精品解析：重庆市酉阳土家族苗族自治县桃花源中学校2026-2027学年 八年级上学期数学期中考试数学试卷

2026年秋季学期重庆酉阳县桃花源中学 八年级半期学业测试 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，测试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 2的相反数等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：2的相反数是． 2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故符合题意． 3. 两根木条的长分别是和，要钉成一个三角形的木架，则第三根木条的长度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形三边关系确定第三根木条长度的取值范围，再对照选项筛选． 【详解】解：设第三根木条的长度为， 由三角形三边关系得，即， 各选项中只有满足该范围． 4. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 边的中点 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 5. 如图，点A，D，C，E在同一条直线上，，，，，，则CD的长为（ ） A. 5.5 B. 4 C. 4.5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，得到，再由线段的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 6. 估算的值在（ ） A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 【答案】A 【解析】 【分析】利用夹逼法求出的取值范围，再推导的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 即． 7. 《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉？”意思是：一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问钱数和肉价各是多少？设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】买一斤（16两）肉还差25文，可得肉总价带的钱；买八两肉多15文，可得肉总价带的钱． 【详解】解：由肉价为x文两，哑巴带钱y文． 买16两肉，需要文，还差25文， 买8两肉，需要8x文，多15文， 联立方程组，对应选项． 8. 在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动个单位长度，其坐标为：，，，，，，其行走路线如图所示，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，根据图象可得移动次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标． 【详解】解：分析青蛙跳动规律: ，，，，，，每次跳动个单位， 方向依次为：向上—向右—向下—向右，每次跳动为一个循环，纵坐标为，，，依次出现， ， 的坐标为．即为 9. 如图，在中，，是延长线上一点，点是的平分线上一点，，过点作于，于，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得，根据“斜边直角边”的判定方法可证，，由此可得，设，列式求解即可． 【详解】解：∵点是的平分线上一点，于，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，即，设， ∴， ∴，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识是解题的关键． 10. 已知整式：，其中系数，，，均为整数，满足，且（其中，1，2），下列说法正确的个数是（ ） ①存在满足条件的整式，当时，； ②若整式满足，当时，，则的值为6； ③若，则满足条件的整式共有4个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式系数的条件限制，需根据差值范围和求和条件逐一验证三个说法的正确性，由此求解即可． 【详解】∵设，，，且（，1，2） ① 当时，，即， 取，，，，则，，， 满足且差值在2到3，总和为，故①正确； ② 已知且时，即， ∴，唯一解为，，， ∴，故②正确； ③ 已知，即， 当时，，需有两个和一个，有种整式； 当时，，需所有，有种整式，总计种，故③正确； 综上，①②③均正确，共3个． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质计算结果. 【详解】解：，，且 ，可得 根据正数的绝对值等于它本身，得 12. 如图，在中，是的角平分线，，交于点E，若，则的度数是______ 【答案】 【解析】 【详解】解：是的角平分线， , ， . 13. 如图，在中，，，，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，则的周长为________． 【答案】14 【解析】 【分析】先得出，再根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长为． 14. 如图，在中，，，，，为边上的高，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形面积的两种计算公式（等面积法），即面积等于两直角边乘积的一半，也等于斜边与斜边上高的乘积的一半，建立等式求解． 【详解】解：在中，，，，， ∴， ∵为边上的高，， ∴， ∴． 15. 如图，在中，已知D，F分别是和的中点，于E，交于G，且，若，则的长为__________． 【答案】 2 【解析】 【分析】连接，过点作交的延长线于点. 利用线段垂直平分线性质得，结合等腰直角三角形性质证，通过同角的余角相等证，得，再利用中点性质证，转化线段长度求解． 【详解】解：连接，过点作交的延长线于点， 为的中点， ， 垂直平分， ， ， ，， 是等腰直角三角形 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 为的中点 ， ， ，， ， ， ，， ， ， ，  ． 16. 如果一个三位自然数的各位数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个数为“星期数”．例如数769，它各位数字互不相等且均不为0，满足，故769是“星期数”．最小的“星期数”是_________；若一个“星期数”能被7整除，则满足条件的“星期数”是_________． 【答案】 ①. 214 ②. 658 【解析】 【分析】根据“星期数”的定义推导各位数字的关系，找最小数时优先压缩百位数字的取值，结合c的有效范围筛选；找能被7整除的数时，将三位数表达式拆分，结合7的倍数特征筛选符合条件的组合． 【详解】解：根据“星期数”的定义，满足， ∴，整理得，其中a、b、c为1到9的整数，且互不相等， 找最小的“星期数”时，优先让百位a尽可能小， 当时，代入得， ∵， ∴，不符合c为1到9的整数的要求，无符合条件的数； 当时，代入得， ∵c需满足， ∴，解得 结合b为整数，得，此时， ∵三个数字为2、1、4，互不相等且均不为0， ∴对应数为214，是最小的“星期数”； 找能被7整除的“星期数”时，将三位数变形：， ∵， ∴， ∵能被7整除， ∴需为7的倍数， 结合c的取值范围，即，逐一验证a的取值： 当时，，，不是7的倍数，对应数214不符合； 当时，，，不是7的倍数，对应数325不符合； 当时，，，不是7的倍数，对应数436不符合； 当时，，，不是7的倍数，对应数547不符合； 当时，，，是7的倍数，对应数658，验证各位数字6、5、8互不相等且均不为0，符合要求； 当时，，，不是7的倍数，对应数769不符合； 当时，无满足条件的a、b、c组合． 故满足能被7整除的“星期数”为658． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解下列方程组和不等式组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 由①得 将③代入②得 解得 将代入③得 因此方程组的解为； 【小问2详解】 解： 解不等式①得 解不等式②得 因此不等式组的解集为． 四、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分） 19. 如图，已知，，，求证： 【答案】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】由，可得，从而可证明． 【详解】证明：略． 20. 如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． （1）画，使它与关于直线对称； （2）求的面积； （3）尺规作图：在直线上找一点，使点到A、C两点的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）如图所示，即为所求 （2）2 （3）如图所示，点Q即为所求 【解析】 【分析】（1）先分别画出点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接即可得； （2）利用割补法求解即可； （3）点到A、C两点的距离相等，则点Q在线段的垂直平分线上，据此作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，； 【小问3详解】 略 21. 已知：的三边长分别为，，． （1）化简：； （2）已知等腰的两边长分别为2和7，求周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再结合绝对值的性质化简. （2）分腰长为2和7两种情况讨论，结合三角形三边关系筛选有效情况，再计算周长. 【小问1详解】 解：∵，，是的三边长. ∴，. ∴，. ∴ 【小问2详解】 解：分两种情况讨论： ①当腰长为，底边长为时，三边长为，，. ∵. ∴不能构成三角形，舍去. ②当腰长为，底边长为时，三边长为，，. ∵，满足三角形三边关系. ∴周长为. 综上所述，的周长为. 22. 如图，在中，，D为边上一点，满足，连接． （1）尺规作图：以为边，D为顶点作，交线段于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）小明同学准备在（1）问所作图形中，求证，他的思路是借助三角形全等完成线段相等的证明，请根据小明的思路完成下列填空． 证明：∵， 又∵①________， 且． ∴②________． 在和中 ∴（ ④________）， ∴． 【答案】（1） 如图所示： （2），，， 【解析】 【分析】本题考查了作一个角的已知角，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，以为边，D为顶点作，交线段于点E，即可作答． （2）分析题意，结合已有的过程，运用全等三角形的判定与性质进行补充，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵， 又∵， 且． ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：，，， 23. 如图，在中， （1）过点B作的平分线交于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法和证明） （2）若，求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2）16 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，熟知角平分线的性质及其尺规作图方法是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）过点D作于H，则，再根据列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点D作于H， ∵平分，，， ∴， ∴ ． 24. 如图，在中，，是的中线，． （1）若，，则的取值范围是______； （2）求证：； （3）求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：由（1）得：， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， （3） 证明：由(1)(2)得：，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）延长至点，构造全等三角形，然后用三角形三边关系即可求解； （2）根据全等三角形的性质，证明角度相等即可； （3）根据全等三角形的性质，再通过角度和差即可证明． 【小问1详解】 解：延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 25. 综合与探究 【问题背景】 （1）如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点，，在直线上，若，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交于点．若，，请直接写出的面积． 【答案】（1）证明：∵直线，直线， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中，， ∴（） （2）证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴（）． ∴，． ∴ （3）60 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，证明，，由此可得，再根据分割法求出面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴， 同理可证明：， ∴． ∴． ∵ ， ∴的面积为60． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期重庆酉阳县桃花源中学 八年级半期学业测试 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，测试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 2的相反数等于（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 两根木条的长分别是和，要钉成一个三角形的木架，则第三根木条的长度可以是（ ） A. B. C. D. 4. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 边的中点 5. 如图，点A，D，C，E在同一条直线上，，，，，，则CD的长为（ ） A. 5.5 B. 4 C. 4.5 D. 3 6. 估算的值在（ ） A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间 7. 《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉？”意思是：一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问钱数和肉价各是多少？设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动个单位长度，其坐标为：，，，，，，其行走路线如图所示，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，是延长线上一点，点是的平分线上一点，，过点作于，于，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，其中系数，，，均为整数，满足，且（其中，1，2），下列说法正确的个数是（ ） ①存在满足条件的整式，当时，； ②若整式满足，当时，，则的值为6； ③若，则满足条件的整式共有4个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 12. 如图，在中，是的角平分线，，交于点E，若，则的度数是______ 13. 如图，在中，，，，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，则的周长为________． 14. 如图，在中，，，，，为边上的高，则的长为__________． 15. 如图，在中，已知D，F分别是和的中点，于E，交于G，且，若，则的长为__________． 16. 如果一个三位自然数的各位数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个数为“星期数”．例如数769，它各位数字互不相等且均不为0，满足，故769是“星期数”．最小的“星期数”是_________；若一个“星期数”能被7整除，则满足条件的“星期数”是_________． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 解下列方程组和不等式组 （1） （2） 四、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分） 19. 如图，已知，，，求证： 20. 如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． （1）画，使它与关于直线对称； （2）求的面积； （3）尺规作图：在直线上找一点，使点到A、C两点的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）． 21. 已知：的三边长分别为，，． （1）化简：； （2）已知等腰的两边长分别为2和7，求周长． 22. 如图，在中，，D为边上一点，满足，连接． （1）尺规作图：以为边，D为顶点作，交线段于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）小明同学准备在（1）问所作图形中，求证，他的思路是借助三角形全等完成线段相等的证明，请根据小明的思路完成下列填空． 证明：∵， 又∵①________， 且． ∴②________． 在和中 ∴（ ④________）， ∴． 23. 如图，在中， （1）过点B作的平分线交于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法和证明） （2）若，求的面积． 24. 如图，在中，，是的中线，． （1）若，，则的取值范围是______； （2）求证：； （3）求证：． 25. 综合与探究 【问题背景】 （1）如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点，，在直线上，若，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交于点．若，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $