专题01 有理数（期中重难点复习）2026-2027学年人教版七年级上学期数学期中考试
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内容正文：
专题01 有理数（期中重难点复习）
【新教材人教版七年级上册】
题型归纳
【题型1 正负数的定义】 1
【题型2 正负数的实际应用】 2
【题型3 有理数的分类】 2
【题型4 带“非”字的有理数】 4
【题型5 用数轴上的点表示有理数】 5
【题型6 利用数轴比较有理数的大小】 7
【题型7 数轴上两点之间的距离】 7
【题型8 相反数的定义及应用】 10
【题型9 化简多重符号】 11
【题型10 绝对值的几何意义】 12
【题型11 绝对值非负性】 14
【题型12 有理数大小比较】 16
【题型1 正负数的定义】
1．中国人很早开始使用负数．中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作元，那么元表示（ ）
A．支出90元 B．收入90元 C．支出10元 D．收入10元
2．下列说法正确的是（ ）
A．0既是正数，也是负数 B．表示没有温度
C．0比负数小 D．0既不是正数，也不是负数
3．下列各数、、、、、、、中，负数有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如果温度上升记作，那么温度下降记作( )℃；在数，，0，，，中，正数有( )个．
5．在，，，，，，这些数中，( )是整数，( )是自然数，( )是正数，( )是小数．
【题型2 】
6．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果表示向东走，那么表示（ ）
A．向东走 B．向西走 C．向南走 D．向北走
7．秋分是二十四节气中的第十六个节气．秋分之后，天气转凉，民间有“一场秋雨一场寒”的说法，夜晚最冷时，温度低于零摄氏度．若将气温零上记作，则零下应记为（ ）
A． B． C． D．
8．利川市某气象站以为基准，零上气温记为正．若某日中午气温为零上，记作，那么齐岳山草场当日夜间气温为零下，应记作（ ）
A． B． C． D．
9．荣荣为了记录自己对零花钱的积攒和消费情况，建立了专属小账本，如果积攒100元记作元，那么“元”表示荣荣________．
10．“鹰击长空，鱼翔浅底”如果鹰在海平面以上1000米，记作米，那么鱼在海平面以下40米，可以记为__________；
【题型3 】
11．下列说法正确的是（ ）
A．所有的整数都是正数 B．0是最小的正数
C．是最大的负整数 D．整数、0和分数统称为有理数
12．在，，，，，，中，非负有理数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
13．下列说法正确的是（ ）
A．有理数分为正有理数和负有理数 B．一个有理数不是整数就是分数
C．分数包括正分数、负分数和零 D．整数包括正整数和负整数
14．下列说法中，正确的个数有（ ）
①正数、负数统称有理数；②0是正整数；③非负有理数即是正有理数；④是负数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
15．以下10个数：4.95，，0，，，，1，，，，分数有______个，正有理数有______个，非负整数有______个．
16．把下列各数填在相应的集合里：
整数集合：{________}
分数集合：{________}
正数集合：{________}
负数集合：{________}
17．将下列各数填入适当的大括号内：（填写序号）
①5，②，③，④8.9，⑤，⑥，⑦，⑧0，⑨．
(1)正数集合：{________…}；
(2)负数集合：{________…}；
(3)非正整数集合：{________…}；
(4)分数集合：{________…}．
18．已知下列各数：，，，，，，，，，把它们填入相应的大括号内．
正整数集合：{ }；
负分数集合：{ }；
正有理数集合：{ }；
负有理数集合：{ }．
19．把下列各数填入表示它们所在的数集的圈里：
，，，，，，，．
【题型4 】
20．给出下列说法：①1.5不是分数；②正数和负数统称为有理数；③整数、分数都是有理数；④整数分为正整数、负整数；⑤非负数包括正数和0，正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．下列有关整数的说法中，正确的是（ ）
A．整数由正整数和负整数组成
B．没有最大的整数，但有最小的整数
C．整数、分数和0统称为有理数
D．非负整数就是自然数
22．用下列各数填空：，，，，，，，，，，
整数集合：{__________________________________________…}，
非正数集合：{________________________________________…}，
非负整数集合：{______________________________________…}．
23．把下列各数填在相应的集合中：
，，，，，，，，，（每相邻两个之间的依次加）
正有理数集合{ } 负分数集合{ } 非负整数集合{ }
24．把下列各数填入相应集合的括号内：
，，，，，，，，
(1)整数集合：{ }；
(2)正有理数集合：{ }；
(3)非正整数集合：{ }．
【题型5 】
25．如图所示的是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
26．如图，数轴的一部分被直尺遮挡，已知直尺左边缘所对应的数为，直尺右边缘所对应的数为9.9，则直尺遮挡住的整数的个数为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
27．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.6，点C对齐刻度4.8．则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A． B． C． D．1.6
28．观察数轴上的数，点A表示的数是________．
29．边长为个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字时停止，此时与重合的点是点________（填“”“”“”或“”）、
30．已知一组数：，，5，0，．
(1)把这些数在下面的数轴上表示出来：
(2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）．
31．如图，在数轴上点表示的数是，若动点从原点出发，以个单位/秒的速度一直向左运动，同时另一动点从点出发，以个单位/秒的速度也向左运动，点到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为秒．
(1)当时，求点表示的数是______；
(2)当时，求点表示的数是______；
(3)当点到离点的距离为时，求点到点的距离．
32．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点O表示原点．
(1)求A，B两点间的距离；
(2)点C是线段上的一点，且，求点C表示的数；
(3)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．当秒时，求点P，Q表示的数及此时P，Q两点间的距离；
(4)当秒时，求点P，Q两点间的距离，并判断此时点Q在点P的哪一侧．
33．如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴（单位长度为1），并标出了表示的点A．珍珍设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右移动2个单位长度，点N向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图2所示．
(1)在图1中标出原点的位置；（用“O”表示）
(2)图2中，点M，N表示的数分别是________，________；M、N两点之间的距离是________；
(3)第________次按键后，点M所在的位置正好是原点，并直接写出此时点N表示的数．
【题型6 】
34．，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把， ， ， 按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
35．如图，数轴上被墨水遮盖的点所表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
36．有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，请比较、、的大小，并用“”连接：_____________．
37．在如图所示的数轴上表示下列各数：3，0，，2，，，并用“”号将这些数连接起来．
38．在数轴上表示下列各数，且按从小到大的顺序排列，并用“”连接．
，，，，，，．
39．已知下列各数：0，，，，．
(1)把各数分别表示在数轴上，并将这些数用“”号连接．
(2)把各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称：
【题型7 】
40．已知点A、B是数轴上的两个点，若点A表示的数为，点B表示的数为6，则的中点C表示的数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
41．某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度．点对齐刻度．点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，则数轴上点所对应的数为（ ）
A． B． C． D．3
42．下列说法错误的是（ ）
A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．数轴上的原点表示零
C．在数轴上表示的点与表示的点的距离是 D．数轴上表示的点，在原点左边个单位处
43．如图，在数轴上，点，点表示的数分别是，．点以个单位/秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以个单位/秒的速度从点出发沿数轴在，之间往返运动．当点到达点时，点表示的数是________．
44．对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上．
（1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ．
（2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ．
45．观察数轴，按要求完成：
(1)点表示的数写成分数是___________．
(2)在数轴上标出表示和的点．
(3)点到原点的距离和点到原点的距离相等，但方向相反，请标出点，并将点表示的数字写出来．
46．阅读并解决相应问题：
(1)问题发现：在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点的“节点”．如图，若点表示的数为，有点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点的“节点”．
填空：
①若点表示的数为，则的值为________．
②数轴上表示整数的点称为整点，若整点为的“节点”，请直接写出整点所表示的数．
(2)类比探究：
如图，若点为数轴上一点，且点到点的距离为，请求出点表示的数及的值，并说明理由．
47．【问题初探】阅读以下材料，并回答问题：
如图，把一根长度为的木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端M，N分别落在点A，B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为25，当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4．
(1)由此可得， ，a的值为 ．
(2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ．
【拓展应用】
(3)借助上述方法解决下列问题：
孙子问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你才2岁；你若是我现在这么大，我已经是128岁的老寿星了．”请你画出示意图，求出孙子和奶奶现在的年龄，并说明解题思路．
【题型8 及应用】
48．的相反数是（ ）
A．3 B． C． D．
49．化简的结果是（ ）
A． B．2026 C． D．
50．有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，把、、、按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
51．用“”与“”表示一种法则：，，如，则______．
52．若为，则的相反数是_________．
53．填空：
（1）的相反数是________；
（2）的相反数是________；
（3）的相反数是________．
54．已知六个有理数：，解答下列问题：
(1)互为相反数的一组数是_________；这六个数中整数有_________．
(2)将上述六个有理数表示在如图所示的数轴上；
(3)将上述六个有理数按从小到大的顺序排列，并用“”连接．
55．已知：如图，数轴上有三点，点和点间距20个单位长度且点表示的有理数互为相反数，．数轴上有一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒．
(1)点表示的有理数是______，点表示的有理数是______，点表示的数是______（用含的代数式表示）．
(2)当为多少时，两点之间相距个单位长度？
(3)若点，点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位长度/秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位长度/秒和4个单位长度/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为一个定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【题型9 】
56．化简下列各式，错误的是（ ）
A． B． C． D．
57．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
58．______．
59．把下列各数的序号填入相应的大括号内：
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨．
正有理数集合：{_________…}；
非负数集合：{_________…}；
非正整数集合：{_________…}；
分数集合：{_________…}．
60．把下列各数填入它所属的集合内：
，0，，，，，，，（每两个3之间的0依次多1个）
(1)分数集合：{_______________…}
(2)非负整数集合：{_______________…}
(3)有理数集合：{_______________…}
【题型10 】
61．在数轴上，，，这些数中离0最近的是（ ）
A． B． C．
62．如图，数轴上点，，，分别表示有理数，，，，其中绝对值最大的是（ ）
A． B． C． D．
63．下列说法：
①符号相反的数互为相反数；
②数轴上表示负数的点在原点的左边；
③正整数、负整数统称为整数；
④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
64．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示5与之差的绝对值．利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________．
65．姗姗在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示和表示的两点间的距离；而即表示数轴上表示和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示x的点与表示3的点在数轴上的距离，那么可看成表示x的点与表示的点在数轴上的距离． 姗姗继续研究发现：x取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题：的最小值是______，此时x的取值范围是______.
66．如图，点，，，，在数轴上（单位长度为1）．
(1)如果点表示原点，那么点表示的数是________，点表示的数是________，点表示的数是________；
(2)如果点，表示的数互为相反数，求点和点到原点的距离的和．
67．若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题：
(1)数轴上表示和两点之间的距离是_______；
(2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_______；
(3)代数式的最小值是_______；
(4)写出所有符合条件的整数，使成立．
68．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．
(1)利用此结论，回答以下问题：
①数轴上表示1和的两点之间的距离是______，
的几何意义是：______．
②数轴上表示数x的点和表示数的点之间的距离可用式子表示为______，
若，那么______．
(2)探索发现：求的最小值；
(3)知识迁移：求的最大值．
【题型11 】
69．下列说法：符号不同的两个数互为相反数；符号不同且绝对值相等的两个数互为相反数；一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；不相等的两个数，其绝对值也不相等；绝对值最小的有理数是．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
70．能使式子成立的数是（ ）
A．任意一个正数 B．任意一个负数
C．任意一个非正数 D．任意一个数
71．定义数轴上分别表示,的两点间的距离．关于这个距离，下列结论：
①；②；③若，则；
④．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
72．下列说法：①若，则x为负数；②若是负数，则a为正数；③没有绝对值为的数；④在数轴的负半轴上，离原点越远的点表示的数就越小．其中正确的有________．（填序号）
73．如果a为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是___________．
74．定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是_____________
①若，则；②；③若a，b异号，则或；
④对于任意有理数，总有；
75．如图，已知数轴上有A、B、C三点，点O为原点，点A、B在原点的右侧，点C在原点的左侧，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足，．
(1)_______，_______，_______（直接写出答案）；
(2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t（）；当t为何值时，点P、Q刚好相距10个单位长度?
(3)在（2）的条件下，若点M从点A以每秒6个单位长度的速度向左与P、Q同时运动，当点M与点P或点Q相遇时，则立即改变运动方向，以原来的速度向相反方向运动，当P、Q相遇时，三个点均停止运动，求点M运动的总路程．
76．阅读材料：
的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数与数的对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数的对应点之间的距离．
根据材料的说法，试求：
(1)使成立的的值；
(2)若为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个代数式的最大值及此时的值；如果没有，请说明理由；
(3)若为有理数，则有最 值（填“大”或“小”），其值为 ．
77．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足．
(1) _____ ， _______ ．
(2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与点D重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到D点时，它的右端与点B重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到C点时，它的左端与点A重合．若数轴上一个单位长度表示．则
①由此可得到木棒长为_____ ；
②图中点C表示的数是_______ ，点D表示的数是_______ ．
(3)根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾经是数学教师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生，你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄．
【题型12 】
78．下列有理数中，最大的是（）
A． B． C．0 D．0.4
79．甘肃某气象站记录了以下四个地点某日的平均气温，则其中平均气温最低的地区是（ ）
A． B． C． D．
80．下列说法中正确的有（ ）
①和互为相反数；
②符号不同的两个数互为相反数；
③比较有理数大小时，绝对值大的反而小；
④有最大的有理数．
A．个 B．个 C．个 D．个
81．比较大小： _________，（填“”或“”）
82．我国地势西高东低，呈三级阶梯分布，下表是我国三级阶梯上部分地区的最低点海拔数据，其中海拔最低的是______．（填地名）
四川盆地
滨海人工洼地
柴达木盆地
吐鲁番盆地
188
2675
83．比较下列各数的大小，用“<”“>”或“＝”连接：
（1）0______；
（2）______；
（3）______．
84．已知有理数：，，，．
(1)把上面的有理数在如图所示数轴上表示出来；
(2)用“”把上述各数连接起来．
85．在数轴上标出下列各数，并用“”号连接各数．
，，，，
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专题01 有理数（期中重难点复习）
【新教材人教版七年级上册】
题型归纳
【题型1 正负数的定义】 1
【题型2 正负数的实际应用】 3
【题型3 有理数的分类】 4
【题型4 带“非”字的有理数】 8
【题型5 用数轴上的点表示有理数】 10
【题型6 利用数轴比较有理数的大小】 15
【题型7 数轴上两点之间的距离】 18
【题型8 相反数的定义及应用】 24
【题型9 化简多重符号】 28
【题型10 绝对值的几何意义】 30
【题型11 绝对值非负性】 37
【题型12 有理数大小比较】 43
【题型1 正负数的定义】
1．中国人很早开始使用负数．中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作元，那么元表示（ ）
A．支出90元 B．收入90元 C．支出10元 D．收入10元
【答案】A
【详解】解：∵收入元记作元，
∴元表示支出元．
2．下列说法正确的是（ ）
A．0既是正数，也是负数 B．表示没有温度
C．0比负数小 D．0既不是正数，也不是负数
【答案】D
【分析】根据0的意义，逐项进行解答即可．
【详解】解：A、D选项，既不是正数，也不是负数，故A说法错误，D说法正确；
B选项，是零上温度与零下温度的分界，不表示没有温度，原说法错误；
C选项，比负数大，原说法错误．
3．下列各数、、、、、、、中，负数有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】解：、、、、、、、中，负数有、、、，共4个．
4．如果温度上升记作，那么温度下降记作( )℃；在数，，0，，，中，正数有( )个．
【答案】 2
【分析】温度上升与下降是相反意义的量，上升记为正，则下降记为负；大于的数是正数，据此求解即可．
【详解】解：∵温度上升记作
∴规定温度上升记为正，
∴与上升意义相反的温度下降记为负，
∴温度下降记作．
∵，是负数；，是正数；既不是正数也不是负数；，是负数；，是正数；，是负数；
∴正数共有个．
5．在，，，，，，这些数中，( )是整数，( )是自然数，( )是正数，( )是小数．
【答案】 ，，， ，， ，，， ，
【分析】根据整数、自然数、正数、小数的定义，对给出的数逐一分类即可
【详解】解：明确各类数的定义后逐一筛选，推导如下：
∵整数包含正整数、零、负整数，
∴，，，是整数，
∵自然数包含零和正整数，
∴，，是自然数，
∵正数是大于的数，
∴，，，是正数，
∵小数是带有小数点的十进制数，
∴，是小数．
【题型2 】
6．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果表示向东走，那么表示（ ）
A．向东走 B．向西走 C．向南走 D．向北走
【答案】B
【分析】根据正负数表示相反意义的量的规则，已知向东走记为正，那么与东相反的方向西对应的行走距离就用负数表示，据此判断的含义即可．
【详解】解：∵表示向东走，即向东走记为正．
∴负数表示与向东相反的方向，即向西．
∴表示向西走．
故选：．
7．秋分是二十四节气中的第十六个节气．秋分之后，天气转凉，民间有“一场秋雨一场寒”的说法，夜晚最冷时，温度低于零摄氏度．若将气温零上记作，则零下应记为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵零上记作，即零上温度记为正，
∴零下应记为．
8．利川市某气象站以为基准，零上气温记为正．若某日中午气温为零上，记作，那么齐岳山草场当日夜间气温为零下，应记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵以为基准，零上气温记为正，
∴零下气温记为负，
∴零下应记作．
9．荣荣为了记录自己对零花钱的积攒和消费情况，建立了专属小账本，如果积攒100元记作元，那么“元”表示荣荣________．
【答案】消费20元
【详解】解：因为题目规定积攒100元记作元，即把积攒记为正，所以与积攒意义相反的消费记为负，所以元表示消费20元．
10．“鹰击长空，鱼翔浅底”如果鹰在海平面以上1000米，记作米，那么鱼在海平面以下40米，可以记为__________；
【答案】米/
【详解】解：∵题目中明确海平面以上米记作米，即以海平面为基准，海平面以上用正数表示，
∴海平面下方的高度需要用负数表示，
∴鱼在海平面以下米，可以记为米．
【题型3 】
11．下列说法正确的是（ ）
A．所有的整数都是正数 B．0是最小的正数
C．是最大的负整数 D．整数、0和分数统称为有理数
【答案】C
【详解】解：∵整数包括正整数、负整数和，故A错误；
∵既不是正数也不是负数，故B错误；
∵是最大的负整数，故C正确；
∵有理数是整数和分数的统称，整数已包含，故D错误．
12．在，，，，，，中，非负有理数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【详解】解：非负有理数包括和正有理数．
，，均为负有理数，不符合要求；
∵是无限不循环小数，不是有理数，
∴不是有理数，不符合要求；
，，均为非负有理数，符合要求．
∴符合条件的数共个．
13．下列说法正确的是（ ）
A．有理数分为正有理数和负有理数 B．一个有理数不是整数就是分数
C．分数包括正分数、负分数和零 D．整数包括正整数和负整数
【答案】B
【分析】依据有理数分类规则，注意0的归属，逐一判断选项.
【详解】解：A、有理数分为正有理数，负有理数和零，原说法错误，不符合题意；
B、一个有理数不是整数就是分数，原说法正确，符合题意；
C、分数包括正分数、负分数，原说法错误，不符合题意；
D、整数包括正整数和负整数和零，原说法错误，不符合题意.
14．下列说法中，正确的个数有（ ）
①正数、负数统称有理数；②0是正整数；③非负有理数即是正有理数；④是负数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【详解】解：①有理数包括正有理数､0､负有理数，正数､负数中含无理数，故①错误；
②0既不是正数也不是负数，不是正整数，故②错误；
③非负有理数包含0和正有理数，故③错误；
④当时，不是负数，故④错误；
正确说法共0个．
15．以下10个数：4.95，，0，，，，1，，，，分数有______个，正有理数有______个，非负整数有______个．
【答案】
【详解】解：根据有理数分类的定义逐个判断：
分数是除整数外的有理数，包含有限小数，无限循环小数，分数，带分数，因此符合条件的数为，，，，，共个。
正有理数是大于的有理数，因此符合条件的数为，，，，，，共个。
非负整数包含和正整数，因此符合条件的数为，，，共个．
16．把下列各数填在相应的集合里：
整数集合：{________}
分数集合：{________}
正数集合：{________}
负数集合：{________}
【答案】{}；{}；{}；{}
【详解】略
17．将下列各数填入适当的大括号内：（填写序号）
①5，②，③，④8.9，⑤，⑥，⑦，⑧0，⑨．
(1)正数集合：{________…}；
(2)负数集合：{________…}；
(3)非正整数集合：{________…}；
(4)分数集合：{________…}．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】明确各数集的定义，逐一判断所给数的属性后归类．
【详解】（1）解：大于的数为正数，
故正数集合为．
（2）解：小于的数为负数，
故负数集合为．
（3）解：非正整数包含负整数和，
故非正整数集合为．
（4）解：分数包含正分数与负分数，有限小数、带分数均属于分数，
故分数集合为．
18．已知下列各数：，，，，，，，，，把它们填入相应的大括号内．
正整数集合：{ }；
负分数集合：{ }；
正有理数集合：{ }；
负有理数集合：{ }．
【答案】
，；，，；，，；，，，
【详解】略
19．把下列各数填入表示它们所在的数集的圈里：
，，，，，，，．
【答案】，，，；，，；，，
【分析】根据正负数的定义和整数的定义逐个分析即可解答．
【详解】解：正数集内填入：，，，；
负数集内填入：，，；
整数集内填入：，，．
【题型4 】
20．给出下列说法：①1.5不是分数；②正数和负数统称为有理数；③整数、分数都是有理数；④整数分为正整数、负整数；⑤非负数包括正数和0，正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：∵，是分数，
∴①错误；
∵整数和分数统称为有理数，按符号可分为正有理数、、负有理数，
∴②“正数和负数统称为有理数”的说法错误；
∵“整数、分数都是有理数”
∴③正确；
∵整数分为正整数、、负整数，
∴④错误；
∵非负数包括正数和，
∴⑤正确；
综上，正确的说法有个.
21．下列有关整数的说法中，正确的是（ ）
A．整数由正整数和负整数组成
B．没有最大的整数，但有最小的整数
C．整数、分数和0统称为有理数
D．非负整数就是自然数
【答案】D
【分析】抓住0在数的分类中的归属，结合整数、有理数、自然数的定义判断各选项.
【详解】解：A选项：整数包括正整数、0、负整数，该说法遗漏0，错误.
B选项：整数没有最大值，也没有最小值，错误.
C选项：有理数是整数和分数的统称，0属于整数，分类重复，错误.
D选项：非负整数包括0和正整数，与自然数范围一致，正确.
22．用下列各数填空：，，，，，，，，，，
整数集合：{__________________________________________…}，
非正数集合：{________________________________________…}，
非负整数集合：{______________________________________…}．
【答案】， ， ，，；
， ，， ；
，， ，
【分析】根据整数的定义、非正数的定义、非负整数的定义，把所给的数据分别填入相应的集合中．
【详解】解：根据整数的定义可知所给数据中整数有： ，，，，；
根据非正数的定义可知所给数据中非正数有：，，，；
根据非负整数的定义可知所给数据中非负整数有：，，，．
23．把下列各数填在相应的集合中：
，，，，，，，，，（每相邻两个之间的依次加）
正有理数集合{ } 负分数集合{ } 非负整数集合{ }
【答案】
正有理数集合：；负分数集合：；非负整数集合：．
【详解】略
24．把下列各数填入相应集合的括号内：
，，，，，，，，
(1)整数集合：{ }；
(2)正有理数集合：{ }；
(3)非正整数集合：{ }．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：整数集合：；
（2）解：正有理数集合：；
（3）解：非正整数集合：．
【题型5 】
25．如图所示的是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：数轴三要素：原点、正方向、单位长度；数轴上的数从左到右依次增大，单位长度相同，右侧箭头表示正方向．
选项A：数轴上的数从左到右依次减小，且没有原点，不符合题意；
选项B：符合数轴三要素；
选项C：没有向右的箭头，不符合题意；
选项D：单位长度不相同，不符合题意．
26．如图，数轴的一部分被直尺遮挡，已知直尺左边缘所对应的数为，直尺右边缘所对应的数为9.9，则直尺遮挡住的整数的个数为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【分析】根据数轴上有理数的特点即可解答．
【详解】解：大于的最小整数是，小于的最大整数是，
故直尺遮挡住的整数的个数为（个）．
27．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.6，点C对齐刻度4.8．则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A． B． C． D．1.6
【答案】C
【详解】解：由图得个单位对应，对应3个单位，
故．
28．观察数轴上的数，点A表示的数是________．
【答案】
【详解】解：观察数轴得，点A表示的数是．
29．边长为个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字时停止，此时与重合的点是点________（填“”“”“”或“”）、
【答案】
【分析】通过模拟正方形在数轴上的前几次滚动，确定顶点落在数轴上的顺序规律，发现每次滚动为一个循环组，利用余数性质求解．
【详解】由图可知，正方形边长为，初始位置点在处，点在处
第次滚动，点落在数轴上的处；
第次滚动，点落在数轴上的处；
第次滚动，点落在数轴上的处；
第次滚动，点落在数轴上的处；
由此可知，正方形顶点落在数轴上的顺序每次为一个循环组，依次为，，，，
当数字落在时，正方形滚过了个单位长度，
，
当正方形滚动到数字时，经历了个循环组，
此时与重合的点是点．
30．已知一组数：，，5，0，．
(1)把这些数在下面的数轴上表示出来：
(2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）略
（2）略
31．如图，在数轴上点表示的数是，若动点从原点出发，以个单位/秒的速度一直向左运动，同时另一动点从点出发，以个单位/秒的速度也向左运动，点到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为秒．
(1)当时，求点表示的数是______；
(2)当时，求点表示的数是______；
(3)当点到离点的距离为时，求点到点的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)点到离点的距离为时，点到点的距离为或
【分析】（1）计算出点运动的路程，即可解答；
（2）计算出点运动的路程，即可解答；
（3）分类讨论：当点向左运动且没有到达原点时；当点到达原点后向右运动，求出，进行解答，即可．
【详解】（1）解：∵从点出发，以个单位/秒的速度也向左运动，
∴点向左运动的距离为：，
∵点表示是数为，
∴，
∴，
∵，
∴，
即点表示的数为：．
（2）解：动点从原点出发，以个单位/秒的速度一直向左运动，
∴，
∵，
∴，
∴点表示的数为：．
（3）解：由（1）可得：，由（2）可得，，
①当点向左运动且没有到达原点时，
∵点到离点的距离为，
∴，
解得：，
∴，
此时，
∴点到点的距离为：；
当点到达原点后向右运动，
∵点到离点的距离为，
∴点运动的距离为：，
∴，
解得：，
∴，
∴点到点的距离为：；
综上所述：点到离点的距离为时，点到点的距离为或．
32．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点O表示原点．
(1)求A，B两点间的距离；
(2)点C是线段上的一点，且，求点C表示的数；
(3)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．当秒时，求点P，Q表示的数及此时P，Q两点间的距离；
(4)当秒时，求点P，Q两点间的距离，并判断此时点Q在点P的哪一侧．
【答案】(1)20
(2)点C表示的数是2
(3)P表示，Q表示3，
(4)，点Q在点P的左侧
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可．
（2）根据题意可知点C在线段上，且在点A的右侧，然后根据数轴上两点之间的距离公式求解即可．
（3）先表示出点P和点Q所代表的数，再根据数轴上两点之间的距离公式求解即可．
（4）先表示出点P和点Q所代表的数，再根据数轴上两点之间的距离公式求解出P，Q两点间的距离，根据数轴判断两点之间的位置关系．
【详解】（1）解：．
（2）解：∵点C在线段上，且在点A的右侧，，
∴点C表示的数为．
（3）解：当时，点P表示的数为；
点Q表示的数为；
∴．
（4）解：当时，点P表示的数为；
点Q表示的数为；
∴，
此时点Q在点P的左侧．
33．如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴（单位长度为1），并标出了表示的点A．珍珍设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右移动2个单位长度，点N向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图2所示．
(1)在图1中标出原点的位置；（用“O”表示）
(2)图2中，点M，N表示的数分别是________，________；M、N两点之间的距离是________；
(3)第________次按键后，点M所在的位置正好是原点，并直接写出此时点N表示的数．
【答案】(1)解：根据题意，画图如下：
，
则点Ｏ即为所求．
(2)，，3
(3)3，
【分析】（1）根据数轴的三要素，确定原点，并标识出来即可；
（2）根据向右加，向左减，计算即可；
（3）求出原点与点A的距离，用距离除以2即可得到按键的次数，再根据平移思想计算即可．
【详解】（1）解：略．
（2）解：根据题意，得点M表示的数为：，点N表示的数为：，
M、N两点之间的距离是．
（3）解：原点到点A的距离为：，
根据题意，得每按一次键盘，点M向右移动2个单位长度，点N向左移动1个单位长度，
（次），
故点N表示的数为：．
【题型6 】
34．，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把， ， ， 按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由数轴可知，，且，
∴．
35．如图，数轴上被墨水遮盖的点所表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察数轴确定被遮盖点位于与之间，将各选项数值与该范围比较即可．
【详解】解：由数轴可知，被墨水遮盖的点位于和之间，
A选项、；
B 选项、；
C 选项、；
D 选项、，且
∴只有 D 选项符合题意．
36．有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，请比较、、的大小，并用“”连接：_____________．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，理解题意是解决本题的关键．
根据数轴可得和，进而即可得解．
【详解】解：由图可得，，且，
∴，
故答案为：．
37．在如图所示的数轴上表示下列各数：3，0，，2，，，并用“”号将这些数连接起来．
【答案】，
38．在数轴上表示下列各数，且按从小到大的顺序排列，并用“”连接．
，，，，，，．
【答案】
如图，
39．已知下列各数：0，，，，．
(1)把各数分别表示在数轴上，并将这些数用“”号连接．
(2)把各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称：
【答案】(1)数轴表示如图：
(2)
【分析】（1）根据数轴的特征即可表示各数，再根据数轴右边的数大于左边的数即可把这些数用“”号连接；
（2）根据负数、整数的定义即可填空，负数和整数的公共部分即为负整数．
【题型7 】
40．已知点A、B是数轴上的两个点，若点A表示的数为，点B表示的数为6，则的中点C表示的数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】解：∵点A表示的数为，点B表示的数为6，C是的中点，
∴中点C表示的数为．
41．某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度．点对齐刻度．点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，则数轴上点所对应的数为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】先算出数轴上、两点的距离与刻度尺上、对应的长度，得到数轴上个单位对应刻度尺的长度，再根据刻度尺上的长度，求出数轴上的单位长度，最后结合点对应的数求出点对应的数．
【详解】解：∵点对应数，点对应数，
∴数轴上
∵刻度尺上对齐，对齐，
∴刻度尺上
∴数轴上个单位长度对应刻度尺
∵刻度尺上，
∴数轴上
∴
42．下列说法错误的是（ ）
A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示
B．数轴上的原点表示零
C．在数轴上表示的点与表示的点的距离是
D．数轴上表示的点，在原点左边个单位处
【答案】C
【分析】根据数轴的相关概念逐一判断正误，解题突破口为数轴上两点间距离的计算，可快速锁定错误选项．
【详解】解：、、均符合数轴的相关概念，说法正确．
选项中，数轴上表示的点与表示的点的距离应为，故说法错误．
43．如图，在数轴上，点，点表示的数分别是，．点以个单位/秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以个单位/秒的速度从点出发沿数轴在，之间往返运动．当点到达点时，点表示的数是________．
【答案】1
【分析】先求出点P到达点B所用时间，从而可知Q运动的路程，即可得到Q表示的数．
【详解】解：∵点A，点B表示的数分别是，10，
∴，
∴点P到达点B所用时间是秒，
∴Q所运动的路程为，
∴Q运动到A后，又返回B，向B运动了个单位，
∴Q表示的数是．
44．对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上．
（1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ．
（2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ．
【答案】 22 或或2或4
【分析】（1）先根据线段a、b长度和已知点，确定两条线段的端点表示的数，再计算和，最后代入计算即可；
（2）如图，先确定线段a的端点表示的数，再由及分情况得线段b的端点表示的数，得出x、y的值，最后计算即可．
【详解】解：（1）∵表示的点在线段a上，表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，线段a，b的长度分别为2和4，
又∵，，
∴线段a两个端点表示的数分别为、，线段b两个端点表示的数分别为6、10，
∴，，
∴；
（2）如图，
∵线段a的长度为2，表示的点在线段a上，原点在线段a上，
∴线段，其中点C、O表示的数分别为、0，
∵，，点在线段a上，点A表示的数为x，点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数），
分两种情况：①线段，其中点E、F表示的数分别为1、5，
当时，，则；
当时，，则；
②线段，其中点G、H表示的数分别为、，
当时，，则；
当时，，则；
综上所述，对应的或或2或4．
【点睛】题目给出线段长度和经过的点，必须先算出两条线段准确端点，理解新定义概念及算法：：两线段上点的最小距离（通常是右线段左端点左线段右端点），：两线段上点的最大距离（通常是右线段右端点左线段左端点），第二问中线段b位置不确定，必须分左右两种情况讨论，算出线段b的准确端点，对每种情况，用两点距离为6，找出符合条件的整数x、y，注意不漏解、不重解．
45．观察数轴，按要求完成：
(1)点表示的数写成分数是___________．
(2)在数轴上标出表示和的点．
(3)点到原点的距离和点到原点的距离相等，但方向相反，请标出点，并将点表示的数字写出来．
【答案】(1)
(2)表示2.5和的点如图所示：
(3)如图，点C即为所求，
【分析】（1）确定数轴单位长度：先看1到2之间的刻度划分，计算每个小刻度代表的数值，因为点在和之间，所以用加上对应小刻度的数值即可得到点的分数形式；
（2）根据数轴的单位长度和原点位置即可确定表示2.5和的点；
（3）先确定点表示的数，因为点和点到原点距离相等、方向相反，所以点的数是点的相反数，再在数轴对应位置标注点．
【详解】（1）解：点A表示的数写成分数是；
（2）略
（3）略
46．阅读并解决相应问题：
(1)问题发现：在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点的“节点”．如图，若点表示的数为，有点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点的“节点”．
填空：
①若点表示的数为，则的值为________．
②数轴上表示整数的点称为整点，若整点为的“节点”，请直接写出整点所表示的数．
(2)类比探究：
如图，若点为数轴上一点，且点到点的距离为，请求出点表示的数及的值，并说明理由．
【答案】(1)①；②或或或或或
(2)点表示的数是，或点表示的数是，，理由如下：
当点在点右侧时，
∵点到点的距离为，
∴点表示的数是，
∴，
∴，即；
当点在点左侧时，
∵点到点的距离为，
∴点表示的数是，
∴，
∴，即；
综上，点表示的数是，或点表示的数是，．
【分析】（）①求出的值，即可求解；②由，可得点在点之间（含点），且点表示的数为整数，据此即可求解；
（）点在点右侧和左侧两种情况，根据定义解答即可．
【详解】（1）解：①∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
∴，，
∴，
即；
②∵点表示的数为，点表示的数为，
∴，
又∵整点为的“节点”，
∴，
∴点在点之间（含点），且点表示的数为整数，
∴点所表示的数为或或或或或；
（2）略
47．【问题初探】阅读以下材料，并回答问题：
如图，把一根长度为的木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端M，N分别落在点A，B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为25，当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4．
(1)由此可得， ，a的值为 ．
(2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ．
【拓展应用】
(3)借助上述方法解决下列问题：
孙子问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你才2岁；你若是我现在这么大，我已经是128岁的老寿星了．”请你画出示意图，求出孙子和奶奶现在的年龄，并说明解题思路．
【答案】(1)21，7
(2)11，18
(3)如下图∶点表示孙子现在的年龄，点表示奶奶现在的年龄，
则孙子与奶奶的年龄差可以看作木棒，奶奶像孙子那么大时看作当点移动到处时，点与点重合，点所对应的数为；孙子像奶奶那么大时看作当点移动到处时，点与点重合，点所对应的数为；
∴奶奶比孙子大（岁），
∵，，
∴孙子现在岁，奶奶现在岁．
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式可求，再根据题意可知，进而可求出的值；
（2）由（1）可得出，再根据数轴上两点之间的距离公式即可得出答案；
（3）根据方法画出图形求解即可得出答案．
【详解】（1）解：∵当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为，
∴，
∵，
∴，
即：
（2）解：由（1）可得：点所表示的数是：；
点所表示的数是：；
（3）略
【题型8 及应用】
48．的相反数是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，
，
的相反数是．
49．化简的结果是（ ）
A． B．2026 C． D．
【答案】A
【分析】根据去括号法则逐步化简．
【详解】解：．
50．有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，把、、、按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴确定的正负及绝对值大小，利用相反数的几何意义确定的位置，进而比较大小即可．
【详解】解：由数轴可知，且，
，
，
，
如图所示，
，
∴．
51．用“”与“”表示一种法则：，，如，则______．
【答案】
【分析】根据给定的新运算法则，先计算两个小括号内的结果，再计算最终结果即可．
【详解】解：，
，，
．
52．若为，则的相反数是_________．
【答案】
【详解】解：，
∴，
，
的相反数是．
53．填空：
（1）的相反数是________；
（2）的相反数是________；
（3）的相反数是________．
【答案】 /
【详解】解：（1）的相反数是；
（2）的相反数是；
（3）的相反数是．
54．已知六个有理数：，解答下列问题：
(1)互为相反数的一组数是_________；这六个数中整数有_________．
(2)将上述六个有理数表示在如图所示的数轴上；
(3)将上述六个有理数按从小到大的顺序排列，并用“”连接．
【答案】(1)；
(2)见数轴
(3)
【分析】（1）根据去括号法则及求一个数的绝对值化简，然后根据相反数的定义及整数进行求解即可；
（2）根据题意将各数表示在数轴上即可；
（3）根据数轴从小到大进行排列即可．
【详解】（1）解：，
∴互为相反数的一组数是；
这六个数中整数有；
（2）略；
（3）根据数轴得出：．
55．已知：如图，数轴上有三点，点和点间距20个单位长度且点表示的有理数互为相反数，．数轴上有一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为秒．
(1)点表示的有理数是______，点表示的有理数是______，点表示的数是______（用含的代数式表示）．
(2)当为多少时，两点之间相距个单位长度？
(3)若点，点和点与点同时在数轴上运动，点以1个单位长度/秒的速度向左运动，点和点分别以3个单位长度/秒和4个单位长度/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为一个定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；
(2)为5秒或15秒
(3)存在，的值为，这个定值为
【分析】（1）根据已知条件进行分析，确定点表示的有理数以及点表示的数即可．
（2）分情况讨论两点之间相距10个单位长度时的值即可．
（3）先分别表示出运动秒后各点表示的数以及、、的长度，再判断是否存在常数，使得为一个定值即可．
【详解】（1）解：∵点和点间距个单位长度且互为相反数，
∴设点表示的数为，则点表示的数为，
可得，即，
解得或，
∴点表示的有理数是，那么点表示的有理数是，
已知，且点在点右侧，
∴点表示的有理数是，
动点从点出发，以个单位/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒，
点表示的数是．
（2）解：点表示的数是10，点表示的数是，
可得，即，
当时，，解得；
当时，，解得．
∴当为5秒或15秒时，两点之间相距10个单位长度．
（3）运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，
点表示的数为，点表示的数为，
则（因为）；
；
。
将、、代入可得：
，
要使为一个定值，则含的项的系数应为0，即，解得，
当时，的值为，是一个定值．
【题型9 】
56．化简下列各式，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：，A正确．
，B正确．
，C错误．
，D正确．
57．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】根据相反数的概念求解即可．
【详解】解：A、，不互为相反数，故不符合题意；
B、，不互为相反数，不符合题意；
C、与不互为相反数，不符合题意；
D、，，互为相反数，符合题意．
58．______．
【答案】
【分析】根据负号个数，再结合“奇数个负号为负偶数个负号为正”的规则即可求解．
【详解】解：．
59．把下列各数的序号填入相应的大括号内：
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨．
正有理数集合：{_________…}；
非负数集合：{_________…}；
非正整数集合：{_________…}；
分数集合：{_________…}．
【答案】①③⑤；①③⑤⑥⑦；⑦⑧；②③④⑤⑨
【分析】先将各数化简，再依据各类数的定义逐一归类，注意区分有理数与无理数、整数与分数的边界，明确有限小数、无限循环小数属于分数范畴．
【详解】解：①，⑨．
正有理数是大于0的有理数，包含正整数与正分数，对应序号①③⑤；
非负数是大于或等于0的数，包含正数与0，对应序号①③⑤⑥⑦；
非正整数是小于或等于0的整数，包含0与负整数，对应序号⑦⑧；
分数包含正分数与负分数，有限小数、无限循环小数均属于分数范畴，对应序号②③④⑤⑨．
60．把下列各数填入它所属的集合内：
，0，，，，，，，（每两个3之间的0依次多1个）
(1)分数集合：{_______________…}
(2)非负整数集合：{_______________…}
(3)有理数集合：{_______________…}
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】先化简多重符号，然后根据有理数的分类求解即可
【详解】（1）解：，，
∴分数集合：；
（2）非负整数集合：；
（3）有理数集合：
【题型10 】
61．在数轴上，，，这些数中离0最近的是（ ）
A． B． C．
【答案】A
【分析】将数到0的距离转化为绝对值的大小比较．
【详解】解：分别计算各数的绝对值：；；，
∵，
∴离0最近的数是．
62．如图，数轴上点，，，分别表示有理数，，，，其中绝对值最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据绝对值的几何意义，数轴上表示数的点到原点的距离越远，其绝对值越大，观察图形可知点到原点的距离最远．
【详解】解：由数轴可知，点到原点的距离最远，
∴最大，
∴绝对值最大的是．
63．下列说法：
①符号相反的数互为相反数；
②数轴上表示负数的点在原点的左边；
③正整数、负整数统称为整数；
④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】解：①只有符号不同的两个数互为相反数，符号相反的数不一定互为相反数，如与，故①错误，
②数轴上原点左侧的点表示负数，即表示负数的点在原点左边，故②正确，
③整数包括正整数、、负整数，故③错误，
④一个数的绝对值是数轴上表示该数的点到原点的距离，因此绝对值越大，对应的点离原点越远，故④正确，
综上，正确的说法有个．
64．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示5与之差的绝对值．利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________．
【答案】
8
【分析】将理解为数轴上点到三点的距离之和.当位于这三个数对应的点的中间位置时，距离之和最小．
【详解】解：原式可变形为，
根据绝对值的几何意义，该式表示数轴上有理数所对应的点到所对应的点之间的距离之和，
，
当时，该距离之和最小，最小值为．
65．姗姗在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示和表示的两点间的距离；而即表示数轴上表示和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示x的点与表示3的点在数轴上的距离，那么可看成表示x的点与表示的点在数轴上的距离． 姗姗继续研究发现：x取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题：的最小值是______，此时x的取值范围是______.
【答案】
【分析】将原式中每个绝对值转化为数轴上表示的点到对应定点的距离，把所有定点按从小到大排序，利用偶数个定点的距离和最小的规律确定的范围并计算最小值．
【详解】解：∵ 表示数轴上表示的点到表示的点的距离，表示表示的点到表示的点距离，表示表示的点到表示的点的距离，表示表示的点到表示的点的距离，
∴ 表示数轴上表示的点到点、、、表示的点的距离之和，
∴把、、、按从小到大排序为，共4个定点，
∴当表示的点落在中间两个定点之间时， 表示的点到所有定点的距离之和最小，即：当时，原式取得最小值，此时表示的点到表示的点和表示的点的距离之和为：， 表示的点到表示的点和表示的点的距离之和为：，
∴ 的最小值为：，
∴的最小值为11．
66．如图，点，，，，在数轴上（单位长度为1）．
(1)如果点表示原点，那么点表示的数是________，点表示的数是________，点表示的数是________；
(2)如果点，表示的数互为相反数，求点和点到原点的距离的和．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据点表示原点，单位长度为，写出点、点、点表示的数；
（2）根据点，表示的数互为相反数确定原点，再根据原点的位置确定点和点表示的数，从而求出点和点到原点的距离的和．
【详解】（1）解：点表示原点，
点表示，
点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是；
（2）解：如下图所示，
如果点，表示的数互为相反数，则原点是点右边的一个点，
点表示的数是，点表示的数是，
点和点到原点的距离的和为．
67．若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题：
(1)数轴上表示和两点之间的距离是_______；
(2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_______；
(3)代数式的最小值是_______；
(4)写出所有符合条件的整数，使成立．
【答案】(1)；
(2)
(3)；
(4)满足条件的整数为，，，．
【分析】（1）由题设给出的数轴上两点间的距离公式，把表示这两点的有理数代入，求出两点间的距离；
（2）把表示的数与代入距离公式，写出这两点间的距离；
（3）把与分别看成数轴上表示的点到表示、的点的距离，再由这两点间的距离确定距离之和的最小值；
（4）把看成数轴上表示的点到表示、的两点的距离之和，由它等于确定的取值范围，再从中找出整数．
【详解】（1）解：由题设，数轴上表示有理数、的两点之间的距离为．
把、代入，得
．
∴数轴上表示和两点之间的距离是．
（2）解：由题设的距离公式，数轴上表示与的两点之间的距离为
．
∴数轴上表示和的两点之间的距离表示为．
（3）解：∵，
∴表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离．
同理，表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离．
∴表示数轴上表示的点到表示、的两点的距离之和．
当表示的点在表示与的两点之间（含这两点）时，这两段距离之和恰好等于这两点间的距离，
即；
当表示的点在上述两点之外时，这两段距离之和大于这两点间的距离，
即．
∴当时，取最小值．
∴代数式的最小值是．
（4）解：由（3）可知，表示数轴上表示的点到表示、的两点的距离之和，
而表示与的两点之间的距离为．
∴当表示的点在表示与的两点之间（含这两点）时，这两段距离之和等于，等式成立；
当表示的点在上述两点之外时，这两段距离之和大于，等式不成立．
∴符合条件的满足．
∵为整数，
∴的值为、、、．
∴符合条件的整数为、、、．
68．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．
(1)利用此结论，回答以下问题：
①数轴上表示1和的两点之间的距离是______，
的几何意义是：______．
②数轴上表示数x的点和表示数的点之间的距离可用式子表示为______，
若，那么______．
(2)探索发现：求的最小值；
(3)知识迁移：求的最大值．
【答案】(1)①；数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离；②；0或4
(2)最小值为3
(3)最大值为
【分析】（1）①直接运用题干给出的两点距离公式计算距离，理解绝对值对应的几何含义；②根据距离公式列式，结合几何意义找出满足条件的数x．
（2）先利用数轴几何意义判断最值，再代数验证即可解答．
（3）借助数轴分析差值变化规律，确定取最大值的区间，再计算验证即可．
【详解】（1）① 根据题干两点距离公式，与两点距离：
对照的几何意义，表示数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．
② 数与的距离：；
的几何含义：数轴上到表示的点距离等于的点，该点在左侧个单位为，右侧个单位为，
所以或．
（2）从几何意义看，，代表数轴上表示的点到、两点的距离之和．根据两点之间线段最短，当在与之间（包含端点）时，距离和最小，最小值就是到的线段长．
代数验证：
当时，
，
当时，
，
当时，
，
故的最小值是．
（3）从几何意义看，，代表数轴上表示的点到的距离减去到的距离．当在右侧（包含）时，差值最大，最大值为到的线段长．
代数验证：
当时，
，
当时，
，
当时，
，
故的最大值是．
【题型11 】
69．下列说法：符号不同的两个数互为相反数；符号不同且绝对值相等的两个数互为相反数；一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；不相等的两个数，其绝对值也不相等；绝对值最小的有理数是．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【详解】解：① 例如和符号不同，但不是相反数，故①错误．
② 符号不同且绝对值相等的两个数符合相反数的定义，故②正确．
③ 负数的绝对值越大，它在数轴上对应的点越靠左，故③错误．
④ 例如和不相等，但绝对值相等，故④错误．
⑤ 任意有理数的绝对值为非负数，的绝对值是，为最小值，故⑤正确．
综上，正确的说法有个．
70．能使式子成立的数是（ ）
A．任意一个正数 B．任意一个负数
C．任意一个非正数 D．任意一个数
【答案】C
【分析】根据两数和的绝对值等于两数绝对值和的成立条件，判断的取值范围．
【详解】解：当时，左边，右边，等式成立，故0满足条件；
当时，左边，右边，等式不成立；
当时，左边，右边，等式不成立；
当时，左边，右边，等式成立，
∴能使式子成立的数是任意一个非正数．
71．定义数轴上分别表示,的两点间的距离．关于这个距离，下列结论：
①；②；③若，则；
④．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】将新定义的数轴两点距离转化为两数差的绝对值，结合绝对值性质与几何意义逐一判断各结论．
【详解】解：根据定义逐一分析如下：
①，，故，①正确；
②，即，②正确；
③若，则，故，即，③正确；
④由数轴上三点的位置关系及两点之间线段最短，得，即，④正确．
综上，正确结论共个．
72．下列说法：①若，则x为负数；②若是负数，则a为正数；③没有绝对值为的数；④在数轴的负半轴上，离原点越远的点表示的数就越小．其中正确的有________．（填序号）
【答案】②③④
【详解】解：因为，所以为正数或0，所以①的说法错误；
若是负数，则为正数，所以②的说法正确；
因为任何数的绝对值都是非负数，所以没有绝对值为的数，所以③的说法正确；
在数轴的负半轴上，离原点越远的点表示的数就越小，所以④的说法正确；
综上，正确的有②③④．
73．如果a为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是___________．
【答案】156
【分析】根据绝对值的非负性求解即可．
【详解】解：∵，
∴的最小值为0，
∴式子的最大值为156．
74．定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是_____________
①若，则；②；③若a，b异号，则或；
④对于任意有理数，总有；
【答案】①③/③①
【分析】本题考查新定义运算，涉及绝对值的性质．需逐一验证每个结论的正确性．
【详解】解：对于结论①：若，则．
由于绝对值非负性，故且，
即且，
解得，
因此结论①正确．
对于结论②：．
当时，，因此结论②错误．
对于结论③：若 a，b 异号．
当时，；
当时，；
当时，．
因此或，
综上，结论③正确．
对于结论④：取，
则，
而，两者不相等，因此结论④错误．
故答案为：①③．
75．如图，已知数轴上有A、B、C三点，点O为原点，点A、B在原点的右侧，点C在原点的左侧，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足，．
(1)_______，_______，_______（直接写出答案）；
(2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t（）；当t为何值时，点P、Q刚好相距10个单位长度?
(3)在（2）的条件下，若点M从点A以每秒6个单位长度的速度向左与P、Q同时运动，当点M与点P或点Q相遇时，则立即改变运动方向，以原来的速度向相反方向运动，当P、Q相遇时，三个点均停止运动，求点M运动的总路程．
【答案】(1)5，8，
(2)9或19秒
(3)84
【分析】（1）根据绝对值和平方数的非负性可以得解；
（2）由题意得，点表示的数为，点表示的数为，则，即可求解；
（3）当P、Q相遇时，，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，点C在原点的左侧，
∴．
（2）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为，
∵点P、Q相距10个单位长度，
∴，
解得，，
∴当t为9或19秒时，点P、Q刚好相距10个单位长度．
（3）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为，
∴当P、Q相遇时，，
解得，
∴点M运动的总路程为．
76．阅读材料：
的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数与数的对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数的对应点之间的距离．
根据材料的说法，试求：
(1)使成立的的值；
(2)若为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个代数式的最大值及此时的值；如果没有，请说明理由；
(3)若为有理数，则有最 值（填“大”或“小”），其值为 ．
【答案】(1)或2025
(2)有最大值3，此时x的值为2，理由如下：
因为，
所以当时，取得最大值，
所以令，解得，
所以代数式的最大值为3，此时x的值为2；
(3)小，2
【分析】（1）根据绝对值的几何意义求解；
（2）根据绝对值的非负性求解；
（3）根据绝对值的几何意义求解．
【详解】（1）解：表示数轴上数与数1的对应点之间的距离为2024，
∴或2025；
（2）略
（3）解：∵表示数轴上数与数1和数3的对应点之间的距离之和，
∴当时，有最小值，即1和3之间的距离，即2．
77．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足．
(1) _____ ， _______ ．
(2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点C重合，右端与点D重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到D点时，它的右端与点B重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到C点时，它的左端与点A重合．若数轴上一个单位长度表示．则
①由此可得到木棒长为_____ ；
②图中点C表示的数是_______ ，点D表示的数是_______ ．
(3)根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾经是数学教师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生，你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄．
【答案】(1)7，28；
(2)①7；②14，21
(3)70岁
【分析】（1）根据绝对值的非负性即可求解；
（2）①由数轴观察知三根木棒长是，即可求解；
②根据数轴中线段的距离即可求解；
（3）把小红与爷爷的年龄差看作木棒，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解．
【详解】（1）解：∵
∴，，
∴，
（2）①由题知，，
又∵B点表示的数为28，A点表示的数是7，，
∴，
②∵，
∴点C表示的数是14；
∵，
∴点D表示的数是21；
（3）解：根据题意，建立数轴如图所示，
小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点，
则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点，
所以，
又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了”，
所以，
且，
所以爷爷现在的年龄是70岁．
【题型12 】
78．下列有理数中，最大的是（）
A． B． C．0 D．0.4
【答案】D
【详解】解：，均小于，大于，故最大的有理数为．
79．甘肃某气象站记录了以下四个地点某日的平均气温，则其中平均气温最低的地区是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
平均气温最低的地区是天水麦积山．
80．下列说法中正确的有（ ）
①和互为相反数；
②符号不同的两个数互为相反数；
③比较有理数大小时，绝对值大的反而小；
④有最大的有理数．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】依据有理数、相反数的定义，有理数的性质和比较大小的方法，统计正确说法的个数．
【详解】解：与互为相反数，说法①正确；
和符号不同，但不是相反数，说法②错误；
③且，说法③错误；
④有理数不存在最大值，说法④错误，
综上，正确的说法有个．
81．比较大小： _________，（填“”或“”）
【答案】
【分析】两个负数比较大小，需先计算两数的绝对值，根据“绝对值大的负数反而小”的规则判断大小关系．
【详解】解：，，
∵ ，即
∴．
82．我国地势西高东低，呈三级阶梯分布，下表是我国三级阶梯上部分地区的最低点海拔数据，其中海拔最低的是______．（填地名）
四川盆地
滨海人工洼地
柴达木盆地
吐鲁番盆地
188
2675
【答案】吐鲁番盆地
【分析】海拔最低对应数值最小，需将实际问题转化为有理数大小比较问题．
【详解】解：各地区海拔对应数值为，，，，
∵，，，
∴，
∴，
即吐鲁番盆地的海拔数值最小，为海拔最低的地区．
83．比较下列各数的大小，用“<”“>”或“＝”连接：
（1）0______；
（2）______；
（3）______．
【答案】
【分析】根据有理数大小比较规则，逐组判定数的大小关系．
【详解】解：（1）有理数大小关系规定，0大于任意负数
∴ ．
（2）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，
∵ ，，
且 ，
∴ ．
（3）两个负数比较大小，先通分计算绝对值再比较，
∵ ，，
且 ，
∴ ．
84．已知有理数：，，，．
(1)把上面的有理数在如图所示数轴上表示出来；
(2)用“”把上述各数连接起来．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在数轴的对应位置描点即可；
（2）利用数轴上左边的数小于右边的数的性质解答即可．
【详解】（1）略
（2）略
85．在数轴上标出下列各数，并用“”号连接各数．
，，，，
【答案】
【分析】把各数分别化简、计算，在数轴上表示出来，再按照数轴上左边点表示的数总比右边的点表示的数小进行比较即可．
【详解】解：，，
数轴如图：略；
其大小关系为：．
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