2.3.2 两点间的距离公式 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

教学目标

（1）掌握平面上两点间的距离公式，能熟练运用公式求平面上两点间的距离，体会公式推导过程中蕴含的数形结合思想；

（2）理解距离公式推导过程中蕴含的坐标法，能将几何问题代数化，发展直观想象与数学运算素养；

（3）会运用坐标法证明简单的平面几何问题，感悟"数"与"形"各自的长处与互补性；

（4）能解决简单的"距离型"最值问题，经历"建系—设点—计算—还原"的完整过程，培养数形结合思想和方程思想．

教学重难点

教学重点：掌握平面上两点间的距离公式．

教学难点：会运用坐标法证明简单的平面几何问题；能解决简单的"距离型"最值问题．

教学准备

PPT课件、三角板、多媒体展示设备．

教学流程设计

一  课堂导入

学校的年度文化节即将来临，学生会策划了一场特别的"校园寻宝"游戏．游戏中，参与者需要根据一系列提示找到隐藏在校园各处的宝藏．每个提示都是一个谜题，解开谜题后会得到两个地点的坐标（如智慧楼标记为A(5,3)，创新楼标记为B(10,8)），以及一个挑战——计算这两个地点之间的直线距离，作为通往下一个宝藏的线索．

我们知道了校园内两个地点的坐标，该如何计算它们之间的距离呢？

这就是今天我们要学习的内容——两点间的距离公式．

我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的．所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式．

图1  校园寻宝游戏示意图

设计意图：以校园文化节的真实情境引入，激发学习兴趣，让学生体会"用坐标表示位置、用数量刻画距离"的需求，自然引出本课主题，发展数学建模素养．

二  新知探究

（一）两点间距离公式的推导

问题1  当两点所在的直线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离如何计算？

师生活动：学生独立思考并举例：当直线P1P2平行于x轴时，即y1=y2，此时距离为

同理，当直线P1P2平行于y轴时，即x1=x2，此时距离为

问题2  一般地，对于任意两点，其中P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的横、纵坐标都不相同时，又该如何求这两点间的距离？

师生活动：引导学生观察图2，从"特殊到一般"思考：以线段P1P2为斜边，构造直角三角形．

图2  两点间距离公式的推导

如图2，过P1、P2分别向x轴、y轴作垂线，两条垂线交于点Q(x2,y1)，则直线P1Q垂直于直线QP2，三角形P1QP2是直角三角形．由问题1可知：

在直角三角形P1QP2中，由勾股定理，得

由此得到两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)间的距离公式：

特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离为

设计意图：设置两个层层递进的问题，从与坐标轴平行的特殊情形入手，借助勾股定理过渡到一般情形，让学生经历公式的完整推导过程，体会"化斜为直"、特殊到一般的数学思想，发展直观想象与逻辑推理素养．

（二）深化理解

思考：两点间的距离公式对x1=x2或y1=y2的情形还适用吗？

师生活动：学生代入检验——当y1=y2时，公式化为|P1P2|=|x2-x1|；当x1=x2时，公式化为|P1P2|=|y2-y1|．因此公式对特殊位置同样适用，问题1的结论是公式的特例．

公式特点：①公式与两点的先后顺序无关；②公式中只涉及两点的坐标，正负号在平方后自动消去；③距离是一个非负实数．

三  新知巩固