数，则x的值为_______． 7．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长为的等腰三角形吗？为什么？ 【题型2 确定第三边的取值范围】 8．已知一个三角形的两边长分别是4和6，若第三边是最长边，则第三边的长可以是（     ） A．11 B．7 C．4 D．3 9．在中，，，那么的长度可能是（     ） A．9 B．8 C．5 D．2 10．木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度为和，第三根木条的长度可以是（     ） A． B． C． D． 11．手工课上，小芳手里有长和的两段吸管，她想再剪一段吸管，与这两段首尾相接围成三角形．剪下的这段吸管可以长（   ） A．19 B．12 C．6 D．7 12．三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是______． 13．在中，，，那么长度的取值范围是________． 14．若一个三角形的三边长分别是，10，2，则m的取值范围为________． 15．已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a，b满足，若c为奇数，求这个三角形的周长． 16．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b满足等式，且c为整数，求周长的最小值． (2)化简：． 【题型3 】 17．若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A．9 B．7 C．12 D．9或12 18．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 19．已知一个三角形的两边满足，则此三角形的第三边可能为（     ） A． B． C． D． 20．如图，为了估计池塘岸边，之间的距离，在池塘外选取一点，测得米，米，则，间的距离不可能是（     ） A．10米 B．70米 C．110米 D．115米 21．已知等腰三角形的两条边长分别为和，等腰三角形的周长为____________． 22．把一根长的铁丝围成一个等腰三角形，使其中一边的长比另一边的2倍少，则该三角形的底边长为________． 23．已知a、b、c是的三条边的长，化简的结果为______． 24．若，，分别为的三边长，化简． 25．已知a，b，c为的三边长． (1)判断正负： 0； 0（填“”、“”或“”）； (2)化简：． 26．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)若腰长比底边长短，求它的三边长； (2)能围成有一边的长是的等腰三角形吗？若能，请求出它的另两边；若不能，请说明理由． 【题型4 】 27．如图，房顶框架采用三角形结构，其中蕴含的数学原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．三角形的稳定性 D．三角形内角和等于 28．如图，用窗钩可将窗户固定，其所运用的几何原理是（     ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 29．为防止变形，木工师傅做好门框后，常常按如图中所示那样钉上两根斜拉的木条（图中的，两根木条），这样做的数学原理是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形的稳定性 30．2027年，位于河北保定唐县段的雄忻高铁跨南水北调矮塔斜拉桥将正式投入使用．斜拉桥采用三角形结构，主要利用的是__________． 31．如图，小明做了一个长方形框架，为了保证框架不会变形，采取如图加固方案，其依据是三角形具有______________ 【题型5 】 32．如图，在中，，为的中点，延长交于点，为上的一点，于点．下列判断错误的是（     ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 33．如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，，，则与的周长之差为（     ） A．2 B．3 C．4 D．7 34．如图，，，分别是的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 35．如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为 __________． 36．如图，在中，，G为的中点，延长交于E．F为上一点，于H，下面判断正确的有__________． ①是的角平分线； ②是边上的中线； ③是边上的高； ④是的角平分线和高． 37．如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，．那么 (1)的长是________； (2)的面积是________； (3)和的周长差是________． 38．如图，在中，于点，为边上的中线．为中边上的高线．已知，，的面积为． (1)求与的周长之差； (2)求的长． 【题型6 】 39．如图，是的中线，O是上一点，，连接并延长交于点E，若的面积为4，则的面积是（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 40．如图，在中，分别是的中点，（阴影部分）的面积是，则的面积为（     ） A． B． C． D． 41．如图，中，，为中点，连接，为中点，连接，的面积为，为上一动点，连接，则的最小值为（） A． B． C． D． 42．如图，中，为边的中线，E为的中点，连接，若的面积为20，则______． 43．如图，在中，D是的中点，E是的中点，若，则___________． 44．如图，在中，是上的一点，，点是的中点，且，则_______________． 45．如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若E为边的三等分点，连接，与交于F点，记的面积为，的面积为，求的值． 46．【发现与探究】三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 图中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作． 图中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得，同理，． (1)图中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积________，如果面积为，用含有的式子表示的面积为________，________； (3)图中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 【题型7 】 47．下列说法中，正确的是（     ） A．三角形的三条中线交于一点 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的角平分线是一条射线 D．三角形的三条高都在三角形内部 48．如图，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（     ） A． B． C． D． 49．如图，的角平分线、中线相交于点O，则①是的角平分线；②是的中线；③是的中线；④，其中结论正确的有（     ） A．1个 B．3个 C．2个 D．4个 50．如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是________． 51．如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 52．如图，是的角平分线，．求证：． 53．如图，在中，D是边上一点，，交于点E，，交于点F． (1)若是的角平分线，求证：； (2)若，求证：是的角平分线． 【题型8 】 54．在中作边上的高，四位同学所作图形如表所示，作图正确的是（     ） 图形 作图同学 小远 小艳 小芳 小英 A．小远 B．小艳 C．小芳 D．小英 55．下面四个图形中，线段是的高的是（     ）． A． B． C． D． 56．如图，在中，边上的高是（     ） A． B． C． D． 57．如图，于点E，于点F，于点D，则中边上的高是线段________． 58．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高． (2)画出的边上的中线． 59．如图，，垂足为B，，垂足为C，且与交于点E，那么， (1)的边上的高为__________，边上的高为__________． (2)若，，，求的长． 60．如图所示，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)在图中画出边上的高和中线． 【题型9 】 61．在中，是边上的高，若，，则的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 62．如图，在中，垂足为，垂足为，若，，，则边上的高的长度是（     ） A． B． C． D． 63．如图，的中线，相交于点O，，垂足为F，且，，，，则四边形的面积是（    ） A． B．3 C．5 D．6 64．在中，是边上的高线，已知，，，则的面积是________． 65．如图，是的中线，于点E，于点F，，则是的______倍． 66．如图，，分别是的高，，，，求的长． 67．如图，在平面直角坐标系中，是x轴负半轴上一点，C是y轴负半轴上的一点，轴并交y轴负半轴于，且，点B在第三象限，且． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求 (3)如图2，点P从A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，在点P、Q移动的过程中，连接、，使的面积是面积的5倍，求出点P的坐标； 68．【发现与探究】 三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．关于三角形的重心有哪些性质呢?希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)【尝试探究】如图1，点为的重心，则，，．若设，，，则，，之间的数量关系为：________；根据你得到的，，之间的关系可推出重心的一个重要性质：________； (2)【类比延伸】如图2，中，点是上一点，且，点是上一点且．连接、，交于点，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，，，，求四边形的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 与三角形有关的线段（期中重难点复习） 【新教材人教版八年级上册】 题型归纳 【题型1 构成三角形的条件】 1 【题型2 确定第三边的取值范围】 5 【题型3 三角形三边关系的应用】 8 【题型4 三角形的稳定性及应用】 13 【题型5 根据三角形中线求长度】 14 【题型6 根据三角形中线求面积】 19 【题型7 三角形角平分线的定义】 27 【题型8 画三角形的高】 31 【题型9 与三角形的高有关的计算问题】 35 【题型1 】 1．下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（     ） A．15，15，25 B．15，15，30 C．10，15，25 D．10，10，25 【答案】A 【分析】比较较短两边之和与最长边的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A.∵， ∴15，15，25能组成三角形，符合题意； B.∵， ∴15，15，30不能组成三角形，不符合题意； C.∵， ∴10，15，25不能组成三角形，不符合题意； D.∵， ∴10，10，25不能组成三角形，不符合题意． 2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（     ） A．3，3，3 B．3，6，10 C．4，4，8 D．2，3，5 【答案】A 【详解】解：A：， 能摆成三角形．故A项正确． B：， 不能摆成三角形．故B项错误． C：， 不能摆成三角形．故C项错误． D：， 不能摆成三角形．故D项错误． 3．等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】分腰长为和两种情况讨论，结合三角形三边关系取舍后计算周长． 【详解】解：当腰长为时，则底边长为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，则底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴这个三角形的周长为． 综上所述，这个三角形的周长为． 4．若一个等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为_____________． 【答案】或 【分析】分腰长为和底边长为进行讨论即可求出答案． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为时，则底边长为，此时三角形三边长分别为， ∵ ∴等腰三角形的腰长为符合题意； 当等腰三角形的底边长为时，则腰长为，此时三角形三边长分别为， ∵ ∴等腰三角形的腰长为符合题意； 综上可知，腰长为或． 5．有4厘米、8厘米、10厘米的小棒各2根，选其中的3根围成一个三角形，周长最短的是________厘米． 【答案】 【分析】要得到最短周长，优先选用长度较小的小棒组合，根据三角形三边关系判断组合是否可行，即可得到结果． 【详解】解：要围成周长最短的三角形，优先尝试长度较小的组合，逐一验证： 对于组合厘米、厘米、厘米， ，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴该组合不能围成三角形； 对于组合厘米、厘米、厘米， ，不满足三角形三边关系， ∴该组合不能围成三角形； 对于组合厘米、厘米、厘米， ，满足三角形三边关系， ∴该组合可以围成三角形； 计算周长得，该组合是所有可行组合中周长最小的，因此周长最短为厘米． 6．已知三角形的三边长分别是3、7、x，且x是偶数，则x的值为_______． 【答案】6或8 【分析】先利用三角形三边关系确定的取值范围，再根据是偶数的条件确定的值． 【详解】解：三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边， ，化简得， 是偶数 的值为6或8． 7．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长为的等腰三角形吗？为什么？ 【答案】(1) 各边的长为，， (2) 能围成. 符合条件的等腰三角形三边长为，，或，， 【分析】（1）先设底边长为未知数，根据腰和底边的倍数关系表示腰长，因为细绳长度为三角形周长，所以可利用周长公式列方程求解，之后用三角形三边关系验证结果是否成立。 （2）因为题目未说明的边是腰还是底边，所以分两种情况讨论：第一种情况假设为腰长，计算底边长，再用三边关系验证是否能构成三角形；第二种情况假设为底边长，计算腰长，再用三边关系验证是否能构成三角形。 【详解】（1）解：设等腰三角形的底边长为， ∵题意腰长是底边的2倍， ∴腰长为． ∵细绳总长，也就是三角形周长为， 列方程： ， 解得， 则腰长． 验证三边关系：，满足三角形两边之和大于第三边． 故三边长分别为、、． （2）解：能围成一边长为的等腰三角形．理由： 分两种情况讨论： 当为底边时，腰长，三边为． 验证三边关系：，符合要求，可以构成等腰三角形． 当为腰长时，底边长，三边为。 验证三边关系：，也符合要求，可以构成等腰三角形． 故能围成符合要求的等腰三角形，三边长分别为或． 【题型2 确定第三边的取值范围】 8．已知一个三角形的两边长分别是4和6，若第三边是最长边，则第三边的长可以是（     ） A．11 B．7 C．4 D．3 【答案】B 【分析】利用第三边为最长边的限定及三角形三边关系确定取值范围，匹配选项． 【详解】解：设第三边长为， ∵第三边是最长边， ∴， ∵三角形两边之和大于第三边， ∴，即， ∴第三边的取值范围是， 结合选项，只有符合条件． 9．在中，，，那么的长度可能是（     ） A．9 B．8 C．5 D．2 【答案】C 【详解】解：∵在中，，， ∴， 即． 选项中仅符合取值范围． 10．木工师傅要做一个三角形木架，有两根木条的长度为和，第三根木条的长度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：设第三根木条的长度为， 则，即， 选项中只有符合该取值范围． 11．手工课上，小芳手里有长和的两段吸管，她想再剪一段吸管，与这两段首尾相接围成三角形．剪下的这段吸管可以长（   ） A．19 B．12 C．6 D．7 【答案】B 【分析】三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，简化为：两边之差第三边两边之和，求出取值范围后对照选项筛选符合条件的数值． 【详解】解：设剪下的吸管长为， 则， 即，选项中只有符合该范围． 12．三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行解答，即可． 【详解】解：三角形的三边长分别为，，， ∴． 13．在中，，，那么长度的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 即， ∴． 14．若一个三角形的三边长分别是，10，2，则m的取值范围为________． 【答案】 【分析】依据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，把当作第三边，列出不等式求出的范围，再解不等式得到的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系得， ， ． 15．已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a，b满足，若c为奇数，求这个三角形的周长． 【答案】12 【分析】首先利用绝对值和平方的非负性得到，，然后利用三角形三边关系得到，结合c为奇数得到，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， a，b，c是三角形的三边长， ∴，即， c是奇数， ， ， 该三角形的周长为12． 16．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b满足等式，且c为整数，求周长的最小值． (2)化简：． 【答案】(1)周长的最小值为11 (2)化简结果为 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）利用三角形的三边关系和绝对值的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵a，b，c是的三边长， ∴，即， ∵c为整数， ∴c的最小值为3， ∴周长的最小值为； （2）解：∵a，b，c是的三边长， ∴，，， ∴，，， ∴ ． 【题型3 】 17．若等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A．9 B．7 C．12 D．9或12 【答案】C 【详解】解：当腰长为时， ， 不能构成三角形，舍去； 当腰长为时， ， 能构成三角形，此时周长为． 18．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】比较每组中较短两边之和与最长边的大小，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：A．，不能组成三角形； B．，能组成三角形； C．，不能组成三角形； D．，不能组成三角形． 19．已知一个三角形的两边满足，则此三角形的第三边可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用非负数的性质求出的值，再利用三角形的三边关系求出第三边的取值范围即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 设三角形的第三边为， 由三角形的三边关系得：， 即， ∴三角形的第三边可能为． 20．如图，为了估计池塘岸边，之间的距离，在池塘外选取一点，测得米，米，则，间的距离不可能是（     ） A．10米 B．70米 C．110米 D．115米 【答案】A 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，解答即可． 【详解】解：连接， 米，米， ， ， 选项A错误． 21．已知等腰三角形的两条边长分别为和，等腰三角形的周长为____________． 【答案】 22 【分析】分两种情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系筛选可构成三角形的情形，计算对应周长． 【详解】解：当腰长为时，三边长为，，， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴该情况无法构成三角形，不符合要求； 当腰长为时，三边长为，，； ∵，，满足三角形三边关系， ∴该情况可以构成三角形， 此时等腰三角形的周长为． 22．把一根长的铁丝围成一个等腰三角形，使其中一边的长比另一边的2倍少，则该三角形的底边长为________． 【答案】或 【分析】分两种情况：当腰长比底边长的2倍少时，当底边比腰长的2倍少时，分别建立方程求出底边长，进而求出腰长，再根据三角形三边的关系验证即可． 【详解】解：设该三角形的底边长为， 当腰长比底边长的2倍少时，则， 解得， ∴， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当底边比腰长的2倍少时，则， 解得， ∴， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，该三角形的底边长为或． 23．已知a、b、c是的三条边的长，化简的结果为______． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系得，，，进而得，，，再根据绝对值性质化简，最后合并同类项即可得答案． 【详解】解：∵、、是的三条边长， ∴，，， ∴，，， ∴ ∴化简的结果为． 24．若，，分别为的三边长，化简． 【答案】 【分析】先得出，，再化简绝对值，计算整式的加减即可． 【详解】解：∵，，分别为的三边长， ∴，，，， ∴，， ∴ ． 25．已知a，b，c为的三边长． (1)判断正负： 0； 0（填“”、“”或“”）； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系得到，即可判断； （2）利用（1）的结论根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再合并同类项化简即可． 【详解】（1）解：∵a，b，c为的三边长， ∴，， ∴，； （2）解：由（1）得，， ∴ ． 26．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)若腰长比底边长短，求它的三边长； (2)能围成有一边的长是的等腰三角形吗？若能，请求出它的另两边；若不能，请说明理由． 【答案】(1)三边长为，， (2)能围成，另两边长为和或和 【分析】（1）根据等腰三角形周长与边长的数量关系设未知数列方程求解，结合三角形三边关系验证结果； （2）分为腰长、底边长两种情况讨论，计算边长后用三角形三边关系判断是否成立． 【详解】（1）解：设底边长为，则腰长为． 等腰三角形周长为， 解得， ∴腰长为． ，满足三角形三边关系， 该三角形三边长为，，； （2）解：当为腰长时，底边长为， ，满足三角形三边关系， 另两边长为，； 当为底边长时，腰长为． ，满足三角形三边关系， 另两边长为，． 综上所述，能围成有一边长是的等腰三角形，另两边长为和或和． 【题型4 】 27．如图，房顶框架采用三角形结构，其中蕴含的数学原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．三角形的稳定性 D．三角形内角和等于 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性进行解答． 【详解】解：房顶框架采用三角形结构，是利用了三角形的稳定性． 28．如图，用窗钩可将窗户固定，其所运用的几何原理是（     ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【详解】解：由图可知，窗钩与窗框、窗扇构成了三角形结构， 三角形具有稳定性， 用窗钩可将窗户固定． 29．为防止变形，木工师傅做好门框后，常常按如图中所示那样钉上两根斜拉的木条（图中的，两根木条），这样做的数学原理是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形的稳定性 【答案】D 【详解】解：为防止变形，钉上两根斜拉的木条，这样做的数学原理是三角形的稳定性． 30．2027年，位于河北保定唐县段的雄忻高铁跨南水北调矮塔斜拉桥将正式投入使用．斜拉桥采用三角形结构，主要利用的是__________． 【答案】三角形的稳定性（或三角形具有稳定性） 【详解】解：三角形具有不易变形的特性，即稳定性，这是三角形区别于多数多边形的特有性质，建筑中采用三角形结构提升结构稳定性，因此斜拉桥采用三角形结构利用的是三角形的稳定性． 31．如图，小明做了一个长方形框架，为了保证框架不会变形，采取如图加固方案，其依据是三角形具有______________ 【答案】稳定性 【分析】观察图形可知，加固方案将四边形框架转化为三角形结构，利用三角形的几何性质解决问题． 【详解】解：长方形框架属于四边形，四边形具有不稳定性，容易变形．加上木条后，框架中构成了三角形．因为三角形具有稳定性，所以框架不会变形．故依据是三角形具有稳定性． 【题型5 】 32．如图，在中，，为的中点，延长交于点，为上的一点，于点．下列判断错误的是（     ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴是的角平分线，故本选项结论正确，不符合题意； B．∵， ∴为边上的高，故本选项结论正确，不符合题意； C．∵为的中点， ∴是边上的中线，故原说法不正确，符合题意； D．∵， ∴为的高线，故本选项结论正确，不符合题意． 33．如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，，，则与的周长之差为（     ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】A 【分析】根据重心的定义判断为的中线，得出，利用周长公式作差计算即可． 【详解】解：∵点是的重心，连接并延长交于点， ∴是的中线， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴与的周长之差， ∵，， ∴周长之差． 34．如图，，，分别是的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中线、角平分线、高的定义，解答即可． 【详解】解：，，分别是的中线、角平分线、高， ，，，，，不成立， 故ABC正确；D错误. 35．如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为 __________． 【答案】21 【分析】根据三角形中线的定义可得，根据三角形的周长公式可得，再结合以及三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵比长 ∴， ∴的周长为． 36．如图，在中，，G为的中点，延长交于E．F为上一点，于H，下面判断正确的有__________． ①是的角平分线； ②是边上的中线； ③是边上的高； ④是的角平分线和高． 【答案】①③④ 【分析】根据三角形的中线，高线及角平分线的定义进行求解即可． 【详解】解：①∵， ∴是的角平分线，故正确； ②∵G为的中点， ∴是边上的中线，故错误； ③∵于H， ∴是边上的高，故正确； ④∵， ∴是的高， ∵， ∴是的角平分线， ∴是的角平分线和高，故正确； 综上所述：判断正确的有①③④． 37．如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，．那么 (1)的长是________； (2)的面积是________； (3)和的周长差是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据计算即可得出结果； （2）先求出，再结合计算即可得出结果； （3）先求出，表示出的周长，的周长，作差即可． 【详解】（1）解：∵是的高，，，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴； （3）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，的周长， ∴和的周长差 ． 38．如图，在中，于点，为边上的中线．为中边上的高线．已知，，的面积为． (1)求与的周长之差； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的中线的定义得到，再根据三角形周长公式计算； （2）根据三角形的中线的性质求出的面积，再根据三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：为边上的中线， ， 则与的周长之差为：； （2）解：的面积为，为边上的中线， 的面积为， 为中边上的高线， ， ， ． 答：长度为． 【题型6 】 39．如图，是的中线，O是上一点，，连接并延长交于点E，若的面积为4，则的面积是（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】利用同高三角形面积比等于底边比求出面积，结合中线性质求解， 【详解】解：， ， ∵， ∴， ， 是的中线， ． 40．如图，在中，分别是的中点，（阴影部分）的面积是，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质可得，，， 进而得到，即可求解． 【详解】解：∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴，， ∴ ， 即． 41．如图，中，，为中点，连接，为中点，连接，的面积为，为上一动点，连接，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用三角形中线平分面积的性质求出的面积，再根据垂线段最短可知当时最小，此时为边上的高． 【详解】解：∵为中点， ∴， ∵为中点，， ∴， 设点到的距离为， ∴，即， 解得， ∵为上一动点， ∴当时，取得最小值，最小值为，如图， ∴的最小值为． 42．如图，中，为边的中线，E为的中点，连接，若的面积为20，则______． 【答案】 10 【分析】利用三角形中线平分三角形面积的性质，首先根据是的中线，得出和的面积；然后根据是的中点，得出和的面积，最后求和即可． 【详解】解：是的中线，， ， 是的中点， 在中，是中线，；在中，是中线，， ． 43．如图，在中，D是的中点，E是的中点，若，则___________． 【答案】 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【详解】解：∵在中，D是的中点，， ∴， ∵E是的中点， ∴． 44．如图，在中，是上的一点，，点是的中点，且，则_______________． 【答案】 【分析】利用三角形面积公式，根据底边比例关系求出和的面积，再结合图形中面积的加减关系，将转化为求解． 【详解】解：， ，即， ； 点是的中点， ， ； 由图可知，，， ． 45．如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若E为边的三等分点，连接，与交于F点，记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）的面积可表示为，也可表示为，由面积相等列等式，进行求解即可； （2）是边上的中线，故．的周长为，的周长为，进行相减计算即可； （3）分两种三等分情况．利用同加公共部分差不变的原理可得，，进而可得．分和两种情况，进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，，，为边上的高， ， ； （2）解：为边上的中线， ， 的周长为：，的周长为：， 的周长的周长， ∴和的周长之差为； （3）解：①当时，如图1所示： 在中，，，， ， 为边上的中线， ， ， ∴， ， ， ， ∴， ； ②当时，如图2所示： 同理得：， ， ， ， ∴， ． 综上所述：的值为． 46．【发现与探究】三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 图中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作． 图中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得，同理，． (1)图中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积________，如果面积为，用含有的式子表示的面积为________，________； (3)图中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由如下： 由题意可知，，， ， ， ， ， ， ， ； (2)相等，，； (3)40 【分析】（1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积=底×高，先求出 的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为． ∵ ∴，即 （3）解：是的重心， ， ，， ，， ， ， ，， ． 【题型7 】 47．下列说法中，正确的是（     ） A．三角形的三条中线交于一点 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的角平分线是一条射线 D．三角形的三条高都在三角形内部 【答案】A 【详解】解：A. 三角形的三条中线交于一点，说法正确； B. 直角三角形有三条高，两条直角边为高，斜边上有一条高，说法错误； C. 三角形的角平分线是线段，不是射线，说法错误； D. 钝角三角形有两条高在三角形外部，直角三角形有两条高在边上，并非三条高都在三角形内部，说法错误． 48．如图，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的高、角平分线、中线的定义逐一判断即可. 【详解】解：是的中线， 为中点，即，故C正确； 是的角平分线， ，故B正确； 是的高， ， 点在上， ，故D正确； 是角平分线，无法推出，故A错误. 49．如图，的角平分线、中线相交于点O，则①是的角平分线；②是的中线；③是的中线；④，其中结论正确的有（     ） A．1个 B．3个 C．2个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角平分线和中线的定义及性质逐条判断即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴，在上，在上， ∴， ∴是的角平分线，结论①正确； ∵是的中线， ∴是的中点， ∵是与的交点， ∴的端点不在上， ∴不是的中线，结论②错误； ∵是的中线， ∴， ∴是的中线，结论③正确； ∵是的中线， ∴，结论④正确， ∴正确的结论有个． 50．如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是________． 【答案】/5度 【分析】首先利用角平分线求出，然后利用角的和差求解． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 51．如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，最后利用求解即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 52．如图，是的角平分线，．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 【分析】因为是的角平分线，所以根据角平分线的定义，可得到与的数量关系，计算出的度数．对比和的度数，如果二者相等，那么根据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，即可证明． 【详解】略 53．如图，在中，D是边上一点，，交于点E，，交于点F． (1)若是的角平分线，求证：； (2)若，求证：是的角平分线． 【答案】(1)证明：∵， ∴，． ∵是的角平分线， ∴． ∴； (2)证明：由（1）可知，． 又∵， ∴． ∴是的角平分线． 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义判定即可； （2）由（1）可得，，再根据角平分线的判定证明即可． 【题型8 】 54．在中作边上的高，四位同学所作图形如表所示，作图正确的是（     ） 图形 作图同学 小远 小艳 小芳 小英 A．小远 B．小艳 C．小芳 D．小英 【答案】A 【分析】根据三角形高的定义，边上的高应过顶点且垂直于所在直线，据此逐一判断即可． 【详解】解：根据三角形高的定义，中边上的高应过顶点且垂直于所在直线， 小远过点作交延长线于点，符合定义； 小艳过点作的垂线，是边上的高； 小芳过点作的垂线，是边上的高； 小英作的垂线不过顶点，不是边上的高． 55．下面四个图形中，线段是的高的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从顶点向对边作垂线，垂线段就是对应边上的高，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．线段与不垂直，所以线段不是的高； B．线段与不垂直，所以线段不是的高； C．线段与不垂直，所以线段不是的高； D．线段与垂直，所以是的高． 56．如图，在中，边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形的高是从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，根据定义判断即可． 【详解】解：根据三角形高的定义，边上的高应是过顶点且垂直于所在直线的线段， 由图可知交的延长线于点， 所以边上的高是线段． 57．如图，于点E，于点F，于点D，则中边上的高是线段________． 【答案】/ 【分析】过三角形的一个顶点向对边作垂线，这个垂线段就叫做该顶点对边上的高，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴中边上的高是线段． 58．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高． (2)画出的边上的中线． 【答案】(1) (2) 【详解】略 略 59．如图，，垂足为B，，垂足为C，且与交于点E，那么， (1)的边上的高为__________，边上的高为__________． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据三角形高的定义进行判断即可； （2）根据等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，垂足为B，，垂足为C， ∴由图形可知：的边上的高为，边上的高为． （2）解：∵， ∴， ∴． 60．如图所示，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)在图中画出边上的高和中线． 【答案】(1)；，， (2) 【分析】（1）观察平面直角坐标系，可以直接读出三角形三个顶点的坐标，，，；根据平移规律：向上平移3个单位长度，纵坐标加3；向右平移2个单位长度，横坐标加2；所以，，，在图中描出，，三点并顺次连接，即可得到三角形． （2）过点A作的垂线，垂足为D，线段即为边上的高；找到边上的中点E（可结合坐标确定），连接A、E，线段即为边上的中线． 【详解】（1）略 （2）略 【题型9 】 61．在中，是边上的高，若，，则的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】是边上的高，位置存在两种可能，需分类讨论计算的度数． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当在内部时，如图： 则； ②当在外部时，如图： 则． 62．如图，在中，垂足为，垂足为，若，，，则边上的高的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形面积公式建立等量关系求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴． 63．如图，的中线，相交于点O，，垂足为F，且，，，，则四边形的面积是（    ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据三角形中线的性质可得，即可得，得到，由此即可求得四边形的面积． 【详解】∵、均是的中线， ∴， ∴， ∴． 64．在中，是边上的高线，已知，，，则的面积是________． 【答案】或 【分析】三角形的高是对应边所在直线的垂线，需分垂足在线段上、垂足在线段的延长线上两种情况，结合三角形面积公式计算． 【详解】解：当垂足在线段上时， ∵是边上的高线，，，， ∴， ∴； 当垂足在线段的延长线上时， ∵是边上的高线，，，， ∴， ∴， 综上，的面积为或． 65．如图，是的中线，于点E，于点F，，则是的______倍． 【答案】2 【分析】由三角形的中线可知，结合，即可得到答案． 【详解】解：是的中线， ， ，， ， ， ， 即是的2倍． 66．如图，，分别是的高，，，，求的长． 【答案】 【分析】根据，计算即可得出结果． 【详解】解：∵，分别是的高， ∴， ∵，，， ∴． 67．如图，在平面直角坐标系中，是x轴负半轴上一点，C是y轴负半轴上的一点，轴并交y轴负半轴于，且，点B在第三象限，且． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求 (3)如图2，点P从A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，在点P、Q移动的过程中，连接、，使的面积是面积的5倍，求出点P的坐标； 【答案】(1) (2)36 (3)或 【分析】（1）非负性求出的值，即可得出结果； （2）根据梯形的面积公式进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式以及两个三角形的面积公式列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴，且， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴； （3）解：设的移动时间为，则由题意，得， ∴，， ∵的面积是面积的5倍， ∴， 解得或， ∴或， ∴或. 68．【发现与探究】 三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．关于三角形的重心有哪些性质呢?希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)【尝试探究】如图1，点为的重心，则，，．若设，，，则，，之间的数量关系为：________；根据你得到的，，之间的关系可推出重心的一个重要性质：________； (2)【类比延伸】如图2，中，点是上一点，且，点是上一点且．连接、，交于点，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的重心可得，，，，，则得到，，即可求解，，之间的关系；然后根据共高三角形面积比等于底之比求解； （2）连接，根据共高三角形面积比等于底之比可得，则，，设，同理可得，那么，则，再由求解即可； （3）先得到，求出，则可求，那么由已知可得，再由三角形面积公式求解，即可求解四边形的面积． 【详解】（1）解：∵点为的重心 ∴是的中线 ∴，，，， ∴， ∴， ∴； ∵以为底边的高相同， ∴ ∴； （2）解：连接 设 ∵ ∴ ∵以为底边的高相同， ∴ ∴ 同理可得， 设，同理可得 ∴ ∴ ∴； （3）解：由（2）得，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $