1.2 圆锥曲线中顶角最大问题 讲义-2027届高三数学一轮复习

高三数学 解析几何基础篇 1.2 顶角最大问题 原卷 第一章 基础篇 高三解析几何专题 1.2 顶角最大问题 原卷 利用向量的数量积与三角形面积 求角的最大值 本讲研究动点在椭圆上运动时，指定角的最大值及相应点的位置. 先用向量的数量积和三角形面积公式表示角，再结合动点的范围，求最值或确定参数的取值范围. 重点区分长轴端点、焦点和其他定点，注意题目中的“存在”与“任意”，并检验等号成立时的点是否满足条件. 本讲学习路径 学习建议 知识梳理 → 二级结论 → 8道例题 → 16道训练 先独立解答，再对照解析订正；注意取值范围、分类讨论和等号成立条件. 本讲思维导图 01 知识梳理 先认准两个定点 再确定动点范围 同一椭圆上，两个定点的位置不同，所求角及适用结论也不同。先把题目中的条件标在图上。 写清所求角 角有定义，才能谈最值 首先要求且。 当三点不共线时，。 三点共线时，结合两条射线的方向及题目要求另行讨论。 先写允许点，再写角的范围 两个定点的位置、动点所在象限或弧段、附加距离条件，都要逐项保留。 长轴端点、焦点与其他对称定点的结论不能混用。 椭圆与动点保持相同；更换两个定点，所研究的角也随之改变。 不要擅自排除长轴端点 若题目求数量积等量，且允许动点取长轴端点，应将这些点单独代入检查。 若或，没有定义；不能将其当作零角。 数量积与面积汇合 把角转化为代数式 设，其中；且，。两条计算路径可以消去共同的长度乘积。 用数量积求余弦 用面积公式求正弦 两式相除 锐角 直角 钝角 底边长为，高为；数量积与面积中的共同因子为。 比较角的大小 先检查适用范围 设，其中；且，。两条计算路径可以消去共同的长度乘积。 为什么可以比较这个比值？ 若，则 。 所以在内，角越大，余弦与正弦的比值越小。 余弦：边长容易求时用 。 在内，求角的最大值可转化为求余弦的最小值。 面积：先把纵坐标接进来 由，把面积条件转化为的条件。 再与数量积联用，求；在内，求角最大值可转化为求该比值的最小值。 斜率与正切：先检查范围 用斜率计算角时，先检查两条直线的斜率是否存在，并结合射线方向确定所求角。 正切在及上分别单调递增。 只有待比较的角始终在上述同一个区间内，才能借此比较大小。 若出现竖直直线、直角，或同时含锐角与钝角，宜改用余弦或上述比值。 同一椭圆与同一对定点，动点的位置改变时，所成角可以是锐角、直角或钝角。 除法的条件不能省 这里要求，因而且。 三点共线时不能使用上述比值公式，应回到角的定义或原数量积。 不能跨过直角比较正切 ，。 跨过直角后，正切值并非仍然增大。 先求范围 再检查最大角是否取到 求出代数式的最小值后，还要回到动点的允许位置。最后一步检验，决定能否写“最大值”。 完整椭圆上的基本范围 设，，；且。 当且时，，并有 。 在这些条件下，越大，越大；最大角在处取得。 “存在”与“任意”，按角的完整范围判断 存在点使：检查是否属于角的取值范围。 存在点使：检查允许角中是否有满足不等式的值。 最大角能取到时，任意允许点均有，等价于。 若最大角不能取到，须按实际区间判断，不能照搬上述严格不等号。 允许的弧段与取等点 把允许的动点范围与取等位置画在同一幅图上，再判断最大值能否取得。 示例：，。 两类定点，角的下端范围不同 记完整椭圆非轴点所对应角的最大值为。 当时，。 当时，，直角不能取到。 时若或，角没有定义。 取等点不在允许范围时 原来的最大角取不到，不等于可以立即断言新问题没有最大值。 先检查剩余允许范围的端点；若只是删去两个短轴端点，则角可接近原最大角，却不能取到，因而没有最大值。 写最大值前的三项检查 两个定点及公式适用条件是否一致？ 取等点是否属于题目允许的位置？ 全部取等点是否写全，严格不等号及区间开闭是否正确？ 02 二级结论与适用边界 使用下列结论时，应注意其适用条件. 结合图形理解结论，解答时写出必要的推理步骤. 结论01 由数量积与面积求角 条件 已知，其中，且，记. 结论 . 当、、时，分别为锐角、直角、钝角. 过动点作底边所在直线的垂线. 由数量积求余弦，由三角形面积求正弦，再将两式相除. 推导 由数量积的坐标运算，得，故. 由三角形面积的两种计算方法，得. 因为，所以，将两式相除即得所求关系. 在内，与的符号相同，故可根据分子的符号判断角的大小. 比较不同角时，可利用知识梳理中已证明的两角差关系. 使用提醒 数量积与长度的乘积含义不同. 若三点共线，，不能使用上述比值. 结论02 长轴上对称定点所对应角的最大值 条件 已知椭圆，其中，. 点满足，点在上且，记. 记的最大值为. 结论 令，则，且. 随着增大，严格增大. 当且仅当时，取得最大值，且. 若且，则. 一般位置对应的角小于短轴端点对应的角；上下两个短轴端点均能取到最大角. 推导 由椭圆方程，得. 代入结论01，即得上述比值的表达式. 记. 当时，. 所以随增大而减小，从而随增大而增大. 当时，，于是. 此时，所以. 在此等腰三角形中，顶角平分线也是底边上的高，故，得到半角的表示. 使用提醒 本结论要求两个定点位于长轴上，且. 对称点若位于短轴上或椭圆外，不能直接使用本结论. 结论03 角的取值范围与端点情况 条件 在结论02的条件下，点始终不在轴上. 结论 当时，的取值范围为；当时，其取值范围为. 若再排除两个短轴端点，则相应区间的右端点也不能取到. 左右两图分别表示定点在长轴内部和定点为长轴端点的情况；动点趋近长轴端点时，角的下界均不能取到. 推导 当时，设，则由结论02，得. 对于，其正根为. 结合结论02中的单调关系，得. 再取，可得到相应的椭圆上的点，故内的角均能取到. 当时，，故总是钝角. 由于，上述比值恰好取遍，所以的取值范围为. 由结论02，当且仅当. 排除这两个点后，虽可任意接近，却不能等于它，因此没有最大值. 使用提醒 当时，为长轴端点，不能取直角. 若或，则该角没有定义，不能把它看作零角. 结论04 锐角、直角与钝角的判定 条件 采用结论02的记号及条件，，. 结论 当时，所有均为锐角；当时，只有对应直角，其余均为锐角；当时，存在点使为钝角. 若，则当且仅当；若，则所有均为钝角. 最大角从左至右依次为锐角、直角、钝角、钝角；最右图中，其他允许位置对应的角也都是钝角. 推导 因为，所以的符号由决定. 结合的取值范围，即得前三种情况. 由结论01，等价于，即. 当时，整理即得. 当时，由可知数量积为负，所以总是钝角. 使用提醒 存在点使为钝角的充要条件为；存在点使该角为直角的充要条件为，尤其应排除的情况. 结论05 两焦点所对应角的最大值与离心率 条件 椭圆的左、右焦点分别为，其中，，离心率. 点在上且不在长轴上，记. 记的最大值为. 结论 ，且. 对给定的，存在点使，当且仅当；存在点使的条件也相同. 存在点使为钝角，当且仅当. 动点位于短轴端点时，两条焦半径相等，顶角被对称轴平分；半角的正弦等于离心率. 图中两个小角均为最大顶角的一半。 推导 设、，由椭圆的定义，得. 由基本不等式，. 由余弦定理，得. 等号成立当且仅当，即. 因此. 由二倍角公式，. 又且，所以. 由结论03，的取值范围为. 因此存在满足要求的点，当且仅当. 利用余弦函数在上的单调性，以及，可得. 对钝角条件作相同判断并取严格不等号，即得最后一个结论. 使用提醒 若要求椭圆上每一个不在长轴上的点都满足，由于两个短轴端点可以取到，条件应为，不能写成小于等于. 结论06 由长轴端点对应角的最大值求离心率 条件 已知椭圆，其中，离心率为. 是长轴端点，点在上且，记的最大值为. 结论 ，，从而. 对给定的，椭圆上存在点使，当且仅当. 两定点为长轴端点时，最大角在短轴端点处取得，且为钝角；应与两焦点所对应角的公式区分. 推导 在结论02中取，得. 代入，化简得. 因为，所以，即. 由，解得. 再结合的取值范围，将转化为余弦的不等式，即得存在点的充要条件. 使用提醒 两个定点为长轴端点时，应使用本结论. 若两个定点为焦点，则应使用结论05，两者的公式不能混用. 结论07 使角为直角的点的个数与坐标 条件 采用结论02的椭圆及记号，，. 只考虑椭圆上的点. 结论 当或时，没有点满足；当时，有两个点；当时，有四个点，其坐标为，两个正负号可任意组合. 辅助圆以两个定点的连线为直径. 四图的有效交点数依次为零、二、四、零；最右图的两个轴上交点不符合题设. 推导 由，得. 与椭圆方程联立，解得，. 当时，的表达式为负，无解. 当时，，，共有两个点. 当时，且，共有四个点. 当时，，不满足题设，所以没有这样的点. 使用提醒 若题目只说为直角三角形，还应考虑直角在或处的情况. 本结论只讨论直角在处的情况. 结论08 用正切比较角的大小时应注意的范围 条件 待比较的角全部在内，或全部在内. 结论 在上述任一区间内，角越大，正切值越大，可以通过求正切的最大值来求角的最大值. 若角的范围包括直角，或同时包括锐角和钝角，则不能直接采用这一方法；此时宜比较余弦，或比较. 正切函数在直角两侧的两个区间内分别递增，但不能跨越直角比较；锐角的正切为正，钝角的正切为负. 推导 当或时，，所以. 当为锐角、为钝角时，虽然，却有. 例如，但. 对于内的角，知识梳理已证明角越大，越小，且在直角处该比值也有意义，因此可用它统一比较这些角的大小. 使用提醒 利用两条直线的斜率计算角时，还应检查斜率是否存在. 若有直线垂直于轴，可改用向量数量积和三角形面积公式. 03 分型例题 先独立分析题意，选择适当的方法，并在留白处写出解答. 完成后可对照本讲解析订正. 例1 椭圆长轴端点对应角的最大值 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的左、右顶点分别为，点在上且异于，记. （1）求的最小值及相应的点的坐标；（2）求使成立的点所满足的条件，并判断这样的点是否存在.   例2 利用角平分线求角的最值 基础 湖北省2023届高三5月国都省考模拟测试第6题 选编 已知椭圆的左、右焦点分别为. 过的直线与交于，三点不共线，为的内心，则的最大值为（ ） A. B. C. D.   例3 根据角的范围求离心率 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆，其中，左、右焦点分别为，离心率为. 动点在上且不在长轴上，记. 记的最大值为. （1）证明：；（2）若存在点使，且对上每一个不在长轴上的点都有，求的取值范围.   例4 由离心率与已知角求其余角 提升 2025届上海市徐汇区高三一模（2024学年第一学期学习能力诊断卷，2024年12月）第10题（实质改编） 已知椭圆，其中，左、右焦点分别为，离心率为. （1）点在上且不在轴上运动，求最大时的余弦值，并判断椭圆上是否存在点使该角为直角；（2）若点满足，求.   例5 动点范围受限时求角的最值 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆，. 点在上运动，且，记. （1）证明：为锐角；（2）求的最小值、最大值及相应的点的坐标.   例6 角的最大值与正切的最大值 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的左、右焦点分别为. 点在上且不在轴上，记. （1）求的最小值；（2）求使无意义的所有点的坐标；（3）当在使有意义的点集上运动时，是否有最大值？说明理由.   例7 短轴上对称定点所对应角的最大值 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆，. 点在上且，记，. （1）将表示为的函数；（2）求最大时的余弦值及所有相应的点的坐标.   例8 利用切线求角的最大值 综合 2024年4月潍坊市高考模拟考试（二模）第8题 选编 点在抛物线上运动，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（ ） A. B. C. D.   04 分层训练 请独立完成下列各题，写明必要的推理过程、参数的取值范围及等号成立条件. 训练01 圆内两定点与直径端点对应角的比较 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知圆，点在上且. 设，. （1）记，求最大时的余弦值及点的坐标. （2）的大小是否随点的位置变化？说明理由. 图中橙色角和绿色角的两边分别经过内侧两个定点和直径的两个端点，顶点均为。   训练02 由向量垂直求点的坐标及距离乘积 提升 2023年高考全国甲卷文科数学第7题（实质改编） 已知椭圆的左、右焦点分别为. （1）当点在上且不在轴上运动时，利用的最大值，说明存在点满足，并求出所有这样的点的坐标；（2）对（1）中求得的点，求.   训练03 根据角的条件确定定点的位置 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆，，其中. 点在上且不在轴上. （1）若对每一个满足条件的点都有，求的取值范围；（2）若存在点使，求的取值范围，并说明不能取到的原因.   训练04 由已知弦长与角确定椭圆 提升 2024年北京工大附中高二10月月考第12题 选编 已知椭圆，其中，左、右焦点分别为. 过且垂直于轴的直线交于，，. 点在上运动，下列说法错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 椭圆上恰有4个点，使为直角三角形.   训练05 已知焦点对应角求点到原点的距离 提升 2023年高考全国甲卷理科数学第12题（实质改编） 已知椭圆的左、右焦点分别为，为坐标原点，点在上运动. （1）求最大时的余弦值，并判断是否存在点使；（2）若，求.   训练06 由已知最大角求椭圆方程 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆，其中，经过点，其左、右顶点分别为. 点在上且异于，最大时的余弦值为. （1）求椭圆的方程；（2）设为的两个焦点，判断上是否存在点使；若存在，求所有这样的点的坐标.   训练07 排除短轴端点后角的取值范围 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的左、右焦点分别为. 点在位于第一象限的部分上运动，记. 设且. （1）判断是否有最大值，并求的取值范围；（2）若，且对每一个满足题设条件的点都有，求的取值范围.   训练08 利用内切圆条件求椭圆参数 综合 海南中学2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学第11题（实质改编） 已知椭圆，其中，左、右焦点分别为. （1）若存在点，使，且的内切圆半径为，求，并判断当点在所得椭圆上且不在轴上运动时，的最大值是否为；（2）若存在点，使，求的取值范围.   训练09 最大角条件与三角形的外接圆 提升 普通高中2024—2025学年（上）高三年级期末考试第7题 选编 已知椭圆，其中，左、右焦点分别为. 点在上且异于长轴端点. 当取得最大值时，为等边三角形. 记的外接圆为. 当时，圆的面积为（ ） A. B. C. D.   训练10 使角为直角的点的个数 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆，，其中. 记为椭圆上不在轴上且满足的不同点的个数. （1）求；（2）当时，求所有这样的点的坐标，并判断这四个点能否作为一个正方形的四个顶点.   训练11 比较到椭圆中心距离不同时的角 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆，其中，左、右顶点分别为，中心为. 点均在上且不在轴上，. 比较与的大小，并证明. 图中下标为、的角，顶点分别为、，两边均经过、。   训练12 已知最大角的范围求参数 提升 原创经典题 本讲重新编拟 设，椭圆的左、右焦点分别为. 点在上且不在轴上运动，记的最大值为. 若，求的取值范围.   训练13 附加距离条件下角的最大值 综合 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的两个焦点为，中心为. 点在上且不在轴上，，记. 求最大时的余弦值及所有相应的点的坐标.   训练14 两个角的和的最大值 综合 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆，为长轴端点，为两个焦点. 点在上且不在轴上，记，，. （1）求最大时点的坐标. （2）记的最大值为，求，并确定角的终边所在的象限.   训练15 定点在椭圆外时角的最值 选学 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆，. 点在上且，记，. （1）将表示为的函数，并求最小时的余弦值；（2）是否有最大值？若允许点取椭圆的长轴端点，结论有何变化？   训练16 两个定点不对称时角的最大值 挑战 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆. 设，其中，，记. （1）证明：当取遍时，点恰好取遍椭圆上满足的所有点. （2）利用恒等式，求最大时的余弦值及点的坐标.   05 专题回看与易错诊断 易错说法 修正与检查 仅由对称性确定最大值 先检查两个定点是否在长轴上，且位于长轴两端点之间；短轴上的点或椭圆外的点须另行研究. 用正切的最大值代替角的最大值 先判断所比较的角是否全为锐角或全为钝角；范围含直角或跨越直角时不能直接使用这一方法. 把长轴端点对应角的范围写错 当两个定点为长轴端点，且动点异于这两个端点时，所得角均为钝角，不能取直角. 求出不等式的界限后未检验等号 应把等号成立时的点代入题设，检查它是否在指定的曲线、象限或弧段内. 忽略“存在”与“对任意”的区别 分别将要求转化为角的取值范围或最大值的条件，并根据最大值能否取到判断端点开闭. 仅凭余弦的符号判断角和的象限 角和可能大于，应结合角的范围和正弦、余弦的符号确定终边所在的象限. 完成后的自查 □ 能用向量数量积和三角形面积公式表示指定的角. □ 能根据两个定点的位置，选择并说明所用结论的适用条件. □ 能由角的最值确定参数范围，并正确处理等号成立的条件. □ 能区分最大值可以取到与只能任意接近某个界限两种情况. 订正记录 错在第______步；遗漏的条件是________________；下次先检查________________. 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学 解析几何基础篇 1.2 顶角最大问题 解析 第一章 基础篇 高三解析几何专题 1.2 顶角最大问题 解析 利用向量的数量积与三角形面积 求角的最大值 本讲研究动点在椭圆上运动时，指定角的最大值及相应点的位置. 先用向量的数量积和三角形面积公式表示角，再结合动点的范围，求最值或确定参数的取值范围. 重点区分长轴端点、焦点和其他定点，注意题目中的“存在”与“任意”，并检验等号成立时的点是否满足条件. 本讲学习路径 学习建议 知识梳理 → 二级结论 → 8道例题 → 16道训练 先独立解答，再对照解析订正；注意取值范围、分类讨论和等号成立条件. 本讲思维导图 01 知识梳理 先认准两个定点 再确定动点范围 同一椭圆上，两个定点的位置不同，所求角及适用结论也不同。先把题目中的条件标在图上。 写清所求角 角有定义，才能谈最值 首先要求且。 当三点不共线时，。 三点共线时，结合两条射线的方向及题目要求另行讨论。 先写允许点，再写角的范围 两个定点的位置、动点所在象限或弧段、附加距离条件，都要逐项保留。 长轴端点、焦点与其他对称定点的结论不能混用。 椭圆与动点保持相同；更换两个定点，所研究的角也随之改变。 不要擅自排除长轴端点 若题目求数量积等量，且允许动点取长轴端点，应将这些点单独代入检查。 若或，没有定义；不能将其当作零角。 数量积与面积汇合 把角转化为代数式 设，其中；且，。两条计算路径可以消去共同的长度乘积。 用数量积求余弦 用面积公式求正弦 两式相除 锐角 直角 钝角 底边长为，高为；数量积与面积中的共同因子为。 比较角的大小 先检查适用范围 设，其中；且，。两条计算路径可以消去共同的长度乘积。 为什么可以比较这个比值？ 若，则 。 所以在内，角越大，余弦与正弦的比值越小。 余弦：边长容易求时用 。 在内，求角的最大值可转化为求余弦的最小值。 面积：先把纵坐标接进来 由，把面积条件转化为的条件。 再与数量积联用，求；在内，求角最大值可转化为求该比值的最小值。 斜率与正切：先检查范围 用斜率计算角时，先检查两条直线的斜率是否存在，并结合射线方向确定所求角。 正切在及上分别单调递增。 只有待比较的角始终在上述同一个区间内，才能借此比较大小。 若出现竖直直线、直角，或同时含锐角与钝角，宜改用余弦或上述比值。 同一椭圆与同一对定点，动点的位置改变时，所成角可以是锐角、直角或钝角。 除法的条件不能省 这里要求，因而且。 三点共线时不能使用上述比值公式，应回到角的定义或原数量积。 不能跨过直角比较正切 ，。 跨过直角后，正切值并非仍然增大。 先求范围 再检查最大角是否取到 求出代数式的最小值后，还要回到动点的允许位置。最后一步检验，决定能否写“最大值”。 完整椭圆上的基本范围 设，，；且。 当且时，，并有 。 在这些条件下，越大，越大；最大角在处取得。 “存在”与“任意”，按角的完整范围判断 存在点使：检查是否属于角的取值范围。 存在点使：检查允许角中是否有满足不等式的值。 最大角能取到时，任意允许点均有，等价于。 若最大角不能取到，须按实际区间判断，不能照搬上述严格不等号。 允许的弧段与取等点 把允许的动点范围与取等位置画在同一幅图上，再判断最大值能否取得。 示例：，。 两类定点，角的下端范围不同 记完整椭圆非轴点所对应角的最大值为。 当时，。 当时，，直角不能取到。 时若或，角没有定义。 取等点不在允许范围时 原来的最大角取不到，不等于可以立即断言新问题没有最大值。 先检查剩余允许范围的端点；若只是删去两个短轴端点，则角可接近原最大角，却不能取到，因而没有最大值。 写最大值前的三项检查 两个定点及公式适用条件是否一致？ 取等点是否属于题目允许的位置？ 全部取等点是否写全，严格不等号及区间开闭是否正确？ 02 二级结论与适用边界 使用下列结论时，应注意其适用条件. 结合图形理解结论，解答时写出必要的推理步骤. 结论01 由数量积与面积求角 条件 已知，其中，且，记. 结论 . 当、、时，分别为锐角、直角、钝角. 过动点作底边所在直线的垂线. 由数量积求余弦，由三角形面积求正弦，再将两式相除. 推导 由数量积的坐标运算，得，故. 由三角形面积的两种计算方法，得. 因为，所以，将两式相除即得所求关系. 在内，与的符号相同，故可根据分子的符号判断角的大小. 比较不同角时，可利用知识梳理中已证明的两角差关系. 使用提醒 数量积与长度的乘积含义不同. 若三点共线，，不能使用上述比值. 结论02 长轴上对称定点所对应角的最大值 条件 已知椭圆，其中，. 点满足，点在上且，记. 记的最大值为. 结论 令，则，且. 随着增大，严格增大. 当且仅当时，取得最大值，且. 若且，则. 一般位置对应的角小于短轴端点对应的角；上下两个短轴端点均能取到最大角. 推导 由椭圆方程，得. 代入结论01，即得上述比值的表达式. 记. 当时，. 所以随增大而减小，从而随增大而增大. 当时，，于是. 此时，所以. 在此等腰三角形中，顶角平分线也是底边上的高，故，得到半角的表示. 使用提醒 本结论要求两个定点位于长轴上，且. 对称点若位于短轴上或椭圆外，不能直接使用本结论. 结论03 角的取值范围与端点情况 条件 在结论02的条件下，点始终不在轴上. 结论 当时，的取值范围为；当时，其取值范围为. 若再排除两个短轴端点，则相应区间的右端点也不能取到. 左右两图分别表示定点在长轴内部和定点为长轴端点的情况；动点趋近长轴端点时，角的下界均不能取到. 推导 当时，设，则由结论02，得. 对于，其正根为. 结合结论02中的单调关系，得. 再取，可得到相应的椭圆上的点，故内的角均能取到. 当时，，故总是钝角. 由于，上述比值恰好取遍，所以的取值范围为. 由结论02，当且仅当. 排除这两个点后，虽可任意接近，却不能等于它，因此没有最大值. 使用提醒 当时，为长轴端点，不能取直角. 若或，则该角没有定义，不能把它看作零角. 结论04 锐角、直角与钝角的判定 条件 采用结论02的记号及条件，，. 结论 当时，所有均为锐角；当时，只有对应直角，其余均为锐角；当时，存在点使为钝角. 若，则当且仅当；若，则所有均为钝角. 最大角从左至右依次为锐角、直角、钝角、钝角；最右图中，其他允许位置对应的角也都是钝角. 推导 因为，所以的符号由决定. 结合的取值范围，即得前三种情况. 由结论01，等价于，即. 当时，整理即得. 当时，由可知数量积为负，所以总是钝角. 使用提醒 存在点使为钝角的充要条件为；存在点使该角为直角的充要条件为，尤其应排除的情况. 结论05 两焦点所对应角的最大值与离心率 条件 椭圆的左、右焦点分别为，其中，，离心率. 点在上且不在长轴上，记. 记的最大值为. 结论 ，且. 对给定的，存在点使，当且仅当；存在点使的条件也相同. 存在点使为钝角，当且仅当. 动点位于短轴端点时，两条焦半径相等，顶角被对称轴平分；半角的正弦等于离心率. 图中两个小角均为最大顶角的一半。 推导 设、，由椭圆的定义，得. 由基本不等式，. 由余弦定理，得. 等号成立当且仅当，即. 因此. 由二倍角公式，. 又且，所以. 由结论03，的取值范围为. 因此存在满足要求的点，当且仅当. 利用余弦函数在上的单调性，以及，可得. 对钝角条件作相同判断并取严格不等号，即得最后一个结论. 使用提醒 若要求椭圆上每一个不在长轴上的点都满足，由于两个短轴端点可以取到，条件应为，不能写成小于等于. 结论06 由长轴端点对应角的最大值求离心率 条件 已知椭圆，其中，离心率为. 是长轴端点，点在上且，记的最大值为. 结论 ，，从而. 对给定的，椭圆上存在点使，当且仅当. 两定点为长轴端点时，最大角在短轴端点处取得，且为钝角；应与两焦点所对应角的公式区分. 推导 在结论02中取，得. 代入，化简得. 因为，所以，即. 由，解得. 再结合的取值范围，将转化为余弦的不等式，即得存在点的充要条件. 使用提醒 两个定点为长轴端点时，应使用本结论. 若两个定点为焦点，则应使用结论05，两者的公式不能混用. 结论07 使角为直角的点的个数与坐标 条件 采用结论02的椭圆及记号，，. 只考虑椭圆上的点. 结论 当或时，没有点满足；当时，有两个点；当时，有四个点，其坐标为，两个正负号可任意组合. 辅助圆以两个定点的连线为直径. 四图的有效交点数依次为零、二、四、零；最右图的两个轴上交点不符合题设. 推导 由，得. 与椭圆方程联立，解得，. 当时，的表达式为负，无解. 当时，，，共有两个点. 当时，且，共有四个点. 当时，，不满足题设，所以没有这样的点. 使用提醒 若题目只说为直角三角形，还应考虑直角在或处的情况. 本结论只讨论直角在处的情况. 结论08 用正切比较角的大小时应注意的范围 条件 待比较的角全部在内，或全部在内. 结论 在上述任一区间内，角越大，正切值越大，可以通过求正切的最大值来求角的最大值. 若角的范围包括直角，或同时包括锐角和钝角，则不能直接采用这一方法；此时宜比较余弦，或比较. 正切函数在直角两侧的两个区间内分别递增，但不能跨越直角比较；锐角的正切为正，钝角的正切为负. 推导 当或时，，所以. 当为锐角、为钝角时，虽然，却有. 例如，但. 对于内的角，知识梳理已证明角越大，越小，且在直角处该比值也有意义，因此可用它统一比较这些角的大小. 使用提醒 利用两条直线的斜率计算角时，还应检查斜率是否存在. 若有直线垂直于轴，可改用向量数量积和三角形面积公式. 03 分型例题 先独立分析题意，选择适当的方法，并在留白处写出解答. 完成后可对照本讲解析订正. 例1 椭圆长轴端点对应角的最大值 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的左、右顶点分别为，点在上且异于，记. （1）求的最小值及相应的点的坐标；（2）求使成立的点所满足的条件，并判断这样的点是否存在. 答案 （1）最小值为，此时；（2）需满足，但椭圆上，故不存在这样的点. 分析 利用结论02，将角的大小转化为的大小，再由椭圆上的范围检验第二问的条件. 解题图 详解 （1）令，则. 由结论02，，所以随增大而增大，随增大而减小. 当时，，即. 此时的最小值为. （2）在内，等价于，即，解得. 由于，与矛盾，所以不存在满足条件的点. 例2 利用角平分线求角的最值 基础 湖北省2023届高三5月国都省考模拟测试第6题 选编 已知椭圆的左、右焦点分别为. 过的直线与交于，三点不共线，为的内心，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 答案 B 分析 由内心的定义，将转化为的一半，再利用椭圆焦点对应角的最大值求解. 解题图 图中所标的是处由射线、形成的小角。 详解 因为焦点在线段内部，所以射线与射线重合. 又为的内心，所以. 由椭圆方程得，，，. 设的最大值为，由结论05，，所以，当时取到. 于是. 正切函数在上单调递增，所以的最大值为. 例如取，直线与椭圆的另一交点为，满足三点不共线，故上述最大值可以取到. 例3 根据角的范围求离心率 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆，其中，左、右焦点分别为，离心率为. 动点在上且不在长轴上，记. 记的最大值为. （1）证明：；（2）若存在点使，且对上每一个不在长轴上的点都有，求的取值范围. 答案 （1）证明：设，、. 由椭圆的定义，；由基本不等式，. 由余弦定理，得. 等号成立当且仅当，即. 因此. （2）. 分析 将“存在点”与“对每一个点”分别转化为对最大角的限制. 注意最大角在两个短轴端点处能够取到，两个严格不等号都应保留. 解题图 详解 （1）略 （2）由的取值范围为，存在点使，等价于，即，解得. 对上每一个不在长轴上的点都有，等价于，即，解得. 综上，的取值范围为. 例4 由离心率与已知角求其余角 提升 2025届上海市徐汇区高三一模（2024学年第一学期学习能力诊断卷，2024年12月）第10题（实质改编） 已知椭圆，其中，左、右焦点分别为，离心率为. （1）点在上且不在轴上运动，求最大时的余弦值，并判断椭圆上是否存在点使该角为直角；（2）若点满足，求. 答案 （1），存在；（2） 分析 （1）利用离心率求最大角，再结合角的取值范围判断直角是否存在. （2）利用椭圆的定义和余弦定理求三边长的关系. 解题图 详解 （1）设的最大值为. 由，得. 因此. 该角的取值范围为，故椭圆上存在点使该角为直角. （2）设，，则. 在中，由余弦定理，得，整理得. 由可得，所以. 再由余弦定理，得. 所以的三边长分别为. 由勾股定理的逆定理，得，从而. 例5 动点范围受限时求角的最值 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆，. 点在上运动，且，记. （1）证明：为锐角；（2）求的最小值、最大值及相应的点的坐标. 答案 （1）证明：令，则. 由结论02，得. 因为且，所以，故为锐角. （2）最小值为，当时取到；最大值为，当时取到. 每组中两个正负号可任意组合. 分析 先利用判断角的范围，再根据与的单调关系确定最值及等号成立的条件. 解题图 详解 （1）略 （2）由结论02，随增大而增大，因此随增大而减小. 当时，. 结合，及，得. 当时，，同理得. 将和分别代入椭圆方程，得和，从而得到相应的点的坐标. 例6 角的最大值与正切的最大值 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的左、右焦点分别为. 点在上且不在轴上，记. （1）求的最小值；（2）求使无意义的所有点的坐标；（3）当在使有意义的点集上运动时，是否有最大值？说明理由. 答案 （1）；（2），两个正负号可任意组合. （3）没有最大值. 记的最大值为. 由（1）及结论03，. 本问要求有意义，所以的取值范围为. 其中包含全部锐角；由于正切函数在上的值域为，因此没有最大值. 分析 先确定角的取值范围，并求出角为直角时的点. 再从锐角一侧研究正切的变化，不能由角的最大值直接判断正切的最大值. 解题图 详解 （1）由，得. 因此的最小值为，当时取到. （2）令，由结论02，得. 由于，无意义当且仅当，即，解得. 代入椭圆方程得，所以共有四个点，坐标如答案所列. （3）略 方法归纳 在本题中，有意义时的取值范围为. 最大时，，这并不是正切值的最大值. 例7 短轴上对称定点所对应角的最大值 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆，. 点在上且，记，. （1）将表示为的函数；（2）求最大时的余弦值及所有相应的点的坐标. 答案 （1），；（2）记的最大值为，则，当时取到，两个正负号可任意组合. 分析 由数量积和以为底边的面积公式列式，再用椭圆方程消去. 利用基本不等式求比值的最小值，从而求出角的最大值. 解题图 详解 （1）因为，所以. 又，故. 由，得，其中. （2）由基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立. 由于，满足，所以等号可以成立. 此时最大，且为锐角. 由及，得. 再由，，得相应四点的坐标. 例8 利用切线求角的最大值 综合 2024年4月潍坊市高考模拟考试（二模）第8题 选编 点在抛物线上运动，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 答案 B 分析 连接圆心与点，将所求角的一半放入直角三角形中. 利用抛物线方程求到圆心距离的最小值. 解题图 图中所标的是两条切线在处所夹的整个角。 详解 设圆心为，半径为. 设，则，，所以. 因为，所以点在圆外，过可以作两条不同的切线. 由切线的性质，平分，且. 记，则. 在直角三角形中，. 因为，所以. 当且仅当，即时等号成立，故所求最大值为. 04 分层训练 请独立完成下列各题，写明必要的推理过程、参数的取值范围及等号成立条件. 训练01 圆内两定点与直径端点对应角的比较 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知圆，点在上且. 设，. （1）记，求最大时的余弦值及点的坐标. （2）的大小是否随点的位置变化？说明理由. 图中橙色角和绿色角的两边分别经过内侧两个定点和直径的两个端点，顶点均为。 答案 （1）记的最大值为，则，此时. （2）不变. 因为是圆的直径，所以由圆周角定理，. 也可由得到该结论. 分析 （1）用圆的方程化简数量积和面积关系，将角的最值转化为纵坐标的最值. （2）利用直径所对的圆周角为直角. 解题图 详解 （1）设，则. 由圆的方程，得，所以为锐角. 又由面积公式，得，故. 当时，上述比值最小，最大. 此时，，结合，得. （2）略 训练02 由向量垂直求点的坐标及距离乘积 提升 2023年高考全国甲卷文科数学第7题（实质改编） 已知椭圆的左、右焦点分别为. （1）当点在上且不在轴上运动时，利用的最大值，说明存在点满足，并求出所有这样的点的坐标；（2）对（1）中求得的点，求. 答案 （1）设动点在上且不在轴上运动，记，其最大值为. 由，得，所以. 又的取值范围为，因此存在点使，即所给数量积为零. 设，则. 与联立，解得，. 所以全部四点为，两个正负号可任意组合. （2） 分析 由角的取值范围说明直角可以取到，再利用向量垂直的坐标条件求点的坐标. 第二问利用椭圆的定义及勾股定理求两段长度的乘积. 解题图 详解 （1）略 （2）设，，则由椭圆的定义，得. 因为，所以. 于是，故. 训练03 根据角的条件确定定点的位置 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆，，其中. 点在上且不在轴上. （1）若对每一个满足条件的点都有，求的取值范围；（2）若存在点使，求的取值范围，并说明不能取到的原因. 答案 （1）. （2）. 设的最大值为，则. 当时，角的取值范围为，所以存在点使该角为直角，当且仅当，即. 当时，为长轴端点，由结论03，所有均为钝角，不能取直角. 此时也可将与椭圆方程联立，只得到，不满足不在轴上的条件. 分析 （1）由角的最大值满足条件建立不等式. （2）既要判断最大角与直角的大小关系，还要检验直角是否属于该角的取值范围. 解题图 详解 （1）设的最大值为，则. 题设等价于，即. 因为，所以，解得. 结合，得. （2）略 训练04 由已知弦长与角确定椭圆 提升 2024年北京工大附中高二10月月考第12题 选编 已知椭圆，其中，左、右焦点分别为. 过且垂直于轴的直线交于，，. 点在上运动，下列说法错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 椭圆上恰有4个点，使为直角三角形. 答案 A 分析 先由对称性、已知角和弦长确定椭圆方程，再分别求角的余弦、三角形面积及数量积的最值. 判断直角三角形时，应分别考虑直角所在的顶点. 解题图 图中绿色角由两焦点对应，在所示短轴端点处取得最大值。 详解 由对称性，，且，所以为边长为4的等边三角形. 又，由椭圆的定义，得，所以. 设，将代入椭圆方程，得. 因而，解得，从而. 所以. 由结论05，的最小值为，所以A错误. 设，则，且在短轴端点处等号成立，所以B正确. 又. 因为，所以其取值范围为，C正确. 由于的最大值仍为锐角，所以直角不能在处. 若直角在处，则，得到；若直角在处，则得到. 共四个不同的点，所以D正确. 训练05 已知焦点对应角求点到原点的距离 提升 2023年高考全国甲卷理科数学第12题（实质改编） 已知椭圆的左、右焦点分别为，为坐标原点，点在上运动. （1）求最大时的余弦值，并判断是否存在点使；（2）若，求. 答案 （1），存在；（2） 分析 （1）求出角的余弦的取值范围，检验是否在此范围内. （2）利用椭圆的定义和余弦定理求，再由面积公式求点的纵坐标的平方. 解题图 详解 （1）记，其最大值为. 由，得. 当为长轴端点时，，所以. 当不在轴上时，由结论03和结论05，得. 综上，的取值范围为，其中包含，所以存在满足条件的点. （2）设，，则. 由余弦定理，得，解得. 因为且其余弦为，所以正弦为. 于是. 设，又，所以. 将代入椭圆方程，得. 故. 训练06 由已知最大角求椭圆方程 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆，其中，经过点，其左、右顶点分别为. 点在上且异于，最大时的余弦值为. （1）求椭圆的方程；（2）设为的两个焦点，判断上是否存在点使；若存在，求所有这样的点的坐标. 答案 （1）；（2）存在，所有这样的点为. 分析 （1）由长轴端点对应角的最大值确定与的关系，再利用椭圆过已知点求参数. （2）求两个焦点对应角的最大值，并检验等号成立的点. 解题图 图中橙色角由长轴两端点对应，绿色角由两焦点对应；共同顶点为所示短轴端点。 详解 （1）由结论02，，整理得. 将代入椭圆方程，得. 结合，解得，. 因此. （2）由，得. 因而最大时的余弦值为，即最大值为. 由结论02，等号当且仅当为短轴端点时成立，所以所有满足条件的点为. 训练07 排除短轴端点后角的取值范围 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的左、右焦点分别为. 点在位于第一象限的部分上运动，记. 设且. （1）判断是否有最大值，并求的取值范围；（2）若，且对每一个满足题设条件的点都有，求的取值范围. 答案 （1）没有最大值，的取值范围为；（2）. 分析 第一象限不包括坐标轴，所以两个长轴端点和上顶点均不能取到. 先求角的取值范围，再据此确定对每一个点都成立的不等式中参数的范围. 详解 （1）由，得. 点在整条椭圆上且不在长轴上运动时，该角的最大值的余弦为，所以最大值为. 设，在第一象限内有. 由结论02，，随着增大，该比值严格减小，严格增大. 结合结论03，对任意，均可求得，并取，从而得到相应的点. 所以的取值范围为. 由于对应的上顶点不在第一象限内，不能取到，故没有最大值. （2）当时，恒有，满足要求. 当时，可取，不满足要求. 结合，得. 训练08 利用内切圆条件求椭圆参数 综合 海南中学2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学第11题（实质改编） 已知椭圆，其中，左、右焦点分别为. （1）若存在点，使，且的内切圆半径为，求，并判断当点在所得椭圆上且不在轴上运动时，的最大值是否为；（2）若存在点，使，求的取值范围. 答案 （1），此时的最大值为；（2）. 分析 （1）由余弦定理求两段焦点距离的乘积，再将三角形面积分别用两边及其夹角、内切圆半径及半周长表示，建立的关系. （2）利用角的取值范围判断直角是否能够取到. 解题图 详解 （1）设，，，则. 由余弦定理，得，所以. 于是. 三角形的半周长为，故由内切圆半径，另有. 两式比较得. 结合，得. 由，解得，所以. 此时. 由结论05，当点在所得椭圆上且不在轴上运动时，最大值的余弦为，所以最大值为，当时取到. （2）由结论05及角的取值范围，存在点使，当且仅当. 由，得，解得. 结合，得. 当时有两个这样的点；当时有四个. 训练09 最大角条件与三角形的外接圆 提升 普通高中2024—2025学年（上）高三年级期末考试第7题 选编 已知椭圆，其中，左、右焦点分别为. 点在上且异于长轴端点. 当取得最大值时，为等边三角形. 记的外接圆为. 当时，圆的面积为（ ） A. B. C. D. 答案 A 分析 由最大角对应的点为短轴端点，结合等边三角形的条件求的关系. 再对角为时的三角形使用正弦定理，求其外接圆半径. 解题图 图中处所标的角为三十度。 详解 设. 当最大时，为短轴端点，此时. 由等边三角形的条件，得，所以. 此时该角的最大值为，而，所以存在满足的点. 设此时的外接圆半径为，由正弦定理，得，所以. 因此圆的面积为. 训练10 使角为直角的点的个数 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆，，其中. 记为椭圆上不在轴上且满足的不同点的个数. （1）求；（2）当时，求所有这样的点的坐标，并判断这四个点能否作为一个正方形的四个顶点. 答案 （1）当或时，；当时，；当时，. （2）当时，四点为，两个正负号可任意组合. 这四点构成的矩形以原点为中心，且各边平行于坐标轴. 它是正方形，当且仅当，即，解得. 此时，满足，所以这四点可以作为正方形的四个顶点. 分析 将直角条件转化为向量数量积为零，与椭圆方程联立，按坐标平方的正负及是否为零分类. 四个点构成正方形的条件是横、纵坐标的绝对值相等. 解题图 详解 （1）设，由，得. 与椭圆方程联立，解得，. 当时，的表达式为负，无解；当时，，，有两个点；当时，且，有四个点；当时，，不满足题设. 因而得到答案中的各个结果. （2）略 训练11 比较到椭圆中心距离不同时的角 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆，其中，左、右顶点分别为，中心为. 点均在上且不在轴上，. 比较与的大小，并证明. 图中下标为、的角，顶点分别为、，两边均经过、。 答案 . 证明：设. 由椭圆方程，得，. 因为且，所以. 由结论02，随点纵坐标的绝对值增大而增大，故. 分析 先由椭圆方程将转化为两个纵坐标绝对值的大小关系，再利用结论02比较角的大小. 解题图 图中下标为、的角，顶点分别为、，两边均经过、。 详解 略 训练12 已知最大角的范围求参数 提升 原创经典题 本讲重新编拟 设，椭圆的左、右焦点分别为. 点在上且不在轴上运动，记的最大值为. 若，求的取值范围. 答案 分析 利用最大角与离心率的关系，将角的范围转化为余弦的范围，再解关于的不等式. 解题图 详解 由，，得. 因此. 因为，所以等价于. 又，分别解得和. 当和时，分别有和，均符合题设，故的取值范围为. 训练13 附加距离条件下角的最大值 综合 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆的两个焦点为，中心为. 点在上且不在轴上，，记. 求最大时的余弦值及所有相应的点的坐标. 答案 记的最大值为，则，相应的点为， 两个正负号可任意组合. 分析 先用椭圆方程把距离条件转化为的范围，再根据角与的关系求最值. 解题图 详解 设，由椭圆方程，得. 由及，得，即. 由结论02，随增大而增大，所以当时，最大. 此时，且. 又，故. 因为为锐角，所以由，得. 由，，得四个相应的点，坐标如答案所列. 两个短轴端点满足，不符合本题条件. 训练14 两个角的和的最大值 综合 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆，为长轴端点，为两个焦点. 点在上且不在轴上，记，，. （1）求最大时点的坐标. （2）记的最大值为，求，并确定角的终边所在的象限. 答案 （1）；（2），角的终边在第三象限，且. 分析 两个角均随点纵坐标的绝对值增大而增大，因此它们的和在同一组点处取得最大值. 利用两角和的正弦、余弦公式计算后，再判断终边所在的象限. 解题图 详解 （1）由结论02，均随增大而增大，所以也随增大而增大. 因此当，即时，最大. （2）此时，，，. 由两角和公式，得，. 又且，所以. 结合且，得，所以角的终边在第三象限. 训练15 定点在椭圆外时角的最值 选学 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆，. 点在上且，记，. （1）将表示为的函数，并求最小时的余弦值；（2）是否有最大值？若允许点取椭圆的长轴端点，结论有何变化？ 答案 （1），；记的最小值为，则，当时取到. （2）当时，没有最大值，其取值范围为；若允许取题设中的共线情形，则最大值为. 分析 两个定点在椭圆外，不满足结论02的条件. 应由结论01重新列式，比较比值随的变化，并单独讨论长轴端点. 解题图 详解 （1）由椭圆方程得. 代入结论01，得，其中. 记. 当时，，其中括号内的式子不小于. 因此随增大而增大，随增大而减小. 所以当，即时，最小，此时. （2）当充分接近0时，可以小于任意给定的负数，因而可以任意接近，但时恒有，所以没有最大值. 若允许，则这两点在线段内部，射线方向相反，此时，故最大值为. 训练16 两个定点不对称时角的最大值 挑战 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆. 设，其中，，记. （1）证明：当取遍时，点恰好取遍椭圆上满足的所有点. （2）利用恒等式，求最大时的余弦值及点的坐标. 答案 （1）证明：将点的坐标代入，得，且时，所以在椭圆的上半部分. 反之，对上任意满足的点，有. 令，可得. 再由椭圆方程及，得. 因此该参数表示恰好给出了上所有满足的点. （2）记的最大值为，则，当，即时取到. 分析 （1）先代入验证，再反过来由椭圆上的点构造正参数. （2）由数量积和面积公式表示，利用题给恒等式求其最小值及等号成立的条件. 训练16 详解 （1）略 （2）因为，所以. 由和面积公式，得. 又，所以. 利用题给恒等式，得. 因为，所以分母及均为正，等号当且仅当时成立. 在内，角越大，越小，所以当时，最大. 此时，故为钝角. 结合，得. 将代入点的坐标，得. 本题两个定点不关于椭圆中心对称，因此应根据具体条件求解，不能直接使用结论02. 05 专题回看与易错诊断 易错说法 修正与检查 仅由对称性确定最大值 先检查两个定点是否在长轴上，且位于长轴两端点之间；短轴上的点或椭圆外的点须另行研究. 用正切的最大值代替角的最大值 先判断所比较的角是否全为锐角或全为钝角；范围含直角或跨越直角时不能直接使用这一方法. 把长轴端点对应角的范围写错 当两个定点为长轴端点，且动点异于这两个端点时，所得角均为钝角，不能取直角. 求出不等式的界限后未检验等号 应把等号成立时的点代入题设，检查它是否在指定的曲线、象限或弧段内. 忽略“存在”与“对任意”的区别 分别将要求转化为角的取值范围或最大值的条件，并根据最大值能否取到判断端点开闭. 仅凭余弦的符号判断角和的象限 角和可能大于，应结合角的范围和正弦、余弦的符号确定终边所在的象限. 完成后的自查 □ 能用向量数量积和三角形面积公式表示指定的角. □ 能根据两个定点的位置，选择并说明所用结论的适用条件. □ 能由角的最值确定参数范围，并正确处理等号成立的条件. □ 能区分最大值可以取到与只能任意接近某个界限两种情况. 订正记录 错在第______步；遗漏的条件是________________；下次先检查________________. 学科网（北京）股份有限公司 $