4.3 用一元一次方程解决问题—数字与年龄问题 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第4章 一元一次方程——数字与年龄问题 专题复习讲义 —学年苏科版七年级数学上册 学生版 这类问题常把几个数、几个数位或几个人在不同时间的年龄放在一起比较。 解题时，先选一个量设为未知数，用含这个未知数的式子表示其余量， 再根据题目中的相等关系列方程。解出未知数后， 还要检查所得的数是否为所要求的整数、数字或年龄。 内容导航 一、连续整数与连续奇偶数 二、数位变化与原数反求 三、不同时间的年龄关系 四、分层训练 A组 巩固基础 B组 突破难点 C组 综合应用 D组 期中期末真题衔接 一、连续整数与连续奇偶数 连续的含义 相邻两个连续整数相差。例如，若最小的整数为， 四个连续整数可以表示为、、、。 相邻两个连续奇数相差，相邻两个连续偶数也相差。例如，若中间的数为， 三个连续奇数或连续偶数可以表示为、、。区别在于： 表示连续奇数时必须是奇数，表示连续偶数时必须是偶数。 连续整数不一定都是正数。题目说“正整数”时，求出的每个数还必须大于； 没有这个要求时，不应自行排除或负整数。 选一个数表示其余的数 数的个数较少时，可以设最小的数为，再依次加或加。 若有三个或五个连续数，设中间的数为，前后对称表示，求和往往更简洁。 这只是两种设元方式，不改变题目中的数量关系。 微例 三个连续奇数的和为，求这三个数。 设中间的奇数为，另外两个数为、。由题意， 得，解得。因此三个数为、、。 它们都是奇数，相邻两数的差为，且和为。 看清参加比较的是哪些数 题目可能比较全部数的和，也可能只比较其中一部分，或先擦去某个数再求和。 先把各个数按顺序写出来，再选取题目要求的部分。 例如，四个连续整数为、、、，擦去第三个数后， 剩余三个数的和为，不能仍把四个数全部相加。 若题目只给出两种可能的位置，就分别按这两种位置列式， 再检查所得的数是否符合要求。 微例 三个连续整数中，擦去第一个数或第二个数后，剩余两个数的和为， 求原来的三个整数。 设中间的数为，则三个数为、、。若擦去第一个数， 得，解得，原数为、、；若擦去第二个数， 得，解得，不是整数。因此原数为、、， 擦去的是第一个数。 解出后检查整数性与奇偶性 方程的解不一定符合“连续整数”“连续奇数”或“连续偶数”的要求。例如， 若三个连续整数的和为，设中间的数为，则，所得不是整数， 因此不存在这样的三个连续整数。不能把结果四舍五入后作答。 连续奇数或偶数还多一项检查：即使是整数，也要检查它是奇数还是偶数。 最后将各数代回原题，检查总和、差或倍数关系是否成立。 日历中的固定间隔 按每周七天排列的日历中，同一行左右相邻的日期相差， 同一竖列上下相邻的日期相差。读日历题时，先看清圈出的位置， 再按对应间隔表示各个日期。 微例 某月日的下一行同列日期是日， 再下一行同列日期是日。因此这三个竖排日期为、、， 不能按、、表示。 若按题目给出的月历表计算， 还应检查求出的日期能否在表中组成题目要求的图形， 不能把超过当月日期范围的数当作日期。 典例1、 三个连续偶数的和比其中最大的数的倍大，求这三个偶数。 变式1-1、 四个连续整数按从小到大的顺序排列，后两个数的和比前两个数的和的倍少， 求这四个整数。 变式1-2、 下列各数中，能作为三个连续偶数之和的是（　　）。 ．　　．　　．　　． 变式1-3、 小宁在纸上从小到大写了五个连续整数，擦去第二个数后， 剩余四个数的和是。求被擦去的数以及原来的五个整数。 二、数位变化与原数反求 数字与整个数不能混淆 十位数字为、个位数字为的两位数是，不是。 这里是至的整数，是至的整数。 若两个数字的和已知为，设十位数字为，个位数字就是， 原数为。若个位数字比十位数字小，设十位数字为， 个位数字就是，原数为。这样只用一个未知数表示两个数字。 数位改变后重新按位值表示 同一个数字处在不同数位，表示的值不同。以为例： 操作 得到的数 按位值计算 交换十位与个位 在两个数字之间插入 在右边添上 在左边添上 在中间插入，不是把原数加；在左边添与在右边添，得到的数也不同。 当题目讨论一组数字整体移动时，可以把这组数字表示的整个数设为， 不必再分设每一位。若一个三位数的个位数字为， 删去个位数字后保留的两位数为，则原数为。这里表示一个两位数， 不表示某一个数位上的数字。 直接改变某一位上的数字，也要按位值计算。例如， 把的十位数字减、个位数字加，得到。十位数字减使原数减少， 个位数字加使原数增加，合起来减少。 这样的操作还须保证改变后的首位不为，每个数位上的数字仍为至的整数。 还要区分“一个两位数”与“末两位数字表示的数”。例如，末两位为时， 这两位表示的数是，它不是两位数。如果题目要求操作后仍为两位数， 就不能以开头；如果只取末两位所表示的数，且允许前面为， 就应按实际数值计算。 利用新数与原数的关系反求 按“原数怎样表示—操作后怎样表示—两数有什么相等关系”的顺序列式。 常见关系有两数的和、差，以及一个数比另一个数的几倍多多少或少多少。 例如，设原来的两位数为，在它右边添上数字后所得的数为。 “新数比原数的倍少”可写成。解得， 原数为，所得新数为；，符合题意。 数位限制是题目条件的一部分 解出未知数后，按它原来代表的量检查： 若表示一个数字，它必须是整数，且在对应数位允许的范围内。 若表示一个两位数，它必须是至的整数。 原数首位和操作后新数的首位都不能为。例如，若题目要求交换后仍为两位数， 则原数个位不能为。 将各数位重新组成数，再代回原题检查，不能只检查方程两边相等。 若某个数位算出小数或大于的整数，这不是合法数字。 不能将它进位、取整或与相邻数位合并后当作原题答案； 那样会改变“某一位上的数字”这一条件。 典例2、 一个两位数的两个数字之和为。在它的十位数字与个位数字之间插入数字， 得到一个三位数。 （1）若所得三位数比原来的两位数的倍大，求原来的两位数。 （2）若所得三位数比原来的两位数的倍大， 符合条件的两位数为________；若不存在，填“不存在”。 变式2-1、 一个三位数的个位数字是，删去它的个位数字后，得到一个两位数。 原来的三位数比这个两位数的倍少，求原来的三位数。 变式2-2、 满足下列条件的两位数为________；若不存在，填“不存在”。 个位数字比十位数字大；交换十位数字与个位数字后， 所得两位数比原数的倍大。 变式2-3、 在一个两位数的右边添上数字， 得到的三位数比在这个两位数的左边添上数字得到的三位数的倍多。 求原来的两位数。 三、不同时间的年龄关系 先分清人物和时间 同一个人经过多少年，年龄就增加多少岁；往前推多少年，年龄就减少多少岁。 比较两个人同一时间的年龄时，双方应增加或减少相同的年数。 设哥哥今年岁，妹妹比哥哥小岁，则可以列出下表： 人物 年前 今年 年后 哥哥 妹妹 从年前到年后，一共经过年，不是只经过年。 题目比较的两个人也可能不在同一时点。例如， “哥哥年后的年龄是妹妹今年年龄的倍”，对应上表应写成， 不能把妹妹的年龄也加。 年龄差不变 倍数会变 两个人都经过年，年龄分别增加岁，二人的年龄差不变。 若今年分别为岁和岁，年后的年龄差为。 年龄的倍数关系通常会改变。例如，今年岁的人是今年岁的人的倍； 年后两人分别为岁和岁，不是的倍。因此， “几年前的几倍”不能直接用于今年。 同一时刻两人的年龄和经过年增加岁，三人的年龄和经过年增加岁。 年龄差不变，但年龄和会随人数和经过的年数一起变化。 已知年龄求时间 微例 妈妈今年岁，小乐今年岁。再过几年， 妈妈的年龄是小乐那时年龄的倍？ 设再过年，由题意，得，解得。年后， 两人分别为岁和岁，符合题意。 求“几年前”时，可以设年前，双方年龄分别减。若题目没有限定过去或未来， 也可以先按年后列式，再根据的正负确定时刻。 例如，两人今年分别为岁、岁，求前者年龄是后者倍的时刻。 按年后列方程，解得，表示这一关系出现在年前。 若原题明确只问“几年后”，这个负数不能回答成“年后”， 而应判断未来没有符合条件的时刻。题目若另规定年龄或年数必须为整数， 还应检查这一限制。 有些题不用“几年后”直接给时间， 而用“一个人长到另一个人今年的年龄时”确定时刻。此时应先求经过的年数， 再给双方都加上同一段时间。 微例 哥哥今年岁，妹妹今年岁，两人的年龄差为岁。 妹妹长到哥哥今年的岁，需要经过年，哥哥那时为岁。反过来， 哥哥的年龄等于妹妹今年的岁时，是年前，妹妹当时为岁。 时点 哥哥年龄 妹妹年龄 与今年的间隔 哥哥等于妹妹今年年龄时 岁 岁 年前 今年 岁 岁 年 妹妹等于哥哥今年年龄时 岁 岁 年后 两个时刻分别在今年之前和之后，但到今年的间隔都等于两人的年龄差。 年龄差未知时，可以把年龄差设为，再用表示这些时刻的年龄。 已知不同时间的关系求今年年龄 可以设一个人今年的年龄，也可以设他在题目某个指定时刻的年龄。选定后， 应把另一个人及其他时点的年龄全部表示清楚。 若已知年前一个人的年龄是另一个人的倍，设后者年前为岁， 则前者当时为岁；两人今年分别为岁、岁； 年后分别为岁、岁。再将年后的关系写成方程。 这里、、都表示题目给出的已知数。 若已知两人今年年龄和为岁，设一人今年岁，则另一人今年为岁； 若已知两人相差岁，设较小者今年岁，则较大者今年为岁。 年龄和与年龄差是不同的条件，不能混用。 最后检查各个时点的年龄及倍数关系。所谈时点必须在相关人物出生以后； 算出的负年龄不符合题意。若求的是过去的年数， 也应检查回推后两人的年龄仍有实际意义。 典例3、 年前，妈妈的年龄是小雨的倍；年后，妈妈的年龄是小雨那时年龄的倍。 （1）求妈妈和小雨今年的年龄。 （2）妈妈的年龄是小雨的倍时，是几年前？ 变式3-1、 爸爸今年岁，小安今年岁。再过________年， 爸爸的年龄是小安那时年龄的倍。 变式3-2、 哥哥比弟弟大岁，哥哥年后的年龄是弟弟今年年龄的倍。 求哥哥和弟弟今年的年龄。 变式3-3、 姐姐和妹妹今年的年龄和为岁。年前，姐姐的年龄是妹妹的倍。 （1）求姐姐和妹妹今年的年龄。 （2）姐姐的年龄是妹妹的倍时，妹妹几岁？ 四、分层训练 A组 巩固基础 A1、 四个连续奇数从小到大排列，第二个数为，则最大的数为（　　）。 ．　　．　　．　　． A2、 一个两位数的十位数字为，个位数字比十位数字的倍大， 则这个两位数可以表示为（　　）。 ．　　．　　．　　． A3、 小月今年岁，妈妈今年的年龄是小月的倍。年后，妈妈比小月大（　　）。 ．岁　　．岁　　．岁　　．岁 A4、 五个连续偶数的和为，则其中最大的偶数为________。 A5、 一个两位数的两个数字之和为，个位数字是十位数字的倍， 这个两位数为________。 A6、 哥哥今年岁，妹妹今年岁。________年前，哥哥的年龄是妹妹的倍。 A7、 三个连续整数中，最大的数比最小的数的倍少，求这三个整数。 A8、 爸爸和小林今年的年龄和为岁，爸爸今年的年龄是小林的倍。 求两人今年的年龄。 B组 突破难点 B1、 四个连续整数从小到大排列，前三个数的和比后两个数的和少， 则这四个整数中最小的数为________。 B2、 五个连续整数从小到大排列。擦去一个数后，剩余四个数的和为。 已知被擦去的数比原来最小的数的倍少。 求原来的五个整数，并指出被擦去的是第几个数。 B3、 把一个两位数的十位数字减、个位数字加后，得到的两位数是原数的。 求原来的两位数。 B4、 一个三位数的百位数字是。删去百位数字后， 剩下的两个数字表示的数是原数的，这个三位数为（　　）。 这里剩下的数字若为，就按数计算。 ．　　．　　．　　． B5、 一个两位数的个位数字是十位数字的倍。 在它的十位数字与个位数字之间插入数字后， 所得三位数与原数的差为或。求所有符合条件的原两位数。 B6、 姐姐比妹妹大岁。姐姐年后的年龄是妹妹年前年龄的倍。 求姐姐和妹妹今年的年龄。 B7、 爸爸今年的年龄是小明的倍。当小明的年龄等于爸爸今年的年龄时， 爸爸岁。求爸爸和小明今年的年龄。 B8、 年后，妈妈和小禾的年龄和为岁；年前，妈妈的年龄是小禾的倍。 求两人今年的年龄。 C组 综合应用 C1、 六个连续整数从小到大排列。擦去其中两个数，这两个数相差， 剩余四个数的和为。 求原来的六个整数及被擦去的两个数的所有可能情况。 C2、 姐姐和弟弟今年的年龄都是两位整数。姐姐今年年龄的十位数字比个位数字大， 把这两个数字交换，所得两位数恰好是弟弟今年的年龄。年前， 姐姐的年龄是弟弟的倍。求两人今年的年龄。 C3、 爸爸对小林说：“当我的年龄等于你今年的年龄时，你岁； 当你的年龄等于我今年的年龄时，我岁。”求爸爸和小林今年的年龄。 C4、 三兄弟今年的年龄是三个连续偶数。再过若干年， 当大哥的年龄等于二哥今年年龄的倍时，三兄弟那时的年龄和为岁。 求三兄弟今年的年龄，并求再过多少年到达这个时刻。 D组 期中期末真题衔接 期中期末真题 D1、 （年北京市顺义区七年级上学期期末第题） 在下面的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数。如果设这三个数的和是， 那么这三个数中间的数用含有的代数式表示为（　　）。 ．　　．　　．　　． D2、 （年人大附中七年级上学期期末第题第（1）问节选） 小明对正整数的规律进行探索研究， 他希望找到同时满足以下三个条件的个正整数，，，，。 ①，，是三个连续偶数（）； ②，是两个连续奇数（）； ③。 若，那么________，判断此时符合上述条件的， 的值是否存在？答：________（填“存在”“不存在”或“无法确定”）。 原创题型迁移 D3、 一个两位数的个位数字比十位数字大。 把这个两位数的十位数字再写到它的右边， 得到的三位数比原两位数的倍大。 （1）求原来的两位数。 （2）若把原数的十位数字写到原数的左边，所得的三位数是多少？ D4、 小杰翻看一张旧照片。拍照时，爸爸的年龄是小杰的倍；拍照年后， 两人的年龄和为岁；今年，爸爸的年龄是小杰的倍。 （1）求拍照时爸爸和小杰的年龄。 （2）这张照片是几年前拍摄的？求爸爸和小杰今年的年龄。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 一元一次方程——数字与年龄问题 专题复习讲义 —学年苏科版七年级数学上册 教师详解版 这类问题常把几个数、几个数位或几个人在不同时间的年龄放在一起比较。 解题时，先选一个量设为未知数，用含这个未知数的式子表示其余量， 再根据题目中的相等关系列方程。解出未知数后， 还要检查所得的数是否为所要求的整数、数字或年龄。 内容导航 一、连续整数与连续奇偶数 二、数位变化与原数反求 三、不同时间的年龄关系 四、分层训练 A组 巩固基础 B组 突破难点 C组 综合应用 D组 期中期末真题衔接 一、连续整数与连续奇偶数 连续的含义 相邻两个连续整数相差。例如，若最小的整数为， 四个连续整数可以表示为、、、。 相邻两个连续奇数相差，相邻两个连续偶数也相差。例如，若中间的数为， 三个连续奇数或连续偶数可以表示为、、。区别在于： 表示连续奇数时必须是奇数，表示连续偶数时必须是偶数。 连续整数不一定都是正数。题目说“正整数”时，求出的每个数还必须大于； 没有这个要求时，不应自行排除或负整数。 选一个数表示其余的数 数的个数较少时，可以设最小的数为，再依次加或加。 若有三个或五个连续数，设中间的数为，前后对称表示，求和往往更简洁。 这只是两种设元方式，不改变题目中的数量关系。 微例 三个连续奇数的和为，求这三个数。 设中间的奇数为，另外两个数为、。由题意， 得，解得。因此三个数为、、。 它们都是奇数，相邻两数的差为，且和为。 看清参加比较的是哪些数 题目可能比较全部数的和，也可能只比较其中一部分，或先擦去某个数再求和。 先把各个数按顺序写出来，再选取题目要求的部分。 例如，四个连续整数为、、、，擦去第三个数后， 剩余三个数的和为，不能仍把四个数全部相加。 若题目只给出两种可能的位置，就分别按这两种位置列式， 再检查所得的数是否符合要求。 微例 三个连续整数中，擦去第一个数或第二个数后，剩余两个数的和为， 求原来的三个整数。 设中间的数为，则三个数为、、。若擦去第一个数， 得，解得，原数为、、；若擦去第二个数， 得，解得，不是整数。因此原数为、、， 擦去的是第一个数。 解出后检查整数性与奇偶性 方程的解不一定符合“连续整数”“连续奇数”或“连续偶数”的要求。例如， 若三个连续整数的和为，设中间的数为，则，所得不是整数， 因此不存在这样的三个连续整数。不能把结果四舍五入后作答。 连续奇数或偶数还多一项检查：即使是整数，也要检查它是奇数还是偶数。 最后将各数代回原题，检查总和、差或倍数关系是否成立。 日历中的固定间隔 按每周七天排列的日历中，同一行左右相邻的日期相差， 同一竖列上下相邻的日期相差。读日历题时，先看清圈出的位置， 再按对应间隔表示各个日期。 微例 某月日的下一行同列日期是日， 再下一行同列日期是日。因此这三个竖排日期为、、， 不能按、、表示。 若按题目给出的月历表计算， 还应检查求出的日期能否在表中组成题目要求的图形， 不能把超过当月日期范围的数当作日期。 典例1、 三个连续偶数的和比其中最大的数的倍大，求这三个偶数。 解析 设中间的偶数为，则另外两个偶数分别为、。 由题意，得。 整理，得，解得。 所以这三个偶数是、、。它们的和为，最大的数的倍为， 比大，符合题意。 变式1-1、 四个连续整数按从小到大的顺序排列，后两个数的和比前两个数的和的倍少， 求这四个整数。 解析 设最小的整数为，则其余三个整数分别为、、。 由题意，得。 整理，得，解得。 所以四个整数为、、、。后两个数的和为，前两个数的和的倍为， 符合题意。 变式1-2、 下列各数中，能作为三个连续偶数之和的是（　　）。 ．　　．　　．　　． 解析 答案：。 设中间的偶数为，三个连续偶数的和为。 若和分别为、、、，则分别为、、、。 只有是偶数，因此只有符合条件，对应的三个偶数为、、。 变式1-3、 小宁在纸上从小到大写了五个连续整数，擦去第二个数后， 剩余四个数的和是。求被擦去的数以及原来的五个整数。 解析 设五个连续整数中最小的数为，则被擦去的是， 留下的四个数为、、、。 由题意，得。 整理，得，解得。 所以被擦去的数是，原来的五个整数为、、、、。 留下的四个数之和为。 二、数位变化与原数反求 数字与整个数不能混淆 十位数字为、个位数字为的两位数是，不是。 这里是至的整数，是至的整数。 若两个数字的和已知为，设十位数字为，个位数字就是， 原数为。若个位数字比十位数字小，设十位数字为， 个位数字就是，原数为。这样只用一个未知数表示两个数字。 数位改变后重新按位值表示 同一个数字处在不同数位，表示的值不同。以为例： 操作 得到的数 按位值计算 交换十位与个位 在两个数字之间插入 在右边添上 在左边添上 在中间插入，不是把原数加；在左边添与在右边添，得到的数也不同。 当题目讨论一组数字整体移动时，可以把这组数字表示的整个数设为， 不必再分设每一位。若一个三位数的个位数字为， 删去个位数字后保留的两位数为，则原数为。这里表示一个两位数， 不表示某一个数位上的数字。 直接改变某一位上的数字，也要按位值计算。例如， 把的十位数字减、个位数字加，得到。十位数字减使原数减少， 个位数字加使原数增加，合起来减少。 这样的操作还须保证改变后的首位不为，每个数位上的数字仍为至的整数。 还要区分“一个两位数”与“末两位数字表示的数”。例如，末两位为时， 这两位表示的数是，它不是两位数。如果题目要求操作后仍为两位数， 就不能以开头；如果只取末两位所表示的数，且允许前面为， 就应按实际数值计算。 利用新数与原数的关系反求 按“原数怎样表示—操作后怎样表示—两数有什么相等关系”的顺序列式。 常见关系有两数的和、差，以及一个数比另一个数的几倍多多少或少多少。 例如，设原来的两位数为，在它右边添上数字后所得的数为。 “新数比原数的倍少”可写成。解得， 原数为，所得新数为；，符合题意。 数位限制是题目条件的一部分 解出未知数后，按它原来代表的量检查： 若表示一个数字，它必须是整数，且在对应数位允许的范围内。 若表示一个两位数，它必须是至的整数。 原数首位和操作后新数的首位都不能为。例如，若题目要求交换后仍为两位数， 则原数个位不能为。 将各数位重新组成数，再代回原题检查，不能只检查方程两边相等。 若某个数位算出小数或大于的整数，这不是合法数字。 不能将它进位、取整或与相邻数位合并后当作原题答案； 那样会改变“某一位上的数字”这一条件。 典例2、 一个两位数的两个数字之和为。在它的十位数字与个位数字之间插入数字， 得到一个三位数。 （1）若所得三位数比原来的两位数的倍大，求原来的两位数。 （2）若所得三位数比原来的两位数的倍大， 符合条件的两位数为________；若不存在，填“不存在”。 解析 设原数的十位数字为，则个位数字为。原数为， 插入后所得的三位数为。必须是至的整数， 必须是至的整数。 （1）由题意，得。 整理，得，解得。个位数字为， 所以原来的两位数为。 检查：，，符合题意。 （2）由题意，得。 整理，得，解得。此时， 不是一个数位上的数字，所以不存在符合条件的两位数。 注意，不能把在时的值当作答案。按设元含义， 是十位数字，是个位数字；“个位数字为”已不符合题意。 变式2-1、 一个三位数的个位数字是，删去它的个位数字后，得到一个两位数。 原来的三位数比这个两位数的倍少，求原来的三位数。 解析 设删去个位数字后得到的两位数为，则原来的三位数为。 由题意，得，解得。 所以原来的三位数为。是两位数，是三位数， 且，符合题意。 变式2-2、 满足下列条件的两位数为________；若不存在，填“不存在”。 个位数字比十位数字大；交换十位数字与个位数字后， 所得两位数比原数的倍大。 解析 答案：不存在。 设原数的十位数字为，则个位数字为。原数为， 交换后为。 由题意，得。 整理，得，解得。 两位数的十位数字不能为，所以不存在符合条件的两位数。 变式2-3、 在一个两位数的右边添上数字， 得到的三位数比在这个两位数的左边添上数字得到的三位数的倍多。 求原来的两位数。 解析 设原来的两位数为。右边添上数字，所得数为；左边添上数字， 所得数为。 由题意，得，解得。 是两位数，且，所以原数为。 三、不同时间的年龄关系 先分清人物和时间 同一个人经过多少年，年龄就增加多少岁；往前推多少年，年龄就减少多少岁。 比较两个人同一时间的年龄时，双方应增加或减少相同的年数。 设哥哥今年岁，妹妹比哥哥小岁，则可以列出下表： 人物 年前 今年 年后 哥哥 妹妹 从年前到年后，一共经过年，不是只经过年。 题目比较的两个人也可能不在同一时点。例如， “哥哥年后的年龄是妹妹今年年龄的倍”，对应上表应写成， 不能把妹妹的年龄也加。 年龄差不变 倍数会变 两个人都经过年，年龄分别增加岁，二人的年龄差不变。 若今年分别为岁和岁，年后的年龄差为。 年龄的倍数关系通常会改变。例如，今年岁的人是今年岁的人的倍； 年后两人分别为岁和岁，不是的倍。因此， “几年前的几倍”不能直接用于今年。 同一时刻两人的年龄和经过年增加岁，三人的年龄和经过年增加岁。 年龄差不变，但年龄和会随人数和经过的年数一起变化。 已知年龄求时间 微例 妈妈今年岁，小乐今年岁。再过几年， 妈妈的年龄是小乐那时年龄的倍？ 设再过年，由题意，得，解得。年后， 两人分别为岁和岁，符合题意。 求“几年前”时，可以设年前，双方年龄分别减。若题目没有限定过去或未来， 也可以先按年后列式，再根据的正负确定时刻。 例如，两人今年分别为岁、岁，求前者年龄是后者倍的时刻。 按年后列方程，解得，表示这一关系出现在年前。 若原题明确只问“几年后”，这个负数不能回答成“年后”， 而应判断未来没有符合条件的时刻。题目若另规定年龄或年数必须为整数， 还应检查这一限制。 有些题不用“几年后”直接给时间， 而用“一个人长到另一个人今年的年龄时”确定时刻。此时应先求经过的年数， 再给双方都加上同一段时间。 微例 哥哥今年岁，妹妹今年岁，两人的年龄差为岁。 妹妹长到哥哥今年的岁，需要经过年，哥哥那时为岁。反过来， 哥哥的年龄等于妹妹今年的岁时，是年前，妹妹当时为岁。 时点 哥哥年龄 妹妹年龄 与今年的间隔 哥哥等于妹妹今年年龄时 岁 岁 年前 今年 岁 岁 年 妹妹等于哥哥今年年龄时 岁 岁 年后 两个时刻分别在今年之前和之后，但到今年的间隔都等于两人的年龄差。 年龄差未知时，可以把年龄差设为，再用表示这些时刻的年龄。 已知不同时间的关系求今年年龄 可以设一个人今年的年龄，也可以设他在题目某个指定时刻的年龄。选定后， 应把另一个人及其他时点的年龄全部表示清楚。 若已知年前一个人的年龄是另一个人的倍，设后者年前为岁， 则前者当时为岁；两人今年分别为岁、岁； 年后分别为岁、岁。再将年后的关系写成方程。 这里、、都表示题目给出的已知数。 若已知两人今年年龄和为岁，设一人今年岁，则另一人今年为岁； 若已知两人相差岁，设较小者今年岁，则较大者今年为岁。 年龄和与年龄差是不同的条件，不能混用。 最后检查各个时点的年龄及倍数关系。所谈时点必须在相关人物出生以后； 算出的负年龄不符合题意。若求的是过去的年数， 也应检查回推后两人的年龄仍有实际意义。 典例3、 年前，妈妈的年龄是小雨的倍；年后，妈妈的年龄是小雨那时年龄的倍。 （1）求妈妈和小雨今年的年龄。 （2）妈妈的年龄是小雨的倍时，是几年前？ 解析 （1）设小雨年前为岁，则妈妈年前为岁。从年前到年后， 一共经过年，两人都增加岁。 由题意，得。 解得。 所以小雨今年为岁，妈妈今年为岁。 检查：年前两人分别为岁、岁；年后分别为岁、岁， 两个倍数关系都成立。 （2）设年前，妈妈的年龄是小雨的倍。 由题意，得，解得。 年前，小雨岁，妈妈岁，，符合题意。因此是年前。 变式3-1、 爸爸今年岁，小安今年岁。再过________年， 爸爸的年龄是小安那时年龄的倍。 解析 答案：。 设再过年，爸爸的年龄是小安那时年龄的倍。 由题意，得，解得。 年后，两人分别为岁和岁，符合题意。 变式3-2、 哥哥比弟弟大岁，哥哥年后的年龄是弟弟今年年龄的倍。 求哥哥和弟弟今年的年龄。 解析 设弟弟今年岁，则哥哥今年为岁，哥哥年后为岁。 由题意，得，解得。 所以弟弟今年岁，哥哥今年岁。哥哥年后岁， 是弟弟今年岁的倍。题目比较的不是两人年后的年龄， 弟弟的年龄不能也加。 变式3-3、 姐姐和妹妹今年的年龄和为岁。年前，姐姐的年龄是妹妹的倍。 （1）求姐姐和妹妹今年的年龄。 （2）姐姐的年龄是妹妹的倍时，妹妹几岁？ 解析 （1）设妹妹今年岁，则姐姐今年为岁。年前， 两人分别为岁和岁。 由题意，得，解得。 所以妹妹今年岁，姐姐今年岁。 检查：年前两人分别为岁和岁，符合题意。 （2）两人的年龄差不变，始终为岁。 设姐姐年龄是妹妹的倍时，妹妹为岁，则姐姐为岁。 由题意，得，解得。 所以那时妹妹岁，姐姐岁，对应年前，符合题意。 四、分层训练 A组 巩固基础 A1、 四个连续奇数从小到大排列，第二个数为，则最大的数为（　　）。 ．　　．　　．　　． 解析 答案：。 连续奇数相邻两数相差。第二个数为，第三个数为，第四个数为。 A2、 一个两位数的十位数字为，个位数字比十位数字的倍大， 则这个两位数可以表示为（　　）。 ．　　．　　．　　． 解析 答案：。 个位数字为。按位值表示原数，得。 A3、 小月今年岁，妈妈今年的年龄是小月的倍。年后，妈妈比小月大（　　）。 ．岁　　．岁　　．岁　　．岁 解析 答案：。 年后，妈妈和小月分别为岁、岁， 年龄差为岁。 A4、 五个连续偶数的和为，则其中最大的偶数为________。 解析 答案：。 设中间的偶数为，则五个数分别为、、、、。 由题意，得，解得。因此最大的偶数为。 A5、 一个两位数的两个数字之和为，个位数字是十位数字的倍， 这个两位数为________。 解析 答案：。 设十位数字为，则个位数字为。由题意，得，解得。 个位数字为，两个数字均符合要求，所以原数为。 A6、 哥哥今年岁，妹妹今年岁。________年前，哥哥的年龄是妹妹的倍。 解析 答案：。 设年前，哥哥的年龄是妹妹的倍。由题意，得， 解得。 年前两人分别为岁、岁，符合题意。 A7、 三个连续整数中，最大的数比最小的数的倍少，求这三个整数。 解析 设最小的整数为，则另两个整数为、。 由题意，得，解得。 所以三个整数为、、。检查：，符合题意。 A8、 爸爸和小林今年的年龄和为岁，爸爸今年的年龄是小林的倍。 求两人今年的年龄。 解析 设小林今年岁，则爸爸今年岁。 由题意，得，解得。 所以小林今年岁，爸爸今年岁。 B组 突破难点 B1、 四个连续整数从小到大排列，前三个数的和比后两个数的和少， 则这四个整数中最小的数为________。 解析 答案：。 设最小的整数为，另外三个整数为、、。 由题意，得。 整理，得，解得。 这四个整数为、、、，前三个数的和为，后两个数的和为， 比少。题目没有要求正整数，负数和不应排除。 B2、 五个连续整数从小到大排列。擦去一个数后，剩余四个数的和为。 已知被擦去的数比原来最小的数的倍少。 求原来的五个整数，并指出被擦去的是第几个数。 解析 设原来最小的整数为，则五个整数为、、、、， 五个数的和为。 被擦去的数比最小数的倍少，因此被擦去的数为。 根据“原来五个数的和-被擦去的数＝剩余四个数的和”，得 。 整理，得，解得。 所以原来的五个整数为、、、、， 被擦去的数为，是从左往右第三个数。 检查：确实在原来的五个数中，且， ，符合全部条件。 B3、 把一个两位数的十位数字减、个位数字加后，得到的两位数是原数的。 求原来的两位数。 解析 设原来的两位数为。十位数字减，使这个数减少；个位数字加， 使这个数增加。因此新数为。 由题意，得，解得。 检查：的十位数字减、个位数字加后得到，两位数字均合法， 且。所以原数为。 B4、 一个三位数的百位数字是。删去百位数字后， 剩下的两个数字表示的数是原数的，这个三位数为（　　）。 这里剩下的数字若为，就按数计算。 ．　　．　　．　　． 解析 答案：。 设删去百位数字后剩下的两个数字表示的数为，则原数为。 由题意，得，解得。 因此原数为。删去百位数字后为，按题意表示数；， 符合题意。这里没有要求删去后仍为两位数， 所以不能因剩下的首个数字是而排除。 B5、 一个两位数的个位数字是十位数字的倍。 在它的十位数字与个位数字之间插入数字后， 所得三位数与原数的差为或。求所有符合条件的原两位数。 解析 设原数的十位数字为，则个位数字为。原数为， 插入后所得的三位数为。 两数的差为。 当差为时，，解得，原数为。 当差为时，，解得，原数为。 两个结果均为合法的两位数。检查：，。 所以符合条件的原数有和，不能只写其中一个。 B6、 姐姐比妹妹大岁。姐姐年后的年龄是妹妹年前年龄的倍。 求姐姐和妹妹今年的年龄。 解析 设妹妹今年岁，则姐姐今年岁。姐姐年后为岁， 妹妹年前为岁。 由题意，得，解得。 所以妹妹今年岁，姐姐今年岁。姐姐年后岁，妹妹年前岁， ，符合题意。 B7、 爸爸今年的年龄是小明的倍。当小明的年龄等于爸爸今年的年龄时， 爸爸岁。求爸爸和小明今年的年龄。 解析 设小明今年岁，则爸爸今年岁。 小明从岁长到爸爸今年的岁，需要经过年。经过相同时间， 爸爸的年龄为岁。 由题意，得，解得。 所以小明今年岁，爸爸今年岁。再过年，小明岁，爸爸岁， 符合题意。 B8、 年后，妈妈和小禾的年龄和为岁；年前，妈妈的年龄是小禾的倍。 求两人今年的年龄。 解析 设小禾年前岁，则妈妈年前岁。 从年前到年后，共经过年。年后两人分别为岁、岁。 由题意，得，解得。 所以小禾今年岁，妈妈今年岁。 检查：年后两人分别为岁、岁，和为岁；年前分别为岁、岁， 倍数关系成立。 C组 综合应用 C1、 六个连续整数从小到大排列。擦去其中两个数，这两个数相差， 剩余四个数的和为。 求原来的六个整数及被擦去的两个数的所有可能情况。 解析 设原来最小的整数为，则六个数依次为、、、、、。 每相邻两个数相差。两个被擦去的数相差， 所以它们在原排列中的位置只能是第与第、第与第、第与第三种， 不能只试其中一种。 （1）擦去第个与第个数时，留下、、、。由题意，得 ， 即，解得。 原来的六个整数为、、、、、，被擦去的两个数为、。 （2）擦去第个与第个数时，留下、、、。由题意，得 ， 即，解得，不是整数，不符合题意。 （3）擦去第个与第个数时，留下、、、。由题意，得 ， 即，解得。 原来的六个整数为、、、、、，被擦去的两个数为、。 因此共有两种可能： ①原数为、、、、、，擦去和； ②原数为、、、、、，擦去和。 检查：两种情况下，被擦去的两数都相差；剩余数都为、、、， 其和为。两种原数列均为连续整数，且三种可能位置已逐一检查，答案完整。 C2、 姐姐和弟弟今年的年龄都是两位整数。姐姐今年年龄的十位数字比个位数字大， 把这两个数字交换，所得两位数恰好是弟弟今年的年龄。年前， 姐姐的年龄是弟弟的倍。求两人今年的年龄。 解析 设姐姐今年年龄的个位数字为，则十位数字为。 姐姐今年为岁， 弟弟今年为岁。 年前，姐姐为岁，弟弟为岁。 由题意，得，解得。 所以姐姐今年岁，弟弟今年岁。两人的年龄均为两位整数， 数字交换的条件成立；年前分别为岁和岁，符合倍数关系。 C3、 爸爸对小林说：“当我的年龄等于你今年的年龄时，你岁； 当你的年龄等于我今年的年龄时，我岁。”求爸爸和小林今年的年龄。 解析 设爸爸比小林大岁。两人的年龄差始终为岁。 爸爸的年龄等于小林今年年龄的那个时刻，在年前。当时小林岁， 因此小林今年为岁，爸爸今年为岁。 再过年，小林的年龄等于爸爸今年的年龄，爸爸那时为岁。 由题意，得，解得。 所以小林今年岁，爸爸今年岁。 检查：年前，爸爸岁，小林岁；年后，小林岁，爸爸岁， 两条条件都成立。 C4、 三兄弟今年的年龄是三个连续偶数。再过若干年， 当大哥的年龄等于二哥今年年龄的倍时，三兄弟那时的年龄和为岁。 求三兄弟今年的年龄，并求再过多少年到达这个时刻。 解析 设小弟今年岁，则二哥今年岁，大哥今年岁。 大哥的年龄达到二哥今年年龄的倍时，大哥为岁， 从今年起需经过年。 经过年，三兄弟分别为岁、岁、岁。 由题意，得，解得。 所以小弟、二哥、大哥今年分别为岁、岁、岁， 再过年到达题目所说的时刻。 检查：年后三人分别为岁、岁、岁，年龄和为岁； 大哥那时岁，是二哥今年岁的倍。三人的今年年龄均为连续偶数， 符合题意。 D组 期中期末真题衔接 期中期末真题 D1、 （年北京市顺义区七年级上学期期末第题） 在下面的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数。如果设这三个数的和是， 那么这三个数中间的数用含有的代数式表示为（　　）。 ．　　．　　．　　． 解析 答案：。 日历中同一竖列上下相邻两个日期相差。设所圈三个数中间的数为， 则另外两个数为、。 由题意，得，整理得，所以。 D2、 （年人大附中七年级上学期期末第题第（1）问节选） 小明对正整数的规律进行探索研究， 他希望找到同时满足以下三个条件的个正整数，，，，。 ①，，是三个连续偶数（）； ②，是两个连续奇数（）； ③。 若，那么________，判断此时符合上述条件的， 的值是否存在？答：________（填“存在”“不存在”或“无法确定”）。 解析 答案：，不存在。 、、是从小到大排列的三个连续偶数，且，所以， ，三个数的和为。 若、存在，设，则。由题意，得， 解得。 是偶数，不符合为奇数的要求，因此不存在符合条件的、。 原创题型迁移 D3、 一个两位数的个位数字比十位数字大。 把这个两位数的十位数字再写到它的右边， 得到的三位数比原两位数的倍大。 （1）求原来的两位数。 （2）若把原数的十位数字写到原数的左边，所得的三位数是多少？ 解析 （1）设原数的十位数字为，则个位数字为， 原数为。 在原数右边再写一个十位数字，所得三位数为。 由题意，得，解得。 所以原数为。检查：十位数字、个位数字均合法，且， 符合题意。 （2）把数字写到的左边，所得三位数为。 这里添上的是原数的十位数字，不是把整个两位数再写一次。 D4、 小杰翻看一张旧照片。拍照时，爸爸的年龄是小杰的倍；拍照年后， 两人的年龄和为岁；今年，爸爸的年龄是小杰的倍。 （1）求拍照时爸爸和小杰的年龄。 （2）这张照片是几年前拍摄的？求爸爸和小杰今年的年龄。 解析 （1）设拍照时小杰岁，则爸爸岁。拍照年后， 两人分别为岁、岁。 由题意，得，解得。 所以拍照时，小杰岁，爸爸岁。 （2）设照片拍摄至今经过年，则今年小杰为岁，爸爸为岁。 由题意，得，解得。 所以照片是年前拍摄的；小杰今年岁，爸爸今年岁。 检查：拍照年后两人分别为岁、岁，年龄和为岁；今年， 两条条件均成立。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $