广西南宁市第三中学2026-2027学年高二上学期第2次月考数学试卷

南宁三中2026~2027学年度上学期高二段考 数学试题 2026.11 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.已知x2+y2-ax+y-4=0的圆心为M(2,-1),则a=() A.2 B.-2 C.4 D.-4 2.若直线l:2x-y+1=0与l2:ax+y-a=0平行，则a=() A.2 B.-2 C.1 D.-1 3.已知F(0,-1)为抛物线C:x=y(m≠0)的焦点，则m=() A.2 B.-2 C.4 D.-4 4.己知抛物线C:y=x,过C的焦点F的直线I与抛物线C交于A,B两点，且线段AB中点的横坐标 为，则弦AB的长为() B.2 C.5 2 D.3 5。已知双曲线C:三茶-1（0>60)的实轴K为2，且两条箭近线夹角为心，测该双击线的 距为() A.4v3 B.23 C.4 D.2 3 3 6.已知椭圆C 存=1(a>b>0)的左、右焦点分别是RB,点P是椭圆上一点，直线P听、P5,的 斜率分别为2和- 2 则C的离心率是() A.5 B.② C.v5 D.V10 3 2 4 7.已知双曲线C号卡=1a>0b>0)的左、右焦点分别为命B,过原点O的直线与C的左、右两 y 支分别交于4，B两点，点D在C上且FD=3BE,若以AB为直径的圆过点F,则的值为() A.6 B.23 c.2w2 D.6 3 3 8.已知点B(2,-2),BC⊥x轴于点C,M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D,ME⊥BC于点E, OE与MD相交于点P,则PD+PC的最小值为() A.13-1 B.5-1 c.7-1 D.9-1 2 2 2 高二段考数学试题第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知圆O:x2+y2=25,圆A:x2+y2-4x-6y+a=0,则下列说法中正确的是() A.当a=4时，圆A与y轴相切 B.当a=-12时，圆O与圆A内切 C.过点P(1,2)的直线被圆O截得的最短弦长为4√5 D.当a=1时，设圆O与圆A的交点为M,N,则直线MN的方程为2x+3y-13=0 0,已知椭圆C+三1(a>b>0)的左、右焦点分别为，R,右顶点为B,焦距为2c,过点？自 率不为0的直线与椭圆C交于P,2两点，点P关于y轴的对称点为H,则下列说法中正确的是() A.△PQF,的周长为4a B.若b=2c,则直线PB,B的斜率之积为月 C.若C上存在点M使得∠M=120°，则c≤√3b D.若C上存在点M使得AM瓜R的内切因半径为华，则椭圆C的窝心率的取值范图为 0, 25 11.如图，棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点P为线段BC上的动点， 点2为平面ABCD内的动点，则下列说法正确的是() A.当点P不与点B重合时，平面PBD⊥平面ABC B.三棱锥P-ACD,的体积为4 C.若点Q到直线BB,的距离与到直线DC的距离相等，则点Q的轨迹为抛物线 D.若BP=。BC,则过P,D,B三点的平面截正方体所得截面的面积为2√ 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知圆C经过原点0和点A(2,2),并且圆心C在直线1：2x-y+2=0上，则圆C的方程为 13.已知抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线上，过点M作C的准线的垂线，垂足为 N,若直线NF的方程为y=2x-4,则M= 14已知双由线C:号茶=a>06>0的左焦点为：过r的直袋1与y箱相交于有，与C相咬于 MN两点、且FM=Mm=)PN,则C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在△ABC中，已知∠BAC=120°，AC=2,AB=4. (1)求sin∠ABC: (2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积. 高二段考数学试题第2页共4页 16.(15分)已知A(-2,0),B(2,0),动点M异于A,B两点，若直线MA与直线MB的斜率之积为- 4 (1)求点M的轨迹方程C; (2)过点A的直线1交C于另一点P,若P4=12W2,求直线1的斜率. 17.(15分)“金秋时节蟹正肥，膏黄满溢惹人垂”，10月又到吃螃蟹的季节，某蟹塘随机捞出100只大 闸蟹，其质量分别在100,150)，150,200)，200,250)，「250,300)，[300,350)，350,400)（单位： 克)中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.同一组中的数据用该组区间的中点值代表， ◆频率/组距 0.006 0.005 0.004 0.003 0.0014 0.0006 0100150200250300350400质量/克 (1)求抽取的这100只蟹质量的中位数；（若有小数，保留一位） (2)若按分层随机抽样从质量为200,250)，「250,300)的蟹中随机抽取5只，再从这5只中随机抽取2 只，求这2只蟹都来自同一个质量区间的概率； (3)某经销商来收购大闸蟹，该蟹塘中大约还有10000只蟹待捕捞，用样本估计总体，经销商对未捕 捞的蟹提出以下两种收购方案： 方案①：所有蟹以0元/千克收购： 方案②：对质量低于250克的蟹以20元/只收购，对质量高于或等于250克的蟹以30元/只收购. 如果你是蟹塘老板，你会选择哪种方案，说明理由 参考数据：抽取的这100只蟹质量的平均数为 x=(125×0.0014+175×0.003+225×0.004+275×0.006+325×0.005+375×0.0006)×50=255克 高二段考数学试题第3页共4页 18.(17分)如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，MB∥AN,NA=AB=2, BM=4,CN=23 (I)证明：DN/平面BCM; (2)求直线AC与平面CDM所成角的正弦值； (3)在线段CM上是否存在一点E,使得平面BEN与平面BMN的夹角的正切值为√2，若存在求出 CE CM 的值，若不存在，请说明理由. 19.(17分)已知椭圆C的中心为坐标原点，左焦点为(-2,0)，且点P√6,1在C上 (1)求C的方程： (2)直线1：y=+m(k>0,m≠0)与椭圆C交于M,N两点，记直线OM,ON的斜率分别为k,k2, 且k2=kk (i)求k; (i)若点Q(L,0)满足QM·MN=ON·NM,求△QMN面积的最大值 高二段考数学试题第4项共4页 南宁三中2026~2027学年度上学期高二段考 数学试题参考答案 1.c【详解】图心坐标为M9,》 又圆心为M(2,-1),对比可得a=4,故选C. 2.B【详解】直线l:2x-y+1=0与l2:ax+y-a=0平行，则2×1-(-1)a=0.解得a=-2.故选B 3.D【详解】抛物线C:x=y的焦点为F0, 得--1，已知P(Q,-),解得m=4,故选D. 4.B(详解】抛物线方程为C:y=x,焦点F坐标为40 准线方程为x=子设A,).B(,), 由中点坐标公式得：-子，因此4+5= 3 根据抛物线的定义得 M=+号=+BF=+号=+放弦长 1_3+=2.故选B 5.A【详解】由实轴长为2，得2a=2,所以a=1.双曲线的渐近线方程为y=±2x,两条渐近线的夹 角为60且a>h,所以渐近线方程为y=x的倾斜角只能为30，所以=3，所以b=Y3.由x 曲线关系2=心+，得c心=1+兮手从而c=25.双谁线的焦距为2c= .故选A 3 3 6,A【解1由直线听P5的斜*分别为2得所1所，为附-2，刷P四=2P又 PR+P=2a,因此P=9,PF=号，而PE+Pr=r,于是(+(=2， 即20d=4,所以C的离心率e=5 9 7.A【详解】连接AF,BE,DE,AF,由以AB为直径的圆恰好过左焦点可得AF⊥BE,由双 曲线的对称性得四边形AFBF为矩形，可设|BF=1,则 ED=3t,BR=2a+tD=2a+3t,在直角三角形DBF中，可得 |BDP+|BFP-DEP,即(4t)+(2a+t)=(2a+3t),解得t=a,又在直 角三角形BFF中，|BF2+|BE2HFE2,即t2+(2a+t)2=4c2, a2+9a2=4c2,因为c2=a2+b2, 高二段考数学答案第1页共7页 所以10a=4a+b),即2-6故选：A. G 8.C【详解】由B(2,-2)可知C(2,0),直线OB方程为y=-x,则设 点M(m,-m)(0≤m≤2)，所以E(2,-m),则直线OE方程为 y=受，当x=m时，可得y= 之，即点P 2 所以点 P的轨迹为抛物线y=-】x,即x=-2y,可得抛物线的准线为 y)焦点为FQ,)如图所示，延长PD,交拢物线准线于点G,由抛物线概念可知 PD+PC=PG+PC-2=PF+PC-7,则PD+PC的最小值，即PF+PC-)的最小值，可 知当RC=点关线时，以将是小道，此时Pm+网日F网-日+-门 9.CD【解析】圆A的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=13-a,选项A,当a=4时，圆A的半径为3， 圆心(2,3)到y轴的距离为2，此时圆A与y轴不相切，故A选项错误；选项B,当a=-12时， 圆A的半径为5，两圆圆心距离为√13，两圆相交，故B选项错误；选项C,|OP=√5，过点P 的最短弦长为垂直于OP的弦，为2√52-（√5）？=4V5,故C选项正确：选项D,当a=1,将两圆 方程相减即可得公共弦所在直线方程为2x+3y-13=0 10.ABD【解析】选项A,△PO的周长为2a+2a=4a,正确：选项B,若b=2c,则-4， 云5设点 H关于x轴的对称点为G,则P,G两点关于原点对称，且k=-kG,由椭圆性质知， 、子-一4，所以kk防二故选项B正确；选项C,设椭圆的上项点 ∠RAR≥120即∠☒40≥60之5’故C选项错误：选项D,设P(xb),≠0），则 b AR的面积为K,因为APRR的内切盟半径为华，所以。MR的面积可表示为 -20车所以}2cWQa+29,则a9.又因为s6,又 0<e<l,故0<e≤25即椭圆C的离心率的取值范围是(0。 5 故选项D正确， 11.ACD【解析】对于A,结合图可知平面PBD即为平面ABCD,因为BCCB为正方形，则BC⊥BC, 高二段考数学答案第2页共7页 又因为AB⊥平面BCCB,BCc平面BCCB,则AB⊥BC, 且BC∩AB=B,BC,ABC平面ABCD,可得B,C⊥平面ABCD, 且B,Cc平面ABC,所以平面PBD⊥平面ABC,故A正确： 对于选项B:在正方体中，BC,I/平面ACD,,所以 乃4=VAm=aAm=x)×2x2x2=故B不正确：对于选项C:点Q到直线BA的 32 距离为QB,即点Q到点B的距离与到直线DC的距离相等，又点B不在直线DC上，所以点Q的 轨迹为抛物线，故C正确；对于选项D:连接BP并延长交BC于点M,因为B,C/1BC,则 BM BP 1 BCPC2可知M为BC的中点，取4D,BG的中点N,Q,连接DM,BN,DN,D2,M0, 因为M,Q分别为BC,B,C的中点，则MQI1CC,Mg=CC,且DDI/CC,DD=CC,可得 MO/IDD,Mg=DD,可知四边形DMQD为平行四边形，则DMI1QD,同理可得DO//B,N, 所以OM IIB,N,可知所求截面即为四边形DMB,N,可得DM=DN=BN=B,M=V22+1P=√5， 即四边形DMBN为菱形，且BD=25,所以所求截面面积为2x×25×,不N5-(可=26， 故D正确. 12.x2+(y-2)2=4【详解】依题意，可设C(a,2a+2),由|C0HCA可得√a2+(2a+2)=V(a-2)y+(2a2, 解得a=0,故得圆心C(0,2),半径为C02,则所求圆的方程为x2+(y-2)}2=4. 13.10【详解】对gy=2x-4,令y=0,则x=2,所以F(2,0),p=4 即抛物线C:y2=8x,故抛物线的准线方程为x=-2,故N(-2,-8), 则M=-8,代入抛物线C:y=8x得xM=8·所以 M=N=+号=82=10. 14.√5【详解】如图，取该双曲线的右焦点为F'(C,O),不妨设N在第一象限，连接NF',因为 FM=M心=PN,则点P是FN的中点，且点M为FP的中点，又因点O为FF'的中点，则OP为 高二段考数学答案第3页共7页 △NFF'的中位线，又OP⊥FF',则NF'⊥FF',将x=c代入-上 7茶1，可得y产=号-0 03 即Ne.,故P0会 ,因点M为Fm的中点，则得M-S公)，又因点M在双曲线上，则 2'4a 4标160F=l,所以离心率为V5 c2 b4 15.【详解】(1)由余弦定理可得： BC2 a2=b2+c2-2bccos A =16+4-2×4×2×c0s120°=28，.........，.........2分 则BC=2V7,c0sB=a2+c2-b2-28+16-4=5v5 4分 2ac 2×4x2V714 sin .ABC V1-cos B=1 19614 ……5分 法2：正弦定理， AC BC 2 ,即 2W7 Sin∠4BC sin∠BAC 则sin ABC=I ， sin∠4BC sin120° 14 (2)由三角形面积公式可得侧=2×1B×D×sm90 =4, 2×AC×ADxsin30 则sac0=Sa8c=x传×4×2×sim120）=2 法2：m∠ABC=答cos∠ABC-部amB=5,则AD=ABta-4百 5 S-}4D4Cim30°=×45x2x1_23 13分 2 16.解：【详解】1D解：假设点M》kuk@=y,y=广=-3 x+2x-2x2-44 (x≠士2)； 化简得二+=1x士2) 4分 43 (2)因为A(-2,0)是椭圆的左顶点，所以由过点A的直线I交C于另一点P可知，该直线存在斜 率，设为k,即直线I的方程为：y=k(x+2),与椭圆方程联立为： y=k(x+2) +’-1→6+42)r+16x+162-12=0,设40x,y以 43 所以有-2x=16k2-12x6-82 3+4k2→x=3+4' 高二段考数学答案第4页共7页 因为PA=122 所以+k-(2-2y2++2=22与12+严-122 7 3+4k273+422 7 →32k4-2-31=0→2=1或2=-3别 32 (舍去)，即k=1.…15分 17.【详解】(1)因为质量小于250的频率为(0.0014+0.003+0.004)×50=0.42， 所以中位数位于[250,300)，设中位数为x,则-250_0.08 500.3 ,中位数x=263.3...3分 (2)因为200,250)的频率为0.2，「250,300)的频率为0.3，所以分层抽样比例为23， [200,250)的两只记为A,A,[250,300)的三只记为B,B2,B3 共有样本点10个，列举为 (A1,A)(A1,B)(A,B2)(A1,B3)(A,B)(A,B2)(A2,B3)(B,B2)(B,B3)(B2,B3) 记A=“这两只蟹取自同一组”， 事件A包含的样本点为4个，(A1,A)(B,B)(B1,B)(B2,B) 侧由古典概型知这2只蟹都来自同一个质量区间的概率为P叫4)=43 105.7分 (3)选择方案②，理由如下： 因为蟹质量的平均数为255克， 所以按方案①获利为255x10000× ×90=229500元： 1000 按方案②：质量低于250克的频率为0.07+0.15+0.2=0.42， 质量大于等于250克的频率为1-0.42=0.58， 所以按方案②获利为10000×0.42×20+10000×0.58×30=258000元， 又因为258000>229500，所以选择方案②获利更多.................15分 18.【答案】(I)因为ABCD是正方形，所以AD/IBC,AD丈平面BCM,BCc平面BCM,AD/平面BCM, 同理ANII平面BCM,又BC∩BM=B,AD,ANc平面ADN, 所以平面ADN//平面BCM,又DNc平面ADN,所以DN/I平面BCM(5分). (2)因为正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直， 平面ABCDO平面ABMN=AB,BCC平面ABCD,所以BC⊥平面ABMN,故BC⊥BN, 又因为NA=AB=BC=2,CN=23,所以BN=22, 因为BN2=AB2+AN2,所以AB⊥AN,故AB⊥BM,故AB,BM,BC两两垂直， 高二段考数学答案第5页共7页 如下图建立空间直角坐标系： 则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,0,2),D(2,0,2),M(0,4,0),N(2,2,0), AC=(-2,0,2),CD=(2,0,0),CM=(0,4,-2), CD.m=0 「2x=0 设平面CDM的法向量为m=(x,y,z),则 即 CMm=0’即14y-22=0 设y=1,则x=0,z=2,m=(0,1,2),设直线AC与平面CDM所成角为0， AC· 则sin8=cos AC, 4cm22×55 即直线AC与平面CDM所成角的正弦值为1 (11分). (3)若在线段CM上存在一点E,使得平面BEN与平面BMN的夹角的正切值为√2， 设CE=CM,(0<1<1),因为CM=(0,4,-2),所以E(0,42,2-22), 设平面BEN的一个法向量为i=(x,y,z),因为BN=(2,2,0),BE=(0,42,2-2), BN.n=0 2x+2y=0 ,所以 BE.n=0 4y+(2-22)z=0'令2=21，则y=-1,x=1-元， 故i=(1-元，元-1,2)，=V1-2)}2+(2-1)}+42=V622-42+2, 由(1)得BC⊥平面ABMN,故平面ABMN的一个法向量为BC=(O,O,2), 设平面BEN与平面ABMN的夹角为a, BC.n 42 2% 则cosa=cos BC,n BCm2W622-41+2V62-41+2 根据题意行m&=2,因为a0引 所以cosa=V 3 22 即 622-4+23 又元>0，故元=3 故在线段CM上存在一点E,使得平面BEN与平面BMN的夹角的正切值为√2， 此时CE、1 CM317分) 19【详解】1)由感可知c=2,且椭酸的焦点在x轴上，所以设椭圆方程为：等+茶->b>0) 因为点P6副在C上，所合+安=.又=6e=64 高二段考数学答案第6页共7页 解得d=8,公=4，所以椭圆的方程为：。+上-14分)： 84 x2,y2 =1 (2)(i)设M(x,y),N(x2,y2),联立84 y=kx+m 整理并化简得：1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0 所以△=(4km)2-41+2k2)(2m2-8=64k2-8m2+32>0,x+x2=- 4km 2m2-8 1+2k23= 1+2k2 所以yy2=(+m)(2+m)=k2xx2+km(x+x2)+m2, 又k=上，店=业，所以2=k=兴，所以=kx, 所以K2xx2+km(x+x2)+m2=k2xx2,即km(x+x)+m2=0, 为m0,所以k+)+m=0,则(1)+m0 42解得k=±，又因为k>0,所以k 所以1=42 2 (11分)： 2 ()由(1)可知k=,所以直线1方程为：y= 2 x+m, 2 2 设MN的中点为E,因为QM·MN=QN·WM, 所以QM.MN+QN.MN=0,即(M+Q)MN=0, 所以20E.M=0,即QE.M=0,即QE⊥MN,所以ks=-V2, 又+5=V2m=m2-4,所以y+=55+m+巨x 2+m+ 2+m= 2(+)+2m=m, m 4 -m-t 2 又N=+g,G+5f--46-2m-24-7, 4 前以aa10-4n4-re-m9m18星-， 8 22 当且仅当m=2时，取得等号，所以△QMN面积的最大值为32.（17分) 高二段考数学答案第7页共7页