4 指数函数、对数函数与幂函数 滚动习题(三) [范围4.3～4.6] (课后习题)-(Word版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册学生用书（人教B版）

滚动习题(三) [范围4.3~4.6] 1.C　[解析] 由幂函数f(x)=(a2-8)在(0,+∞)上单调递增,得a2-8=1且>0,所以a=3.故选C. 2.B　[解析] 依题意知该环线前t天平均每天售出的地铁票张数为=t++2020,因为0<t≤30,所以t+≥2=20,当且仅当t=10时等号成立,即该环线前t天平均每天售出的地铁票张数最少为2040.故选B. 3.A　[解析] 因为f(x)=(m2-5m+5)xm-2是幂函数,所以m2-5m+5=1,解得m=1或m=4.当m=1时,f(x)=x-1是奇函数,不符合题意;当m=4时,f(x)=x2是偶函数,符合题意,所以f(x)=x2.因为g(x)=f(x)-(2a-6)x=x2-(2a-6)x的图象关于直线x=a-3对称,所以f(x)在区间(-∞,a-3]上单调递减,所以a-3≥4,解得a≥7.故选A. 4.A　[解析] 由表中数据可知函数模型满足:①定义域为[0,120],②在定义域上单调递增,③函数图象过原点.函数Q=0.5v+a在定义域内单调递减,排除B;函数Q=klogav+b的定义域不包括0,排除C;由表中数据可知,增长的速度不恒定,故函数不为一次函数,排除D.故选A. 5.D　[解析] 因为y=0.3x以及y=0.5x是R上的减函数,所以0.30.3>0.30.5,0.50.3>0.50.5,即a>b,c>d,又因为a=0.30.3=0.0270.1,d=0.50.5=0.031 250.1,而y=x0.1是(0,+∞)上的增函数,所以0.031 250.1>0.0270.1,即d>a.故c>d>a>b.故选D. 6.C　[解析] ∵a满足a+lg a=4,b满足b+10b=4,∴a,b分别为函数y=4-x的图象与函数y=lg x,y=10x的图象交点的横坐标.由于y=x与y=4-x的图象交点的横坐标为2,函数y=lg x与y=10x的图象关于直线y=x对称,∴a+b=4,∴函数f(x)=当x≤0时,关于x的方程f(x)=x,即x2+4x+2=x,即x2+3x+2=0,∴x=-2或x=-1,满足题意;当x>0时,关于x的方程f(x)=x,即x=2,满足题意.∴关于x的方程f(x)=x的解的个数是3.故选C. 7.CD　[解析] 分别作出四个选项中函数的图象,如图所示. 根据f<可知,“定义域上的凹函数”是函数图象上任意两点连线的中点都在图象的上方.故选CD. 8.AD　[解析] ∵f(x)=∴f(1)=e1-1=1,又f(1)+f(a)=2,∴f(a)=1.当a≥0时,由f(a)=1,可得a=1;当a<0时,由f(a)=1,可得a=-10.故选AD. 9.　[解析] 设f(x)=xα,∵f(x)的图象过点(4,2),∴f(4)=4α=2,则α=,故f(x)=,则y==,∴1-2x>0,即x<,故y=的定义域为. 10.8.5　[解析] 由题意得两式相除得e20k==,所以e10k==. 当x=30时,y=e30k+b=e20k+b·e10k=24×=6≈8.5,所以该食品在30 ℃时的保鲜时间约是8.5小时. 11.1　[解析] 题图中线段的方程为y=2t,因为点在函数y=的图象上,所以1=,解得a=,所以含药量y与时间t的函数关系式为y=当t>时,令y=≤0.25=,可得t-≥,解得t≥1,所以学校应安排工作人员至少提前1 h进行消毒工作. 12.证明:函数f(x)在区间[m,n]上的平均变化率为==m+n, 变形得f(n)-f(m)=n2-m2,即f(n)-n2=f(m)-m2, 令f(n)-n2=f(m)-m2=c,c为常数,所以有f(x)=x2+c,所以函数f(x)是一个二次函数. 13.解:(1)因为f(x)=k·2x-2-x是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以k-1=0,解得k=1,所以f(x)=2x-2-x,此时f(-x)=2-x-2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,故k=1. (2)因为f(x)>a·2x-1有解,所以a<-++1有解,所以只需a<.因为-++1=-+≤(当且仅当x=1时等号成立),所以a<. (3)g(x)=4x+4-x-4f(x)=4x+4-x-4(2x-2-x).令t=2x-2-x,可得函数t=2x-2-x在[1,+∞)上单调递增,所以t≥.因为t2=4x+4-x-2,所以g(x)=h(t)=t2-4t+2,t≥,易知h(t)在上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,h(t)取得最小值-2,此时2=2x-2-x,可得x=log2(1+).故g(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,此时x=log2(1+). 14.解:(1)由题知,函数的定义域为N*,会员人数增长速度随x增大而减缓. 对于模型②y=m+n,当x=1时无意义,不符合题意; 对于模型③y=2x+m+n,会员人数的增长速度随x增大而变快,不符合题意; 对于模型①y=mlog2x+n,当m>0时,会员人数的增长速度随x增大而减缓,符合题意. 所以最符合实际的函数模型是模型①y=mlog2x+n. (2)由(1)知,选择模型①y=mlog2x+n, 由题得解得所以y=3log2x+2. 令3log2x+2≥12,则log2x≥,所以x≥=. 因为10=<<=11,且x∈N*,所以x≥11, 故所求函数模型的解析式为y=3log2x+2,预测至少第11个月会员人数达到12万,即至少第11个月才能开启该专场直播. 学科网（北京）股份有限公司 $ 滚动习题(三) [范围4.3~4.6] (时间:45分钟　分值:100分) 一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 1.[2026·河北衡水高一期末] 已知幂函数f(x)=(a2-8)在(0,+∞)上单调递增,则a=(　 ) A.1 B.±1 C.3 D.±3 2.某城市地铁某环线12月份地铁票销售总量f(t)与时间t(0<t≤30)的关系大致满足f(t)=t2+2020t+100,则该环线前t天平均每天售出的地铁票张数最少为 (　 ) A.2019 B.2040 C.2021 D.2022 3.已知幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2是R上的偶函数,且函数g(x)=f(x)-(2a-6)x在区间[2,4]上单调递减,则实数a的取值范围是　　 (　 ) A.a≥7 B.a>7 C.a≤5 D.a<5 4.[2026·湖南常德高一期末] 从甲地到乙地的距离约为240 km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:km/h)(0≤v≤120)的数据如下表: v 0 40 60 80 120 Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系,下列四个函数模型中最符合实际的是 (　 ) A.Q=av3+bv2+cv B.Q=0.5v+a C.Q=klogav+b D.Q=kv+b 5.设a=0.30.3,b=0.30.5,c=0.50.3,d=0.50.5,则a,b,c,d的大小关系为 (　 ) A.b>d>a>c B.b>a>d>c C.c>a>d>b D.c>d>a>b 6.若a满足a+lg a=4,b满足b+10b=4,函数f(x)=则关于x的方程f(x)=x的解的个数是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分. 7.已知函数f(x)的定义域为A,若对任意的x1,x2∈A且x1≠x2,都有f<,则称 函数f(x)为“定义域上的凹函数”.以下函数是“定义域上的凹函数”的有　 (　 ) A.f(x)=2x+1 B.f(x)=x3 C.f(x)=x2+1 D.f(x)=-lg x 8.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的值可能为 (　 ) A.1 B.-1 C.10 D.-10 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 9.已知幂函数f(x)的图象过点(4,2),则y=的定义域为　　　　.  10.[2026·安徽阜阳高一期末] 某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关系 y=ekx+b(e为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在0 ℃时的保鲜时间是192小时,在20 ℃时的保鲜时间是24小时,则该食品在30 ℃时的保鲜时间约是　　　　小时(结果保留一位小数).  11.秋冬季是流感的高发季节, 为了预防流感,某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒.如图所示,已知药物释放过程中,室内空气中的含药量y(mg/m3)与时间t(h)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=.据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg/m3以下时,学生方可进入教室,则学校应安排工作人员至少提前　　　　 h进行消毒工作.  四、解答题:本大题共3小题,共43分. 12.(13分)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)在任意区间[m,n](n>m)上的平均变化率均为m+n.求证:f(x)是一个二次函数. 13.(15分)已知函数f(x)=k·2x-2-x是定义在R上的奇函数. (1)求k的值; (2)若关于x的不等式f(x)>a·2x-1有解,求实数a的取值范围; (3)设g(x)=4x+4-x-4f(x),求g(x)在[1,+∞)上的最小值,并指出g(x)取得最小值时x的值. 14.(15分)[2026·福建漳州高一期末] 近年来,漳州文旅直播平台以“闽南文化推广”为主题,聚焦漳州土楼、闽南古厝、漳州小吃等内容.从2025年初上线后会员人数逐月增加,下表是平台上线第x个月的会员人数统计: 平台上线第x个月 1 2 3 4 5 会员人数y(万人) 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系,现有以下三种函数模型供选择:①y=mlog2x+n;②y=m+n;③y=2x+m+n. (1)选出最符合实际的函数模型,并说明理由; (2)请恰当选取表格中的两组数据,求出你选择的函数模型的解析式,若平台会员人数至少达到12万才能开启“漳州非遗专场直播”,请问至少第几个月才能开启该专场直播. 学科网（北京）股份有限公司 $