17-进阶课06 解三角形的综合应用课件-2027届高三数学一轮复习

解三角形的综合运用 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 掌握“爪”型结构、与多边形有关、存在性等解三角形综合问题； 2. 了解张角定理、中线定理等拓展结论； 3. 提升建模与多三角形转化能力。 【教学重点】 · “爪”型结构与多边形中的解三角形；定理的综合运用。 【教学难点】 · 复杂图形中三角形关系的提取；存在性、最值问题的转化。 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 【新课标要求】 能在实际情境与跨图形结构中综合运用正弦定理、余弦定理解决问题（必修课程“解三角形”主题，学业质量水平二/三）。 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 【近五年考频考点】及备考建议 解三角形综合应用是高考解答题常客（5年约3考），强调数学建模与多图形转化。 备考建议：训练“一图多三角形”的拆分；掌握爪型、中线、角平分线等典型模型的通法。 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 第五单元 三角函数、解三角形 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 5 解三角形的综合应用，通常涉及“爪”型结构问题、与多边形有关的问题、三角 形中的存在性问题等，一直是高考的热点与重点.三角形问题主要利用三角恒等变换、 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等工具进行研究，解决此类问题的关键是建 立起角与边的数量关系. 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 6 解三角形中的“爪”型结构问题 典例1 （经典高考真题,一题多法）记的内角,,的对边分别为,, ,已知 的面积为,为的中点,且 . （1）若,求 ; （2）若,求, . 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 7 解析 （1）因为为 的中点, 所以 ,解得 ,所以, . 因为,所以 . 在中,由余弦定理,得,所以 . （法一：余弦定理）在 中,由余弦定理,得 ,所以.在 中,由 余弦定理,得,所以 ,所以 . （法二：正弦定理）在中,由正弦定理,得 , 所以,所以，所以 . 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 8 （2）（法一:向量法）如图, 因为 , 所以 . 由题意，得, , 所以 . 又因为,所以 , 因为 , 所以,结合,解得 . （法二：余弦定理）因为为的中点,所以 . 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 9 因为 ,所以 , 则在与 中,由余弦定理, 得 , 即 , 所以 , 所以,所以 . 在中,由余弦定理,得 , 所以 , 解得，则由解得 . 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 感悟提升 该类型的题目侧重考查三角恒等变换、三角形面积公式、正弦定理、余弦定理、 特殊三角形的性质在解三角形问题中的综合应用. 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 11 1.（经典高考真题,一题多法）在中,, ,,为 上 一点,为的平分线,则___ 解析 （法一：等面积法）如图,令,, , 因为,, ,,所以 . 因为,所以, 所以 . 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 12 （法二：向量法）如图,在中,由余弦定理，可得. 因为,所以 , 所以,两边平方，化简得 ,所以 . 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 13 2.（经典高考真题）已知在中，, . （1）求 ； （2）设，求边 上的高. 解析 （1），，即 ， 又 ， ， ，，即 ， ， . 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 14 （2）由（1）知， . 由 . 设,,所对的边分别为,,,为边上的高，则 , 由正弦定理，可得 ， ， . 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 15 张角定理与中线定理 深挖教材 在高中数学北师大版教材必修第二册第131页和人教A版教材必修第二 册第53页中有这样两个问题： （1）（张角定理）一条直线上有，，三点，点在点与点之间， 是此直线 外一点，设 ， .求证： . （2）（中线定理）的内角,,的对边分别为，，，边，， 上的 中线分别记为,,，利用余弦定理证明 ， ， . 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 16 上述问题的解决方法被称为张角定理与中线定理,总结如下: （1）张角定理：在中，为边上的一点，连接，若 ， ，则.若为的平分线，则 .进而得到 （斯库顿定理）. （2）中线定理：在中，为 边上的中线，则 . 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 17 典例（1）（经典高考真题）在中，角,,所对的边分别为,, ， ，的平分线交于点，且，则 的最小值为___. 9 解析 由角平分线的张角定理可得 ,即 ,即 ， 因此 , 当且仅当时取等号，故 的最小值为9. 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 18 （2）（经典高考真题）在中， ，，.若是 的 中点，则中线 的长为_____. 解析 因为，所以 . 由正弦定理可得 . 由余弦定理可得，解得 , 从而由中线定理可得中线 . 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 19 与多边形有关的问题 典例2 如图,在平面四边形中,已知,,.在边上取一点 ,使得 ,连接,，且, . （1）求 的值; （2）求 的长. 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 20 解析 （1）在中,由正弦定理,知 . 因为,, , 所以 . （2）因为,所以 , 所以 . 因为,所以 为直角三角形. 又,所以 . 在 中, ,所 以 . 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 21 感悟提升 如果已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,那么这时需作出这些三角形, 先解可用正弦定理或余弦定理直接求解的三角形,然后逐步求解其他三角形.有时需设 出未知量,从几个三角形中列出方程（组）,通过解方程（组）得出所求的量. 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 22 如图，在平面四边形中，，， . （1）若的面积为，求 的长； （2）若，，求 的值. 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 23 解析 （1）在中，， ， ，解得 . 在中，由余弦定理,得 ， . （2）设 ，则 . 在中，，易知 . 在中， ， 由正弦定理,得，即 ， ， 可得，即 . 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 24 三角形中的存在性问题 典例3 （经典高考真题）在中，角,,所对的边分别为,,， ， . （1）若，求 的面积. （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在， 请说明理由. 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 25 解析 （1）因为，所以 ， 则，故，， ， 所以为锐角，则 . 因此， . （2）存在.显然，若为钝角三角形，则 为钝角. 由余弦定理，可得 ，解得 ，则 . 由三角形的三边关系，可得，即，故 . 因为，所以 . 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 26 感悟提升 解决存在性问题的常见思路 （1）先仔细审题，已确定的条件有哪些，供选择的条件有哪些，设问是什么. （2）将已确定的条件和设问关联，结合有关的概念、公式、定理等进行思考， 采用多种方式进行推理，确定所要选择的条件具备哪些性质. （3）观察供选择的条件有哪些，判断条件选择后是否有解题思路，进而确定所 选择的条件. 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 27 （2025·北京卷，结构不良题）在中，， . （1）求 ； （2）从下列条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得 存在，并求 边上的高. 条件；条件；条件的面积为 . 注：如果选择的条件不符合要求，那么第（2）问得0分;如果选择多个符合要求的条 件分别解答，那么按第一个解答计分. 解析 （1）因为，，所以 ， 由正弦定理，知，解得 . 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 28 （2）如图所示，若存在，则设边上的高为 . 若选①，，因为，所以 ，因为 ，所以此时 有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时 不存在. 若选②，，由 ，得 ，由正弦定理得，所以 ， 由余弦定理得 ， 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 29 此时 是存在的，且唯一确定， 所以，即 ， 所以边上的高 . 若选③，的面积是 ，则 ，解得 ， 由余弦定理可得 ，可以唯一确定， 进一步由余弦定理知，也可以唯一确定，即， 可以唯一确定， 这表明此时是存在的，且 边上的高满足 ，解得 . 进阶课06 解三角形的综合应用5年3考 THANKS 31 $