51 第六章 第49课时 数列的综合应用(进阶课)-【名师导航】2027年高考数学一轮总复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“数列的综合应用”专题，依据高考评价体系梳理了等差等比综合、传统文化建模、与函数不等式交汇三大核心考点，通过真题分析明确综合问题占比60%、交汇问题占30%的高频考查方向，归纳出选择、填空、解答三类常考题型。 课件亮点在于“真题引领+素养导向+方法归纳”，如以《张丘建算经》织布问题为例，建模等差数列培养数学眼光，通过错位相减法解决数列求和问题强化数学思维，特设易错提醒和通性通法总结。教师可依托课件精准突破考点，学生通过实战训练提升解题能力，高效备战高考。

第六章　数列 *第49课时　 数列的综合应用 (进阶课) [总体概览]　数列的综合问题、传统文化中的数列建模以及数列与其他知识的交汇问题，是历年高考的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等． 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 类型一　等差数列、等比数列的综合问题 [典例1]　(2025·大庆期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2． (1)若a3＋b3＝5，求T5； (2)若T3＝21，且数列{an}为递增数列，求数列{an}的前n项和Sn． 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) [解]　(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，设公差为d，等比数列{bn}的前n项和为Tn，设公比为q， a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2， 得d＋q＝3．① 由a3＋b3＝5，得2d＋q2＝6，② 联立①②，解得 因此T5＝＝31． 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) (2)由b1＝1，T3＝21，得q2＋q－20＝0， 解得q＝－5或q＝4， 由于数列{an}为递增数列，所以d>0， 当q＝4时，由①得d＝－1(舍去)； 当q＝－5时，由①得d＝8， 则Sn＝n×(－1)＋×8＝4n2－5n． 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 通性通法：数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化． 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 【教用·备选题】 (人教A版选择性必修第二册P56复习参考题4T13)类比等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等，发现它们具有如下的对偶关系：只要将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“－”改为“÷”，正整数倍改为正整数指数幂，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立． (1)根据上述说法，请你参照下表给出的信息推断出相关的对偶关系式； 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 名称 等差数列 等比数列 定义 an+1－an＝d   通项公式   bn＝b1qn-1＝bmqn-m 常用性质 ①a1＋an＝a2＋an-1＝a3＋an-2＝… ②an-k＋an+k＝2an(n>k) ③ ④ ① ② ③若m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)， 则bnbm＝bkbl ④b1b2…bn＝ 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) (2)在等差数列中，若a2 018＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a4 035-n(n∈N*，n<4 035)．相应地，在等比数列中，若 b2 019＝1，请你类比推测出对偶的等式，并加以证明． 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) [解]　(1)根据上述说法，参照给出的信息推断出相关的对偶关系式如表： 名称 等差数列 等比数列 定义 an+1－an＝d ＝q 通项 公式 an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d bn＝b1qn-1＝bmqn-m 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 常用 性质 ①a1＋an＝a2＋an-1 ＝a3＋an-2＝… ②an-k＋an+k＝2an(n>k) ③若m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)， 则an＋am＝ak＋al ④a1＋a2＋…＋an＝ ①b1·bn＝b2·bn-1＝b3·bn-2＝… ②bn-k·bn+k＝(n>k) ③若m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)， 则bnbm＝bkbl ④b1b2…bn＝ 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) (2)类比推测出对偶的等式知，在等比数列中，若b2 019＝1， b1·b2…bn＝b1·b2…b4 037-n(n∈N*，n<4 037)； 证明如下： 由等比数列性质知bn+1b4 037-n＝bn+2b4 036-n＝…＝＝1； bnb4 038-n＝bn-1b4 039-n＝…＝＝1； 故当4 037－n>n，即n<时， bn+1·bn+2…b4 037-n＝＝1； 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 则b1·b2…bn＝b1·b2…b4 037-n． 同理当4 037－n<n，即4 037>n>时， b4 038-n·b4 039-n…bn＝＝1， b1·b2…bn＝b1·b2…b4 037-n． 综上所述，b1·b2…bn＝b1·b2…b4 037-n(n∈N*，n<4 037)． 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 类型二　传统文化中的数列建模 [典例2]　(多选)《张丘建算经》是我国古代有标志性的、内容丰富的数学名著之一，大约创作于公元5世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子在这一个月中第n天所织布的尺数为an，bn＝，对于数列{an}，{bn}，下列选项中正确的为(　　) A．b10＝8b5 B．{bn}是等比数列 C．a1b30＝105 D． √ √ 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) BD　[由题意可知，数列{an}为等差数列，设数列{an}的公差为d，由题意可得a1＝5，30a1＋＝390，解得d＝，所以an＝5＋(n－1)×． 因为bn＝＝2d(非零常数)，则数列{bn}是等比数列，B正确； 因为5d＝5×≠3，＝(2d)5＝25d≠23，所以b10≠8b5，A错误； a30＝a1＋29d＝5＋16＝21，所以a1b30＝5×221>105，C错误； a4＝a1＋3d＝5＋3×，a5＝a1＋4d＝5＋4×，D正确．故选BD．] 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 易错提醒：解题关键，抓住其中特征灵活运用数列知识分析、解决问题． 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 【教用·备选题】 (2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　) 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) A．0.75　　　　 B．0.8 C．0.85 D．0.9 √ 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) D　[如图，连接OA，延长AA1与x轴 交于点A2，则OA2＝4OD1． 因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差 数列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以CC1＝DC1(k3－0.2)，BB1＝CB1(k3－0.1)，AA1＝k3BA1，即CC1＝OD1(k3－0.2)，BB1＝OD1(k3－0.1)，AA1＝k3OD1．又＝0.5，所以DD1＝0.5OD1，所以AA2＝0.5OD1＋OD1(k3－0.2)＋OD1(k3－0.1)＋k3OD1＝OD1(3k3＋0.2)，所以tan∠AOA2＝＝0.725，解得k3＝0.9．故选D．] 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 类型三　数列与其他知识的交汇问题 [典例3]　(2025·海口期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，若点(n，an)(n∈N*)都在函数f (x)＝2x的图象上，且Sn＝(n＋1)lobn． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝，记数列{cn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<． 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) [解]　(1)根据题意，点(n，an)(n∈N*)都在函数f (x)＝2x的图象上， 则an＝2n，易得数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列， 则Sn＝＝n(n＋1)， 又Sn＝(n＋1)lobn，所以bn＝， 故an＝2n，bn＝． 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) (2)证明：根据题意，由(1)的结论，得cn＝，c1＝，所以{cn}是以为公比的等比数列， 所以Tn＝． 因为n∈N*，函数Tn＝是增函数， 所以当n＝1时，Tn最小为，Tn≥， 又1－<1，所以Tn<≤Tn<． 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 通性通法：数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项公式或前n项和公式，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明． 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 【教用·备选题】 (2025·上海杨浦区月考节选)已知函数f (x)＝4sin xcos x－4cos2x．如果函数f (x)在(0，＋∞)上的零点从小到大排列后构成数列{an}，求{an}的前12项和． 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) [解]　函数f (x)＝4sin xcos x－4cos2x＝2sin 2x－2(cos 2x＋1)＝4sin－2的最小正周期为π， 当x∈(0，π)时，2x－， 令4sin－2＝0，即sin， 故2x－或2x－，解得x＝或x＝，所以函数f (x)在(0，π)上的零点分别为． 所以数列{a2n-1}是以为首项，π为公差的等差数列； 数列{a2n}是以为首项，π为公差的等差数列，则S12＝(a1＋a3＋…＋a11)＋(a2＋a4＋…＋a12)＝＝34π， 所以{an}的前12项和为34π． 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) √ 一、单项选择题 1．(2026·攀枝花模拟)“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形ABCD的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且AB＝16，则这127个正方形中，最小的正方形的边长为(　　) A．1 B． C．2 D．2 课时作业(四十九)　数列的综合应用(进阶课) *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 26 C　[依题意，不同边长的正方形的个数构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以1＋2＋22＋…＋2n-1＝127，即＝127，解得n＝7，即有7种不同边长的正方形．又正方形的边长构成以16为首项，为公比的等比数列．因此，最小的正方形的边长为16×＝2．故选C．] 27 √ 二、多项选择题 2．(2025·丽江期末)设Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，则下列说法正确的有(　　) A．q3＝ B．a3，a9，a6成等差数列 C．S3，S6，S9成等比数列 D．S6，S12，S9成等差数列 √ 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 28 BD　[由S3，S9，S6成等差数列，得2S9＝S3＋S6，得q≠1， ∴2×， ∴2q9＝q3＋q6，得2(q3)2－q3－1＝0， 故q3＝－或q3＝1(舍去)，故A错误； a3＋a6＝a3－a3＝a3，2a9＝2a3q6＝a3， ∴a3，a9，a6成等差数列，故B正确； S3＝，S6＝，S9＝， ∵，∴S3，S6，S9不成等比数列，故C错误； S12＝，S6＋S9＝，2S12＝， 满足S6＋S9＝2S12，可得S6，S12，S9成等差数列，故D正确．故选BD．] 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 29 三、填空题 3．(人教A版选择性必修第二册P55复习参考题4T4(2))我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有______________盏灯．  3　[设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}是公比为2的等比数列， ∴S7＝＝381，解得a1＝3．] 3　 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 30 4．(2025·桂林月考)若等差数列{an}中，a1＝(i为虚数单位)，前10项和S10＝45＋10i，则|a3|＝ ______________．  　[设等差数列{an}的公差为d， ∵a1＝＝i， 则前10项和为 S10＝10a1＋d＝10i＋45d＝45＋10i， 解得d＝1，a3＝a1＋2d＝2＋i， ∴|a3|＝．] 　 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 31 四、解答题 5．(2026·南宁模拟)已知数列{an}是公比为2的等比数列，a3，a4，a5－8成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝，设数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<2． 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 32 [解]　(1)由a3，a4，a5－8成等差数列，得2a4＝a3＋a5－8， ∴2a1×23＝a1×22＋a1×24－8，解得a1＝2， ∴an＝2×2n-1＝2n． (2)证明：由(1)知，an＝2n， 则bn＝， ∴Tn＝＋…＋，① Tn＝＋…＋，② 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 33 两式作差，得Tn＝＋…＋＝1－． ∴Tn＝2－<2． 又bn＝>0，∴{Tn}是递增数列， ∴Tn≥T1＝≤Tn<2． 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 34 6．(2026·郑州模拟)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，a2＝5，b1＝2，b2＝3，{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列． (1)求{an＋bn}和{an－bn}的通项公式； (2)求{an}和{bn}的通项公式； (3)求{an}的前n项和Sn． 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 35 [解]　(1)由{an＋bn}是等比数列，且a1＋b1＝4，a2＋b2＝8， 则{an＋bn}的公比为＝2，首项为4，所以an＋bn＝2n+1， 因为a1－b1＝0，a2－b2＝2，且{an－bn}是等差数列， 则{an－bn}的公差为(a2－b2)－(a1－b1)＝2，首项为0， 所以an－bn＝2n－2． 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 36 (2)由(1)得 则 (3)由(2)知Sn＝(21＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)－n＝－n＝2n+1＋． 课时作业 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 37 $