1.4.2 充要条件 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

年级

高一

学科

数学

教师

课题

1.4.2 充要条件

教学目标

数学抽象

结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，经历从具体命题中抽象概括出充要条件定义的过程，培养数学抽象素养。

逻辑推理

会对某些命题的充要条件进行判断与证明，掌握由条件推结论、由结论溯条件的双向推理模式，培养逻辑推理素养。

数学运算

在判断命题真假、证明充要关系的过程中，规范书写推理与运算步骤，提高数学表达的准确性与严谨性。

直观想象

借助集合观点理解充分条件、必要条件与充要条件，体会逻辑关系与集合关系之间的对应，培养直观想象素养。

教学重难点

1.充要条件的意义，判断 p 是 q 的充分条件、必要条件、充要条件的方法（重点）；2.充要条件的证明，充分性与必要性的区分（难点）。

教学过程

教师活动

学生活动

导入新课

教师：同学们，上一节课我们学习了充分条件与必要条件，学会了判断"若 p，则 q"型命题中 p 与 q 的条件关系。先请大家判断下面四个命题及其逆命题的真假：

（1）p：x＞2，q：x＞0；

（2）p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；

（3）p：两个三角形全等，q：两个三角形的面积相等；

（4）p：＝1，q：x＝1。

教师追问：①每个命题中，p 是 q 的什么条件？q 又是 p 的什么条件？②哪些命题中，p 既是 q 的充分条件又是 q 的必要条件？

教师引导学生发现：命题（1）（3）中，"若 p，则 q"与"若 q，则 p"都是真命题，即 p 与 q 能够互相推出。像这样特殊而重要的条件关系，就是我们今天要研究的——充要条件。

设计意图：从学生熟悉的具体命题出发，通过判断命题及其逆命题的真假，制造认知冲突，自然引入充要条件的概念。

回顾充分条件、必要条件的意义，判断四个命题及其逆命题的真假，思考教师提出的问题，尝试发现"互相推出"的特殊关系。

新课讲授（一）——充要条件的定义与判断

一、充要条件的定义

一般地，如果"若 p，则 q"和它的逆命题"若 q，则 p"均是真命题，即既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作 p⇔q。此时，p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件，我们说 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件。

二、判断充要条件的方法

将判断 p 是否为 q 的充要条件的问题，转化为判断命题"若 p，则 q"及其逆命题"若 q，则 p"的真假的问题：两者都真，p 是 q 的充要条件；若只有"若 p，则 q"为真，则 p 仅是 q 的充分条件；若只有"若 q，则 p"为真，则 p 仅是 q 的必要条件。

【例1】下列各题中，哪些 p 是 q 的充要条件？

（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；

（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边对应成比例；

理解充要条件的定义，独立判断例1中四个命题的条件关系，交流讨论并互相订正。

（3）p：xy＞0，q：x＞0，y＞0；

（4）p：x＝1 是一元二次方程 a＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根，q：a＋b＋c＝0。

【解答】

（1）正方形的对角线互相垂直且平分，故"若 p，则 q"为真；反之，对角线互相垂直且平分的四边形可能是菱形（如内角不是直角的菱形），不一定是正方形，故"若 q，则 p"为假。所以 p 不是 q 的充要条件。

（2）"若 p，则 q"与"若 q，则 p"均为真（相似三角形的基本判定性质），所以 p 是 q 的充要条件。

（3）由 xy＞0 知 x、y 同号，可能同为负数，推不出 x＞0 且 y＞0，"若 p，则 q"为假，所以 p 不是 q 的充要条件。

（4）由 x＝1 是方程的根，得 a＋b＋c＝0，"若 p，则 q"为真；反之，当 a＋b＋c＝0 时，x＝1 满足方程，即 x＝1 是方程的一个根，"若 q，则 p"为真。所以 p 是 q 的充要条件。

设计意图：借助学生熟悉的数学命题，理解 p 为 q 的充要条件就是"若 p，则 q"和"若 q，则 p"都为真命题，掌握判断充要条件的基本方法。

新课讲授（二）——充要条件的证明

三、充要条件的证明

【例2】已知：⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d。求证：d＝r 是直线 l 与⊙O 相切的充要条件。

教师引导：证明之前先明确两点——①证明充分性时，把 d＝r 作为条件，推直线 l 与⊙O 相切；②证明必要性时，把直线 l 与⊙O 相切作为条件，推 d＝r。

证明：设 p：d＝r，q：直线 l 与⊙O 相切。

（1）充分性（p⇒q）：如图1，作 OP⊥l 于点 P，则 OP＝d。若 d＝r，则点 P 在⊙O 上。在直线 l 上任取一点 Q（异于点 P），连接 OQ。在 Rt△OPQ 中，OQ＞OP＝r，所以除点 P 外，直线 l 上的点都在⊙O 的外部，即直线 l 与⊙O 仅有一个公共点 P，所以直线 l 与⊙O 相切。

图1　直线与圆相切（d＝r）

（2）必要性（q⇒p）：若直线 l 与⊙O 相切，不妨设切点为 P，则 OP⊥l，因此 d＝OP＝r。

由（1）（2）可得，d＝r 是直线 l 与⊙O 相切的充要条件。

分析题意，讨论"充分性证什么、必要性证什么"，在教师板书示范后独立书写完整证明过程。