第11讲：圆的有关性质【十大题型+知识梳理+高分演练】 专题训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第11讲：圆的有关性质 题型归纳 题型一：垂径定理 .2 题型二：垂径定理的推论的理解… 题型三：垂径定理求平行弦问题… 题型四：垂径定理的实际应用问题 7 题型五：弧、弦、圆心角关系求解… ....10 题型六：求圆孤的度数问题… .12 题型七：：弧、弦、圆心角关系求证 …13 题型八：等（同）弧所对圆周角问题… 17 题型九：90°所对的圆周角是直径问题 …19 题型十：圆的性质综合应用。 ...21 知识梳理 知识点一：垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如下图，AB是直径且CP=PD,则CD⊥AB, 且AC=D,丽=配 A 知识点二：弧、弦、圆心角 (1)顶点在圆心的角叫做圆心角. (2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_相等，所对的弦也相等 (3)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等 知识点三：圆周角定理及其推论 :∠AOB是AB所对的圆心角， 定理：圆周角的度数等于它 ∠C是AB所对的圆周角， 所对的弧的圆心角度 数的一半 ∠C=1∠AOB D :∠C和∠D都是AB所对的圆周 圆 角 推论1：同弧或等弧所对的圆 ∠C=∠D 周角相等 0 角定理 :AB是⊙O的直径 推论2：直径所对的圆周角是 ∠C是AB所对的圆周角 直角，90°的圆周 .∠C=90° 角所对的弦是直径 :∠C是AB所对的圆周角 ∠C=90° .AB是⊙O的直径 知识点四：圆内接四边形 ,四边形ABCD是⊙O的内接四边形 .∠B+∠D=180° 圆的内接四边形对角互补 ∠BAD+∠C=180° ∠C=∠DAE 题型精讲 题型一：垂径定理 【例1】，(26-27九年级上江苏无锡阶段检测)如图，AB为⊙O的一条弦，△ABC为等边三角形，圆心O在 △ABC BC ⊙0 AD BC BC AC CE=1 内部， 的延长线交于点D,连接，过点O作的垂线分别交，于点B,F若 CD=3,则AD的长为一· D 【答案】7 【详解】解：，EF⊥BD,点O在线段EF上， 0听=E-D, CE=1,CD=3, .DE=CD+CE=4=BE,BD=2DE=8, .BC=CE+BE=5, ,△ABC为等边三角形， .AB=BC=5, 过点A作AH⊥BD,如图所示： E B .-CH-BC-3 M DH-CH +CD- 11 2, 2, AD=VAH+DH=7 【变式1】.(25-26九年级上云南德宏期末)如图，在⊙0中，弦AB的长为8，圆心0到AB的距离OE=3, 则⊙0的半径长为() B E A.5 B.5V2 C.4 D.4V2 【答案】A 【详解】解：~在⊙0中，弦AB的长为8，圆心O0到AB的距离OE=3, OE⊥AB, 色B=AB=4 ∴在Rt△AOE中，OA=VOE2+AE=5 ∴.⊙0的半径长为5 【变式2】，(26-27九年级上·江苏扬州阶段检测)如图，OC是⊙0的半径，AB是⊙0的弦，且OC⊥AB于点D, 若AB=16,CD=4,则半径OA的长是 B C 【答案】10 【详解】解：OC⊥AB,AB=16, 0-片8=8， 设⊙0的半径为r,则0A=0C=r, CD=4, ∴.OD=OC-CD=r-4. 在Rt△OAD中，由勾股定理得OP=OD+AD, r2=(0-4)2+82 解得r=10, ∴.0A=10 题型二：垂径定理的推论的理解 【例2】，(26-27九年级上·全国课后作业)下列判断中，正确的是() A.平分弦的直线垂直于弦 B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【答案】C 【详解】解：A、任意过弦中点的直线都可平分弦，不一定垂直于弦，错误； B、平分弦的直线不一定过圆心，不一定平分弦所对的两条弧，错误： C、弦的垂直平分线经过圆心，必平分弦所对的两条弧，正确： D、平分一条弧的直线不一定过圆心，不一定平分这条弧所对的弦，错误 【变式1】.(25-26九年级上·安徽芜湖期中)如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E,连接AC, AD,则下列结论一定正确的是() B A.AC=BC B BC=BD C.OE=BE D.∠CAD=∠CDA 【答案】B 【详解】解：如图：连接BC、BD, E B :AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E, BC=BD AC=AD DE=CE .BC=BD,AC=AD. B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意；证明OE=BE缺少条件，即C选项结论不成立， 不符合题意，∠CAD=∠CDA无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意. 故选：B. 【变式2】.(25-26九年级上浙江绍兴期中)下列命题正确的是() A,平分弦的直线必垂直于弦 B.平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧 C.平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D.垂直于弦的直线平分弦 【答案】B 【详解】A.平分弦的直线不一定垂直于弦，原命题错误； B.平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧，原命题正确： C.平分弦的直线不一定平分弦所对的两条弧，原命题错误： D.垂直于弦的直线不一定平分弦，原命题错误： 6 故选：B 题型三：垂径定理求平行弦问题 【例3】.(25-26九年级上黑龙江绥化开学考试)己知在⊙0中，半径r=13,弦AB∥CD,且AB=24, CD=10,则AB与CD的距离为()· A.7或17 B.7 C.7或12 D.12 【答案】A 【详解】解：当AB,CD在点O的两侧，作OM⊥AB于M,延长MO交CD于N,连接OA,OC, ABII CD AB=24 CD=10 则ON⊥CD, B Ni D .AM-AB-12.CN-CD-5 .0M=√OA2-AM=V132-122=50N=VOC2-CW2=V132-52=12 ∴MN=OM+ON=5+12=17, ∴此时弦AB与CD的距离为17； 当AB,CD在点O的同侧，作O01CD于Q,交AB于P,连接OA,OC, D 同理，4P4B=12.c0CD=5, :0P=0A-Ap2=132-12=5,00=V0C2-C02=V132-52=12 ∴.P9=O0-OP=12-5=7 > ∴此时弦AB与CD的距离为7， ∴弦AB与CD的距离为17或7. 故选：A, 【变式1】，(25-26九年级上河南安阳阶段检测)在⊙0中，圆心O到两平行弦AB、CD的距离分别为6、8， 则两平行弦AB、CD间的距离等于」 【答案】14或2 【详解】解：当弦AB与CD在圆心O的异侧时，如图1所示， 过O作EF⊥AB, AB‖ICD .EF⊥CD, 根据题意得：OE=8,OF=6 此时两平行弦AB、CD间的距离EF=OE+OF=8+6=14； 当弦AB与CD在圆心O的同侧时，如图2所示，同理可得： EF=OE-OF=8-6=2」 综上，两平行弦AB、CD间的距离等于14或2. E E D F B ⊙ 图1 图2 【变式2】.(25-26九年级上黑龙江七台河期中)已知⊙0的直径是10，AB、CD是⊙0的两条弦，AB∥CD, 且AB=6,CD=8,则这两条弦间的距离为 【答案】1或7 【详解】解：如图所示，连接OA,OC,过点O作直线EF⊥AB于F,交CD于E, A B D E 0 AB∥CD, .EF⊥CD .OF⊥AB,OE⊥CD, 4F-方48=3c5=D=4, :0E=0C-CE-3,0F=O4e-4F=4 ①当AB和CD在圆心的两侧时，则EF=OE+OF=7: ②当AB和CD在圆心的同侧时，则EF=OF-OE=1: 则AB与CD间的距离为1或7. 题型四：垂径定理的实际应用问题 【例4】.(26-27九年级上·江苏无锡阶段检测)在圆柱形油槽内装有一些油，截面⊙0半径为10cm,油面宽AB 为12cm,如果再注入一些油后，油面宽变为16cm,则油面AB上升了cm. B 【答案】2 【详解】解：如图，过点O作OE⊥CD于E,延长OE交AB于F,连接OC、OA, 0 E B 9 由题意可知，AB‖CD,AB=12cm,CD=16cm,OA=OC=10cm, .OF⊥AB, CE-CD-8em,AF-4B-6em, 21 ..OF -VO4-4F-6-8em 0E=V0C2-CE2=V102-82=6cm .油面上升了OF-OE=8-6=2cm, 【变式1】.(26-27九年级上江苏盐城·阶段检测)如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度 为10米.小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面C处测得桥洞高CD=AC=2.5米，则圆弧所在圆的半径 的长度为 米。 5v5 【答案】2 【详解】解：设圆弧所在圆的圆心为O,半径为r过点O作OE⊥AB于点E,连接OA,OD,过点D作DF⊥OE 交OE的延长线于点F, OE⊥AB, 44=5, AC=2.5, :.CE=AE-AC=2.5, :CD⊥AB,OE⊥AB,DF⊥OE ∴四边形CDFE为矩形， 10 .DF=CE=2.5,EF=CD=2.5 设OE=x,则OF=x+2.5, 在Rt△OAE中，OAP=OE2+AE2, 即r2=x2+52, 在Rt△ODF中，OD2=OF2+DF2, r2=(x+2.5)2+2.52 .x2+25=(x+2.5)2+6.25 解得x=2.5, r2=2.52+25=31.25=125 5V5 ∴r= 2, 55 故圆弧所在圆的半径的长度为2米. 【变式2】.(26-27九年级上江苏连云港阶段检测)《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个 问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形 木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺.如图，已知弦AB=1尺，弓形高 CD=1寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是一寸. 墙体 A 【答案】26 【详解】解：1尺=10寸，则AB=10寸， 设圆O的半径为R寸， 11 OC⊥AB AD=)AB=5(寸)，在R△ADO中，OD=OC-CD=R-I' 由勾股定理得O4=AD2+0D2,∴R2=52+(R- 解得R=13, 直径为2R=26(寸) 题型五：弧、弦、圆心角关系求解 【例5】.(26-27九年级上·江苏连云港阶段检测)如图，AB是半圆O的直径，AC=CD=DE,∠COD=40°， ∠BOE的度数为() D A.40° B.60° C.80° D.100° 【答案】B 【详解】解：，AC=CD=DE, .AC-CD-DE .∠AOC=∠D0E=∠COD=40°， .∠BOE=180°-∠AOC-∠COD-∠D0E=60° 【变式1】.(26-27九年级下·全国单元复习)如图，圆O经过五边形OABCD的四个顶点.若∠AOD=150°， ∠A=75°，D=60°，则 BC 所对的圆心角的度数为() A.250 B.40° C.50° D.60° 【答案】D 12 【详解】解：如图，连接OB,OC, 0 B .OA=OB=OC=OD」 ∠0BA=∠A=75°，∠0CD=∠D=60°，， ∠A0B=180°-∠A-∠0BA=30°，∠C0D=180°-∠D-∠0CD=60° ∴.∠B0C=∠A0D-∠AOB-∠COD=150°-30°-60°=60°， BC 60° 即 所对的圆心角的度数为 【变式2】.(26-27九年级上·北京课后作业)如图，点A,B,C,D顺次分布在半径为2的⊙0上，其中AD是 ⊙ 的直径.点C是0的中点，顺次连接8.BC,CD,若BCD=10 BD CD ,若 ,则弧的长为() C D c. 9 10 A. D. 【答案】B 【详解】解：连接BD,OC. D 点C是弧 的中点， BD 13 .BC=CD .BC=CD ∠BCD=100°. 4∠CBD=∠CDB2×080°-100)=409 .∠COD=2∠CBD=80°， 80π×28」 .弧Cp的长 180g元 题型六：求圆弧的度数问题 OAB OC AC BC∠ACB=I32° 【例6】.(2026江苏南京·一模)如图，在扇形 中，点C在B上，连接O0 若∠B0C=2∠10C,则4C的度数为（) 0 B A.16° B.24° C.32 D.36° 【答案】C 【详解】解：：A0=OC,OC=OB, .∠OCA=∠OAC,∠OCB=LOBC. ∠ACB=∠OCA+LOCB=LOAC+∠OBC, :∠AOB+∠OAC+∠OBC+∠ACB=360°， .∠AOB+2∠ACB=360°， .∠AOB=360°-2∠ACB=96°， .∠BOC=2∠AOC. 408=0. .∠AOC= AC 2° 则 的度数为 14 【变式1】.(25-26九年级上江苏苏州阶段检测)如图，在⊙0中，半径OA,OB互相垂直，点C在劣弧AB上 连接4B,AC和BC,若∠ABC=19°，则BC的度数为（) BC A.26° B.38° C.43 D.52 【答案】D 【详解】解：∠ABC=19°，∠A0C=38°，：0A10B,∠B0C=90°-∠A0C=90°-38°=52°， BC 的度数为52°， 故选：D 【变式2】.(24-25九年级上山东淄博期末)如图，已知AB,CD是⊙0的两条直径，弦CE∥AB, ∠BOD=112° CE 则的度数为() D A.38° B.44° C.48 D.54o 【答案】B 【详解】解：如图，连接OE, B .∠BOD=112° 15 .∠A0C=∠B0D=112°， .CE∥AB ∠DCE=180°-∠A0C=68°， .OC=OE ∴.∠0CE=L0EC=68°， .∠C0E=180°-L0CE-∠0EC=44°， CE 的度数为44° 故选：B 题型七：：弧、弦、圆心角关系求证 【例7】，(2026安徽六安·二模)如图，AB为⊙0的直径，四边形ABCD内接于⊙0，连接OC,OD,OD与 AC交于点E,且OD∥BC. D B (I)求证：AD=CD: (2)若AC=14,DE=6,求⊙0的半径. 【答案】(1) 证明：AB为OO的直径， .∠ACB=90° BC⊥4C:OD∥BC0D14C,:OD平分 ,AC .AD=CD , (2)解：AC=14,OD⊥AC, ÷AE=CE=)AC=7,设0A=0D=a':DE=6 1 2 ∴.OE=OD-DE=a-6. 在Rt△AOE中，由勾股定理得： AE2+OE2=0A2 72+(a-6)2=a2 16 85 解得a 12 85 即o0的半径长为12： 【变式1).(2026辽宁葫芦岛一模)如图，4B是O0的直径，点C在O0上，D为BC的中点，过点D作O0 的切线DE,交AB的延长线于点E,连接CD,BC,BD B (1)求证：DE∥BC: (2)若⊙O的半径为3，DE=4,求CD的长. 【答案】(1) 证明：连接OC,OD,OD交BC于点P, 是 的切线， B DE⊙O .DE⊥OD, ∠0DE=90°， :D为BC的中点， BC .CD=BD ∴∠C0D=∠BaD. OB=OC, .OF⊥BC, 17 ∠0FB=90°， ∴∠OFB=∠ODE, DE∥BC (2)解：过点D作DH⊥BO于点H, :在RtAODE中，OD=3,DE=4, ∴.OE=VD02+DE2=5 S.mor =ODx DE=OExDH 2 2 DH=12 , OH =VOD-DH_9 6 ..BH =OB-OH= 5 BD-DH+BH -65 , D为BC 的中点， .CD=BD .CD=BD=6/5 5 【变式2】(25-26九年级上安徽阜阳期中)如图，已知⊙0的半径为3，弦AB垂直于弦CD,垂足为E. (I)若OM⊥CD于点M,OM=1,求弦CD的长； (2)过点A作AN⊥BD于点N,交CD于点F,求证：CE=EF. 【详解】(1)解：如图1，连接OD 18 D E 图1 'OM⊥CD .CD=2DM,∠OMD=90° 在RtADOM中，由勾股定理 DM=VOD2-0M2=V32-12=22 :.CD=2DM=42 (2)证明：如图2，连接AC, D 图2 :AN⊥BD .∠DNF=90°， ∴∠DFN+∠D=90° :AB⊥CD. ∴.∠CEA=90° ∴∠C+∠EAC=90° ∠EAC=∠D,∠DFN=∠AFC, ∴.∠C=∠AFC, .AF=AC. AB⊥CD, ∴CE=EF 题型八：等（同）弧所对圆周角问题 【例8】，(25-26九年级上陕西安康期中)如图，AB是⊙0的直径，点C、D都在⊙0上，且在AB的异侧，连 0 接CD交AB于点Q,连接BC、BD.若∠ABD=45°，∠A0D=75°，BC=2,则⊙0的半径为 A B D 【答案】2 【详解】解：连接AC, A B D :∠AQD=∠ABD+∠CDB=7S°，∠ABD=45°， .∠CDB=30° .∠BAC=∠CDB=30°， ,AB是⊙O的直径， .∠BCA=90°， .AB=2BC=4, ⊙0的半径为2. 【变式1】.(26-27九年级上江苏盐城阶段检测)如图，△ABC内接于⊙0，AB=BC,∠ABC=120°，AD为 ⊙O ∠DAC= 的直径， 20 D B 【答案】30° 【详解】解：△ABC内接于⊙0，AB=BC,∠ABC=120°， :B1C=∠BCA=7080°-120)30 :AD为⊙O的直径， .∠ABD=90° ∴，在RtAABD中∠BAD+∠ADB=90°， 又：∠ADB=∠ACB=30°， .∠BAD=90°-30°=60°. :∠BAD=∠BAC+∠DAC. ∴.∠DAC=60°-30°=30° 【变式2】.(2022浙江金华模拟预测)如图，△ABC内接于O0,AB=BC,AD是⊙0的直径.设∠DAB=C, ∠DBC=B a B 则与的关系是■ B 【答案】B=2a-90° 【详解】解：：AD是⊙O的直径， .∠ABD=90°， ∠D=90°-∠DAB=90°-a, .∠C=∠D=90°-a, AB=BC, 21 .∠BAC=∠C=90°-a, ∠DAC=∠DAB-∠BAC=a-(90°-a)=2a-90° 又：∠DAC=∠DBC=B, B=2a-90° 题型九：90°所对的圆周角是直径问题 【例9】，(25-26九年级上·浙江温州阶段检测)如图，等腰△ABP内接于⊙0，AB=AP,以AB为边的矩形 BCD交O0于点C,D,交1p于点E,若DE-CE,BC=2,则oO的直径长为 P E 【答案】 25 【详解】解：连接AC, 力 D B :ABCD是矩形， .∠D=∠ABC=90°，DC∥AB,AD=BC=2, ,AC是圆O的直径，∠DCA=∠CAB, 又：∠P=∠ACB,AB=AP, .∠P=∠ACB=∠ABP .∠CAB+∠ACB=90°=∠CAB+∠ABP, AC⊥BP, 22 .∠PAC=∠BAC, .∠EAC=∠ECA, ∴EC=EA, 在Rt△ADE中，DE2+AD2=AE2, 即层cj+ao-ac 12 部阳50-<负性会安) 即DE=2 DC=4, :4C=VAD2+DC2=25 25 故答案为： 【变式1】(26-27九年级上·江苏镇江阶段检测)如图，∠DCE是O0内接四边形ABCD的一个外角，若 ∠DCE=82°，那么∠BOD的度数为— A D B 【答案】164°164度 【详解】解：：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∠A+∠BCD=180°，∠BOD=2∠A, :∠DCE是⊙0内接四边形ABCD的一个外角，∠DCE=82°， .∴∠DCE+∠BCD=180°， .∠A=∠DCE=82°， .∠B0D=164° 【变式2】.(26-27九年级上北京海淀阶段检测)如图，点A,B,C,D,E在⊙0上，∠B+∠E=154°，则 23 CD 所对的圆周角度数为 B 0 E D 【答案】26° 【详解】解：如图，连接DE, B E O。 ,在上， D A B C D E⊙O ∴.四边形ABDE是圆内接四边形， .∠B+∠AED=180°，即∠B+∠AEC+∠CED=180°. ∠B+∠AEC=154°， ∠CED=180-154=26,CD所对的圆周角度数为26 题型十：圆的性质综合应用 【例10】.(26-27九年级上黑龙江哈尔滨开学考试)如图，△ACD内接于⊙0，AC=AD,AB为O0的直径， AB交CD于点E. D 0 D E B B C R C 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AB平分∠CAD: (2)如图2，点F在弧AC上，连接DF、BF,∠ADF=2∠BFD,求证：DF=DA; (3)如图3，在(2)的条件下，连接BD,若BF+BE=CD,OE=3,求BD的长. 24 【答案】(I)证明：连接BD、BC, AC=AD .∠ADC=∠ACD :AB为⊙O的直径， ∠ADB=∠ACB=90°， :.∠ADB-∠ADC=∠ACB-∠ACD. .∠BDC=∠BCD BC=BD ∴.∠BAC=∠BAD AB平分∠CAD: D 图1 (2)证明：连接AF, FC-FC .∠FAC=∠FDC, BD=BD, ∴.∠BFD=∠BAD, ,∠ADF=2∠BFD, ∴.∠ADF=2∠BAD, :AB平分∠CAD, ∠CAD=2∠BAD. .∠CAD=∠ADF, 又，∠FAC=∠FDC, ∴.∠CAD+∠FAC=∠ADF+∠FDC, 即∠FAD=∠ADC, 25 :FD-AC .DF=CA, CA=DA, :DF =DA: D C 图2 3)BD=2V5 (3)解：连接AF、OD, 由(1)知，AB平分∠CAD, .∠EAD=∠EAC, AC=AD,AE=AE, △ACE≌△ADE(SAS) .∠AED=∠AEC, .∠AED+∠AEC=180°， ∴∠AED=∠AEC=90°， 即AB⊥CD, 在RtAODE中，根据勾股定理得，OE2+DE=OD2, 由(2)知，DA=AD,∠CAD=∠ADF,DF=CA, :△D1C≌4DF(SAS) .'CD=FA, BF+BE CD, ∴.BF+BE=FA, ,AB为⊙O的直径， .∠AFB=90°， 在Rt△AFB中，根据勾股定理得，AF2+BF2=AB, 26 .AF =CD, .'CD2+BF2=AB2, 又·AB为⊙O的直径，AB⊥CD, AB=20B=20D DE=CE=2CD. :(2DE)+BF2=(20By} 整理得，4DE2+BF2=4OB2, 即4DE2+BF2=40D2 又，OE2+DE2=0D2, ,4DE2+BF2=4(OE2+DE2） 整理得，4DE2+BF2=4OE2+4DE2, .BF2=40E2, OE=3, BF=6, 设BE=x,则OD=OB=OE+BE=3+x,CD=BF+BE=6+x, DE=CD-56+)-3+x, 1 2 2 2, 在RtAODE中，根据勾股定理得，OE2+DE2=OD2, 整理得：x2+4x-12=0, 解得： X=2x2=-6 (舍)， .BE=2, 1 DE=3+ =4, 在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BE2+DE2=BD, 27 .BD2=22+42=20, BD=2V5 O B F 图3 【变式1】.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)如图，四边形ABCD内接于O0,E是DC延长线上的一点， EB ⊙0 的延长线交 于点刀，AB=BD.∠CBE=∠ABD=60 O B (1)求∠E的度数： (2)求证：四边形AFEC是平行四边形. 【详解】(1)解：AB=BD,∠ABD=60°， ∴.△ABD是等边三角形， .∠BAD=60°， :四边形ABCD内接于OO .∠BAD+∠BCD=180°， ∴.∠BCD=120° .∠BCE=180°-∠BCD=60°， :∠CBE=60° .∠E=180°-∠CBE-∠BCE=60°： (2)证明：由(1)得：△ABD是等边三角形，∠BCE=60°，∠E=60°， .∠ADB=60°， 4B-AB 28 .∠ACB=∠ADB=60°， ∴.∠ACE=∠ACB+∠BCE=120°， .∠ACE+∠E=180°， AC∥EF, ,四边形ACBF内接于OO, .∠AFB+∠ACB=180°， .∠AFB=120°， .∠AFB+∠E=180°， AF∥CE, ∴：四边形AFEC是平行四边形. 【变式2】.(26-27九年级上江苏南京阶段检测)如图1，四边形ADBC内接于⊙0，E为BD延长线上一点， AD平分∠EDC」 E E ○ 图1 图2 (1)求证：AB=AC: (2)如图2，若CD为直径，过A点作AE⊥BD于E,且DB=AE=2,求⊙O的半径. 【答案】(I)证明：AD平分∠EDC, ∴∠EDA=∠ADC :四边形ADBC内接于⊙O, ∠EDA=∠ACB 又：∠ADC=∠ABC, .∴·∠ABC=∠ACB. .AB=AC (2)解：如图，连接AO并延长，交BC于点H,交⊙O于点K, 29 则 ABK=ACK E 经过圆心， .AB=AC AK 0 .AB=AC 则歌= .AH⊥BC,BH=CH :CD是⊙O的直径， ∴∠DBC=90°，即DB⊥BC. AE⊥BD,AH⊥BC ∴.∠AEB=∠EBC=∠AHB=90° .四边形AEBH是矩形. .BH=AE, AE=2, ∴.BH=2. BH=CH, ∴.BC=2BH=4 在RtADBC中，∠DBC=90°，DB=2,BC=4, 由勾股定理得CD=VDB+BC=V2+4=V20=25 “O0的半径为2CD=V5 【高分达标】 一、单选题 1.(26-27九年级上辽宁营口期中)下列说法：①三点确定一个圆：②平分一条弦的直径垂直于这条弦：③同圆 或等圆的半径相等；④三角形只有一个外接圆.其中真命题有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 30 【答案】C 【分析】准确把握圆的相关性质的完整表述，注意其成立的前提条件。 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题缺少前提，错误，是假命题 ②平分一条弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，原命题缺少前提，错误，是假命题. ③同圆或等圆的半径相等，正确，是真命题. ④三角形只有一个外接圆，正确，是真命题. 真命题共有2个 2.(26-27九年级上河北邯郸阶段检测)如图，点A、B、C、D、五都是O0上的点， AC=AE∠D=130° 则∠B的度数为() E A.130° B.128° C.115° D.116° 【答案】C 【详解】解：连接AC、CE, A 点、、 、 都是 上的点， D ACDE ⊙O .:∠CAE+∠D=180° ∠D=130°， .:∠CAE=180°-130°=50°， AC=AE ∠ACE=∠ABC=×180-50°)=65. 点A、B、C、E都是O0上的点， .:∠AEC+∠B=180° 31 .:∠B=180°-65°=115° 3.(26-27九年级上江苏盐城阶段检测)如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体， 测得数据如图（单位：cm),则液面宽度AB=() 16 10 A. 6cm B.4cm C.42em D.8V2em 【答案】D 【详解】解：设半圆圆心为O,过点O作OC⊥AB于点C,连接OA, B不 16 由图可知，半圆半径0A=16-10=6(cm),圆心0距地面16cm,液面AB距地面14cm, .0C=16-14=2(cm), 在RaA0C中，AC=VOA-0C2=V6-2=4V2(cm), ,OC⊥AB AB=2AC=8√2(cm） 4.(26-27九年级上·浙江杭州阶段检测)如图，OA,0B,0C都是⊙0的半径，连接AB,AC.若 ∠B4C=20,B=28BC,则∠01C的度数为（） B 32 A.120° B.90 C.60° D.30° 【答案】D 【详解】解：，∠BAC=20°， ∠B0C=2∠BAC=40°， AB-2BC .∠A0B=2∠BOC=80°， ∴.∠A0C=∠A0B+∠B0C=40°+80°=120°， :0A=0C, ∴.∠0AC=∠0CA=2180°-∠A0C)=309 5.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙0，且∠C=2∠A,则BD= () B D A.4V5 B.25 C.22 D.4V2 【答案】A 【详解】解：如图，连接BO并延长交⊙O于点E,连接DE B A O D :四边形ABCD内接于半径为4的⊙O .OB=OE=4,∠C+∠A=180° ∠C=2∠A 33 .2∠A+∠A=180° .∠A=60° ..BD=BD ∴.∠E=∠A=60 .BE是OO的直径 ∴.∠BDE=90 ∴.∠DBE=90°-60°=30° e=64 BD-BE2-DE=43 6.(26-27九年级上·全国单元测试)如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，⊙D经过O,A,C三点， 且OC为⊙D的直径，若∠A0C=60°，OA=2,则点C的坐标为() y A D A.(（2,25 B.(23,2 c. 【答案】B 【详解】解：如图，连接AC, D .OC为⊙D的直径， .∠OAC=90° .∠AOC=60°，OA=2, 34 .∠0CA=30°， :0C=20A=4,AC=0C2-0A=25 点C的坐标为(2v5,2) 7.(26-27九年级上江苏泰州阶段检测)如图，AB为⊙O的直径，点C,D在⊙0上，CD与AB交于点E,连 接OD,BC,AC,OD∥BC,∠A=30°，则∠D的度数为() B A.45° B.60° C.30° D.35° 【答案】C 【分析】由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，即得∠B=90°-∠A=60°，由平行线的性质得∠BOD=∠B=60°， ∠D=∠BCD:进而可得∠BCD=B0D=30,即可求解. 2 【详解】解：，AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∠A=30°， .∠B=90°-∠A=90°-30°=60°， .OD∥BC, .∠BOD=∠B=60°，∠D=∠BCD, .·∠BCD=1∠BOD=7x60°=30° 2 .∠D=30° 8。(2627九年级上1苏盐城阶复粒到)如图，在16C中，以8为圆心，B4为半轻面正，分别交4C BC于点D、E,若CD=B.∠B=87°， ,则 DE的度数为(） 35 D B E A.29 B.30° C.31 D.32° 【答案】C 【详解】解：连接BD, D E 由题意得BA=BD, ∴.∠BAD=∠ADB, .CD=AB, .CD=BD. .LDBC=∠C, ,∠ADB=∠DBC+∠C, .∠A=∠ADB=2∠C, ∠ABC=87°，∠A+∠ABC+∠C=180°， .2∠C+87°+∠C=180°， 3∠C=93°， ∴.∠C=31°， ∴.∠DBE=∠DBC=∠C=31°， DE 1° 的度数为 9.(26-27九年级上·重庆阶段检测)如图，AB是半径为3的⊙0的直径，BC是弦，D是⊙0上一点，连接AD、 OD,BC分别交OD于点E,交AD于点F,若F为AD的中点，BE=CE,则DF的长度为() D E ○ 36 A.2 Bv6 C25 D.3 【答案】B 【详解】解：连接AC,如图， D :AB是半径为3的⊙O的直径， .∠ACB=90°， BE=CE, 点E是BC的中点， OE⊥BC,即LOEB=90° .∠ACB=∠OEB=90°， .AC∥OD, .∠CAD=∠ADO. F为AD的中点， .AF =DF, 又∠AFC=∠DFE, 、△AFC≌△DFE(ASA) .AC=DE,CF=EF :点E是BC的中点，点O是AB的中点， .OE是△ABC的中位线， ..AC=20E .DE=20E .OD=DE+OE=30E=3. ∴.OE=1, ∴.DE=2, 在Rt△B0E中，BE=VB02-OE=V32-P=2V2 37 CE=BE=22 r=ce=吃 在R△DEF中，DF=VDE2+EF=22+V2=6 二、填空题 10.(26-27九年级上江苏镇江阶段检测)如图，ABCD是⊙O的弦，且AB=CD,若∠B0D=84°，则∠AC0 的度数为 D A 【答案】48148度 【详解】解：，AB=CD, ∴.弧AB与弧CD相等， .∠COD=∠AOB, .∠COD-∠AOD=∠AOB-∠AOD. .∠AOC=∠BOD=84°， OA=OC, :∠Ac0=∠CA0=180-∠40C=48 2 11.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨期中)如图，△ABC内接于⊙0，AB是⊙O的直径，以点C为圆心，任意长 1 为半径画弧分别交AC、BC于点F、点G,再分别以点F、点G为圆心，大于FG长为半径画弧，两弧在圆的 内部相交于点D,射线CD交OO于点E,连接AE,则∠BAE的度数为」 38 B 【答案】45°145度 【详解】解：，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， 由愿意可知：CE平分4CB,即∠BCB-4C8=45°， BE-BE ∴.∠BAE=∠BCE=45° 12.(26-27九年级上·江苏南京阶段检测)如图是某圆弧形拱桥的截面示意图，水面AB宽10m,拱桥最高点C 到水面的距离为4m,则拱桥所在圆的半径为m. A用用用8 41 【答案】8 【分析】构造直角三角形，设半径为”，利用垂径定理和勾股定理建立关于r的方程求解. 【详解】解：设拱桥所在圆的圆心为O,半径为r米，连接OA、OB、OC,交AB于点D.如图： D 点是拱桥最高点 0 O OC1AB,且C为弧AB的中点， :.4D-BD-14B-1x10-5. 2 :点C到水面的距离为4，即CD=4, :.OD=OC-CD=r-4, 在Rt△OAD中，由勾股定理得OA2=OD+AD2, 39 片产-(-4+5，解得r= 41 41 故拱桥所在圆的半径为8米. 13.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,点P在以C为圆心，5 为半径的圆上，连结PA,PB.若PB=4,则PA的长为 【答案】3或V7厉 【分析】结合已知线段长度，先通过勾股定理逆定理判断△CBP的形状，再利用圆的对称性确定满足PB=4的点 P有两个位置，分别计算对应PA的长度 【详解】解：连结CP,PB的延长线交⊙C于P',如图， .CP=5 CB=3 PB=4 .CB2+PB2=CP2 aCPB为直角三角形，∠CBP=90°， ∴CB⊥PB .PB=P'B=4, :∠C=90°， .PBI AC 而PB=AC=4, ∴四边形ACBP为矩形， .PA=BC=3, 在Rt△APP'中，PA=3,PP=8, AP'=V82+32=73 P1的长为或V厅 3 3√73 故答案为：或 40 三、解答题 14.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)如图，AB是⊙0的一条弦，OD1AB于点C,交⊙0于点D,点E在 OO上，AB与DE交于点F. E B D )考B=DE,求证：点P是D正的中点： (2)若0A=5,AB=8,∠D=45°，求0F的长. 【答案】(I)证明：，AB=DE, AB-DE :B-D=DE-D,即D=配 :OD⊥AB于点C, 4D=BD .BD-BE 点B是DE 的中点。 (②)OF=V13 (2)解：如图，连接OA、OF, D :OD⊥AB于点C,AB=8, 41 、.AC=BC三AB=4 .0A=5, :.0C=V0A-AC-5-4平=3 CD=0D-0C=0A-0C=5-3=2, .∠D=45°， ∴.△DCF是等腰直角三角形，CF=CD=2, :0F=0C2+CP2=32+2=3 15.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)如图，△ABC内接于⊙0，AC为直径，在CA延长线上取一点E,使 得AE=AB,连接BE,在AE下方，作∠AFE=∠BCA,连接CF交⊙O于点D,连接BD、AD, B B E D 图1 图2 (1)如图1，若∠BDC=∠AEF, ①求证：△ABC≌△EAF: ②若AE=2,AF=4,求AD的长度 (2)如图2，若AF=EF,2∠CBD=3LBCA时，求证：BD=EF. 【答案】(I)①证明：·∠BDC=∠AEF,∠BDC=∠BAC, ∴.∠BAC=∠AEF. .AE=AB,∠AFE=∠BCA, △ABC≌△EAF(AAS) (2)证明：，2∠CBD=3∠BCA, 设∠CBD=3x,则∠BCA=2x, .∠AFE=∠BCA=2x, 42 .AF EF, :FAE=∠PBA-180-,E=90°-K, 取优弧1C 的中点G,连接1G,BG, B 图2 ∠BCA=∠BGA=2xAG=BG AG=BG,ZGBA=∠GAB=180°-∠AGB=90°-x 2 .∠GBA=∠GAB=∠FAE=∠FEA=90°-x, AE=AB, △ABG≌△AEF(ASA) .EF BG=AF=AG. .∠CBD=3x,∠GBA=90°-x,∠ABC=90°， ∠CBG=∠CBA-∠GBA=90-(90°-x)=x .ZGBD=ZCBD-ZCBG=3x-x=2x, .∠GBD=∠BCA=2x, GD=AB :GD+D=B+D,即4G=D, .BD=AG. ∴.BD=EF. ②，AC为直径， ∠ABC=90°， 43 :△MBC≌aEHF(ASA）,AE=2,AF=4, ∴.∠ABC=∠EAF=90°，AB=AE=2,AF=BC=4, :4C=√AB+BC=V2+4=25 .∠CAF=180°-∠EAF=90° .CF=VAC2+AF2=25+4=6, CAF-AD-CF 1 AD=4CAF=25×44V5 CF 63: 16.(25-26九年级上安徽阜阳期中)如图，在⊙0中，AB,CD是直径，弦BE⊥CD,垂足为F,点G在CD 上，且∠CAG=∠ABE,连接AD,BC,CE. E A B D I)求证：AD=CE: (2)求证：AG=BC: 83G=2BE=4而，求00的长 【详解】(1)证明：CD是⊙O的直径，BE⊥CD, .CE=BC :∠AOD=∠BOC, :AD=BC .AD=CE .AD=CE (2)证明：如图，连接AE. 4 G B D :∠ACE=∠ABE,∠CAG=∠ABE ∴∠ACE=∠CAG, .CE∥AG :AB是⊙0的直径， ∴.∠AEB=90 :CD是OO的直径，BE⊥CD, ∠DFE=9O°，BF=EF,BC=CE .AE∥CD」 ∴四边形AECG为平行四边形， :.AG=CE, ∴AG=BC (3)解：设OG=x,则OF=OG+FG=x+2. OA=OB,BF EF, .OF为△ABE的中位线， .AE 20F=2x+4 :四边形AECG为平行四边形， ..CG=AE=2x+4, ∴.OB=OC=OG+CG=3x+4. .BE=4V10 r=号6E=200 在RtAOBF中，由勾股定理得OF2+BF2=OB2, 即(x+2+(2i0=(3x+4,整理得2x2+5r-7=0, 45 7 解得=山=一2（不合题意，舍去）， 即OG的长为1. 17.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨阶段检测)如图，△BCD内接于⊙O,弦AC交BD于点G,连接AB, ∠ABD+∠BDC=90° A E E R M M .0 D G D D G 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：AC⊥BD: (2)如图2，直径EF⊥AB于点H,HF分别交AC、CD于点M、N,求证：△CMN为等腰三角形； (3)如图3，在(2)的条件下，连接BE,点R在弧AD上，连接RM,且∠AMR=3∠BAC,延长RM交BE于点 K,作S⊥KR于点5，当∠C=∠CBD,CM=5S=3时，求O0的半径长 【答案】(1)证明：：∠BAC、∠BDC是同弧BC所对的圆周角， .∠BAC=∠BDC. ∠ABD+∠BDC=90」 ∴.∠ABD=90°-∠BAC. :∠ABD、∠ACD是同弧AD所对的圆周角， .∠ACD=∠ABD=90°-∠BAC :点G在线段AC与BD上， .∠GCD=LACD,∠GDC=∠BDC, ∴.∠GCD+∠GDC=∠ABD+∠BDC=90° ∴.∠CGD=90°， ∴.AC⊥BD (2)证明：，EF是直径，EF⊥AB于点H,点M在直线EF上， 46 .∠AHM=90° .在RtAHM中，∠AMH=90°-∠MAH=90°-∠CAB :点A、M、C共线，点H、M、N共线， .∠CMN=∠AMH=90°-∠CAB :∠ABD、∠ACD是同弧AD所对的圆周角， ∴.∠ACD=∠ABD :∠BAC=∠BDC,而∠ABD+∠BDC=90°， .∠ACD=90°-∠BAC :点M在线段AC上，点N在线段CD上， .∠MCN=∠ACD=90°-∠CAB .∠CMN=∠MCN. .CN=MN,即△CMN为等腰三角形. (3)解：如图，连接AE,CE,C0, S M 个 B D G ,EF是直径且EF⊥AB于点H,而M、N都在直线HF上， .M、N都在直径EF所在直线上，O在M、N之间，MN=OM+ON. 设LBAC=u,⊙0的半径为r. 由(1)知∠ABC=90°+a,由(2)知CN=MN,∠CMN=∠MCN=90°-a, ∠MNC=180°-2(90°-am)=2a .∠MNC=∠CBD, .∠CBD=2a, .∠CAD=2a, ∠ABC=∠ABD+∠DBC=(90°-）+2a=90°+a .∠ADC=180°-∠ABC=90°-a, ∴.∠ADB=∠ADC-∠BDC=90°-2a. 47 .∠AEB=180°-∠ADB=90°+2a, ,EF⊥AB于点H,H是AB的中点， ∴.EA=EB, 六∠E1B=乙1BE-180,4EB=45-a. 2 ∠CAE=∠CAB+∠BAE=a+(45°-a)=45° ,EF是直径， .∠ECF=90°. .在RtAECF中，∠CEF=90°-∠CFE :∠CAE、∠CFE是同弧CE所对的圆周角， .∠CFE=∠CAE=45°. .∠CEF=45°， .OC⊥EF, :.∠MOC=∠NOC=90° :NS⊥KR,即NS⊥RM, .∠MSN=90° 在aMSN与aOCN中， :∠MSW=∠CON=90°，∠MNS=∠ONC=2a,MN=CN, 、△MSN≌AOCN(AAS) .MS=OC=r,NS=ON ,∠EFB、∠EAB是同弧EB所对的圆周角， ∠EFB=∠EAB=45°-a, EF是直径， ∴在RtEFB中，∠FEB=90°-∠EFB=45°+&， ,点K在线段BE上，点M在线段EF上， .∠MEK=∠FEB=45°+a. :点A、M、C共线， ∠AME=∠CMN=90°-a. :∠AMR=3a. 48 ∠EMR=∠EMA+∠AMR=(90°-a)+3a=90°+2a K、M、R共线，且M在K、R之间， .∠KME=180°-∠EMR=90°-2a, 在△KME中，∠MKE=180°-∠KME-∠MEK, ∠MKE=180°-(90°-2a)-(45°+a)=45°+a ∴.∠MKE=∠MEK, .KM=ME, 点M在线段OE上， .KM =ME=OE-OM=r-OM ,K、M、S共线，且M在K、S之间， KS=KM+MS=(r-OM)+r=2r-OM KS=3. .OM=2r-3 ·在 a0CM中，CM2=0C2+0M2=r2+OM2CM=5 +(2r-3}=5 六512+4=0解得，-2或r-号 5 0M=2r-3>0, 号不合题应，有去 .⊙0的半径为2. 49 第11讲：圆的有关性质 题型一：垂径定理 3 题型二：垂径定理的推论的理解 3 题型三：垂径定理求平行弦问题 4 题型四：垂径定理的实际应用问题 4 题型五：弧、弦、圆心角关系求解 5 题型六：求圆弧的度数问题 6 题型七：：弧、弦、圆心角关系求证 7 题型八：等（同）弧所对圆周角问题 7 题型九：90°所对的圆周角是直径问题 8 题型十：圆的性质综合应用 9 知识点一：垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如下图，AB是直径且CP=PD，则CD⊥AB，且 。 知识点二：弧、弦、圆心角 （1）顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_相等，所对的弦也相等. （3）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等. 知识点三：圆周角定理及其推论 圆周角定理 定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半 是所对的圆心角， 是所对的圆周角， 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 和都是所对的圆周角 推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径 是的直径 是所对的圆周角 是所对的圆周角 是的直径 知识点四：圆内接四边形 圆的内接四边形对角互补 四边形是的内接四边形 题型一：垂径定理 【例1】．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，为的一条弦，为等边三角形，圆心O在内部，的延长线交于点D，连接，过点O作的垂线分别交，于点E，F．若，，则的长为_____． 【变式1】．（25-26九年级上·云南德宏·期末）如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则半径的长是__________． 题型二：垂径定理的推论的理解 【例2】．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列判断中，正确的是（     ） A．平分弦的直线垂直于弦 B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【变式1】．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直线必垂直于弦 B．平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直线平分弦 题型三：垂径定理求平行弦问题 【例3】．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【变式1】．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）在中，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________． 【变式2】．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）已知的直径是10，、是的两条弦，，且，，则这两条弦间的距离为_____． 题型四：垂径定理的实际应用问题 【例4】．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）在圆柱形油槽内装有一些油，截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升了______． 【变式1】．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为10米．小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径的长度为______米． 【变式2】．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 题型五：弧、弦、圆心角关系求解 【例5】．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，是半圆O的直径，，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，圆O经过五边形的四个顶点．若，，，则所对的圆心角的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的上，其中是的直径，点C是弧的中点，顺次连接，，，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 题型六：求圆弧的度数问题 【例6】．（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧上．连接，和，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型七：：弧、弦、圆心角关系求证 【例7】．（2026·安徽六安·二模）如图，为的直径，四边形内接于，连接，，与交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式1】．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，是的直径，点C在上，D为的中点，过点D作的切线，交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)若的半径为3，，求的长． 【变式2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知的半径为3，弦垂直于弦，垂足为． (1)若于点，求弦的长； (2)过点作于点，交于点，求证：． 题型八：等（同）弧所对圆周角问题 【例8】．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是的直径，点C、D都在上，且在的异侧，连接交于点Q，连接．若，，，则的半径为___________． 【变式1】．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，内接于，，，为的直径，________ ． 【变式2】．（2022·浙江金华·模拟预测）如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 题型九：90°所对的圆周角是直径问题 【例9】．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，等腰内接于，，以为边的矩形交于点C，D，交于点E，若，，则的直径长为_______． 【变式1】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为_______． 【变式2】．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为________． 题型十：圆的性质综合应用 【例10】．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，内接于，，为的直径，交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点在弧上，连接、，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【变式1】．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，四边形内接于，E是延长线上的一点，的延长线交于点F，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形． 【变式2】．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形内接于，为延长线上一点，平分． (1)求证：； (2)如图，若为直径，过点作于，且，求的半径． 【高分达标】 一、单选题 1.（26-27九年级上·辽宁营口·期中）下列说法：①三点确定一个圆；②平分一条弦的直径垂直于这条弦；③同圆或等圆的半径相等；④三角形只有一个外接圆．其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，点A、B、C、D、E都是上的点，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：），则液面宽度（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，都是的半径，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知四边形内接于半径为4的，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，经过O，A，C三点，且为的直径，若，，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，以为圆心，为半径画弧，分别交、于点、，若，，则弧的度数为（     ） A． B． C． D． 9．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，是半径为的的直径，是弦，是上一点，连接、，分别交于点，交于点，若为的中点，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是⊙的弦，且，若，则的度数为_____． 11．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，内接于，是的直径，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点，射线交于点，连接，则的度数为________． 12．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图是某圆弧形拱桥的截面示意图，水面宽，拱桥最高点到水面的距离为，则拱桥所在圆的半径为______m． 13．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，，点在以为圆心，为半径的圆上，连结，．若，则的长为________． 三、解答题 14．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，与交于点． (1)若，求证：点是的中点； (2)若，，，求的长． 15．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，内接于，为直径，在延长线上取一点E，使得，连接，在下方，作，连接交于点D，连接、． (1)如图1，若， ①求证：； ②若，，求的长度 (2)如图2，若，时，求证：． 16．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是直径，弦，垂足为，点在上，且，连接，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 17．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，内接于，弦交于点，连接， (1)如图1，求证：； (2)如图2，直径于点，分别交于点，求证：为等腰三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，点在弧上，连接，且，延长交于点，作于点，当时，求的半径长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $