精品解析：上海市松江区第四中学2025-2026学年高二第一学期期中质量调研测试数学试题

2025学年第一学期期中质量调研测试 高二数学 （完卷时间：120分钟 卷面分值：150分） 考生注意： 1.答卷前，考生务必将学校､姓名､准考证号在答题纸上填写正确. 2.请考生须在答题纸上作答，答案写在试卷上一律不给分. 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若点与直线确定一个平面，则点与直线的位置关系是点______直线（用“”、“”、“”填空） 2. 三棱柱的9条棱中，与AB异面的棱有______条. 3. 直线是平面的一条斜线，与平面内的直线所成角的取值范围是__________. 4. 如图，已知平面，垂直，则图中共有_________个直角三角形． 5. 已知角的两边和角的两边分别平行且，则_________. 6. 已知圆锥的底面半径为2，侧面积为，则此圆锥的体积为__． 7. 将画在水平放置的平面上得到，如果是斜边等于的等腰直角三角形，则的面积等于____． 8. 正三棱锥的底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为______． 9. 在长方体中，，则直线与直线所成角的余弦值为______________. 10. 定义：点到半平面的距离为该点到半平面所在平面的距离．若某锐二面角内一点到二面角的两个半平面的距离分别为1和，到二面角的棱的距离为2，则此二面角的大小为______． 11. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面，，，，则该阳马的外接球的表面积为___________. 12. 某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在直线必须是异面直线（i是整数）．设黑“电子狗”爬完2025段、黄“电子狗”爬完2022段后各自停止在正方体的某个顶点处之间的距离为____． 二､选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. “两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知是直线，是两个不同平面，下列命题中的真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 在正方体中，表面的对角线与成角的有（ ）条 A. B. C. D. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，点满足，，其中，在下列说法中正确的是（ ） ①存在，使得 ②存在，使得平面 ③当时，取最小值 ④当时，存在，使得 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 三､解答题（本大题共有5题，17-19每题14分，20-21每题18分，满分78分） 17. 如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，. （1）求证：平面平面； （2）求点A到平面的距离. 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，四棱锥体积为1． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小． 19. 某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm，圆柱筒长4cm． （1）这种“浮球”的体积是多少cm3？（结果精确到0.1） （2）要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克？（结果精确到个位）． 20. 如图, 三棱中, 侧棱底面，且各棱长均相等.、、分别为棱、、的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 21. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点． （1）求证：平面； （2）求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； （3）在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中质量调研测试 高二数学 （完卷时间：120分钟 卷面分值：150分） 考生注意： 1.答卷前，考生务必将学校､姓名､准考证号在答题纸上填写正确. 2.请考生须在答题纸上作答，答案写在试卷上一律不给分. 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若点与直线确定一个平面，则点与直线的位置关系是点______直线（用“”、“”、“”填空） 【答案】 【解析】 【分析】由平面的基本定理判断即可. 【详解】直线与直线外的一点可以确定一个平面， 所以点A与直线的位置关系是点， 故答案为： 2. 三棱柱的9条棱中，与AB异面的棱有______条. 【答案】3 【解析】 【分析】根据三棱柱的结构特征以及异面直线的定义分析判断. 【详解】如图， 与AB异面的棱有，共3条. 故答案为：3. 3. 直线是平面的一条斜线，与平面内的直线所成角的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线和平面所成角的知识点即可得. 【详解】由直线和平面所成角的概念可得与平面内的直线所成角的取值范围是. 故答案为： 4. 如图，已知平面，垂直，则图中共有_________个直角三角形． 【答案】 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质可得出结论. 【详解】因为平面，、、平面， 所以，，，， 因为，，、平面，则平面， 因为平面，所以，， 所以，、、、都是直角三角形， 因为，图中共有个直角三角形. 故答案为：. 5. 已知角的两边和角的两边分别平行且，则_________. 【答案】或 【解析】 【分析】由等角定理求解即可. 【详解】角的两边和角的两边分别平行且， 由等角定理可知，或， 则或， 故答案为：或 6. 已知圆锥的底面半径为2，侧面积为，则此圆锥的体积为__． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥侧面积公式求出母线长，进而求出圆锥的高即可计算得解. 【详解】令圆锥的母线长，高为， 由圆锥的底面半径为2，侧面积为，得，解得，则， 所以圆锥的体积. 故答案为： 7. 将画在水平放置的平面上得到，如果是斜边等于的等腰直角三角形，则的面积等于____． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法的原则可得,,且,进而求得面积即可 【详解】由题,因为是斜边等于的等腰直角三角形,所以,, 根据斜二测画法可得,,且, 所以 故答案为： 【点睛】本题考查斜二测画法的应用,考查三角形的面积 8. 正三棱锥的底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】平面于，连接并延长与交于点，计算，，计算得到答案. 【详解】如图所示：平面于，连接并延长与交于点， 则是中点，是中心，， ，侧面积为. 故答案为：. 9. 在长方体中，，则直线与直线所成角的余弦值为______________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义可得或其补角即为所求的角，再由余弦定理计算可得结果. 【详解】如图所示： 不妨设，则由长方体性质可得， 易知直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即为或其补角； 在中，可得， 由余弦定理可知. 故答案为： 10. 定义：点到半平面的距离为该点到半平面所在平面的距离．若某锐二面角内一点到二面角的两个半平面的距离分别为1和，到二面角的棱的距离为2，则此二面角的大小为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二面角的平面角的定义，构造要求二面角的平面角，借助直角三角形，求出二面角的大小． 【详解】根据题意，设点在锐二面角内， 过点作平面，垂足为，过点作平面，垂足为， ，，则直线，同理：， 而，平面，则平面， 设平面与直线的交点为，平面， 则有，，， 连接、、，则是二面角的平面角或其补角， 依题意，不妨设，则，， 如图： 在中，，，则， 在中，，，则， 则，所以锐二面角的大小为. 故答案为：. 11. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面，，，，则该阳马的外接球的表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】把四棱锥放置在长方体中，求出长方体外接球的表面积得答案． 【详解】把四棱锥放置在长方体中， 则长方体的外接球即为四棱锥的外接球， ，，， 长方体的对角线长为， 则长方体的外接球的半径， 该阳马的外接球的表面积为． 故答案为：． 12. 某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在直线必须是异面直线（i是整数）．设黑“电子狗”爬完2025段、黄“电子狗”爬完2022段后各自停止在正方体的某个顶点处之间的距离为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可知黑“电子狗”、 黄“电子狗”过6段后又回到起点，根据周期性分析求解. 【详解】由题意可知：黑“电子狗”爬行路线为， 即过6段后又回到起点， 同理，黄“电子狗”爬行路线为， 也是过6段后又回到起点， 所以黑“电子狗”爬完2025段后实质是到达点， 黄“电子狗”爬完2022段后到达第六段的终点A， 此时的距离为． 故答案为：． 二､选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. “两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的判断方法即可求解. 【详解】当两条直线异面时，满足“两条直线没有公共点”，但推不出“两条直线平行”， 又“两条直线平行”可以得出“两条直线没有公共点”， 所以“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的必要不充分条件， 故选：B. 14. 已知是直线，是两个不同平面，下列命题中的真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线、面的平行和垂直的性质和判定定理即可判断. 【详解】若，则有，故可判断A错误. 若，则或，故B错误. 若，则存在直线与平行，所以，故C正确. 若，则或，故D错误. 故选：C. 15. 在正方体中，表面的对角线与成角的有（ ）条 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定与共面的面对角线中成角的共有条，再通过平行关系确定异面的面对角线中也有条，共条. 【详解】 以为一边的面对角线构成的等边三角形如上图为：和， 所以，与夹角为的面对角线有：、、、， 又因为，，，， 根据平行关系可知、、、也与成角， 可知满足题意的面对角线共有条， 故选：C. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，点满足，，其中，在下列说法中正确的是（ ） ①存在，使得 ②存在，使得平面 ③当时，取最小值 ④当时，存在，使得 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面的位置关系可判断①；根据线面垂直的判定定理可判断②；利用和异面直线都垂直且相交的线段的长为异面直线间的最短距离的含义可判断③；利用球的半径和点到球心的距离的比较可判断④，即得答案. 【详解】因为平面，且平面， 所以不存在，，使得，故①错误； 记平面，在平面中， 过点M作直线，交直线于点N， 在正方体中,平面平面,故, 连接,则,而, 平面,故平面， 所以此时平面，故②正确； 当时，分别为，的中点，M点也为的中点， 则，且直线与不垂直，即与不垂直， 即MN不是线段和上两点连线的最小值，故③错误； 当时，N为的中点，， 如图，设的中点为O，连接，交于点，则为的中点， 设中点为，则， 因此以为直径的球与线段必有交点， 即存在，使得.故④正确, 故选：D. 【点睛】难点点睛：解决此类空间几何体中的存在性问题，属于较难问题，解答是要充分发挥空间想象能力，明确空间几何体中的点线面的位置关系，对于存在性的判断，可以找到特殊位置或特殊值，说明适合题意，如果不存在，要加以证明或说明. 三､解答题（本大题共有5题，17-19每题14分，20-21每题18分，满分78分） 17. 如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，. （1）求证：平面平面； （2）求点A到平面的距离. 【答案】（1） 因为四棱柱为正四棱柱， 所以⊥平面ABCD，且AC⊥BD， 因为平面ABCD，所以⊥BD， 因为，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）证明出平面，从而得到面面垂直； （2）等体积法求解点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点A到平面的距离为，AC与BD相交于点O，连接， 因为正方形的边长为，， 所以，， 由三线合一可得：⊥BD，且， 由勾股定理得：， 所以， 故， 又，平面 故， 由， 故点A到平面的距离为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，四棱锥体积为1． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1） 在直角梯形中，，，，， 则， 则，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质证明，再根据线面垂直得判定定理即可得证； （2）根据棱锥的体积公式求出，根据线面垂直的性质可得，则即为二面角的平面角，再解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 又，所以即为二面角的平面角， 由，得， 在中，， 所以， 即二面角的大小为． 19. 某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm，圆柱筒长4cm． （1）这种“浮球”的体积是多少cm3？（结果精确到0.1） （2）要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克？（结果精确到个位）． 【答案】（1） （2）4710克 【解析】 【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积； （2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解. 【小问1详解】 该半球的直径， 所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； 【小问2详解】 上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以1个“浮球”的表面积为， 因此，2500个“浮球”的表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶100克， 所以总共需要胶的质量为：（克）． 20. 如图, 三棱中, 侧棱底面，且各棱长均相等.、、分别为棱、、的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）连接，证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （3）过点在平面内作交的延长线于点，连接，设正三棱柱的所有棱长均为，证明出平面，并计算出，进而可得出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）如下图所示，连接， 在三棱柱中，且， 、分别为、的中点，且， 又是棱的中点，且，且， 四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面； （2），是的中点，， 又平面，平面，， ，平面， 平面，平面平面； （3）如下图所示，过点在平面内作交的延长线于点，连接， 平面，平面，， 又，，平面， 所以，直线与平面所成角为， 设三棱柱棱长为， 由于平面，平面，， 是的中点，， 由于，则，， 所以，，则，， 平面，平面，， 在中，，，， 因此，直线与平面所成的角的正弦值为. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 21. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点． （1）求证：平面； （2）求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； （3）在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 【答案】（1） 因为侧面QAD是正三角形，M是QD的中点， 所以， 因为，面面，面面，面， 所以面， 又面，所以， 又平面， 所以平面； （2） （3） 当面时，平面平面，证明如下： 如图，连接交于点，连接， 因为底面是正方形，所以， 由（2）得面， 因为面，所以， 因为面时，，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，所以， 因为，所以， 所以在棱QC上是否存在点N，当时，平面平面AMC. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得面，再根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）取的中点，的中点，连接，证明平面，从而可得即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，进而可得答案； （3）连接交于点，连接，易得，当面，证明此时平面平面，再根据相似比即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接， 则且，， 故， 因为面面，面面，面， 所以面， 因为面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 则即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角， 设，则，故， 所以， 即侧面QBC与底面所成二面角的余弦值为； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $