椭圆解答题 培优专项训练-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

专题　椭圆的解答题型全析 题型01　求椭圆的标准方程 五道题问法不同，第一步一样：把过点、离心率、周长翻成 、、 的方程，再定焦点落在哪条轴。 【例1-1】已知椭圆 的两个焦点分别为 、，且经过点 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）过 的直线 与 交于 、 两点，求 的周长． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）由椭圆的定义，， 所以 ，．又 ，所以 ． 焦点在 轴上，故所求标准方程为 ． （2）由 ，，两式相加得 ，即 的周长为 ． 【例1-2】已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ． （1）求 的方程； （2）过 的右焦点且垂直于 轴的直线与 交于 、 两点，求 ． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）由 得 ， 所以 ． 把点 的坐标代入方程，得 ，即 ， 解得 ，，故 的方程为 ． （2），右焦点为 ，令 得 ， 解得 ，所以 ． 求椭圆的标准方程，常用的是下面三种方法： (1)定义法：先算 得 ，再由 得 ． (2)待定系数法：把「过点」「离心率」两句话都代进 ，解 、 的方程组． (3)先定位再定量：焦点在 轴写 ，在 轴写 ，位置定错则整题作废． 【变式1-1】已知椭圆 以 、 为焦点，且经过点 ． （1）求 的方程； （2）求 的面积． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1），所以 ． 又 ，，故 的方程为 ． （2），点 到 轴的距离为 ， 所以 ． 【变式1-2】已知椭圆 的焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 ． （1）求 的方程； （2）、 为 的两个焦点，点 在 上，且 ，求 ． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）设 ，由 得 ，． 代入点 得 ，即 ，解得 ，． 故 的方程为 ． （2）由定义 ，又 ， 所以 ，． 【变式1-3】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在 上， 的周长为 ，且离心率为 ． （1）求 的方程； （2）过 且斜率为 的直线与 交于 、 两点，求 ． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）周长为 ，又 ， 所以 ，解得 ，，， 故 的方程为 ． （2），直线方程为 ，代入椭圆方程得 ，即 ， 设 、，则 ，， 所以 ， 故 ． 题型02　椭圆中的弦长与三角形面积 五道题都在算长度和面积，路子一条：设直线、联立、写韦达，把 |AB| 或面积化成关于斜率的一元式子。 【例2-1】已知椭圆 ， 为 的右焦点，过 且倾斜角为 的直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点． （1）求 ； （2）求 的面积． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1），，， 代入 得 ，即 ， 设 、，则 ，， 所以 ， ． （2）原点 到 的距离 ， 所以 ． 【例2-2】已知椭圆 的左焦点为 ，过 的直线 与 交于 、 两点． （1）证明：； （2）求 的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【详解】解：（1），，离心率 ，由焦半径公式 ， 同理 ，而点 在 、 之间， 所以 ． （2）若 的斜率存在，设 ，代入 得 ，故 ， 所以 ； 若 轴，则 ，． 综上， 的最小值为 ，此时 轴． 求弦长与面积，常用的是下面三种方法： (1)弦长公式：联立后写韦达，用 ，别漏绝对值与开方． (2)焦点弦：化用焦半径 ，把 换成 的一次式，再求范围． (3)面积两算法：以弦为底配点到直线距离，或拆成两个三角形分别算，哪个式子好算用哪个． 【变式2-1】已知直线 与椭圆 交于 、 两点， 为坐标原点． （1）若 ，求 的值； （2）求 面积的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）由 得 ，． 设 、，则 ，， 所以 ． 由 得 ，，即 ． （2） 到 的距离 ， 所以 ， 当且仅当 时取等号，故面积的最大值为 ． 【变式2-2】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 为 上一点． （1）若 ，求 的面积； （2）求 面积的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：设 ，，，则 ，． 由余弦定理 ， 所以 ． （1） 时 ，． （2）， 由 得 ，即 ， 所以 ，即面积的取值范围为 ． 【变式2-3】已知椭圆 的上顶点为 ， 为坐标原点，过 的直线 与 交于另一点 ． （1）求 面积的最大值； （2）求（1）中 的值． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1），设 ，代入 得 ，解得 ． ， 到 的距离 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号，故面积的最大值为 ． （2）此时 ，代入 的表达式得 ，，即 ， 所以 ． 题型03　椭圆中的斜率关系与中点弦 五道题都绕着斜率转：先用韦达把两个斜率之间的关系写成两根之和与积，再回头定斜率、定轨迹。 【例3-1】已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 ． （1）证明：直线 的斜率为定值； （2）若 ，求直线 的方程． 【答案】（1）定值为 ；（2）． 【详解】解：（1）设 ，代入 得 ，设 、， 则 ，． 由 得 ， 把 代入并整理，得 ， 代入韦达定理化简，得 ． 若 ，则直线 过点 ，与 、 异于 矛盾， 所以 ，即直线 的斜率为定值． （2）由（1）设 ，代入得 ， 由 得 ，且 ， 所以 ，由 得 ， 故直线 的方程为 ． 【例3-2】已知椭圆 ，弦 的中点为 ． （1）求直线 的斜率； （2）求 ． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）设 、，则 ，． 由 与 两式相减得 ， 即 ，所以 ． （2）直线 ，代入椭圆方程得 ，即 ，则 ， 所以 ． 处理斜率与中点弦，常用的是下面三种方法： (1)和积消元：把 通分成 、 的式子，代韦达后必能分解出定值． (2)点差法：两式相减得 ，中点已知时直接读出斜率，比联立省一半算力． (3)验判别式：用点差法求出的斜率要回代 ，否则可能对应一条无弦的直线． 【变式3-1】已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 ． （1）证明：直线 的斜率为定值； （2）当 取得最大值时，求直线 的方程． 【答案】（1）定值为 ；（2）． 【详解】解：（1）设 ，代入 得 ，则 ，． 由 得 ， 代入并整理得 ． 若 ，则直线 过点 ，与 、 异于 矛盾， 所以 ，即直线 的斜率为定值． （2）斜率固定时，弦过中心最长，故 过原点 ， 此时 ，直线 的方程为 ，此时 ． 【变式3-2】已知椭圆 的左、右顶点分别为 、，点 是 上异于 、 的任意一点． （1）证明： 为定值； （2）若 ，求 的面积． 【答案】（1）定值为 ；（2）． 【详解】解：（1）设 ，则 ，即 ， 而 ，， 所以 ，为定值． （2）由（1），故 ， 代入椭圆方程得 ，即 ， 解得 或 （舍），故 ， 所以 ． 【变式3-3】已知椭圆 ，斜率为 的直线 与 交于 、 两点， 为线段 的中点， 为坐标原点． （1）求点 的轨迹方程； （2）求 的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）设 ，、，由点差法得 ，即 ． 由 得 ，又 在椭圆内部， 即 ，解得 ， 故 的轨迹是线段 ． （2）设 ，代入 得 ， 由 得 ， 所以 ， 当 （ 过原点）时取等号，故 的最大值为 ． 题型04　椭圆中的定点与定值问题 五道题都要把定点找出来：设点、写出含参的直线方程，再整理成只由一个定点决定的形式。 【例4-1】已知椭圆 的左、右顶点分别为 、，点 是直线 上一点（ 不在 轴上），直线 与 交于另一点 ，直线 与 交于另一点 ． （1）证明：直线 过定点； （2）若 ，求 ． 【答案】（1）定点为 ；（2）． 【详解】解：（1）设 ，则 ，代入 得 ，其中一根为 （点 ）， 所以 ，， 同理 ，可得 ，． 又 ，， 所以 ，，两斜率相等， 故 、、 三点共线（ 时 ， 为 同样过 ）， 即直线 恒过定点 ． （2） 时 ，，故 ． 【例4-2】已知椭圆 ，点 ，过 的直线 与 交于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 ． （1）证明：直线 过定点； （2）若 且点 在第二象限，求直线 的方程． 【答案】（1）定点为 ；（2）． 【详解】解：（1） 不与 轴垂直（否则 与 重合），设 ， 代入 得 ， 则 ，． 取 ，，要证 、、 共线，只需证 ，即 ． 而 ， 故 、、 三点共线，直线 恒过定点 ． （2）由 得 ，又 在第二象限， 故 ，， 所以 ，直线 的方程为 ， 即 ． 证明过定点、求定值，常用的是下面三种方法： (1)参数设线：先设 （或 ），把所有坐标写成 、 的式子，最后消去参数． (2)三点共线：证 或 ，比求交点坐标省事． (3)对称与对偶：把 换成 、把 换成 ，定点随之镜像；能用对称就不必重算． 【变式4-1】已知椭圆 的左、右顶点分别为 、，点 是直线 上一点（ 不在 轴上），直线 与 交于另一点 ，直线 与 交于另一点 ． （1）证明：直线 过定点； （2）若 ，求 ． 【答案】（1）定点为 ；（2）． 【详解】解：（1）设 ，，代入 得 ，一根为 ，故 ，， 同理 ，． 又 ，， 所以 ，故直线 恒过定点 ． （2） 时 ，， 所以 ． 【变式4-2】已知椭圆 ， 为坐标原点，直线 与 交于 、 两点，且 ． （1）证明：原点 到直线 的距离为定值； （2）求 的值． 【答案】（1）定值为 ；（2）． 【详解】解：（1） 不过原点，设 ，代入 得 ，则 ，． 由 得 ， 代入韦达定理化简得 ，即 ， 所以 到 的距离 ，为定值． （2）由 得 ，又 ， 所以 ． 由 得所求值为 ． 【变式4-3】已知椭圆 的左、右顶点分别为 、，点 是 上异于 、 的动点，直线 与 分别交直线 于点 、． （1）证明： 为定值； （2）求 的最小值． 【答案】（1）定值为 ；（2）． 【详解】解：设 ，不妨设 ． 直线 过 ，令 得参数 ，故 ； 直线 过 ，令 得 ，故 ． （1），为定值． （2）， 记 ，则 ，而 等价于 ， 当 时取等号，所以 的最小值为 ． 题型05　椭圆中的范围与最值问题 五道题最后都落到范围或最值：先把目标写成某一个变量的式子，再用不等式或二次函数收口。 【例5-1】已知椭圆 ，直线 ． （1）求 上的点到 距离的最小值； （2）求 上的点到 距离最大时该点的坐标． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：设 ，则 到 的距离 ， 因为 ，且 ， 所以 ， 即 的最小值为 ． （2）当 时 最大， 此时 ，， 故所求点的坐标为 ． 【例5-2】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 为 上任意一点． （1）求 的取值范围； （2）求 的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：由焦半径公式 ，，其中 ． （1），由 得取值范围为 ． （2） ， 由 得最小值为 ，此时 为短轴端点． 求范围与最值，常用的是下面三种方法： (1)参数化：设 ，把距离、面积都化成 再收口． (2)目标函数：用韦达把目标写成 或 的一元函数，判别式先给出定义域，再用均值或二次函数求最值． (3)几何转化：到定直线的最值可用平行切线，切线条件 一步到位，比求导快． 【变式5-1】已知椭圆 ，直线 ． （1）求 上的点到 距离的最小值； （2）求 上的点到 距离最大时该点的坐标． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：设 ，则 到 的距离 ， 因为 ，且 ， 所以 的最小值为 ． （2）当 时 最大， 此时 ，， 故所求点的坐标为 ． 【变式5-2】已知直线 与椭圆 ． （1）若 与 有公共点，求 的取值范围； （2）若 与 交于 、 两点，且 ，求 的面积（ 为坐标原点）． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）由 得 ， 由 得 或 ． （2） 时方程为 ，即 ，则 ，， 所以 ，． 到 的距离 ， 所以 ． 【变式5-3】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 为 上一点． （1）求 的最大值； （2）是否存在点 ，使 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析． 【详解】解：设 ，，，则 ，． 由余弦定理 ， 即 ． （1）由 得 ， 所以 ，即最大值为 ，此时 为短轴端点． （2）若 ，则 ，即 ， 与 矛盾，故不存在这样的点 ． AI 初稿　授课前请自行校订 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题　椭圆的解答题型全析 题型01　求椭圆的标准方程 五道题问法不同，第一步一样：把过点、离心率、周长翻成 、、 的方程，再定焦点落在哪条轴。 【例1-1】已知椭圆 的两个焦点分别为 、，且经过点 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）过 的直线 与 交于 、 两点，求 的周长． 【例1-2】已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ． （1）求 的方程； （2）过 的右焦点且垂直于 轴的直线与 交于 、 两点，求 ． 求椭圆的标准方程，常用的是下面三种方法： (1)定义法：先算 得 ，再由 得 ． (2)待定系数法：把「过点」「离心率」两句话都代进 ，解 、 的方程组． (3)先定位再定量：焦点在 轴写 ，在 轴写 ，位置定错则整题作废． 【变式1-1】已知椭圆 以 、 为焦点，且经过点 ． （1）求 的方程； （2）求 的面积． 【变式1-2】已知椭圆 的焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 ． （1）求 的方程； （2）、 为 的两个焦点，点 在 上，且 ，求 ． 【变式1-3】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在 上， 的周长为 ，且离心率为 ． （1）求 的方程； （2）过 且斜率为 的直线与 交于 、 两点，求 ． 题型02　椭圆中的弦长与三角形面积 五道题都在算长度和面积，路子一条：设直线、联立、写韦达，把 |AB| 或面积化成关于斜率的一元式子。 【例2-1】已知椭圆 ， 为 的右焦点，过 且倾斜角为 的直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点． （1）求 ； （2）求 的面积． 【例2-2】已知椭圆 的左焦点为 ，过 的直线 与 交于 、 两点． （1）证明：； （2）求 的最小值． 求弦长与面积，常用的是下面三种方法： (1)弦长公式：联立后写韦达，用 ，别漏绝对值与开方． (2)焦点弦：化用焦半径 ，把 换成 的一次式，再求范围． (3)面积两算法：以弦为底配点到直线距离，或拆成两个三角形分别算，哪个式子好算用哪个． 【变式2-1】已知直线 与椭圆 交于 、 两点， 为坐标原点． （1）若 ，求 的值； （2）求 面积的最大值． 【变式2-2】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 为 上一点． （1）若 ，求 的面积； （2）求 面积的取值范围． 【变式2-3】已知椭圆 的上顶点为 ， 为坐标原点，过 的直线 与 交于另一点 ． （1）求 面积的最大值； （2）求（1）中 的值． 题型03　椭圆中的斜率关系与中点弦 五道题都绕着斜率转：先用韦达把两个斜率之间的关系写成两根之和与积，再回头定斜率、定轨迹。 【例3-1】已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 ． （1）证明：直线 的斜率为定值； （2）若 ，求直线 的方程． 【例3-2】已知椭圆 ，弦 的中点为 ． （1）求直线 的斜率； （2）求 ． 处理斜率与中点弦，常用的是下面三种方法： (1)和积消元：把 通分成 、 的式子，代韦达后必能分解出定值． (2)点差法：两式相减得 ，中点已知时直接读出斜率，比联立省一半算力． (3)验判别式：用点差法求出的斜率要回代 ，否则可能对应一条无弦的直线． 【变式3-1】已知椭圆 ，点 在 上，、 是 上异于 的两点，且 ． （1）证明：直线 的斜率为定值； （2）当 取得最大值时，求直线 的方程． 【变式3-2】已知椭圆 的左、右顶点分别为 、，点 是 上异于 、 的任意一点． （1）证明： 为定值； （2）若 ，求 的面积． 【变式3-3】已知椭圆 ，斜率为 的直线 与 交于 、 两点， 为线段 的中点， 为坐标原点． （1）求点 的轨迹方程； （2）求 的最大值． 题型04　椭圆中的定点与定值问题 五道题都要把定点找出来：设点、写出含参的直线方程，再整理成只由一个定点决定的形式。 【例4-1】已知椭圆 的左、右顶点分别为 、，点 是直线 上一点（ 不在 轴上），直线 与 交于另一点 ，直线 与 交于另一点 ． （1）证明：直线 过定点； （2）若 ，求 ． 【例4-2】已知椭圆 ，点 ，过 的直线 与 交于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 ． （1）证明：直线 过定点； （2）若 且点 在第二象限，求直线 的方程． 证明过定点、求定值，常用的是下面三种方法： (1)参数设线：先设 （或 ），把所有坐标写成 、 的式子，最后消去参数． (2)三点共线：证 或 ，比求交点坐标省事． (3)对称与对偶：把 换成 、把 换成 ，定点随之镜像；能用对称就不必重算． 【变式4-1】已知椭圆 的左、右顶点分别为 、，点 是直线 上一点（ 不在 轴上），直线 与 交于另一点 ，直线 与 交于另一点 ． （1）证明：直线 过定点； （2）若 ，求 ． 【变式4-2】已知椭圆 ， 为坐标原点，直线 与 交于 、 两点，且 ． （1）证明：原点 到直线 的距离为定值； （2）求 的值． 【变式4-3】已知椭圆 的左、右顶点分别为 、，点 是 上异于 、 的动点，直线 与 分别交直线 于点 、． （1）证明： 为定值； （2）求 的最小值． 题型05　椭圆中的范围与最值问题 五道题最后都落到范围或最值：先把目标写成某一个变量的式子，再用不等式或二次函数收口。 【例5-1】已知椭圆 ，直线 ． （1）求 上的点到 距离的最小值； （2）求 上的点到 距离最大时该点的坐标． 【例5-2】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 为 上任意一点． （1）求 的取值范围； （2）求 的最小值． 求范围与最值，常用的是下面三种方法： (1)参数化：设 ，把距离、面积都化成 再收口． (2)目标函数：用韦达把目标写成 或 的一元函数，判别式先给出定义域，再用均值或二次函数求最值． (3)几何转化：到定直线的最值可用平行切线，切线条件 一步到位，比求导快． 【变式5-1】已知椭圆 ，直线 ． （1）求 上的点到 距离的最小值； （2）求 上的点到 距离最大时该点的坐标． 【变式5-2】已知直线 与椭圆 ． （1）若 与 有公共点，求 的取值范围； （2）若 与 交于 、 两点，且 ，求 的面积（ 为坐标原点）． 【变式5-3】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 为 上一点． （1）求 的最大值； （2）是否存在点 ，使 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由． AI 初稿　授课前请自行校订 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $