5.1.4 第1课时 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (课后习题)-(Word版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册学生用书（人教B版）

5.1.4　用样本估计总体 第1课时　用样本的数字特征估计总体的数字特征 1.C　[解析] 该校学生一天在食堂的平均花费约为×20+×15=(元),所以该校学生一个月在食堂的平均花费约为×30=535(元).故选C. 2.A　[解析] 由茎叶图得a==75,b==76,则a<b,故选A. 3.C　[解析] 抽取了三年级及以下学生40人,其平均数和方差分别为=2.5,=1.65,抽取了四年级及以上学生60人,其平均数和方差分别为=1.5,=3.5,设抽取的总体样本的平均数为,方差为s2,则=×+×=1.9,s2=×[+(-)2]+×[+(-)2]=3.故选C. 4.D　[解析] 对于A,该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为(0.3+0.2+0.1+0.1)×0.5=0.35=35%,故A中结论正确.对于B,该地初一年级学生做作业的时间超过2小时的概率估计为(0.5+0.4+0.3+0.2+0.1+0.1)×0.5=0.8,所以估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时,故B中结论正确.对于C,该地初一年级学生做作业的时间超过4小时的概率估计为(0.1+0.1)×0.5=0.1=10%,故C中结论正确.对于D,该地初一年级学生做作业的时间在2小时至3小时之间的概率估计为(0.5+0.4)×0.5=0.45,所以估计该地初一年级没有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间,故D中结论错误.故选D. 5.D　[解析] M=×[24+(15-12)2]+×[29+(10-12)2]=33. 6.C　[解析] 根据题意,估计甲厂所生产的袋装食品的质量的平均数=×(5×7+5×8+5×9+5×10)=8.5,方差=×[5×(7-8.5)2+5×(8-8.5)2+5×(9-8.5)2+5×(10-8.5)2]=1.25;乙厂所生产的袋装食品的质量的平均数=×(4×7+6×8+6×9+4×10)=8.5,方差=×[4×(7-8.5)2+6×(8-8.5)2+6×(9-8.5)2+4×(10-8.5)2]=1.05;丙厂所生产的袋装食品的质量的平均数=×(6×7+4×8+4×9+6×10)=8.5,方差=×[6×(7-8.5)2+4×(8-8.5)2+4×(9-8.5)2+6×(10-8.5)2]=1.45.因为>>,所以s3>s1>s2,故选C. 7.ACD　[解析] 对于A,图②中5月份有AQI值超过200的异常值,故A正确;对于B,C,图② 中5月份的箱体高度比6月份的箱体高度小,说明5月的AQI比6月的AQI集中,故B错误,C正确;对于D,虽然5月有严重污染天气,但从图②中5月份箱体整体上比6月份箱体偏下且箱体高度小,AQI整体集中于较小值,说明从整体上看,该地区2023年5月的空气质量略好于6月,故D正确.故选ACD. 8.8.43　[解析] 第一、第二、第三三支中队的人数之比为3∶3∶4,故抽取的30人中,第一、第二、第三三支中队的人数分别为9,9,12,故估计该武警大队队员的平均射击水平为=8.43. 9.解:(1)∵0.04+0.14+10a+0.22+0.20+10a+0.08=1,∴a=0.016. 估计调查的500位同学中每天户外锻炼时长在40 min~70 min的人数为500×(0.20+0.16+0.08)=220. (2)高一年级同学每天进行户外锻炼的平均时长估计为5×0.04+15×0.14+25×0.16+35×0.22+45×0.20+55×0.16+65×0.08=37(min). (3)∵0.04+0.14+0.16+0.22=0.56,0.04+0.14+0.16+0.22+0.20=0.76, ∴高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数在(40,50]之间. 设高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数为x,则0.56+0.020(x-40)=0.75,解得x=49.5. 10.B　[解析] 对于A,因为=+,所以-=(-),-=(-),若<,则>,<,故A中说法正确.故选B. 11.ACD　[解析] 对于A,当x=8时,a=×8+×8=8,故A正确;对于B,不确定x的值不能求出 具体b的值,故B错误;对于C,当x=8,y=4时,a=×8+×8=8,所以b=×[4+(8-8)2]+×[4+(8-8)2]=4,故C正确;对于D,当x=4,y=8时,a=×8+×4=6,所以b=×[4+(8-6)2]+×[8+(4-6)2]=10,故D正确.故选ACD. 12.5.7%　[解析] 该地拥有2套或2套以上住房的家庭估计有99 000×+1000×=5700(户),则该地拥有2套或2套以上住房的家庭所占比例的合理估计为×100%=5.7%. 13.①②　[解析] 设数据x1,x2,x3的平均数为,数据x4,x5,x6的平均数也为,那么数据x1,x2,x3,x4,x5,x6的平均数为==,所以数据x1,x2,x3,x4,x5,x6与数据x1,x2,x3的平均数相等,故①正确.设数据x1,x2,x3的方差为s2,数据x4,x5,x6的方差也为s2,对于数据x1,x2,x3,x4,x5,x6,其方差为[++++(x5-)2+] =(3s2+3s2)=s2,所以数据x1,x2,x3,x4,x5,x6与数据x1,x2,x3的方差相等,故②正确.数据0,4,4的平均数为,方差为,极差为4,中位数为4,数据,,的平均数为,方差为,极差为4,中位数为,数据0,,,4,4,的平均数为,方差为,极差为,中位数为,故③④错误.故填①②. 14.解:(1)=+,s2=[+]+[+]. (2)总样本的均值为×172.5+×162.5=168.5, 总样本的方差为×[16+(172.5-168.5)2]+×[30+(162.5-168.5)2]=45.6. 15.ABD　[解析] 对于A,构造数据7,7,7,9,10,其极差为3,平均数为8,存在10环,故A正确;对于B,构造数据10,8,8,7,7,其中位数为8,平均数为8,存在10环,故B正确;对于C,假设出现10环,且众数为9,即由大到小的环数为10,9,9,*,*,所以中位数不可能为7,与已知矛盾,不存在10环,故C错误;对于D,构造数据10,7,6,6,6,其平均数为7,方差为==2.4,存在10环,故D正确.故选ABD. 16.AD　[解析] 对于A,因为 ≤,所以 =+≤+= , =+≥+=,即 ≤≤ ,故A正确;对于B,不妨设第一部分的样本数据为1,1,1,1,1,则=1,=0,设第二部分的样本数据为-3,9,则 =3,=36,所以 ==<3=· ,故B不正确;对于C,不妨设第一部分的样本数据为-2,-1,0,1,2,则 =0,=2,设第二部分的样本数据为1,2,3,4,5,则 =3, =2,所以总样本的平均数 =+=×0+×3=,所以总样本的方差 s2=+=×+×=>2= ,故C不正确;对于D,若 m=n, = ,则总样本的平均数 == ,所以s2=[+]+[+]= ,故D正确.故选AD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.4　用样本估计总体 第1课时　用样本的数字特征估计总体的数字特征 1.某学校有男生850人,女生650人,为调查学生在食堂的平均花费,用分层抽样的方法得到的样本中男生一天在食堂的花费在20元左右,女生一天在食堂的花费在15元左右,则该校学生一个月(按30天)在食堂的平均花费约为 (　 ) A.600元 B.450元 C.535元 D.480元 2.为全面地了解学生对任课教师教学的满意程度,特在某班开展教学调查.采用简单随机抽样的方法,从该班抽取20名学生,根据他们对语文、数学教师教学的满意度评分(百分制),绘制出茎叶图(如图所示).设该班学生对语文、数学教师教学的满意度评分的中位数的估计值分别为a,b,则(　 ) A.a<b B.a>b C.a=b D.无法确定 3.[2025·长春高一期末] 某小学为了解该校学生每天的户外运动时间,对学生进行每天户外运动时间(单位:小时)的调查,采用分层抽样.如果不知道样本数据,只知道抽取了三年级及以下学生40人,其平均数和方差分别为2.5和1.65,抽取了四年级及以上学生60人,其平均数和方差分别为1.5和3.5,则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为(　 ) A.5 B.4 C.3 D.2 4.[2026·陕西咸阳实验中学高一月考] 某地教育局为了解“双减”政策的落实情况,在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生,调查了他们做作业的时间,得到如图所示的频率分布直方图,则下列结论不正确的是 (　 ) A.该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35% B.估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时 C.估计该地初一年级有10%的学生做作业的时间超过4小时 D.估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间 5.下表为某同学统计并计算得出的一些数据: 数据 平均数 方差 总平均数 总方差 A组(10个数据) 15 24 12 M B组(15个数据) 10 29 总方差一栏M处的数据应为 (　 ) A.26 B.28 C.30 D.33 6.对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检20袋,称其质量(单位:kg),得到如图所示的统计图. 甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品的质量的标准差分别用s1,s2,s3表示,用样本估计总体,则(　 ) A.s2>s1>s3 B.s1>s3>s2 C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1 7.(多选题)箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况的统计图,因形似箱子而得名.在箱线图中(如图①),箱体中部的粗实线表示中位数;中间箱体的上、下底分别是数据的第三四分位数(75%分位数)和第一四分位数(25%分位数);整个箱体的高度为四分位距,位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值(有时候箱子外部会有一些点,它们是数据中的异常值).图②为某地区2023年5月和6月的空气质量指数(AQI)箱线图.AQI越小,空气质量越好;AQI超过200,说明污染严重.据此估计 (　 ) A.该地区2023年5月有严重污染天气 B.该地区2023年6月的AQI比5月的AQI 集中 C.该地区2023年5月的AQI比6月的AQI 集中 D.从整体上看,该地区2023年5月的空气质量略好于6月 8.某武警大队共有第一、第二、第三三支中队,人数分别为300,300,400.为了检测该大队的射击水平,从整个大队用分层抽样的方法抽取了30人进行射击考核,统计得三个中队参加射击比赛的人员的平均环数分别为8.8,8.5,8.1,估计该武警大队队员的平均射击水平为　　　　环.  9.(13分)为了解同学们每天进行户外锻炼的时长,某兴趣小组在高一年级随机调查了500位同学,得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值,并估计调查的500位同学中每天户外锻炼时长在40 min~70 min的人数; (2)用样本估计总体,估计高一年级同学每天进行户外锻炼的平均时长(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (3)求高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数. 10.某班同学身高的平均数为,方差为S2,其中女生身高x1,x2,…,xm的平均数为,方差为,男生身高y1,y2,…,yn的平均数为,方差为,则下列说法错误的是 (　 ) A.若<,则<< B.若<,则<S2< C.若m=n,则=(+) D.若=,则S2= 11.(多选题)[2026·安徽马鞍山二中高一期末] 某校篮球社的20个成员进行了定点投篮测试并记录得分,已知男生组10人得分的平均数和方差分别为8和4,女生组10人得分的平均数和方差分别为x和y,这20人得分的平均数和方差分别为a和b,则 (　 ) A.当x=8时,a=8 B.当y=4时,b=4 C.当x=8,y=4时,b=4 D.当x=4,y=8时,b=10 12.某地有居民100 000户,其中普通收入家庭99 000户,高收入家庭1000户.用简单随机抽样的方法从普通收入家庭中抽取990户,高收入家庭中抽取100户进行调查.调查发现共有120户家庭拥有2套或2套以上住房,其中普通收入家庭50户,高收入家庭70户,依据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有2套或2套以上住房的家庭所占比例的合理估计是　　　　.  13.[2025·湖南郴州高一期末] 若数据x1,x2,x3和数据x4,x5,x6的平均数、方差、极差均相等,则下列说法正确的是　　　　.  ①数据x1,x2,x3,x4,x5,x6与数据x1,x2,x3的平均数相等; ②数据x1,x2,x3,x4,x5,x6与数据x1,x2,x3的方差相等; ③数据x1,x2,x3,x4,x5,x6与数据x1,x2,x3的极差相等; ④数据x1,x2,x3,x4,x5,x6与数据x1,x2,x3的中位数相等. 14.(15分)已知总体划分为2层,通过分层随机抽样,第i层抽取的样本量、样本均值和样本方差分别为ni,,,i=1,2.记总样本数据的均值为,总样本数据的方差为s2. (1)写出与s2的计算公式(直接写出结果,不需证明). (2)某学校有高中学生500人,其中男生300人,女生200人.现采用分层抽样的方法抽取样本,并观测样本的指标值,计算得男生样本的均值为172.5,方差为16,女生样本的均值为162.5,方差为30.试计算总样本的均值与方差. 15.(多选题)在军训打靶测试中,四位同学各射击若干次,分别记录这四位同学连续5次射击所命中的环数.根据这四名同学射击成绩的统计结果,可以判断出可能出现10环的是 (　 ) A.平均数为8,极差为3 B.中位数为8,平均数为8 C.中位数为7,众数为9 D.平均数为7,方差为2.4 16.(多选题)已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成,第一部分的样本数据xi(i=1,2,…,m)的平均数为,方差为 ;第二部分的样本数据 yi ( i=1,2,…,n)的平均数为 ,方差为 .设 ≤, ≤ ,则以下说法正确的是(　 ) A.设总样本的平均数为 ,则 ≤≤ B.设总样本的平均数为 ,则 ≥· C.设总样本的方差为 s2 ,则 ≤s2≤ D.设总样本的方差为 s2 ,若 m=n, =,则s2= 学科网（北京）股份有限公司 $