2.4.2 圆的一般方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.2圆的一般方程 1 1 复习回顾 ,半径 r 圆的标准方程 几何描述 代数表达 2 直线有四种特征式，它们都可以转化为一般式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 二元一次方程 3 问题1.类比直线形式的转化，圆的标准方程是否还可以化为 其他的形式？ 试一试：将圆的标准形式展开，会得到什么形式？ 展开得 D E F 即 二元二次方程 2 探索新知 4 问题2.每个圆的方程都能展开成二元二次方程 的形式，反过来，这一形式的方程一定能通过恒等变形为圆的标准 方程吗？ 探究活动：请每个同学写出一个形如上式的二元二次方程，然后判断它是否是圆的方程？如果是，写出圆心和半径 5 将方程（1）配方得 问题3.方程 什么条件下表示圆？ 6 圆的一般方程 问题4. 圆的一般方程具有什么特征？ 问题3.方程 什么条件下表示圆？ 7 问题5.圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ 1.圆的标准方程体现圆的几何特征，圆心（a,b）半径r 2.圆的一般方程体现圆的代数特征 3.两者可以互化 重（形） 重（数） 一般方程 标准方程(圆心,半径) 8 3 例题解析 例1.下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长．①x2＋y2－4x＝0；②2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；③x2＋y2＋2ax＝0. ①(x－2)2＋y2＝4，圆，圆心C(2,0)，半径r＝2. 当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，|a|为半径的圆． 解： ③原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2. 当a＝0时，方程表示点(0,0)； ② ，不表示任何图形． 9 这个圆的圆心坐标和半径。 几何方法 方法一： y x M1(1,1) M2(4,2) 0 解：设所求圆的一般方程为： 因为O(0,0),M1 (1,1),M2(4,2)都在圆上，则 ï ï ì í î F=0 D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0 所求圆的方程为: x2+y2-8x+6y=0 待定系数法 方法二： ï ï ì í î F=0 D=-8 E=6 解得 这个圆的圆心坐标和半径。 11 小结：求圆的方程 几何方法 求圆心坐标（常用两弦的中垂线的交点） 求半径 （圆心到圆上一点的距离） 写出圆的标准方程 待定系数法 列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组 解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程） (特殊情况时,可借助图象求解更简单) 设方程为 或 例3.已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆 分析： 定点B（4，3） 点M（未知） 设M(x,y),A(x0,y0) 点A运动引起点M运动 用x,y表示x0,y0代入方程 求得x,y的关系式 点A（已知） y A B M x o 13 解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标为（x0,y0） ∵M为AB的中点， ∴ 又∵点A满足（x0+1）2+y02=4 ∴（2x-4+1）2+(2y-3)2=4 整理得 点Ｍ的轨迹是以（　 ）为圆心，１为半径的圆 例3.已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆 轨迹方程 求相关点的轨迹方程采用代入法 用所求点坐标表示已知点坐标，代入已知点的方程 ∴ y A B M x o 变式:条件不变，求M点的轨迹呢？ 轨迹方程：是指点的坐标x,y满足的关系式 轨迹: 是指点在运动变化过程中形成的图形 小结：轨迹方程与轨迹的区别 4 课堂小结 小结：求圆的方程 1.采用类比的方法研究圆的一般方程 3.再次巩固用待定系数法求圆的方程 4.用代入法求相关点的轨迹方程 2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系 一般方程 标准方程(圆心,半径) 5 课后作业 1.求下列各圆的圆心坐标和半径 2.求下列各圆的方程 3.已知等腰三角形ABC的一个顶点为A（4，2），底边的一个端点为B（3，5），求底边的另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形。 谢谢 $