4.4.3 不同函数增长的差异 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

教学设计-高中数学人教A版必修 第一册

2026-2027学年 4.4.3 不同函数增长的差异

课时：1 课时（40 分钟）　课型：新授课

一、教材分析

本节课选自人民教育出版社A版《普通高中教科书·数学·必修 第一册》第四章《指数函数与对数函数》第4.4节第3小节《不同函数增长的差异》，是学生在学习了指数函数、对数函数和幂函数之后，对函数学习的一次梳理和总结。本节提出函数增长快慢的问题，通过函数图象及三类函数的性质，完成对函数增长快慢的认识，既是对前面三种函数学习的总结，也为后续研究函数性质、运用函数模型刻画现实问题做好方法上的铺垫。

教材以实际问题为背景，引导学生经历"作图—观察—比较—归纳"的探究过程，借助具体函数的图象与数值表，直观感受"直线上升""对数增长""指数爆炸"三种不同的增长方式，体现了数形结合与从特殊到一般的思想方法，培养和发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

二、学情分析

1.认知基础：学生已经学习了一次函数、指数函数、对数函数的单调性，对线性函数已有认知基础，其变化规律非常直观，它在整个定义域上的变化速度恒定，即，图象是一条直线，呈"直线上升"；对指数函数、对数函数的增长规律也有了初步的直观认识。

2.认知障碍：如何从定性（图象直观）到定量（数值比较）来研究不同函数的增长差异，是学生学习本节课的主要障碍。学生容易凭直观感觉认为"增长快的图象一直在上面"，而忽视了两类函数图象有交点、增长速度在不同区间内大小关系会发生反转的情况，需要通过列表计算与图象观察相结合的方式加以突破。

因此，教学中要充分利用信息技术的列表与画图功能，让学生在"数"与"形"的两个维度上反复对照，逐步形成对函数增长差异的理性认识。

三、教学目标（核心素养目标）

1.了解指数函数、对数函数、线性函数（一次函数）的增长差异，能借助图象和数值表比较它们的增长速度。

2.理解"对数增长""直线上升""指数爆炸"的含义，能根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数。

3.了解函数的建模过程，体会函数模型在刻画现实问题中的作用。

核心素养：经过探究对函数图象的观察，理解对数增长、直线上升、指数爆炸，培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；在认识函数增长差异的过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学应用的意识，发展数学抽象、逻辑推理、数学运算与直观想象素养。

四、教学重难点

重点：函数增长快慢比较的常用方法（图象比较法、数值比较法）。

难点：了解影响函数增长快慢的因素；从定性到定量认识指数函数与一次函数、对数函数与一次函数增长差异的本质。

五、教学方法与教学准备

教学方法：探究发现法、讲授法与小组讨论法相结合、多媒体辅助教学法、讲练结合法。

教学准备：多媒体课件（含两种奖励方案对比图、函数数值表、三类函数图象动画）、几何画板或图形计算器、课堂练习学案。

六、教学过程（40 分钟）

（一）情境导入（约 5 分钟）

教师出示情境：小明假期到一家公司勤工俭学，公司给出两种日薪奖励方案。方案A：每天固定获得30元；方案B：第1天获得1元，第2天获得2元，第3天获得4元，即第天获得元（）。如果你是小明，你会选择哪种方案？

图1  两种奖励方案的金额对比

教师引导学生列表计算：方案A每天都是30元；方案B第1天到第5天分别为1，2，4，8，16元，都不及方案A；但从第6天起，方案B得到=32元，开始反超；第11天将达到=1024元，远远超过方案A。

学生活动：观察图1，自由发言，教师不做判断，而是引导学生进一步观察、研探：两种方案对应的函数在区间[0，+∞）上的增长有什么差异？你能描述一下指数函数增长的特点吗？

设计意图：以贴近学生生活的"奖励方案选择"引入，制造认知冲突——"前期划算"的方案后期反而吃亏，激发学生的探究欲望，自然引出本节课要研究的"不同函数增长的差异"问题。

（二）探究新知（约 15 分钟）

探究1：指数函数与一次函数增长的差异

选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0，+∞）上的增长差异。不妨以函数和为例。

利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一个直角坐标系中画出它们的图象。

可以看到，函数和的图象有两个交点，。如图2，在区间(0，0.5)上，函数的图象位于的图象之上；在区间(0.5，1)上，函数的图象位于的图象之下；在区间(1，+∞)上，函数的图象位于的图象之上。