精品解析：湖北武汉市新洲区第二中学2026-2027学年高三上学期十月考数学试卷

2027届高三十月考试卷 数学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知命题：“，”，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的奇函数（不是常数函数）的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 1弧度的角与1°的角一样大 B. 锐角一定是第一象限角 C. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D. 终边落在直线上的角的集合是 10. 已知函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位得到一个偶函数图象，则（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数在上单调递增 C. 当时，函数的最大值为 D. 函数在上恰有三个不同的零点 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间单调递减，在区间单调递增 C. 关于的方程有两个不同的实数解 D. 曲线有两条经过点的切线 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 在△ABC中，且（），则__________． 13. 已知函数，正数，满足，则的最小值为_______ 14. 已知函数 ，若 ，对于任意的都有 ，且在区间 上单调，则的最大值为_________. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，求函数的值域． 16. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 17. 某文创用品厂家研究发现，生产一种新产品需投入固定成本万元，每月需另投入的流动成本（万元）与成正比（其中（件）表示产量），并知当生产件该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（件）的函数关系为（万元）（其中）．记当月销售该产品件获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元（生产成本固定成本流动成本）． （1）求函数的解析式； （2）当产量为何值时，该工厂的月利润最大？最大利润是多少？（，结果精确到0.1） 18. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 （1）求角C的大小； （2）若，求的周长的取值范围． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若对于任意的，都有恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三十月考试卷 数学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知命题：“，”，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】根据全称量词命题否定法则可知： 命题：“，”的否定为“，” 2. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，定义域是，， 切点为，所以切线斜率， 因为切点为，斜率为0，所以切线方程为，即. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造，并利用导数、对数的性质研究大小关系即可. 【详解】设函数，则， 所以为减函数，则，即，又， 所以． 故选：D 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数平方关系，结合必要不充分性的判断即可求解. 【详解】由，则，故充分性不成立， 由，则，故必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 6. 若函数在区间上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得函数的对称轴为，进而可得，即得. 【详解】又可得的对称轴为， 当时，，当时，，当时，， 因，由题意，可得， 故选：B 7. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断得函数是定义在上的奇函数，所以对恒成立等价于对恒成立，化简可得对恒成立，令，，由基本不等式化简计算即可求解. 【详解】因为函数定义域为，且， 所以函数是定义在上的奇函数， 所以对恒成立等价于对恒成立， 即，化简可得， 令，， 因为，所以， 当且仅当，时，等号成立，即， 同理可得， 要使不等式对恒成立， 则，即， 所以实数的取值范围为. 8. 定义在上的奇函数（不是常数函数）的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用构造偶函数，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式. 【详解】根据题意可构造函数， 则， 因为当时，，则， 所以在区间上为增函数， 又由于为奇函数，为奇函数，所以为偶函数， 则在区间上为减函数， 又，即， 所以，解得或， 则不等式的解集为. 故选：A. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 1弧度的角与1°的角一样大 B. 锐角一定是第一象限角 C. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D. 终边落在直线上的角的集合是 【答案】BC 【解析】 【分析】依据 1 弧度约为 判断 A 错,由锐角与第一象限角的范围差异判定 B 正确,代入扇形面积公式求出半径后用弧长公式算得弧长验证 C 正确,分析直线 终边对应的角集,对比 D 选项集合的含义,得出 D 错误. 【详解】根据弧度制的定义可知1弧度的角约等于，故A选项错误； 锐角，第一象限角（），B选项正确； 扇形面积公式：（为圆心角弧度数，r为半径）， 代入，，则，解得， 扇形弧长公式：，代入，，则，选项C正确； 直线即，过第二、四象限， 在内，终边在上的角为：，， 因此终边落在上的角的集合为：， 也可写成：， 而可以拆成：终边在直线上， 和：终边在直线上， 即该集合表示终边在或上的所有角， 与真正只落在上的集合S不相等，选项D错误； 10. 已知函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位得到一个偶函数图象，则（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数在上单调递增 C. 当时，函数的最大值为 D. 函数在上恰有三个不同的零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知求得函数的解析式，代入验证是否成立可判断A；求出函数的单调递增区间可判断B；求出在给定区间上的最大值可判断C；解方程可判断D. 【详解】由题意得，，所以， 将其图象向右平移个单位得到得到偶函数，所以 ， 所以， 因为，所以，所以， 对于A， ，正确； 对于B，由于函数的单调递增区间为， 即，当时，， 因为，所以函数在上是单调递增函数，正确； 对于C；当时，，所以 函数的最大值为1，错误； 对于D，函数， 所以或， 或，所以时， 在上恰有3个不同的零点，正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，其中解答中利用已知条件求出的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考了学生的计算能力，属于基础题. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间单调递减，在区间单调递增 C. 关于的方程有两个不同的实数解 D. 曲线有两条经过点的切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】先确定函数定义域为，求导得到，以此分析单调性、极值最值，再结合零点定义、切线方程逐一判断选项. 【详解】对于A，令，因为，所以，解得，是唯一零点，故A正确； 对于B，，令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故B正确； 对于C，由B知最小值为，故无实根，故C错误； 对于D，设切点为，切线斜率为， 切线方程为，代入化简得. 设，， 在单调递减，在单调递增， 最小值，且，故有两个零点，即存在两条切线，故D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 在△ABC中，且（），则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由正弦定理边化角得到，再由即可求解. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又，所以，所以，即， 所以或，又， 所以，所以为锐角，所以. 13. 已知函数，正数，满足，则的最小值为_______ 【答案】9 【解析】 【详解】，定义域为， ，故是奇函数， ，所以在单调递增， 由，得 ， 因为单调递增，所以，即， 由题意得，，， ，当且仅当，即时取等号， ，解得，满足， 故，即最小值为. 14. 已知函数 ，若 ，对于任意的都有 ，且在区间 上单调，则的最大值为_________. 【答案】18 【解析】 【分析】根据正弦型函数 的性质和题目给出的条件，运用最小正周期与的关系，对称轴对称点的特点求解. 【详解】由于 ，则的图像关于直线 对称， 则 …①， ）…②， ①-②得， ，令， 则 ， 的最小正周期， 在区间上单调， ， ，解得， 当时，，则②式为， 又，此时 ， 当 时， ， 此时不单调，不符合题意，舍去； 当时，，则②式为 ，又 ，当 时，，当时， ， 此时 ，当 时， ， 此时单调，符合题意， 故答案为：18. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，求函数的值域． 【答案】（1）；增区间， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换，化简得 ，再根据正弦函数的周期性及单调性求解即可； （2）由 得 ，利用正弦函数的单调性与最值可求函数 的值域. 【小问1详解】 因为 ， 所以 的最小正周期 ； 令 ， ，得 ，， 故增区间为，. 【小问2详解】 由 ，得 ，所以 故 ， 所以值域为 . 16. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和差的正余弦公式及辅助角公式求解即可. （2）根据同角的三角函数关系、诱导公式及二倍角公式求解即可. 【小问1详解】 由，得， 整理得，即， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以. 故 . 17. 某文创用品厂家研究发现，生产一种新产品需投入固定成本万元，每月需另投入的流动成本（万元）与成正比（其中（件）表示产量），并知当生产件该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（件）的函数关系为（万元）（其中）．记当月销售该产品件获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元（生产成本固定成本流动成本）． （1）求函数的解析式； （2）当产量为何值时，该工厂的月利润最大？最大利润是多少？（，结果精确到0.1） 【答案】（1） （2）当时有最大利润为万元． 【解析】 【分析】（1）设，根据可求出的值，再根据可得出函数的解析式； （2）利用导数分析函数在上的单调性与极值，即可得出函数的最大值，即可得出结论. 【小问1详解】 设，代入，得，所以， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以万元， 所以当时有最大利润为万元． 18. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 （1）求角C的大小； （2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1）. （2）△的周长的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理的得到，进而由余弦定理得到，可求得C； （2）由（1）可得，结合三边关系定理可求得△ABC的周长的取值范围． 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 由正弦定理可得， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以，所以， 当且仅当时取等号， 又，所以△的周长的取值范围为． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若对于任意的，都有恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，可得，再分类讨论的取值，得出导数的正负即可得出单调区间； （2）对进行分类讨论，根据导数的正负求得的最小值，判断是否满足，即可求解． 【小问1详解】 对求导，可得， 令，即，即， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，， 当时，在上单调递减； 当时， ，在上单调递增； 综上，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 因为对于任意的，都有恒成立， 对求导，可得， 令，即，即， ①当时，，则在单调递增，，符合题意； ②当时，，则， 则，在单调递增，，符合题意； ③当时，，则， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 所以， 令，则， 所以在上单调递减，所以，不合题意； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $