4.4 幂函数 (课后习题)-(Word版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册学生用书（人教B版）

4.4　幂函数 1.已知点(a,27)在幂函数f(x)=(a-2)xm(a,m∈R)的图象上,则a+m= (　 ) A.4 B.5 C.6 D.7 2.已知f(x)=,若0<a<b<1,则下列各式中正确的是(　 ) A.f(a)<f(b)<f<f B.f<f<f(b)<f(a) C.f(a)<f(b)<f<f D.f<f(a)<f<f(b) 3.已知a,b∈R,则“a3>b3”是“ea-b>1”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知幂函数f(x)=(k2-2k-14)xk在(0,+∞)上单调递增,则k= (　 ) A.-3 B.3 C.-5 D.5 5.函数y=logax(a>0且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是 (　 ) A B C D 6.已知函数y=ax-2+3(a>0且a≠1)的图象过定点P,点P在幂函数y=f(x)的图象上,则log3f(3)= (　 ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 7.(多选题)[2026·杭州高一期末] 已知幂函数f(x)=xα,则下列说法正确的有 (　 ) A.若α=,则f(x)的图象关于直线y=x对称 B.若α=2,则f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 C.若α=-1,则f(x)的定义域为{x|x≠0},且在(-∞,0)上单调递减 D.若α=3,则对任意x1,x2∈R,都有≥f 8.已知f(x)为幂函数,则函数g(x)=f(x)+1的图象经过的定点坐标为　　　　.  9.(13分)已知幂函数f(x)=(m∈Z)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)上单调递增. (1)求m的值; (2)求满足不等式f(2a-1)<f(a+1)的实数a的取值范围. 10.已知a=0.910.92,b=0.910.91,c=0.920.91,则 (　 ) A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 11.(多选题)函数f(x)=(α∈R)的大致图象可能是(　 ) A B C D 12.已知函数f(x)=则不等式f(x)>的解集为　　　　 .  13.已知α∈,函数y=xα在(-∞,0)上单调递增,其图象不过坐标原点,则α=　　　　.  14.(15分)已知幂函数f(x)=(m-1)2在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k. (1)求m的值; (2)当x∈[1,2)时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,设p:x∈A,q:x∈B,若p是q的必要条件,求实数k的取值范围. 15.已知幂函数f(x)=(m-1)2(m∈R)在(0,+∞)上单调递减,设a=0.812,b=lo1.41,c=20.31,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为 (　 ) A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(c)<f(b)<f(a) C.f(c)<f(a)<f(b) D.f(b)<f(c)<f(a) 16.(15分)已知关于x的方程|x|(x-a)=1在(-2,+∞)上有三个相异实根,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4　幂函数 1.C　[解析] 由题意得解得则a+m=6.故选C. 2.C　[解析] 因为函数f(x)=在(0,+∞)上是增函数,0<a<b<1<<,所以f(a)<f(b)<f<f.故选C. 3.C　[解析] 构造函数f(x)=x3,由幂函数的性质得f(x)在R上单调递增.若a3>b3,则a>b,即a-b>0,构造函数g(x)=ex,由指数函数的性质得g(x)在R上单调递增,则ea-b>e0=1,故充分性成立;若ea-b>1,则a-b>0,即a>b,此时满足a3>b3,故必要性成立.综上,“a3>b3”是“ea-b>1”的充要条件.故选C. 4.D　[解析] 因为幂函数f(x)=(k2-2k-14)xk在(0,+∞)上单调递增,所以k2-2k-14=1且k>0,所以k=5.故选D. 5.B　[解析] ∵y=logax(a>0且a≠1)的图象过点(3,1),∴1=loga3,解得a=3.对于A,y=a-x=3-x=,∴y=在R上单调递减,故A错误;对于B,y=xa=x3,其定义域为R,令f(x)=x3,则f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),∴y=x3是奇函数,且单调递增,故B正确;对于C,y=(-x)a=(-x)3=-x3,当x=1时,y=-1,故C错误;对于D,y=loga(-x)=log3(-x),当x=-3时,y=1,故D错误.故选B. 6.D　[解析] 函数y=ax-2+3中,令x-2=0,解得x=2,此时y=1+3=4,所以定点P(2,4).设幂函数f(x)=xα,则2α=4,解得α=2,所以f(x)=x2,所以f(3)=32=9,所以log3f(3)=log39=2. 7.BC　[解析] 对于A,若α=,则f(x)==,易知f(x)的定义域为[0,+∞),f(x)的图象上存在点(4,2),因为f(2)=≠4,所以点(4,2)关于直线y=x对称的点(2,4)不在f(x)的图象上,所以f(x)的图象不关于直线y=x对称,故A错误.对于B,若α=2,则f(x)=x2,因为f(-x)=(-x)2=x2=f(x),所以f(x)是偶函数,又α=2>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,故B正确.对于C,若α=-1,则f(x)=x-1=,易知f(x)的定义域为{x|x≠0},又α=-1<0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,故C正确.对于D,若α=3,则f(x)=x3,所以-f=-=-== ==, 故只有当x1+x2≥0时,才有≥f,故D错误.故选BC. 8.(1,2)　[解析] 因为幂函数的图象过定点(1,1),即f(1)=1, 所以g(1)=f(1)+1=2,即g(x)的图象经过定点(1,2). 9.解:(1)因为幂函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以解得m=1或m=2. 若m=1,则f(x)=x2,此时f(x)为偶函数,符合题意; 若m=2,则f(x)=x2,此时f(x)为偶函数,符合题意. 综上所述,m=1或2. (2)由f(2a-1)<f(a+1),可得(2a-1)2<(a+1)2,整理得3a(a-2)<0,解得0<a<2, 故实数a的取值范围为(0,2). 10.C　[解析] 令y1=0.91x,易知y1=0.91x在R上单调递减,又0.91<0.92,所以b=0.910.91>0.910.92=a.令y2=x0.91,易知y2=x0.91在区间(0,+∞)上单调递增,又0.91<0.92,所以c=0.920.91>0.910.91=b.综上,c>b>a,故选C. 11.ABD　[解析] 由题意知1-|x|≠0,则x≠±1,当x∈(0,1)时,1-|x|>0,xα>0,f(x)>0,当x∈(1,+∞)时,1-|x|<0,xα>0,f(x)<0,所以f(x)的大致图象不可能为C选项中的图象.当α=时,f(x)的定义域为[0,1)∪(1,+∞),此时A选项符合要求.当α=1时,f(x)的定义域为{x|x≠±1},且f(-x)===-f(x),故函数f(x)=为奇函数,此时B选项符合要求.当α=2时,f(x)的定义域为{x|x≠±1},且f(-x)===f(x),故函数f(x)=为偶函数,此时D选项符合要求.故选ABD. 12.(1,4)　[解析] 在同一直角坐标系中,作出函数y=f(x)及y=的图象,如图所示, 由图可知不等式f(x)>的解集为(1,4). 13.-2　[解析] 当 α>0 时,函数y=xα的图象过坐标原点,不符合题意; 当α=0 时,y=x0=1(x≠0)在(-∞,0)上是常函数,不单调递增,不符合题意; 当α=-时,y=的定义域为(0,+∞),不符合题意; 当α=-时,y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 因为α<0,所以y=在(0,+∞)上单调递减, 因为y=为奇函数,所以y=在(-∞,0)上单调递减,不符合题意; 当α=-2时,y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 因为α<0,所以y=在(0,+∞)上单调递减, 因为y=为偶函数,所以y=在(-∞,0)上单调递增,符合题意. 综上可得,α=-2. 14.解:(1)依题意得(m-1)2=1,解得m=0或m=2. 当m=2时,f(x)=x-2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去. 当m=0时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,故m=0. (2)由(1)得f(x)=x2,当x∈[1,2)时,f(x)∈[1,4),即A=[1,4). 当x∈[1,2)时,g(x)∈[2-k,4-k),即B=[2-k,4-k). ∵p是q的必要条件,∴B⊆A,∴∴0≤k≤1, 故实数k的取值范围是[0,1]. 15.C　[解析] 令(m-1)2=1,解得m=2或m=0.当m=2时,f(x)=x-4,函数f(x)=x-4在(0,+∞)上单调递减,满足要求;当m=0时,f(x)=x2,函数f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,不满足要求,故f(x)=x-4,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=(-x)-4=x-4=f(x),故f(x)=x-4为偶函数.a=0.812∈(0.5,1),b=lo1.41∈=,c=20.31>20=1,|b|∈,其中f(b)=f(|b|).由于0<|b|<a<c,所以f(|b|)>f(a)>f(c),即f(c)<f(a)<f(b).故选C. 16.解:易知|x|≠0.∵方程|x|(x-a)=1在(-2,+∞)上有三个相异实根,∴函数f(x)=x-a与g(x)=的图象在(-2,+∞)上有三个不同交点.如图,在同一直角坐标系中画出两函数的图象.由图可知,要使两函数的图象在(-2,+∞)上有三个不同的交点,则在(-2,0)上,函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个不同的交点,在(0,+∞)上,函数y=f(x)与y=g(x)的图象有一个交点. ∵g(x)=∴由整理得x2-ax+1=0, ∴即又易知a<0, ∴-<a<-2,故实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $