专题12 统计与概率（专项训练）（广东小高考专用）2027年春季高考数学

专题12 统计与概率 内容导航 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 4 题型01 抽样方法与统计图表 4 题型02 计算样本的平均数、中位数、众数与百分位数 6 题型03 计算样本的方差、标准差与极差 7 题型04 古典概型求概率 9 题型05 事件的关系与概率的性质 11 题型06 独立事件的概率 13 03 分层训练・达标过关 16 巩固过关 16 能力提升............................................................................................................................................................ 20 一、抽样方法与统计图表 解题方法 · 分层抽样：抽样比=样本容量/总体容量，每层抽取数=该层总数×抽样比。 · 频率分布直方图：纵轴=频率/组距，小长方形面积=频率，总面积=1。 · 扇形图：圆心角=百分比×360°。 易错陷阱 · 直方图纵轴是”频率/组距”不是频率，求频率要乘组距。 · 分层抽样比例算反（用层容量除以样本容量）。 二、平均数、中位数、众数与百分位数 解题方法 · 平均数：；直方图中用各组中点×面积求和。 · 中位数：排序后中间位置的数； 偶取中间两数平均。 · 众数：出现次数最多的数。 · 百分位数：排序 非整数向上取整； 整数取第 与 项平均。 易错陷阱 · 百分位数 是整数和非整数处理方式不同。 · 直方图求平均数用中点乘面积，不是用频数直接加。 三、方差、标准差与极差 解题方法 · 方差：，越小越稳定。 · 标准差：。 · 极差：最大值-最小值。 · 数据整体加 ，方差不变；整体乘 ，方差乘 。 易错陷阱 · 方差忘记除以 。 四、古典概型求概率 解题方法 · 包含的基本事件数/总基本事件数。 · 列举法：列表法（两元素）、树状图法（多步）。 · “至少”“至多”类用对立事件：。 易错陷阱 · 基本事件不等可能（如两枚骰子点数和不是等可能的）。 · 列举时遗漏或重复，必须按顺序列全。 五、事件的关系与概率的性质 解题方法 · 互斥事件：不能同时发生，。 · 对立事件：必发生一个，。 · 概率范围 ，所有事件概率和为 1。 易错陷阱 · 互斥事件直接用 （那是独立事件公式）。 · 把对立事件等同于互斥事件（对立是特殊互斥，但互斥不一定对立）。 六、独立事件的概率 解题方法 · 、 独立 。 · “至少一个发生”：。 题型01 抽样方法与统计图表 抽样方法与统计图表的解题技巧 （1）分清三种抽样：简单随机抽样（逐个等概率抽取）、分层随机抽样（按比例从各层抽取）、系统抽样（按固定间隔抽取）。 （2）分层抽样按比例计算：各层抽取数＝该层个体数 ×（样本容量/总体容量）。 （3）频率分布直方图的纵轴是频率/组距，每个小矩形面积等于该组频率，所有矩形面积之和为 1。 （4）由直方图估计平均数用”组中值 × 频率再求和”，中位数按左右面积各为 定位。 （5）注意区分频数与频率：频数＝样本容量 × 频率，读图时先看清坐标轴含义。 1．某工厂生产了一批口罩，其中甲类口罩有10万个，乙类口罩有6万个，丙类口罩有4万个，质量监督部门为检测这批口罩的质量，拟用分层抽样的方法从这批口罩中抽取100个，应从甲类口罩中抽取的个数为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】B 【分析】由分层抽样的计算规则即可求解. 【详解】甲类口罩有10万个，乙类口罩有6万个，丙类口罩有4万个，用分层抽样的方法从这批口罩中抽取100个， 则从甲类口罩中抽取的个数为． 2．中国古代科举制度始于隋，兴盛于明、清．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试后南卷地区录取人数为165人，则北卷地区录取人数为（   ） A．140 B．105 C．70 D．30 【答案】B 【详解】因为南卷、北卷、中卷的录取比例为11：7：2，且南卷地区录取人数为165人， 所以北卷地区录取人数为（人）. 3．十项全能是由跑、跳、投等个田径项目组成的综合性男子比赛项目按照国际田径联合会制定的田径运动全能评分表计分，然后将各个单项的得分相加，总分多者为优胜下面是某次全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图．下列说法错误的是（    ） A．在米项目中，甲的得分比乙高 B．在跳高和标枪项目中，甲、乙的得分基本相同 C．甲的各项得分比乙更均衡 D．从米、米、米、米栏四个项目的总得分来看，甲的得分高于乙的得分 【答案】C 【详解】由图可得在米项目中，甲的得分比乙高，故A正确； 由图可得甲和乙在跳高和标枪项目中的点基本重合，所以在跳高和标枪项目中，甲、乙的得分基本相同，故B正确； 由图可得甲的各项得分波动变化大，乙的各项得分比较稳定，所以乙的各项得分比甲更均衡，故C错误； 由图可得从米、米、米、米栏四个项目的总得分来看甲的得分高于乙的得分，故D正确 4．某快递公司为优化配送路线，从100000单快递中随机抽取了1000单，将这1000单快递的配送时长（单位：分钟）按照，，，，，分成6组，绘制成如下频率分布直方图： 由此可估计这100000单快递中配送时长不超过30分钟的快递单数为（    ） A．20000 B．30000 C．40000 D．50000 【答案】C 【详解】由频率分布直方图可知，配送时长不超过30分钟的频率为， 所以，由此可估计这100000单快递中配送时长不超过30分钟的快递单数为. 题型02 计算样本的平均数、中位数、众数与百分位数 计算样本的平均数、中位数、众数与百分位数的解题技巧 （1）平均数为数据总和除以个数；重复数据或分组数据用加权平均数，权重为频数（频率）。 （2）中位数先把数据从小到大排列：奇数个取中间一个，偶数个取中间两个的平均数。 （3）众数是出现次数最多的数据，可能不止一个，也可能没有。 （4）计算百分位数先算 ： 不是整数时向上取整定位； 是整数时取第 个与第 个数据的平均数。 （5）理解各自特点：平均数易受极端值影响，中位数和众数更稳健，直方图中估计中位数按面积平分。 1．数据3，5，4，2，1的第百分位数为（     ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】D 【分析】先把原始数据从小到大排列，再根据样本容量与百分位计算位置指标；当计算得到的位置不是整数时，采用向上取整的方法，取对应位置上的数据，即可求出第75百分位数. 【详解】将数据从小到大排序： ∵样本容量 ， 该组数据的第百分位数为. 2．已知一组数据：1，4，6，4，7，m，若这组数据有唯一众数4，则m的取值可以为下列选项中的（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由题意，这组数据有唯一众数4，而数据中4已经出现2次， 则且且，m可以为4. 3．已知一组数据3，3，4，6，6，8，9，9，则（     ） A．这组数据的百分位数为 B．这组数据的中位数为 C．这组数据的极差为 D．这组数据的平均数为 【答案】B 【分析】先将数据从小到大排列，再分别根据百分位数、中位数、极差、平均数的定义逐一验证各选项即可. 【详解】将所给数据从小到大排列得：，共个数据， 对于A，计算，根据百分位数的定义，选取排序后第个数据作为分位数，即，故A错误； 对于B，数据总个数为偶数，中位数为排序后第个、第个数据的算术平均值，即，故B正确； 对于C，极差为数据最大值减去最小值，即，故C错误； 对于D，平均数为所有数据之和除以数据个数，即，故D错误. 4．某校高一年级“物理方向”有“物化生、物化地、物化政”三种常见的选科组合，选物化生、物化地、物化政的学生期中考试数学成绩的平均数分别为84，81，78，按不同选科组合的人数比例采用分层随机抽样的方法抽取一个样本，抽到选物化生、物化地、物化政的学生人数分别为60，40，20，则估计该校高一年级“物理方向”的学生期中考试数学成绩的平均数为（   ） A．83 B．82 C．81 D．80 【答案】B 【分析】利用分层抽样平均数公式计算可得结果. 【详解】依题意，样本平均数为， 所以估计该校高一年级“物理方向”的学生期中考试数学成绩的平均数为82. 题型03 计算样本的方差、标准差与极差 计算样本的方差、标准差与极差的解题技巧 （1）方差衡量数据围绕平均数的波动大小，方差越大数据越分散、越不稳定。 （2）计算可用变形公式：，比直接展开更简便。 （3）标准差是方差的算术平方根，单位与原数据一致，解释实际意义更方便。 （4）极差＝最大值 − 最小值，只反映两端差距，不能体现中间数据的波动。 （5）数据变化规律：全体加减常数方差不变；全体乘 ，则方差乘 、标准差乘 。 （6）比较两组数据时，平均水平看平均数，稳定性（优劣）看方差或标准差。 1．若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（     ） A．6 B．9 C．16 D．18 【答案】D 【详解】根据方差的性质，若，则. 2．某6个数据的样本平均数为26，方差为7．现增加一个数据26，则这7个数的方差为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设6个数据为，由题设可得题设中涉及的个数据的平均数及，据此可得答案. 【详解】设6个数据为，因6个数据的样本平均数为，且新增加数据为， 则题设中涉及的个数据的平均数为. 由个数据的方差为，可得 则这7个数的方差为： 3．以下是甲、乙两名射击运动员的射击成绩频率分布条形图，分别设甲、乙的方差为、，则下列说法正确的是（     ）        A．，甲的成绩更稳定 B．，乙的成绩更稳定 C．，甲的成绩更稳定 D．，乙的成绩更稳定 【答案】D 【分析】根据图中数据的离散程度来比较方差，进而比较稳定性即可． 【详解】由图可知，甲的数据比较分散，乙的数据比较集中， 所以，乙的成绩更稳定． 4．若甲、乙、丙、丁、戊五组数据（每组均含200个数据）的方差分别为42，39，51，45，37，则（   ） A．乙组数据的波动最小，丙组数据的波动最大 B．戊组数据的波动最小，甲组数据的波动最大 C．丙组数据的波动最小，戊组数据的波动最大 D．戊组数据的波动最小，丙组数据的波动最大 【答案】D 【分析】根据方差的性质分析各选项. 【详解】因为，所以戊组数据的方差最小，丙组数据的方差最大， 故戊组数据的波动最小，丙组数据的波动最大 题型04 古典概型求概率 古典概型求概率的解题技巧 （1）先确认满足古典概型两个条件：基本事件有限、每个基本事件等可能发生。 （2）用列举法、列表法、树状图数清基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数，做到不重不漏。 （3）分清有放回与无放回抽样，以及问题是否考虑顺序，计数方式不同结果不同。 （4）基本事件较多时先分类再计数，规律明显时可用计数原理或排列组合。 （5）概率公式 P(A)=A包含的基本事件数/基本事件总数，结果应落在 [0,1]，可据此自查。 1．在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为，，），女同学名（记为，），现从中随机一次性选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序） (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列举法写出样本空间； （2）根据题意写出事件，再由古典概型求概率. 【详解】（1）根据题意，可知样本空间． （2）设事件为“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”， 则，共个基本事件， 样本空间中共有个基本事件，所以． 2．在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，女同学2名（记为，现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序） (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)设事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，求出事件A发生的概率； (3)求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率． 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）略. （2）样本空间中共有10个基本事件， 事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，故，共1个基本事件， 因此； （3）设事件为“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共6个基本事件， 样本空间中共有10个基本事件，所以. 3．从2名男学生（记为和）和3名女学生（记为，和）组成的总体中，采用有放回简单随机抽样的方法抽取2名学生． (1)写出该试验的样本空间； (2)求两次都是女生的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 样本空间需考虑两次抽取的所有有序结果，总数为 个； （2）计算“抽到2人都是女生”的概率时，先找出事件包含的个结果，再用公式 求解 【详解】（1）所求样本空间为 ．       （2）设事件为抽到的2人都是女生，则事件 ， 又，，根据古典概型，得所求概率为． 4．一个箱子中装有30盒钢笔，其中有10盒一等品，15盒二等品，5盒三等品，用分层抽样的方法从中抽取6盒， (1)这6盒钢笔中，一等品、二等品和三等品各有几盒？ (2)从这6盒钢笔中，随机取出2盒，求一等品和二等品各有1盒的概率． 【答案】(1)2；3；1 (2) 【详解】（1）由题意得抽样比为，故一等品有盒， 二等品有盒，三等品有盒. （2）将这6支钢笔中的一等品记为，二等品记为，三等品记为， 则样本空间为， 样本容量为15，其中符合题意的事件所包含的样本点为，共6个， 故由古典概型概率公式得所求概率. 题型05 事件的关系与概率的性质 事件的关系与概率的性质的解题技巧 （1）互斥事件不能同时发生；对立事件不仅互斥，而且必有一个发生，满足 。 （2）关系上：对立一定互斥，互斥不一定对立，判断时注意区分。 （3）互斥事件用加法公式 ；一般事件用 。 （4）遇到”至少、至多”类问题，优先用对立事件：，计算更简洁。 （5）牢记概率基本性质：，必然事件概率为 、不可能事件概率为 。 1．已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】A 【详解】因为，是互斥事件，所以，则， 因为与是对立事件，所以. 2．已知事件发生的概率分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据事件间的包含关系即可直接求解. 【详解】因为，所以. 3．设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】事件互斥，则不能同时发生． A选项：，所以A正确； B选项：，所以B正确； C选项：互斥事件，所以，所以C错误； D选项：互斥，，所以D正确. 4．从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件“取出的两个球同为红色”互斥而不对立的事件是（    ） A．取出的两个球一个为红色，另一个为黑色 B．取出的两个球颜色相同 C．取出的两个球至多有一个是红色 D．取出的两个球至少有一个是红色 【答案】A 【分析】由事件的关系逐一判断各个选项即可得解. 【详解】与事件“取出的两个球同为红色”对立的事件为事件“取出的两个球至少有一个为黑色”， 故所求事件为事件“取出的两个球至少有一个为黑色”的子事件，且不能等同于该事件， 对于A，由以上分析可知A正确； 对于BD，由于取出的两个球可能都为红色，故不互斥，故BD不正确； 对于C，由以上分析可知，C选项是事件“取出的两个球同为红色”的对立事件，故C不正确. 故选：A. 题型06 独立事件的概率 独立事件的概率的解题技巧 （1）相互独立的含义是一个事件是否发生不影响另一个事件发生的概率，判定后用乘法公式 。 （2）若 、 独立，则 与 、 与 、 与 也都独立，可灵活选用。 （3）严格区分独立与互斥：互斥强调不能同时发生，独立强调概率互不影响；当两事件概率都为正时，互斥就一定不独立。 （4）“至少发生一次”类问题用对立事件：，避免分类繁琐。 （5）可靠性、比赛类问题先分清串联（同时成立）与并联（至少一个成立）结构，再决定用乘法还是对立事件。 1．甲､乙､丙三名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，丙投篮命中的概率为，每人只投篮一次.各运动员投篮结果互不影响. (1)求三人都投篮命中的概率； (2)求三人中至少有一人投篮命中的概率； (3)求三人中恰有两人投篮命中的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）将甲､乙､丙三人投篮命中的事件分别记为A，B，C，事件A，B，C相互独立. ，，， 记“三人都投篮命中”为事件M， 则. （2）记“三人中至少有一人投篮命中”为事件N，则三人各投篮一次，没有人投篮命中为事件，可得， 由已知 ， . （3）记“三人中恰有两人投篮命中”为事件T， . 2．在一次猜灯谜的活动中，共有道灯谜，甲同学知晓其中道灯谜的谜底，乙同学知晓其中道灯谜的谜底，两名同学之间独立竞猜，假设猜对每道灯谜都是等可能的. (1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率； (2)任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率. 【答案】(1)甲猜对的概率为，乙猜对的概率为 (2) 【分析】（1）根据古典概型的知识求得正确答案； （2）利用对立事件的知识求得正确答案. 【详解】（1）甲猜对的概率为，乙猜对的概率为. （2）甲乙都没有猜对的概率为， 所以甲和乙至少一人猜对的概率为. 3．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译的概率是，甲、乙都能破译的概率是. (1)求乙能破译的概率； (2)求恰有一人能成功破译的概率； (3)求密码被成功破译的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设事件为“甲能破译”，事件为“乙能破译” 根据题意已知：甲能破译的概率，， 由于两人独立，所以，代入可得. 所以乙能破译的概率为. （2）恰有一人能成功破译”包含两种互斥的情况： 甲能破译，乙不能破译（即），甲不能破译，乙能破译（即）. 则,， 所以所求概率为. （3）密码被成功破译，则甲、乙两人中至少有一人能破译， 对立事件为甲、乙两人都不能破译，， 所以所求概率为. 4．已知在某次招考测试中，甲、乙两人各自能否通过测试相互独立，且甲、乙能够通过测试的概率分别为，.求： (1)恰有1人通过测试的概率； (2)至少有1人通过测试的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用独立事件的乘法公式及互斥事件的概率公式求解. 【详解】（1）记甲、乙通过测试的事件分别为，则， 恰有1人通过测试的事件为， 所以恰有1人通过测试的概率为. （2）由（1）得至少有1人通过测试的事件为， 所以. 巩固过关 1．为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如下表： 人数 平均分 方差 男生 6 80 4 女生 4 75 2 则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据一组数据的平均数与方差公式计算即可. 【详解】根据表格，可估计全班学生数学的平均分为， 方差为. 2．某地为了鼓励村民在家乡创业，进行了一系列改革，一年以后当地村民的经济收入增加了一倍，已知改革前后当地村民经济收入构成比例如图所示，则下列说法正确的是（    ） 其他收入 养殖收入 外出打工收入 种植有机蔬菜收入 改革前 改革后 A．改革后，其他收入减少 B．改革后，外出打工收入是改革前的 C．改革后，养殖收入增加了一倍 D．改革后，种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大 【答案】D 【分析】假设改革前当地村民经济收入为，则改革后当地村民经济收入为，作出表格，结合表格依次判断选项即可. 【详解】假设改革前当地村民经济收入为，则改革后当地村民经济收入为，且 其他收入 养殖收入 外出打工收入 种植有机蔬菜收入 改革前 改革后 选项A：根据表格可知改革后其他收入增加，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C错误； 选项D：由题图可知，改革后种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大，故D正确． 3．某研究所为开展海洋生物多样性调查，利用深海探测器在不同深度层采集到生物样本共计6000份，按采集深度分为三层： 分层 样本量/份 浅海层 3000 中海层 2000 深海层 1000 现采用分层随机抽样的方法从全部样本中抽取300份进行DNA序列分析，则抽取的样本中浅海层的样本份数为__________． 【答案】150 【详解】由题意抽样比为 抽取的样本中浅海层的样本份数为． 4．样本数据2，9，3.5，3.8，4.0，4.2，4.5，4.8，5.0的60%分位数为________． 【答案】 【分析】先将样本数据从小到大排序，再根据百分位数的计算规则确定对应位置的数值即可. 【详解】首先将样本数据从小到大排序：2,3.5,3.8,4.0,4.2,4.5,4.8,5.0,9，共9个数据.计算位置： ，由于不是整数，根据百分位数的定义，将向上取整为6，因此该组数据的60%分位数为从小到大排列后的第6个的数据，即4.5. 5．已知古典概型样本空间 满足: ，，，，则概率 _____. 【答案】 【详解】， 已知，，， 则， ，，， . 6．甲、乙两人参加元宵节猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，则____________. 【答案】/ 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，结合甲乙都猜错的已知概率列方程求即可. 【详解】由题意得，甲每轮猜错的概率为，乙每轮猜错的概率为， 因为甲、乙猜对与否互不影响，故事件“甲猜错”与“乙猜错”为相互独立事件， 根据概率乘法公式可知甲乙都猜不对的概率为，解得. 7．校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人． (1)列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率； (2)若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为，乙发球成功的概率为，两人发球互不影响．求： ①甲、乙两人全部发球成功的概率； ②甲、乙至少有一人发球成功的概率． 【答案】(1)， (2)①② 【分析】（1）利用枚举法列出全部等可能基本事件，再统计2人均为男队员的事件数，用古典概型公式求概率； （2）①甲乙发球相互独立，直接用独立事件乘法公式，求同时成功的概率； ②利用对立事件，先算出两人全都发球失败的概率，再用1减去该概率得到至少一人成功的概率． 【详解】（1）设3名男队员为，2名女队员为，采用不放回简单随机抽样抽取2人， 所有可能的基本事件为： ，共个， 其中抽取到的2人全是男队员，包含的基本事件为：，共3个， 故抽取到的2人全是男队员的概率为：． （2）设 “甲发球成功” 为事件M，“乙发球成功” 为事件N， 由题意知M与N相互独立，且． ①甲、乙两人全部发球成功的事件同时发生，由独立事件乘法公式得： ． ②甲、乙至少有一人发球成功的对立事件是“两人发球失败”， 两人都失败的概率：， 故至少一人发球成功的概率为：． 能力提升 1．小明和小华参加有奖答题活动，每局共10个选择题，现将每局他们答对题目数整理成如下表所示的两组数据．那么下列说法中正确的是（　　） 小明 5 6 6 6 7 小华 7 7 6 7 8 A．小明的平均数大于小华的平均数 B．两人的中位数相同 C．两人的众数相同 D．小明的方差与小华的方差相同 【答案】D 【分析】根据数据的平均数、中位数、众数、方差的计算方法求解即可. 【详解】对于A：小明的平均数为6，小华的平均数为7，故A错误； 对于B：小明的中位数为6，小华的中位数为7，故B错误； 对于C：小明的众数为6，小华的众数为7，故C错误； 对于D：小明的方差为， 小华的方差为，故D正确． 2．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件. 为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（　　） A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【详解】依题意，抽样比为，则由，解得. 3．若样本数据，，的方差为4，则，，的方差为________． 【答案】16 【分析】根据方差的性质进行求解即可. 【详解】因为样本数据，，的方差为4， 所以，，的方差为. 4．为了更好地应对新高考改革以及调整日常教学，某地区教育局对该地区的三所高中的二年级学生进行了抽样调查，采用分层抽样的方式抽取了1000名学生参加物理学科的抽样质量测试，其中校、校、校的学生人数分别为人、人、人，考试结束后对这名同学的物理成绩进行统计，得知三所学校的高二年级的物理平均分依次为分、分、分，则这名同学物理成绩的总平均分为___________分． 【答案】 66 【分析】利用平均数的求解公式可得答案. 【详解】由分层抽样的平均数计算可得总样本名同学物理成绩的总平均分为. 5．在不透明的甲盒子里装有标号为 1，2 的两个红球和标号为 3，4，5 的三个白球， 在不透明的乙盒子里装有标号为 6，7 的两个红球和标号为 8，9 的两个白球. 现从甲、乙两个盒子中各随机取出 1 个球. 每个球被取出的可能性相等. (1)写出试验的样本空间； (2)求取出的 2 个球颜色相同的概率； (3)求取出的 2 个球中至少有 1 个红球的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用表示抽取小球，通过列举法即可求解； （2）由样本空间，结合古典概型概率公式即可求解； （3）由独立事件概率公式和对立事件概率公式即可求解. 【详解】（1）用表示抽取小球的所有结果（其中x，y分别为从甲、乙盒子抽到的小球标号），则 （2）由（1）． 设事件“取出的2个球颜色相同”， 则事件， ， 所以． （3）设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，“从乙袋中摸出一个红球”为事件， 则，， “2个球至少有一个红球”的概率为． 6．不透明的袋子中装有红球、绿球各1个，黄球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黄球被取出的概率为． (1)求m的值． (2)现进行两次取球． （ⅰ）求恰好有一次取出黄球的概率； （ⅱ）求这两次取出的球的颜色相同的概率． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）由题可知每次黄球被取出的概率为，解得． （2）（ⅰ）因为每次黄球被取出的概率为，且两次取出的球的颜色相互独立. 所以恰有一次取出黄球的概率为． （ⅱ）由题可知，每次红球和绿球被取出的概率均为，且两次取出的球的颜色相互独立. 所以这两次取出的球的颜色相同的概率为． 7．学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (3)若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 【答案】(1)2 (2)71， (3) 【分析】（1）由频率分布直方图各矩形所表示频率之和为1，可得，据此可得答案； （2）由频率分布直方图计算平均数，中位数方法可得答案； （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，方法1，由可得答案；方法2，由对立事件概率关系可得答案. 【详解】（1）由，得， 则成绩不高于60分的人数为：， 成绩不高于50分的人数为：， 则从不高于60分的人中抽5人，其中不高于50分人数为：； （2）平均数. 因为在内共有80人，则中位数位于内，设中位数为， ，解得； （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，则 方法1，，则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 法二：.则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 统计与概率 内容导航 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 4 题型01 抽样方法与统计图表 4 题型02 计算样本的平均数、中位数、众数与百分位数 5 题型03 计算样本的方差、标准差与极差 6 题型04 古典概型求概率 7 题型05 事件的关系与概率的性质 8 题型06 独立事件的概率 9 03 分层训练・达标过关 11 巩固过关 11 能力提升............................................................................................................................................................ 12 一、抽样方法与统计图表 解题方法 · 分层抽样：抽样比=样本容量/总体容量，每层抽取数=该层总数×抽样比。 · 频率分布直方图：纵轴=频率/组距，小长方形面积=频率，总面积=1。 · 扇形图：圆心角=百分比×360°。 易错陷阱 · 直方图纵轴是”频率/组距”不是频率，求频率要乘组距。 · 分层抽样比例算反（用层容量除以样本容量）。 二、平均数、中位数、众数与百分位数 解题方法 · 平均数：；直方图中用各组中点×面积求和。 · 中位数：排序后中间位置的数； 偶取中间两数平均。 · 众数：出现次数最多的数。 · 百分位数：排序 非整数向上取整； 整数取第 与 项平均。 易错陷阱 · 百分位数 是整数和非整数处理方式不同。 · 直方图求平均数用中点乘面积，不是用频数直接加。 三、方差、标准差与极差 解题方法 · 方差：，越小越稳定。 · 标准差：。 · 极差：最大值-最小值。 · 数据整体加 ，方差不变；整体乘 ，方差乘 。 易错陷阱 · 方差忘记除以 。 四、古典概型求概率 解题方法 · 包含的基本事件数/总基本事件数。 · 列举法：列表法（两元素）、树状图法（多步）。 · “至少”“至多”类用对立事件：。 易错陷阱 · 基本事件不等可能（如两枚骰子点数和不是等可能的）。 · 列举时遗漏或重复，必须按顺序列全。 五、事件的关系与概率的性质 解题方法 · 互斥事件：不能同时发生，。 · 对立事件：必发生一个，。 · 概率范围 ，所有事件概率和为 1。 易错陷阱 · 互斥事件直接用 （那是独立事件公式）。 · 把对立事件等同于互斥事件（对立是特殊互斥，但互斥不一定对立）。 六、独立事件的概率 解题方法 · 、 独立 。 · “至少一个发生”：。 题型01 抽样方法与统计图表 抽样方法与统计图表的解题技巧 （1）分清三种抽样：简单随机抽样（逐个等概率抽取）、分层随机抽样（按比例从各层抽取）、系统抽样（按固定间隔抽取）。 （2）分层抽样按比例计算：各层抽取数＝该层个体数 ×（样本容量/总体容量）。 （3）频率分布直方图的纵轴是频率/组距，每个小矩形面积等于该组频率，所有矩形面积之和为 1。 （4）由直方图估计平均数用”组中值 × 频率再求和”，中位数按左右面积各为 定位。 （5）注意区分频数与频率：频数＝样本容量 × 频率，读图时先看清坐标轴含义。 1．某工厂生产了一批口罩，其中甲类口罩有10万个，乙类口罩有6万个，丙类口罩有4万个，质量监督部门为检测这批口罩的质量，拟用分层抽样的方法从这批口罩中抽取100个，应从甲类口罩中抽取的个数为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 2．中国古代科举制度始于隋，兴盛于明、清．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试后南卷地区录取人数为165人，则北卷地区录取人数为（   ） A．140 B．105 C．70 D．30 3．十项全能是由跑、跳、投等个田径项目组成的综合性男子比赛项目按照国际田径联合会制定的田径运动全能评分表计分，然后将各个单项的得分相加，总分多者为优胜下面是某次全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图．下列说法错误的是（    ） A．在米项目中，甲的得分比乙高 B．在跳高和标枪项目中，甲、乙的得分基本相同 C．甲的各项得分比乙更均衡 D．从米、米、米、米栏四个项目的总得分来看，甲的得分高于乙的得分 4．某快递公司为优化配送路线，从100000单快递中随机抽取了1000单，将这1000单快递的配送时长（单位：分钟）按照，，，，，分成6组，绘制成如下频率分布直方图： 由此可估计这100000单快递中配送时长不超过30分钟的快递单数为（    ） A．20000 B．30000 C．40000 D．50000 题型02 计算样本的平均数、中位数、众数与百分位数 计算样本的平均数、中位数、众数与百分位数的解题技巧 （1）平均数为数据总和除以个数；重复数据或分组数据用加权平均数，权重为频数（频率）。 （2）中位数先把数据从小到大排列：奇数个取中间一个，偶数个取中间两个的平均数。 （3）众数是出现次数最多的数据，可能不止一个，也可能没有。 （4）计算百分位数先算 ： 不是整数时向上取整定位； 是整数时取第 个与第 个数据的平均数。 （5）理解各自特点：平均数易受极端值影响，中位数和众数更稳健，直方图中估计中位数按面积平分。 1．数据3，5，4，2，1的第百分位数为（     ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 2．已知一组数据：1，4，6，4，7，m，若这组数据有唯一众数4，则m的取值可以为下列选项中的（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 3．已知一组数据3，3，4，6，6，8，9，9，则（     ） A．这组数据的百分位数为 B．这组数据的中位数为 C．这组数据的极差为 D．这组数据的平均数为 4．某校高一年级“物理方向”有“物化生、物化地、物化政”三种常见的选科组合，选物化生、物化地、物化政的学生期中考试数学成绩的平均数分别为84，81，78，按不同选科组合的人数比例采用分层随机抽样的方法抽取一个样本，抽到选物化生、物化地、物化政的学生人数分别为60，40，20，则估计该校高一年级“物理方向”的学生期中考试数学成绩的平均数为（   ） A．83 B．82 C．81 D．80 题型03 计算样本的方差、标准差与极差 计算样本的方差、标准差与极差的解题技巧 （1）方差衡量数据围绕平均数的波动大小，方差越大数据越分散、越不稳定。 （2）计算可用变形公式：，比直接展开更简便。 （3）标准差是方差的算术平方根，单位与原数据一致，解释实际意义更方便。 （4）极差＝最大值 − 最小值，只反映两端差距，不能体现中间数据的波动。 （5）数据变化规律：全体加减常数方差不变；全体乘 ，则方差乘 、标准差乘 。 （6）比较两组数据时，平均水平看平均数，稳定性（优劣）看方差或标准差。 1．若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（     ） A．6 B．9 C．16 D．18 2．某6个数据的样本平均数为26，方差为7．现增加一个数据26，则这7个数的方差为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．以下是甲、乙两名射击运动员的射击成绩频率分布条形图，分别设甲、乙的方差为、，则下列说法正确的是（     ）        A．，甲的成绩更稳定 B．，乙的成绩更稳定 C．，甲的成绩更稳定 D．，乙的成绩更稳定 4．若甲、乙、丙、丁、戊五组数据（每组均含200个数据）的方差分别为42，39，51，45，37，则（   ） A．乙组数据的波动最小，丙组数据的波动最大 B．戊组数据的波动最小，甲组数据的波动最大 C．丙组数据的波动最小，戊组数据的波动最大 D．戊组数据的波动最小，丙组数据的波动最大 题型04 古典概型求概率 古典概型求概率的解题技巧 （1）先确认满足古典概型两个条件：基本事件有限、每个基本事件等可能发生。 （2）用列举法、列表法、树状图数清基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数，做到不重不漏。 （3）分清有放回与无放回抽样，以及问题是否考虑顺序，计数方式不同结果不同。 （4）基本事件较多时先分类再计数，规律明显时可用计数原理或排列组合。 （5）概率公式 P(A)=A包含的基本事件数/基本事件总数，结果应落在 [0,1]，可据此自查。 1．在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为，，），女同学名（记为，），现从中随机一次性选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序） (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率． 2．在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，女同学2名（记为，现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序） (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)设事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，求出事件A发生的概率； (3)求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率． 3．从2名男学生（记为和）和3名女学生（记为，和）组成的总体中，采用有放回简单随机抽样的方法抽取2名学生． (1)写出该试验的样本空间； (2)求两次都是女生的概率． 4．一个箱子中装有30盒钢笔，其中有10盒一等品，15盒二等品，5盒三等品，用分层抽样的方法从中抽取6盒， (1)这6盒钢笔中，一等品、二等品和三等品各有几盒？ (2)从这6盒钢笔中，随机取出2盒，求一等品和二等品各有1盒的概率． 题型05 事件的关系与概率的性质 事件的关系与概率的性质的解题技巧 （1）互斥事件不能同时发生；对立事件不仅互斥，而且必有一个发生，满足 。 （2）关系上：对立一定互斥，互斥不一定对立，判断时注意区分。 （3）互斥事件用加法公式 ；一般事件用 。 （4）遇到”至少、至多”类问题，优先用对立事件：，计算更简洁。 （5）牢记概率基本性质：，必然事件概率为 、不可能事件概率为 。 1．已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 2．已知事件发生的概率分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 4．从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件“取出的两个球同为红色”互斥而不对立的事件是（    ） A．取出的两个球一个为红色，另一个为黑色 B．取出的两个球颜色相同 C．取出的两个球至多有一个是红色 D．取出的两个球至少有一个是红色 题型06 独立事件的概率 独立事件的概率的解题技巧 （1）相互独立的含义是一个事件是否发生不影响另一个事件发生的概率，判定后用乘法公式 。 （2）若 、 独立，则 与 、 与 、 与 也都独立，可灵活选用。 （3）严格区分独立与互斥：互斥强调不能同时发生，独立强调概率互不影响；当两事件概率都为正时，互斥就一定不独立。 （4）“至少发生一次”类问题用对立事件：，避免分类繁琐。 （5）可靠性、比赛类问题先分清串联（同时成立）与并联（至少一个成立）结构，再决定用乘法还是对立事件。 1．甲､乙､丙三名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，丙投篮命中的概率为，每人只投篮一次.各运动员投篮结果互不影响. (1)求三人都投篮命中的概率； (2)求三人中至少有一人投篮命中的概率； (3)求三人中恰有两人投篮命中的概率. 2．在一次猜灯谜的活动中，共有道灯谜，甲同学知晓其中道灯谜的谜底，乙同学知晓其中道灯谜的谜底，两名同学之间独立竞猜，假设猜对每道灯谜都是等可能的. (1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率； (2)任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率. 3．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译的概率是，甲、乙都能破译的概率是. (1)求乙能破译的概率； (2)求恰有一人能成功破译的概率； (3)求密码被成功破译的概率. 4．已知在某次招考测试中，甲、乙两人各自能否通过测试相互独立，且甲、乙能够通过测试的概率分别为，.求： (1)恰有1人通过测试的概率； (2)至少有1人通过测试的概率. 巩固过关 1．为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如下表： 人数 平均分 方差 男生 6 80 4 女生 4 75 2 则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 2．某地为了鼓励村民在家乡创业，进行了一系列改革，一年以后当地村民的经济收入增加了一倍，已知改革前后当地村民经济收入构成比例如图所示，则下列说法正确的是（    ） 其他收入 养殖收入 外出打工收入 种植有机蔬菜收入 改革前 改革后 A．改革后，其他收入减少 B．改革后，外出打工收入是改革前的 C．改革后，养殖收入增加了一倍 D．改革后，种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大 3．某研究所为开展海洋生物多样性调查，利用深海探测器在不同深度层采集到生物样本共计6000份，按采集深度分为三层： 分层 样本量/份 浅海层 3000 中海层 2000 深海层 1000 现采用分层随机抽样的方法从全部样本中抽取300份进行DNA序列分析，则抽取的样本中浅海层的样本份数为__________． 4．样本数据2，9，3.5，3.8，4.0，4.2，4.5，4.8，5.0的60%分位数为________． 5．已知古典概型样本空间 满足: ，，，，则概率 _____. 6．甲、乙两人参加元宵节猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，则____________. 7．校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人． (1)列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率； (2)若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为，乙发球成功的概率为，两人发球互不影响．求： ①甲、乙两人全部发球成功的概率； ②甲、乙至少有一人发球成功的概率． 能力提升 1．小明和小华参加有奖答题活动，每局共10个选择题，现将每局他们答对题目数整理成如下表所示的两组数据．那么下列说法中正确的是（　　） 小明 5 6 6 6 7 小华 7 7 6 7 8 A．小明的平均数大于小华的平均数 B．两人的中位数相同 C．两人的众数相同 D．小明的方差与小华的方差相同 2．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件. 为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（　　） A．10 B．12 C．13 D．14 3．若样本数据，，的方差为4，则，，的方差为________． 4．为了更好地应对新高考改革以及调整日常教学，某地区教育局对该地区的三所高中的二年级学生进行了抽样调查，采用分层抽样的方式抽取了1000名学生参加物理学科的抽样质量测试，其中校、校、校的学生人数分别为人、人、人，考试结束后对这名同学的物理成绩进行统计，得知三所学校的高二年级的物理平均分依次为分、分、分，则这名同学物理成绩的总平均分为___________分． 5．在不透明的甲盒子里装有标号为 1，2 的两个红球和标号为 3，4，5 的三个白球， 在不透明的乙盒子里装有标号为 6，7 的两个红球和标号为 8，9 的两个白球. 现从甲、乙两个盒子中各随机取出 1 个球. 每个球被取出的可能性相等. (1)写出试验的样本空间； (2)求取出的 2 个球颜色相同的概率； (3)求取出的 2 个球中至少有 1 个红球的概率. 6．不透明的袋子中装有红球、绿球各1个，黄球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黄球被取出的概率为． (1)求m的值． (2)现进行两次取球． （ⅰ）求恰好有一次取出黄球的概率； （ⅱ）求这两次取出的球的颜色相同的概率． 7．学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (3)若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $