2.2 法拉第电磁感应定律（举一反三·讲义）物理人教版选择性必修第二册

2.2 法拉第电磁感应定律 模块二 知识精讲 情景导入 把条形磁体以不同的快慢插入同一线圈，观察灵敏电流计指针偏转角度的差异：插得越快，指针偏转越大，如下图所示。 同样的线圈、同样的磁体，为什么磁体运动越快，产生的感应电动势越大？感应电动势的大小究竟与哪些因素有关？ 知识归纳 【知识点1 法拉第电磁感应定律】 1、感应电动势 定义：在电磁感应现象中产生的电动势叫做感应电动势。 产生条件：不管电路是否闭合，只要穿过闭合回路的磁通量发生变化，或者导体切割了磁感线，电路中或导体中就会产生感应电动势。 决定因素：电路中的磁通量变化越快，电路中的感应电动势就越大，感应电动势的大小与电路中磁通量变化的快慢有关。 感应电动势与感应电流的关系： 等效电源：产生感应电动势的那部分导体相当于电源，其中的电流方向指向等效电源正极，而电源内部的电流方向与电动势方向相同。 发生电磁感应时，电路闭合时有感应电流，有感应电动势；电路不闭合时无感应电流，但有感应电动势。 电路中感应电流的大小由感应电动势和回路总电阻共同决定。 2、法拉第电磁感应定律 内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。 表达式： 单位：伏特（V）且1V=1Wb/s。 理解：感应电动势大小正比于磁通量的变化率，与磁通量及磁通量变化量大小无关。公式中，若取一段时间，则E为内的平均电动势；若 时，则E为瞬时值，故此式多用于求电动势的平均值。在Φ－t图像中，表示某时刻的斜率时，由E＝n可求得瞬时感应电动势，表示某段时间Φ－t图像的斜率时，由E＝n可求得平均感应电动势。 感应电动势的方向：①感应电动势是标量，但有方向。②感应电动势的方向规定为从电源的负极经过电源内部指向电源的正极，与电源内部电流方向一致。③感应电动势的方向可由楞次定律判断。 磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ及磁通量的变化率的比较如下表所示： 磁通量Φ 磁通量的变化量ΔΦ 磁通量的变化率 物理 意义 某时刻穿过磁场中某个面的磁感线条数 在某一过程中穿过某个面的磁通量的变化量 穿过某个面的磁通量变化的快慢 大小 计算 Φ＝BS⊥ ΔΦ＝ ＝ 注意 穿过某个面有方向相反的磁场时，则不能直接应用Φ＝B·S.应考虑相反方向的磁通量抵消以后所剩余的磁通量 开始和转过180°时，平面都与磁场垂直，但穿过平面的磁通量是不同的，一正一负，ΔΦ＝2B·S而不是零 既不表示磁通量的大小也不表示变化的多少．在Φt图象中，可用图线的斜率表示 E＝n的三种基本形式：①ΔΦ仅由B变化引起，则E＝nS；②ΔΦ仅由S变化引起，则E＝nB；③磁感应强度B和线圈面积S均变化，则E＝n。注意n匝线圈可视为由n个单匝线圈串联组成，分析问题时不要忽视n的存在。 【例1】现有100匝矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，转轴垂直于磁场，若穿过线圈的磁通量随时间变化的规律如图所示，下列说法正确的是（    ） A．时刻线圈中感应电动势为0 B．时刻线圈中感应电动势最大 C．时间内线圈中平均感应电动势为40 V D．时间内线圈中平均感应电动势为0.4 V 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】磁通量的变化量与变化率、法拉第电磁感应定律的表述和表达式 【详解】A．由图可得：在时刻磁通量为零，但磁通量的变化率（斜率）最大，根据法拉第电磁感应定律线圈中产生的感应电动势最大，故A错误； B．在时刻磁通量最大，但是变化率为零，根据法拉第电磁感应定律线圈中产生的感应电动势为零，故B错误； CD．时间内线圈中的平均感应电动势为，故C正确，D错误。 故选C。 【变式1-1】如图，一带铁芯线圈置于竖直悬挂的闭合铝框右侧，与线圈相连的导线abcd内有水平向里变化的磁场。下列哪种变化磁场可使铝框向右偏离（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】来拒去留、法拉第电磁感应定律的表述和表达式 【详解】A．由法拉第电磁感应定律可得，选项中磁场变化率越来越大，则线圈中感应电动势越来越大，感应电流越来越强，感应电流产生的磁场会越来越强，则铝框中磁通量增大，由楞次定律的运动学描述“来拒去留”可知，铝框会向左偏离，故A错误； B．选项中磁场变化率越来越小，则线圈中感应电动势越来越小，感应电流越来越弱，感应电流产生的磁场会越来越弱，则铝框中磁通量减小，由楞次定律的运动学描述“来拒去留”可知，铝框会向右偏离，故B正确； CD．选项中均匀变化，产生的恒定电动势，感应电流恒定，感应电流产生的磁场不变，铝框中磁通量不变，没有感应电流，不会偏离，故CD错误。 故选B。 【变式1-2】在半径为的无限长竖直圆柱形区域内分布有竖直向上的匀强磁场，将半径也是的光滑绝缘细环固定在水平面内，边缘正好与磁场区域重合，在细环上套有质量为、电量为（重力不计）的带电小球，俯视图如图所示。已知磁感应强度随时间变化规律为，在时刻释放小球，小球将沿细环做圆周运动，下列判断正确的是（　　） A．小球将沿逆时针方向做圆周运动 B．小球在运动过程中加速度不变 C．小球在运动一周的过程中动能增加 D．涡旋电场力做功和路径无关 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】动能定理的初步应用、小球在感生电场中的运动 【详解】A．磁感应强度B随时间变化规律为，根据楞次定律可知感生电场的方向为顺时针，所以小球将沿顺时针方向做圆周运动，故A错误； B．磁场均匀变化，产生恒定的电场，小球在运动过程中切向加速度大小不变，方向变化，向心加速度大小和方向都变化，则小球的加速度变化，故B错误； C．感生电动势大小为 小球在运动一周的过程中，根据动能定理，可得小球动能增加，故C正确； D．根据电场力做功的计算公式可知，涡旋电场的电场强度方向始终与圆弧的切向方向平行，所以涡旋电场力做功和路径有关，故D错误。 故选C。 【知识点2 导体切割磁感线时的感应电动势】 1、垂直切割 导体棒垂直于磁场运动，B、l、v两两垂直时，如图甲，E＝Blv. 2、不垂直切割 导线的运动方向与导线本身垂直，但与磁感线方向夹角为θ时，如图乙，则E＝Blv1＝Blvsinθ。 3、对公式E＝Blvsin θ的理解 对 θ的理解：当B、l、v三个量方向互相垂直时， θ＝90°，感应电动势最大；当有任意两个量的方向互相平行时， θ＝0°，感应电动势为零。 对l的理解：式中的l应理解为导线切割磁感线时的有效长度，如果导线不和磁场垂直，l应是导线在与磁场垂直方向投影的长度；如果切割磁感线的导线是弯曲的，如图所示，则应取与B和v垂直的等效直线长度，即ab的弦长。 对v的理解： ①公式中的v应理解为导线和磁场间的相对速度，当导线不动而磁场运动时，也有电磁感应现象产生． ②公式E＝Blv一般用于导线各部分切割磁感线速度相同的情况，若导线各部分切割磁感线的速度不同，可取其平均速度求电动势．如图所示，导体棒在磁场中绕A点在纸面内以角速度ω匀速转动，磁感应强度为B，平均切割速度＝vC＝，则E＝Bl＝Bωl2。 4、公式E＝Blvsin θ与E＝n的对比如下表所示 E＝n E＝Blvsin θ 区别 研究对象 整个闭合回路 回路中做切割磁感线运动的那部分导体 适用范围 各种电磁感应现象 只适用于导体切割磁感线运动的情况 条件不同 不一定是匀强磁场E＝n＝n＝n，E由决定。 导线l上各点所在处的B相同，l、v、B应取两两互相垂直的分量，可采用投影的办法。 物理意义不同 求的是Δt时间内的平均感应电动势，E与某段时间或某个过程相对应。 求的是瞬时感应电动势，E与某个时刻或某个位置相对应。 计算结果 Δt内的平均感应电动势 某一时刻的瞬时感应电动势 联系 E＝Blvsin θ是由E＝n在一定条件下推导出来的，该公式可看做法拉第电磁感应定律的一个推论。 【例2】某电磁缓冲装置如图所示，两足够长的平行金属导轨置于同一水平面内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨段与段粗糙，其余部分光滑，右侧处于竖直向下的匀强磁场中，一质量为m的金属杆垂直导轨放置，现让金属杆以初速度沿导轨向右经过进入磁场，最终恰好停在处，已知，金属杆和导轨电阻不计，下列说法正确的是（　　） A．金属杆经过时的速度为 B．在整个过程中，定值电阻R产生的热量为 C．在整个过程中，金属杆克服安培力做功等于电阻R产生的焦耳热 D．金属杆经过与区域，金属杆所受安培力做功大小相等 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】无外力作用下，水平导轨上的单杆模型 【详解】AD．设，导轨宽度为，金属杆经过时的速度为，金属杆在粗糙部分受到的摩擦力为；金属杆受到的安培力为 可知金属杆受到的安培力随速度的减小而减小；金属杆经过与区域，金属杆所受安培力做功大小关系为 金属杆从到过程，根据动能定理可得 金属杆从到过程，根据动能定理可得 联立可得 解得 故AD错误； B．根据能量守恒可得，在整个过程中，定值电阻R产生的热量为 故B错误； C．由于回路为纯电阻电路，所以在整个过程中，金属杆克服安培力做功等于回路产生的电能，即等于电阻R产生的焦耳热，故C正确。 故选C。 【变式2-1】如图所示，足够长的平行光滑金属导轨竖直放置，上端接有定值电阻R，整个装置处于垂直导轨平面的匀强磁场中。现将一金属棒从图示位置由静止释放，并开始计时，金属杆在下落过程中与导轨垂直且始终保持良好接触。设金属棒下落的加速度为a，速度为v，通过定值电阻的电荷量为q，金属棒产生的电动势为E，下落的位移为x，金属杆电阻不计，下列各物理量的关系图中正确的是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】竖直平面内的导轨单杆模型 【详解】AD．对金属杆，由牛顿第二定律有 又有， 解得 随着金属杆速度v的增大，加速度a逐渐减少，直到变为0做匀速直线运动，电动势E不可能一直增大，故AD错误； B．随着金属杆速度v的增大，加速度a逐渐减少，v-t图像的斜率减小，故B正确； C．根据电流的定义式有 q-x为正比例函数图像，故C错误； 故选B。 【变式2-2】法拉第圆盘发电机示意图如图所示。铜圆盘安装在竖直的铜轴上，两电刷P、Q分别与圆盘的边缘和铜轴接触，下列说法正确的是（　　） A．若圆盘转动的角速度均匀增大，回路电流大小恒定 B．若从上往下看圆盘逆时针转动，电刷P电势高于Q电势 C．若圆盘转动方向不变，角速度增大时电流方向不变 D．若圆盘转动角速度变为原来的2倍，则R的热功率也变为原来的2倍 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】右手定则、电功和电功率定义、表达式及简单应用、导体棒转动切割磁感线 【详解】A．圆盘转动产生的感应电动势为，若圆盘转动的角速度均匀增大，回路感应电动势均匀变大，则电流大小增大，A错误； B．根据右手定则，若从上往下看圆盘逆时针转动，则感应电动势方向由P指向圆心，可知电刷P电势低于Q电势，B错误； C．若圆盘转动方向不变，则角速度增大时感应电动势方向不变，电流方向不变，C正确； D．根据，若圆盘转动角速度变为原来的2倍，则感应电动势变为原来的2倍，根据可知，R的热功率也变为原来的4倍，D错误。 故选C。 【知识点3 电磁感应中的能量问题】 1、电磁感应现象中的能量转化 安培力做正功：电能转化为机械能，如电动机； 安培力做负功：机械能转化为电能，电流做功，产生焦耳热或其它形式的能量，如发电机。 2、处理电磁感应中能量问题的常用方法 利用克服安培力做功求解：能量的转化是通过做功来实现的，在电磁感应中要注意，安培力做的功是电能与其他形式的能相互转化的桥梁。 利用能量守恒定律求解：一般是机械能与电能的转化，即机械能的减少量等于电能的增加量。 利用电路特征求解：即利用电功、电热求解电能。 3、焦耳热的计算 电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt。 感应电流变化时，可用以下方法分析：①用动能定理，求出克服安培力做的功W安，即Q＝W安。②利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量。 4、电磁感应中通过导体电荷量的计算 回路中发生磁通量变化时，由于感应电场的作用使电荷发生定向运动而形成电流，在的时间内，迁移的电荷量为：q＝Δt＝Δt＝n·Δt＝n，磁通量变化量ΔΦ＝BΔS＝BLx。 从上式可知，感应电荷量仅有回路电阻、磁通量的变化量和匝数决定，与发生这一变化的时间、速度等其他物理量无关。 【例3】一粗细均匀、总电阻为、边长为的正方形单匝闭合金属线圈，静置于与线圈平面垂直的匀强磁场中，该磁场的磁感应强度随时间变化的关系如图所示，其中、为已知量。整个过程中，线圈无形变。下列说法正确的是（　　） A．在时间内，该线圈中产生的感应电动势为 B．在时间内，该线圈中产生的感应电动势为 C．在时间内，该线圈中产生的焦耳热为 D．在时间内，通过该线圈某截面的电量为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求线框进出磁场时通过导体截面的电量、由B-t图像计算感生电动势的大小、求线框进出磁场时电阻上生热 【详解】AB．根据法拉第电磁感应定律 可知在时间内，该线圈中产生的感应电动势为 同理在时间内，该线圈中产生的感应电动势为，故AB错误； C．根据焦耳定律可知，在时间内，该线圈中产生的焦耳热为 在时间内，该线圈中产生的焦耳热为 所以在时间内，该线圈中产生的焦耳热为，故C正确； D．在时间内，该线圈的磁通量变化为 根据法拉第电磁感应定律可得在时间内，通过该线圈某截面的电量为，故D错误。 故选C。 【变式3-1】如图所示，质量为3m的重物与一质量为m的导线框用一根绝缘细线连接起来，挂在两个高度相同的定滑轮上，已知导线框电阻为R，横边边长为L。有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场上下边界的距离、导线框竖直边长均为h。初始时刻，磁场的下边缘和导线框上边缘的高度差为2h，将重物从静止开始释放，导线框加速进入磁场，穿出磁场前已经做匀速直线运动，滑轮质量、摩擦阻力均不计，重力加速度为g。则下列说法中正确的是（　　） A．导线框进入磁场时的速度为 B．导线框进入磁场后，若某一时刻的速度为，则加速度为 C．导线框穿出磁场时的速度为 D．导线框通过磁场的过程中产生的热量 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】机械能守恒定律在绳连接系统中的应用、线框进出磁场产生的等效电路相关计算、求线框进出磁场时电阻上生热 【详解】A．线框进入磁场前，根据重物与线框组成的机械能守恒得 解得线框进入磁场时的速度为 故A错误； B．线框进入磁场后，若某一时刻的速度为，则线圈受到的安培力为 对整体，根据牛顿第二定律得 解得 故B正确； C．线框穿出磁场时，根据平衡条件得 又安培力为 联立解得线框离开磁场时的速度为 故C错误； D．设线框通过磁场的过程中产生的热量为，对从静止到刚通过磁场的过程，根据能量守恒得 联立解得 故D错误。 故选B。 【变式3-2】如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道固定在水平面上，轨道的圆心处固定了一条形磁铁．一半径为r，质量为m的金属球从半圆轨道的一端由静止释放（金属球紧贴轨道，其球心在半圆轨道的水平直径上），金属球在轨道上来回往复运动，重力加速度大小为g，空气阻力忽略不计．下列说法正确的是（   ） A．由于没有摩擦，金属球来回往复运动时，每次都能到达相同的高度 B．金属球第一次到达轨道最低点的速度是，后续每次到达最低点的速度都小于 C．金属球最终停在轨道最低点，运动过程中系统产生的总热量为mg（R-r） D．金属球运动过程中有感应电动势产生，但因没有闭合回路，所以没有产生感应电流 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】探究感应电流产生的条件、求线框进出磁场时电阻上生热 【详解】A.金属球在运动过程中，穿过金属球的磁通量不断变化，在金属球内形成闭合回路，产生涡流，金属球要产生的热量，机械能不断地减少，所以金属球能到达的最大高度不断降低，直至金属球停在半圆轨道的最低点，故A错误； B.从开始到金属球第一次到达轨道最低点的过程，根据能量守恒定律得 mg（R-r）=Q+mv2，可知，，由于机械能不断减少，所以，后续每次到达最低点的速度都小于，故B错误． C.金属球最终停在轨道最低点，根据能量守恒定律得系统产生的总热量 Q总=mg（R-r），故C正确．D.金属球运动过程中有感应电动势产生，在金属球内形成闭合回路，所以能产生感应电流，故D错误． 模块三 课后作业 解答题 1．如图，光滑金属轨道abcd和a′b′c′d′平行放置于水平面上，间距为L=0.5m，其中点b、c和b′、c′之间用光滑绝缘材料连接，bb′左侧某位置放置导体棒MN，电阻为R1=0.4Ω，质量为m1=20g，并被锁定；cc′右侧某位置放置导体棒PQ，电阻为R2=0.1Ω，质量为m2=20g，也被锁定，导体棒MN和PQ都与轨道垂直，整个水平轨道处于竖直向下磁感应强度B=2T的匀强磁场中。半径r=40cm的金属圆环，O点为圆环中心，也处于竖直向下磁感应强度B=2T的匀强磁场中，电阻为R3=0.1Ω的金属棒OA，在外力作用下，沿图示方向（俯视为顺时针）绕过O点的竖直轴以角速度ω=10rad/s匀速转动，A端与金属圆环良好接触，金属圆环与导轨a′b′用导线连接，O点用导线与导轨ab连接。不计所有导轨、连接导线、金属环和接触的电阻。问： （1）导体棒OA两端的电势差UOA和MN棒所受安培力的大小和方向； （2）若仅解除MN棒的锁定，MN棒获得v=2m/s的速度通过绝缘区域进入cc′右侧的区域，此后不与PQ相撞，则MN棒进入cc′后产生的最大热量Q1和最后静止位置与cc′的距离d为多少； （3）若同时解除MN和PQ棒的锁定，MN棒获得v=2m/s的速度通过绝缘区域进入cc′后的足够大区域，此后不与PQ相撞，经足够长时间后MN棒产生的热量Q2。 【答案】（1）-1.28V，3.2N，方向水平向右；（2）0.032J，0.02m；（3）0.016J 【难度】0.65 【知识点】感生电动势与动生电动势并存 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律有 要根据闭合电路欧姆定律有 导体棒OA两端的电势差为 MN棒所受安培力的大小为 方向：水平向右 （2）根据能量守恒有 故 根据动量定理有 解得 （3）根据动量守恒有 解得 根据能量守恒有 故 2．如图所示，质量的形线框平放于水平粗糙平面上，长度为，阻值为，和足够长且阻值不计，线框与地面的动摩擦因数，虚线左右两侧存在大小均为，方向分别为水平向左和竖直向下的匀强磁场，质量的光滑金属棒放于左侧的线框上，处于形线框之间的阻值为，线框在恒力的作用下，由静止开始向右运动，线框最终稳定时的速度=5m/s，重力加速度g=10m/s2，求： (1)线框最终稳定时，金属棒的热功率； (2)恒力F的大小； (3)从线框开始运动至其刚达到稳定速度的过程中，线框滑行距离，且系统产生的总焦耳热为Q=0.48J，求该过程中滑动摩擦力对线框做的功？ 【答案】(1)0.625W (2)F=1.2N (3) 【难度】0.65 【知识点】应用动能定理求变力做功、线框进出磁场产生的等效电路相关计算、利用平衡推论求力大小或方向 【详解】（1）线框最终稳定时,回路电流 则金属棒的热功率 （2）线框最终稳定时，线框处于平衡态，有 因为 联立解得 （3）由动能定理有 功能关系可知 联立解得 3．如图a，边长为、总电阻为的正方形导线框，以恒定速度沿轴运动，并穿过图中宽度为、磁感应强度大小为的匀强磁场区域。 （1）求ab边刚进入磁场时，线框受到的安培力大小； （2）以顺时针方向为电流的正方向，线框在图示位置时刻开始计时，请在图b中画出线框中的电流随时间变化的图像。（不用写分析和计算过程）    【答案】（1）；（2）见解析 【难度】0.65 【知识点】线框进出磁场产生的等效电路相关计算、描绘线框进出磁场区域的I-t图像 【详解】（1）边刚进入磁场时，线框中产生的电动势为 线框中的电流为 线框受到的安培力大小为 联立解得 （2）以顺时针方向为电流的正方向，线框在图示位置时刻开始计时。 时间内，线框还未进入磁场中，线框中电流为0； 时间内，边进入切割磁感线，根据右手定则可知，线框中感应电流方向为逆时针（负方向），大小为； 时间内，整个线框都在磁场中，线框中电流为0； 时间内，线框离开磁场，只有边切割磁感线，根据右手定则可知，线框中感应电流方向为顺时针（正方向），大小为。 则线框中的电流随时间变化的图像如图所示    4．如图甲所示，空间存在一有界匀强磁场，磁场的左边界如虚线所示，虚线右侧足够大区域存在磁场，磁场方向垂直纸面向里。在光滑绝缘水平面内有一长方形金属线框，ab边长为l=0.2m，线框质量m=0.1kg、电阻R=0.1Ω，在水平向右的外力F作用下，以初速度v0=1m/s匀加速进入磁场，外力F大小随时间t变化的图线如图乙所示。以线框右边刚进入磁场时开始计时，求： （1）匀强磁场的磁感应强度B； （2）线框进入磁场的过程中，通过线框的电荷量q； （3）若线框进入磁场过程中F做功为WF=0.27J，求在此过程中线框产生的焦耳热Q。 【答案】（1）0.5T；（2）0.75C；（3）0.12J 【难度】0.65 【知识点】求线框进出磁场时通过导体截面的电量、判断线框进出磁场区域的a-t图像、求线框进出磁场时电阻上生热 【详解】（1）由F-t图象可知，当线框全部进入磁场后， 则线框的加速度 由图示图象可知t=0时刻 F=0.3N 线框所受的安培力 由牛顿第二定律得 联立以上各式并代入数据解得 B=0.5T （2）线框进入磁场过程中由法拉第电磁感应定律得 由闭合电路欧姆定律得 线框进入磁场过程通过截面电量 联立解得电荷量 由匀变速直线运动得 由图知线框进入磁场的时间t=0.5s,代入数据解得 x=0.75m 所以线框进入磁场过程通过截面电量 q=0.75C （3）线框完全进入磁场时的速度 线框进入磁场过程，由能量守恒定律有 代入数据解得 Q=0.12J 5．磁悬浮物流轨道系统是通过磁场实现运输小车驱动和制动的运输技术，其示意图（俯视图）如图所示。运输小车底部装有匝数为N、总电阻为、边长为L的正方形封闭线圈。小车静置于足够长的光滑轨道上，轨道宽度略大于L。某次测试时，磁感应强度为，长度为L的驱动磁场以速度从左向右匀速穿过整个线圈。运输小车因此获得一定速度，此后小车匀速直线运动直到进入制动磁场。制动磁场区域长度为d，磁感应强度为。已知运输小车（包括线圈）质量为m，驱动与制动磁场均为匀强磁场，方向均垂直线框所在平面向下，磁场区域宽度与轨道宽度重合。求 (1)驱动磁场进入线圈时小车的加速度大小以及线圈中感应电流的方向； (2)驱动磁场进入线圈到完全覆盖线圈，线圈中流过的电荷量q； (3)线圈穿过制动磁场区域后的速度大小v与磁场长度d的关系。 【答案】(1)；逆时针方向 (2) (3)当时；当时 【难度】0.65 【知识点】求线框进出磁场时通过导体截面的电量、线框进出磁场产生的等效电路相关计算 【详解】（1）根据楞次定律可知感应电流是逆时针方向 感应电动势为 电流为 安培力为 根据牛顿第二定律，有F=ma 联立解得加速度为 （2）运动过程中线圈的速度发生变化，电流也会随之变化，对应的电荷量为 其中 联立解得 （3）驱动磁场进入和离开线圈的过程中安培力对线圈各作用一次，每次冲量可以计算为 线圈进入制动磁场后，根据（1）可知感应电动势为 电流为 安培力随着速度变化的规律为 其冲量为 可知，当时，，线圈在冲出制动磁场前速度减小为0。 当时，根据动量定理 解得线圈穿出制动磁场后的速度为 6．某电磁助推装置设计如图，超级电容器经调控系统为电路提供I=1000A的恒定电流，水平固定的平行长直导轨处于垂直水平面的匀强磁场中，a可视为始终垂直导轨的导体棒，b为表面绝缘的无人机。初始时a静止于MM′处，b静止于a右侧某处。现将开关S接1端，a与b正碰后锁定并一起运动，损失动能全部储存为弹性势能。当a运行至NN′时将S接2端，同时解除锁定，所储势能瞬间全部转化为动能，a与b分离。已知电容器电容C为10F，导轨间距为L=0.5m，磁感应强度大小为B=1T，MM′到NN′的距离为x=5m，a、b质量分别为ma=2kg、mb=8kg，a在导轨间的电阻为R=0.1Ω。碰撞、分离时间极短，各部分始终接触良好，不计导轨电阻、摩擦和储能耗损，忽略电流对磁场的影响。 (1)若S接2端，a与b分离后某时刻a棒水平向右的速度大小为v=5m/s，求此时通过a的电流大小和方向。 (2)忽略a、b所受空气阻力，当a与b的初始间距为x1=1.25m时，求a与b正碰后储存的弹性势能Ep以及一起运动至NN′时的速度大小。 (3)忽略a所受空气阻力，若b所受空气阻力大小与其速度v的关系为f=kv2（k=0.025N·s2/m2），且平行长直导轨足够长，求开关S一直接1端，a与b正碰后锁定并一起运动的最大速度大小。 【答案】(1)25A，方向从M′流向M (2)500J，20m/s (3) 【难度】0.56 【知识点】含有电容器的导轨单杆模型、双杆在等宽导轨上运动问题 【详解】（1）分离后当导体棒a水平向右的速度大小为5m/s时，根据法拉第电磁感应定律有                                            通过a的电流 联立解得I1=25A 根据右手定则可知通过a的电流方向从 流向M （2）规定水平向右为正方向，从运动至b位置过程中，由安培力提供加速度，根据牛顿第二定律有 解得 a与b正碰前，根据速度位移公式有 解得a的速度大小为 a与b碰撞过程中系统动量守恒，有 解得 根据能量守恒，可得储存的弹性势能为 解得                             ab碰后一起运动至过程中，根据牛顿第二定律有 解得 设ab一起运动至时的速度大小为，根据速度位移公式有                              解得 （3）当a棒所受安培力与b所受空气阻力大小相等时，a、b一起运动的速度最大，则有                                          代入数据解得 7．如图甲所示，竖直平面内固定着两根平行且光滑的金属导轨，导轨间距。两导轨间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小。金属棒和均垂直紧贴框架，其中棒通过一根竖直绝缘细线连接到上方的拉力传感器，并保持静止状态；棒的质量，且棒可通过装置施加竖直方向的拉力。与棒接入电路的电阻均为，框架电阻不计。时刻将棒由静止释放，同时施加拉力，拉力传感器同步记录细线拉力随时间变化的图像如图乙所示。已知在内棒上产生的焦耳热，重力加速度，求： (1)时棒的速度大小； (2)时棒受到的拉力； (3)内外力做的功。 【答案】(1)7.5m/s (2)3N (3)11.25J 【难度】0.65 【知识点】竖直平面内的导轨单杆模型 【详解】（1）由图乙可知t=0时，FT=m1g=2N 拉力随着时间逐渐增大，可知安培力向下，则有 时，，由平衡条件有 代入数据解得 EF棒切割磁感线产生感应电流，电流方向和磁场方向用右手定则判定EF棒的运动方向向下，由 感应电流为 解得 （2）从F T-t图像可知，拉力随时间线性变化，说明安培力随时间线性变化，即速度v随时间匀加速变化。 时，，由平衡条件有 由 感应电流为 解得 由 解得 t=3s时，EF棒速度为 对EF棒，有 其中 代入数据解得 （3）对EF棒，根据动能定理，有 其中 下落的高度为 联立可得 8．如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨、相距为，导轨平面与水平面的夹角，导轨电阻不计，磁感应强度为的匀强磁场垂直于导轨平面向上。长为的金属棒垂直于、放置于导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为、电阻为，两金属导轨的上端连接一个阻值也为的定值电阻，重力加速度为。现闭合开关，给金属棒施加一个方向垂直于棒且平行于导轨平面向上、大小为的恒力，使金属棒由静止开始运动。求： (1)金属棒能达到的最大速度； (2)金属棒达到最大速度一半时的加速度大小； (3)若金属棒上滑距离为时速度恰达到最大，则金属棒由静止开始上滑的过程中，金属棒上产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】倾斜平面内的导轨单杆模型 【详解】（1）设最大速度为，此时加速度为0，平行斜面方向有 据题知 导体棒切割磁感线产生电动势 已知 联解得 （2）当金属棒的速度时，同（1）可得 由牛顿第二定律有 解得 （3）设整个电路放出的热量为，由能量守恒定律有 又 所以金属棒上产生的电热 9．如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面上，导轨间距为L=1m，垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=2T。两根长度都为1m的由同种材料制成的金属棒a、b垂直导轨放置，质量分别为，金属棒a的电阻为。初始时刻两金属棒相距足够远，现给两金属棒方向相反、大小分别为的水平初速度，两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻。求： (1)金属棒b的阻值及其加速度的最大值； (2)整个运动过程中金属棒b上产生的焦耳热； (3)如果初始时刻金属棒a、b相距，经过一段时间后两棒发生弹性碰撞，求碰撞结束时金属棒a、b速度大小。 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.43 【知识点】双杆在等宽导轨上运动问题 【详解】（1）由m=ρ密LS 可知 又由 可知 初始时刻金属棒b有最大加速度，由牛顿第二定律，有 电流为 电动势为 联立解得 （2）两金属棒最后达到共同速度时，规定va方向为正方向，由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 解得v共=4m/s，Q=24J 金属棒b产生的焦耳热 （3）设两金属棒碰前速度分别为和，由动量守恒定律有 对金属棒，由动量定理得 其中电荷量 整理得 解得 设两棒碰后速度分别为和，两棒发生弹性碰撞，由动量守恒定律有 由机械能守恒定律有 解得 10．如图所示，光滑水平导轨置于磁场中，磁场的磁感应强度为B，左侧导轨间距为L，右侧导轨间距为2L，导轨均足够长。质量为m的导体棒ab和质量为2m的导体棒cd均垂直于导轨放置，处于静止状态。ab的电阻为R，cd的电阻为2R，两棒始终在对应的导轨部分运动。现给cd一水平向右的初速度v0，则： （1）稳定时ab和cd棒的速度分别是多少； （2）最终通过两导体棒的电荷量为多少； （3）从cd获得速度直到稳定过程中系统产生的焦耳热是多少？ 【答案】(1) ； ，方向均向右；(2) ； (3) 【难度】0.4 【知识点】双杆在不等宽导轨上运动问题 【详解】(1)稳定时，两棒均做匀速运动，则电路中磁通量不变，有 对ab棒，根据动量定理得 对cd棒，根据动量定理得 联立解得 ， 方向均向右。 (2) 对ab棒，根据动量定理得 解得 (3)对系统，根据能量守恒得 解得 第 5 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 法拉第电磁感应定律 模块二 知识精讲 情景导入 把条形磁体以不同的快慢插入同一线圈，观察灵敏电流计指针偏转角度的差异：插得越快，指针偏转越大，如下图所示。 同样的线圈、同样的磁体，为什么磁体运动越快，产生的感应电动势越大？感应电动势的大小究竟与哪些因素有关？ 知识归纳 【知识点1 法拉第电磁感应定律】 1、感应电动势 定义：在电磁感应现象中产生的 叫做感应电动势。 产生条件：不管电路是否闭合，只要穿过闭合回路的 发生变化，或者导体切割了磁感线，电路中或导体中就会产生感应电动势。 决定因素：电路中的磁通量变化越快，电路中的感应电动势就越大，感应电动势的大小与电路中磁通量变化的快慢有关。 感应电动势与感应电流的关系： 等效电源：产生感应电动势的那部分导体相当于电源，其中的电流方向指向等效电源正极，而电源内部的电流方向与电动势方向相同。 发生电磁感应时，电路闭合时有感应电流，有感应电动势；电路不闭合时无感应电流，但有感应电动势。 电路中感应电流的大小由感应电动势和回路总电阻共同决定。 2、法拉第电磁感应定律 内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的 成正比。 表达式： 单位：伏特（V）且1V=1Wb/s。 理解：感应电动势大小正比于磁通量的变化率，与磁通量及磁通量变化量大小无关。公式中，若取一段时间，则E为内的平均电动势；若 时，则E为瞬时值，故此式多用于求电动势的平均值。在Φ－t图像中，表示某时刻的斜率时，由E＝n可求得瞬时感应电动势，表示某段时间Φ－t图像的斜率时，由E＝n可求得平均感应电动势。 感应电动势的方向：①感应电动势是标量，但有方向。②感应电动势的方向规定为从电源的负极经过电源内部指向电源的正极，与电源内部电流方向一致。③感应电动势的方向可由楞次定律判断。 磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ及磁通量的变化率的比较如下表所示： 磁通量Φ 磁通量的变化量ΔΦ 磁通量的变化率 物理 意义 某时刻穿过磁场中某个面的磁感线条数 在某一过程中穿过某个面的磁通量的变化量 穿过某个面的磁通量变化的快慢 大小 计算 Φ＝BS⊥ ΔΦ＝ ＝ 注意 穿过某个面有方向相反的磁场时，则不能直接应用Φ＝B·S.应考虑相反方向的磁通量抵消以后所剩余的磁通量 开始和转过180°时，平面都与磁场垂直，但穿过平面的磁通量是不同的，一正一负，ΔΦ＝2B·S而不是零 既不表示磁通量的大小也不表示变化的多少．在Φt图象中，可用图线的斜率表示 E＝n的三种基本形式：①ΔΦ仅由B变化引起，则E＝nS；②ΔΦ仅由S变化引起，则E＝nB；③磁感应强度B和线圈面积S均变化，则E＝n。注意n匝线圈可视为由n个单匝线圈串联组成，分析问题时不要忽视n的存在。 【例1】现有100匝矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，转轴垂直于磁场，若穿过线圈的磁通量随时间变化的规律如图所示，下列说法正确的是（    ） A．时刻线圈中感应电动势为0 B．时刻线圈中感应电动势最大 C．时间内线圈中平均感应电动势为40 V D．时间内线圈中平均感应电动势为0.4 V 【变式1-1】如图，一带铁芯线圈置于竖直悬挂的闭合铝框右侧，与线圈相连的导线abcd内有水平向里变化的磁场。下列哪种变化磁场可使铝框向右偏离（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】在半径为的无限长竖直圆柱形区域内分布有竖直向上的匀强磁场，将半径也是的光滑绝缘细环固定在水平面内，边缘正好与磁场区域重合，在细环上套有质量为、电量为（重力不计）的带电小球，俯视图如图所示。已知磁感应强度随时间变化规律为，在时刻释放小球，小球将沿细环做圆周运动，下列判断正确的是（　　） A．小球将沿逆时针方向做圆周运动 B．小球在运动过程中加速度不变 C．小球在运动一周的过程中动能增加 D．涡旋电场力做功和路径无关 【知识点2 导体切割磁感线时的感应电动势】 1、垂直切割 导体棒垂直于磁场运动，B、l、v两两垂直时，如图甲，E＝ . 2、不垂直切割 导线的运动方向与导线本身垂直，但与磁感线方向夹角为θ时，如图乙，则E＝Blv1＝Blvsinθ。 3、对公式E＝Blvsin θ的理解 对 θ的理解：当B、l、v三个量方向互相垂直时， θ＝90°，感应电动势最大；当有任意两个量的方向互相平行时， θ＝0°，感应电动势为零。 对l的理解：式中的l应理解为导线切割磁感线时的有效长度，如果导线不和磁场垂直，l应是导线在与磁场垂直方向投影的长度；如果切割磁感线的导线是弯曲的，如图所示，则应取与B和v垂直的等效直线长度，即ab的弦长。 对v的理解： ①公式中的v应理解为导线和磁场间的相对速度，当导线不动而磁场运动时，也有电磁感应现象产生． ②公式E＝Blv一般用于导线各部分切割磁感线速度相同的情况，若导线各部分切割磁感线的速度不同，可取其平均速度求电动势．如图所示，导体棒在磁场中绕A点在纸面内以角速度ω匀速转动，磁感应强度为B，平均切割速度＝vC＝，则E＝Bl＝Bωl2。 4、公式E＝Blvsin θ与E＝n的对比如下表所示 E＝n E＝Blvsin θ 区别 研究对象 整个闭合回路 回路中做切割磁感线运动的那部分导体 适用范围 各种电磁感应现象 只适用于导体切割磁感线运动的情况 条件不同 不一定是匀强磁场E＝n＝n＝n，E由决定。 导线l上各点所在处的B相同，l、v、B应取两两互相垂直的分量，可采用投影的办法。 物理意义不同 求的是Δt时间内的平均感应电动势，E与某段时间或某个过程相对应。 求的是瞬时感应电动势，E与某个时刻或某个位置相对应。 计算结果 Δt内的平均感应电动势 某一时刻的瞬时感应电动势 联系 E＝Blvsin θ是由E＝n在一定条件下推导出来的，该公式可看做法拉第电磁感应定律的一个推论。 【例2】某电磁缓冲装置如图所示，两足够长的平行金属导轨置于同一水平面内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨段与段粗糙，其余部分光滑，右侧处于竖直向下的匀强磁场中，一质量为m的金属杆垂直导轨放置，现让金属杆以初速度沿导轨向右经过进入磁场，最终恰好停在处，已知，金属杆和导轨电阻不计，下列说法正确的是（　　） A．金属杆经过时的速度为 B．在整个过程中，定值电阻R产生的热量为 C．在整个过程中，金属杆克服安培力做功等于电阻R产生的焦耳热 D．金属杆经过与区域，金属杆所受安培力做功大小相等 【变式2-1】如图所示，足够长的平行光滑金属导轨竖直放置，上端接有定值电阻R，整个装置处于垂直导轨平面的匀强磁场中。现将一金属棒从图示位置由静止释放，并开始计时，金属杆在下落过程中与导轨垂直且始终保持良好接触。设金属棒下落的加速度为a，速度为v，通过定值电阻的电荷量为q，金属棒产生的电动势为E，下落的位移为x，金属杆电阻不计，下列各物理量的关系图中正确的是（　　） A．B．C． D． 【变式2-2】法拉第圆盘发电机示意图如图所示。铜圆盘安装在竖直的铜轴上，两电刷P、Q分别与圆盘的边缘和铜轴接触，下列说法正确的是（　　） A．若圆盘转动的角速度均匀增大，回路电流大小恒定 B．若从上往下看圆盘逆时针转动，电刷P电势高于Q电势 C．若圆盘转动方向不变，角速度增大时电流方向不变 D．若圆盘转动角速度变为原来的2倍，则R的热功率也变为原来的2倍 【知识点3 电磁感应中的能量问题】 1、电磁感应现象中的能量转化 安培力做正功：电能转化为机械能，如电动机； 安培力做负功：机械能转化为电能，电流做功，产生焦耳热或其它形式的能量，如发电机。 2、处理电磁感应中能量问题的常用方法 利用克服安培力做功求解：能量的转化是通过做功来实现的，在电磁感应中要注意，安培力做的功是电能与其他形式的能相互转化的桥梁。 利用能量守恒定律求解：一般是机械能与电能的转化，即机械能的减少量等于电能的增加量。 利用电路特征求解：即利用电功、电热求解电能。 3、焦耳热的计算 电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt。 感应电流变化时，可用以下方法分析：①用动能定理，求出克服安培力做的功W安，即Q＝W安。②利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量。 4、电磁感应中通过导体电荷量的计算 回路中发生磁通量变化时，由于感应电场的作用使电荷发生定向运动而形成电流，在的时间内，迁移的电荷量为：q＝Δt＝Δt＝n·Δt＝n，磁通量变化量ΔΦ＝BΔS＝BLx。 从上式可知，感应电荷量仅有回路电阻、磁通量的变化量和匝数决定，与发生这一变化的时间、速度等其他物理量无关。 【例3】一粗细均匀、总电阻为、边长为的正方形单匝闭合金属线圈，静置于与线圈平面垂直的匀强磁场中，该磁场的磁感应强度随时间变化的关系如图所示，其中、为已知量。整个过程中，线圈无形变。下列说法正确的是（　　） A．在时间内，该线圈中产生的感应电动势为 B．在时间内，该线圈中产生的感应电动势为 C．在时间内，该线圈中产生的焦耳热为 D．在时间内，通过该线圈某截面的电量为 【变式3-1】如图所示，质量为3m的重物与一质量为m的导线框用一根绝缘细线连接起来，挂在两个高度相同的定滑轮上，已知导线框电阻为R，横边边长为L。有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场上下边界的距离、导线框竖直边长均为h。初始时刻，磁场的下边缘和导线框上边缘的高度差为2h，将重物从静止开始释放，导线框加速进入磁场，穿出磁场前已经做匀速直线运动，滑轮质量、摩擦阻力均不计，重力加速度为g。则下列说法中正确的是（　　） A．导线框进入磁场时的速度为 B．导线框进入磁场后，若某一时刻的速度为，则加速度为 C．导线框穿出磁场时的速度为 D．导线框通过磁场的过程中产生的热量 【变式3-2】如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道固定在水平面上，轨道的圆心处固定了一条形磁铁．一半径为r，质量为m的金属球从半圆轨道的一端由静止释放（金属球紧贴轨道，其球心在半圆轨道的水平直径上），金属球在轨道上来回往复运动，重力加速度大小为g，空气阻力忽略不计．下列说法正确的是（   ） A．由于没有摩擦，金属球来回往复运动时，每次都能到达相同的高度 B．金属球第一次到达轨道最低点的速度是，后续每次到达最低点的速度都小于 C．金属球最终停在轨道最低点，运动过程中系统产生的总热量为mg（R-r） D．金属球运动过程中有感应电动势产生，但因没有闭合回路，所以没有产生感应电流 模块三 课后作业 解答题 1．如图，光滑金属轨道abcd和a′b′c′d′平行放置于水平面上，间距为L=0.5m，其中点b、c和b′、c′之间用光滑绝缘材料连接，bb′左侧某位置放置导体棒MN，电阻为R1=0.4Ω，质量为m1=20g，并被锁定；cc′右侧某位置放置导体棒PQ，电阻为R2=0.1Ω，质量为m2=20g，也被锁定，导体棒MN和PQ都与轨道垂直，整个水平轨道处于竖直向下磁感应强度B=2T的匀强磁场中。半径r=40cm的金属圆环，O点为圆环中心，也处于竖直向下磁感应强度B=2T的匀强磁场中，电阻为R3=0.1Ω的金属棒OA，在外力作用下，沿图示方向（俯视为顺时针）绕过O点的竖直轴以角速度ω=10rad/s匀速转动，A端与金属圆环良好接触，金属圆环与导轨a′b′用导线连接，O点用导线与导轨ab连接。不计所有导轨、连接导线、金属环和接触的电阻。问： （1）导体棒OA两端的电势差UOA和MN棒所受安培力的大小和方向； （2）若仅解除MN棒的锁定，MN棒获得v=2m/s的速度通过绝缘区域进入cc′右侧的区域，此后不与PQ相撞，则MN棒进入cc′后产生的最大热量Q1和最后静止位置与cc′的距离d为多少； （3）若同时解除MN和PQ棒的锁定，MN棒获得v=2m/s的速度通过绝缘区域进入cc′后的足够大区域，此后不与PQ相撞，经足够长时间后MN棒产生的热量Q2。 2．如图所示，质量的形线框平放于水平粗糙平面上，长度为，阻值为，和足够长且阻值不计，线框与地面的动摩擦因数，虚线左右两侧存在大小均为，方向分别为水平向左和竖直向下的匀强磁场，质量的光滑金属棒放于左侧的线框上，处于形线框之间的阻值为，线框在恒力的作用下，由静止开始向右运动，线框最终稳定时的速度=5m/s，重力加速度g=10m/s2，求： (1)线框最终稳定时，金属棒的热功率； (2)恒力F的大小； (3)从线框开始运动至其刚达到稳定速度的过程中，线框滑行距离，且系统产生的总焦耳热为Q=0.48J，求该过程中滑动摩擦力对线框做的功？ 3．如图a，边长为、总电阻为的正方形导线框，以恒定速度沿轴运动，并穿过图中宽度为、磁感应强度大小为的匀强磁场区域。 （1）求ab边刚进入磁场时，线框受到的安培力大小； （2）以顺时针方向为电流的正方向，线框在图示位置时刻开始计时，请在图b中画出线框中的电流随时间变化的图像。（不用写分析和计算过程）   4．如图甲所示，空间存在一有界匀强磁场，磁场的左边界如虚线所示，虚线右侧足够大区域存在磁场，磁场方向垂直纸面向里。在光滑绝缘水平面内有一长方形金属线框，ab边长为l=0.2m，线框质量m=0.1kg、电阻R=0.1Ω，在水平向右的外力F作用下，以初速度v0=1m/s匀加速进入磁场，外力F大小随时间t变化的图线如图乙所示。以线框右边刚进入磁场时开始计时，求： （1）匀强磁场的磁感应强度B； （2）线框进入磁场的过程中，通过线框的电荷量q； （3）若线框进入磁场过程中F做功为WF=0.27J，求在此过程中线框产生的焦耳热Q。 5．磁悬浮物流轨道系统是通过磁场实现运输小车驱动和制动的运输技术，其示意图（俯视图）如图所示。运输小车底部装有匝数为N、总电阻为、边长为L的正方形封闭线圈。小车静置于足够长的光滑轨道上，轨道宽度略大于L。某次测试时，磁感应强度为，长度为L的驱动磁场以速度从左向右匀速穿过整个线圈。运输小车因此获得一定速度，此后小车匀速直线运动直到进入制动磁场。制动磁场区域长度为d，磁感应强度为。已知运输小车（包括线圈）质量为m，驱动与制动磁场均为匀强磁场，方向均垂直线框所在平面向下，磁场区域宽度与轨道宽度重合。求 (1)驱动磁场进入线圈时小车的加速度大小以及线圈中感应电流的方向； (2)驱动磁场进入线圈到完全覆盖线圈，线圈中流过的电荷量q； (3)线圈穿过制动磁场区域后的速度大小v与磁场长度d的关系。 6．某电磁助推装置设计如图，超级电容器经调控系统为电路提供I=1000A的恒定电流，水平固定的平行长直导轨处于垂直水平面的匀强磁场中，a可视为始终垂直导轨的导体棒，b为表面绝缘的无人机。初始时a静止于MM′处，b静止于a右侧某处。现将开关S接1端，a与b正碰后锁定并一起运动，损失动能全部储存为弹性势能。当a运行至NN′时将S接2端，同时解除锁定，所储势能瞬间全部转化为动能，a与b分离。已知电容器电容C为10F，导轨间距为L=0.5m，磁感应强度大小为B=1T，MM′到NN′的距离为x=5m，a、b质量分别为ma=2kg、mb=8kg，a在导轨间的电阻为R=0.1Ω。碰撞、分离时间极短，各部分始终接触良好，不计导轨电阻、摩擦和储能耗损，忽略电流对磁场的影响。 (1)若S接2端，a与b分离后某时刻a棒水平向右的速度大小为v=5m/s，求此时通过a的电流大小和方向。 (2)忽略a、b所受空气阻力，当a与b的初始间距为x1=1.25m时，求a与b正碰后储存的弹性势能Ep以及一起运动至NN′时的速度大小。 (3)忽略a所受空气阻力，若b所受空气阻力大小与其速度v的关系为f=kv2（k=0.025N·s2/m2），且平行长直导轨足够长，求开关S一直接1端，a与b正碰后锁定并一起运动的最大速度大小。 7．如图甲所示，竖直平面内固定着两根平行且光滑的金属导轨，导轨间距。两导轨间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小。金属棒和均垂直紧贴框架，其中棒通过一根竖直绝缘细线连接到上方的拉力传感器，并保持静止状态；棒的质量，且棒可通过装置施加竖直方向的拉力。与棒接入电路的电阻均为，框架电阻不计。时刻将棒由静止释放，同时施加拉力，拉力传感器同步记录细线拉力随时间变化的图像如图乙所示。已知在内棒上产生的焦耳热，重力加速度，求： (1)时棒的速度大小； (2)时棒受到的拉力； (3)内外力做的功。 8．如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨、相距为，导轨平面与水平面的夹角，导轨电阻不计，磁感应强度为的匀强磁场垂直于导轨平面向上。长为的金属棒垂直于、放置于导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为、电阻为，两金属导轨的上端连接一个阻值也为的定值电阻，重力加速度为。现闭合开关，给金属棒施加一个方向垂直于棒且平行于导轨平面向上、大小为的恒力，使金属棒由静止开始运动。求： (1)金属棒能达到的最大速度； (2)金属棒达到最大速度一半时的加速度大小； (3)若金属棒上滑距离为时速度恰达到最大，则金属棒由静止开始上滑的过程中，金属棒上产生的热量。 9．如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面上，导轨间距为L=1m，垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=2T。两根长度都为1m的由同种材料制成的金属棒a、b垂直导轨放置，质量分别为，金属棒a的电阻为。初始时刻两金属棒相距足够远，现给两金属棒方向相反、大小分别为的水平初速度，两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻。求： (1)金属棒b的阻值及其加速度的最大值； (2)整个运动过程中金属棒b上产生的焦耳热； (3)如果初始时刻金属棒a、b相距，经过一段时间后两棒发生弹性碰撞，求碰撞结束时金属棒a、b速度大小。 10．如图所示，光滑水平导轨置于磁场中，磁场的磁感应强度为B，左侧导轨间距为L，右侧导轨间距为2L，导轨均足够长。质量为m的导体棒ab和质量为2m的导体棒cd均垂直于导轨放置，处于静止状态。ab的电阻为R，cd的电阻为2R，两棒始终在对应的导轨部分运动。现给cd一水平向右的初速度v0，则： （1）稳定时ab和cd棒的速度分别是多少； （2）最终通过两导体棒的电荷量为多少； （3）从cd获得速度直到稳定过程中系统产生的焦耳热是多少？ 第 5 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $