3.2.1 双曲线的标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1双曲线的标准方程 1 1 学习目标 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.（重点） 了解双曲线的标准方程的推导过程.（重点） 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.（难点） 2 2 温故知新 复习椭圆的学习路径 椭圆的现实背景与几何情境 椭圆的几何特征与概念 椭圆的标准方程 椭圆的简单几何性质 范围、对称性、 顶点、离心率 椭圆的实际应用 3 3 新知探究（一） 思考： 我们知道，平面内与两个定点的距离的和等于 常数（大于 ）的点的轨迹是椭圆． 那么，平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？ 4 3 新知探究（一） 探究：为了研究这个问题，我们先来探究一下 5 3 新知探究（一） 发现：当点M靠近定点时，； 当点M靠近定点时，． 总之，点M与两个定点，距离的差的绝对值是一个常数. 这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支． 6 3 新知探究（一） 定义：一般地，我们把平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于) 的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 追问： 若将定义中的“绝对值”去掉，动点的轨迹会发生什么变化？ 答案：动点的轨迹是双曲线的一支． 7 3 新知探究（一） 定义：一般地，我们把平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于) 的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 课后思考 平面内到两个定点的距离之差的绝对值为非零常数 (若非零常数等于) 的点的轨迹是什么？ (若非零常数大于)的点的轨迹是什么？ (若距离之差等于零)的点的轨迹又是什么？ 8 3 新知探究（二） 回顾推导椭圆标准方程的步骤及方法，能否类比椭圆推导双曲线的标准方程？ 根据椭圆的几何特征建立适当的直角坐标系 明确椭圆上的点满足的几何条件 将几何条件转化为代数表示列出方程 化简方程 检验方程 9 3 新知探究（二） 回顾推导椭圆标准方程的步骤及方法，能否类比椭圆推导双曲线的标准方程？ 追问1 如何建立适当的平面直角坐标系？ 答案：根据双曲线具有对称性，类比椭圆， 建立以点F1和F2所在直线为x轴，线段F1F2的 垂直平分线为y轴的平面直角坐标系Oxy ． 10 3 新知探究（二） 回顾推导椭圆标准方程的步骤及方法，能否类比椭圆推导双曲线的标准方程？ 追问2 双曲线上的点满足什么条件呢？你能用集合语言表示出来吗？ 答案：根据双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合 . 11 3 新知探究（二） 回顾推导椭圆标准方程的步骤及方法，能否类比椭圆推导双曲线的标准方程？ 追问3 上面集合中的等式，如何用坐标表示？ 答案：设M()是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为， 那么焦点的坐标分别是．根据两点距离公式得： 所以 12 3 新知探究（二） 回顾推导椭圆标准方程的步骤及方法，能否类比椭圆推导双曲线的标准方程？ 追问4 如何化简上述方程？ 答案：类比椭圆标准方程的化简过程，将①式移项，然后左右 同时平方得 化简得 两边同除以 类比椭圆标准方程的建立过程，令,其中, 代入上式，得 ② 13 3 新知探究（二） 提升小结 从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标(x，y)都是上述方程② 的解，反过来，以上述方程②的解为坐标的点(x，y)与双曲线的两个焦点 ,的距离之差的绝对值为2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上，我们称方程②是双曲线的方程， 这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在x轴上， 焦点分别是,的双曲线，这里． 14 3 新知探究（二） 思考：类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？ 如图所示，双曲线的焦距为，焦点分别为, 以的中垂线为轴,所在直线为y轴建系． 类比椭圆，我们可得焦点在y轴上的双曲 线的标准方程： 综上可得：若项的系数是正数，则双曲线的焦点在x轴上； 若项的系数是正数，则双曲线的焦点在y轴上． 15 4 学以致用 例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1 (-5，0) ， F2 (5，0) ， 双曲线上一点P与F1 ， F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． 解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 由2c=10，2a=6，得c=5，a=3． 因此，． 所以，双曲线的标准方程为 ． 16 4 学以致用 例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s， 且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 解：如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴 上，并且原点O与线段AB的中点重合． 设炮弹爆炸点P的坐标为(x，y) ，则 ， 即． 17 4 学以致用 例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s， 且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． (续)又，所以2c=800，c=400,． 因为 ，所以点P轨迹是双曲线的右支， 因此． 所以炮弹爆炸点的轨迹方程为 ． 18 5 归纳总结 1. 你能说说用坐标法研究双曲线的具体过程吗？ 2. 椭圆是研究的第一类圆锥曲线，对双曲线的研究， 我们采用的是类比的方法，你能说说具体的类比内容吗？ 3. 双曲线的几何特征是什么？这些几何特征在研究双曲 线时有什么作用？ 再见！ 19 $