5.3.5 随机事件的独立性-(PPT版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册配套课件（人教B版）

5.3 概率 1 5.3.5 随机事件的独立性 2 探究点一 相互独立事件的判断 探究点二 相互独立事件发生的概率 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念； 2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际 问题； 3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决 一些问题. 4 知识点 相互独立事件 1.一般地，当__________________时，就称事件与 相互独立 （简称独立），事件与相互独立的直观理解是，事件 是否发生 ______影响事件 发生的概率. 不会 2. ,这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的____. 3.如果事件与相互独立，则与，与，与 也相互______. 积 独立 4.有限个事件相互独立 “事件,, , 相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同 时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”. 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若，则事件与 相互独立.( ) √ （2）表示事件， 同时发生的概率，一定有 .( ) × [解析] 只有事件与相互独立时，才有 . 课 前 预 习 6 （3）若把一副扑克牌中的4张 随机分给甲、乙、丙、丁四个人，每 人得到1张扑克牌，则事件“甲分到红桃”与事件“乙分到红桃 ”相互 独立.( ) × [解析] 事件“甲分到红桃”与事件“乙分到红桃 ”不可能同时发生， 是互斥事件. （4）若和是两个相互独立事件，则表示事件， 中至少有1个发生的概率.( ) × [解析] 若和是两个相互独立事件，则表示事件 ， 中至多有1个发生的概率. 课 前 预 习 7 探究点一 相互独立事件的判断 例1 判断下列各对事件是否是相互独立事件. （1）甲组有3名男生和2名女生，乙组有2名男生和3名女生，现从甲、 乙两组中各选1名学生参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从 乙组中选出1名女生”； 解:“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女 生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件. 课 中 探 究 8 例1 判断下列各对事件是否是相互独立事件. （2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出 1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是 白球”. 解:“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为 ，若这一事件 发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概 率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为 .可见，前 一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互 独立事件. 课 中 探 究 9 变式（1）设，，为三个随机事件，则“，， 相互独立”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 三个事件，， 相互独立的充要条件是 ，， ， ，所以由，， 相互独立得 ，反之不成立.故“，， 相互独立”是“ ”的充分不必要条件.故选A. √ 课 中 探 究 10 （2）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），事件 表示“Ⅰ 号骰子出现的数字是2”，事件 表示“Ⅱ号骰子出现的数字是3”，事 件表示“两个点数之和是8”，事件 表示“两个点数之和是9”，则 ( ) A.与相互独立 B.与 相互独立 C.与相互独立 D.与 相互独立 √ [解析] 依题意，，， ， . 课 中 探 究 11 对于A， ，，故 和 不相互独立，A错误； 对于B，， ，故 和不相互独立，B错误； 对于C， ，，故 和 相互独立，C正确； 对于D，，，故 和 不相互独立，D错误.故选C. 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 判断事件是否相互独立的方法： （1）定义法：事件<m></m>，<m></m>相互独立<m></m>. （2）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影 响,即判断一事件的发生对另一事件发生的概率是否有影响，但这种 判断方式有时会有失准确性，如拓展中出现的情形. 课 中 探 究 13 拓展 对于变式（2）中，事件表示“两个点数之和是7”，判断 与 是否相互独立. 解:由变式（2）可知，易知 ， ，，故和 相 互独立. 课 中 探 究 14 探究点二 相互独立事件发生的概率 例2 甲、乙、丙三个人独立解决同一个问题，三人在一定的时间内 能解出该题的概率分别是,, .求: （1）他们都解出该题的概率; 解:用事件,, 分别表示甲、乙、丙三个人在一定的时间内能解出 该题.依题意可知,事件,,相互独立,且,, . 他们都解出该题,即事件,, 同时发生,故 . 课 中 探 究 15 例2 甲、乙、丙三个人独立解决同一个问题，三人在一定的时间内 能解出该题的概率分别是,, .求: （2）他们都没有解出该题的概率; 解:他们都没有解出该题,即事件,, 同时发生, 故 . 课 中 探 究 16 例2 甲、乙、丙三个人独立解决同一个问题，三人在一定的时间内 能解出该题的概率分别是,, .求: （3）他们能够解决这个问题的概率. 解:“他们能够解决这个问题”的对立事件为“他们都没有解出该题”,结 合对立事件间的概率关系,可得所求事件的概率 . 课 中 探 究 17 变式 若事件A与事件B相互独立,P(A)=0.4,P(B)=0.3,则P(A∪B)= (　 ) A.0.9 B.0.85 C.0.7 D.0.6 [解析] P()=1-P(A)=0.6,因为事件A与事件B相互独立,所以事件与 事件B相互独立,所以P(B)=P()P(B)=0.3,所以P(B)=0.5, 所以P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.5=0.2,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7. 故选C. √ 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 求较复杂事件的概率的一般步骤如下： （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示； （2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是相互对立，或者是 相互独立的），列出关系式； （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算； （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先计算其对立 事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 课 中 探 究 19 1.下列事件中，事件， 是相互独立事件的是( ) A.把一枚均匀的硬币抛掷两次，事件 第一次为正面向上，事件 第二次为反面向上 B.袋中有2个白球和2个黑球，不放回地摸2个球，事件 第一次摸 到白球，事件 第二次摸到白球 C.抛掷一枚均匀的骰子，事件出现的点数为奇数，事件 出现 的点数为偶数 D.事件某人能活到65岁，事件 某人能活到75岁 √ 课 堂 评 价 20 [解析] 把一枚均匀的硬币抛掷两次，对于每次而言是相互独立的， 其结果不受先后影响，故A中， 是相互独立事件； B中是不放回地摸球，显然事件与事件不相互独立； 对于C，， 为互斥事件，不相互独立； D中事件发生的概率受事件 发生的影响.故选A. 课 堂 评 价 21 2. [2026·山东济宁高一期中] 已知随机事件A和B相互独立,且P(A)=0.8, P(B)=0.5,则P(A∪B)= (　 ) A.0.5 B.0.7 C.0.8 D.0.9 [解析] 因为随机事件A和B相互独立,且P(A)=0.8,P(B)=0.5, 所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.8+0.5-0.8×0.5= 0.9.故选D. √ 课 堂 评 价 22 3. 掷红、蓝两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件 红骰子的点数为2， 红骰子的点数为3，两个骰子的点数之和 为7， 两个骰子的点数之和为9，则( ) A.与对立 B.与 不互斥 C.与相互独立 D.与 相互独立 √ 课 堂 评 价 23 [解析] 对于A，与互斥但不对立，故A错误； 对于B，与 不能同时发生，故与 互斥，故B错误； 对于C，样本空间包含 （个）样本点,两个骰子的点数之和 为7包含的样本点有 ,共6个,则 ,又， ，所以， 所以与 相互独立，故C正确； 对于D，两个骰子的点数之和为9包含的样本点有，，， ，共4个，则,又， ，所以 ，故D错误.故选C. 课 堂 评 价 24 4.甲、乙、丙3人分别去不同的商店购买同一种纪念品,3人的购买情 况是相互独立的，若甲、乙2人中至少有1人购买到该纪念品的概率 为,丙购买到该纪念品的概率为 ,则甲、乙、丙3人中至少有1人购买 到该纪念品的概率为__. 课 堂 评 价 25 [解析] 因为甲、乙2人中至少有1人购买到该纪念品的概率为 ,所以 甲、乙2人均没有购买到该纪念品的概率 . 同理,丙没有购买到该纪念品的概率 ， 所以甲、乙、丙3人均没有购买到该纪念品的概率 , 所以甲、乙、丙3人中至少有1人购买到该纪念品的概率 . 课 堂 评 价 课后习题 27 1.袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，事件 表示“第一次摸到白球”，事件表示“第二次摸到白球”，则事件 与 事件 是( ) A.互斥事件 B.相互独立事件 C.对立事件 D.不相互独立事件 [解析] 根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的概念可知，事件 与事件 不是相互独立事件.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 28 2.有4个大小质地相同的小球，分别标有数字1,2,3,4，从中不放回地 随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是 奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件 “两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字 之和为5”，则( ) A.甲和乙相互独立 B.甲和丙相互独立 C.甲和丁相互独立 D.丁和丙相互独立 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 29 [解析] 由题得（甲）（乙）（丙） （丁） （甲乙）（甲丙）（甲丁） （丙丁）. 对于A，（甲）（乙）（甲乙） ，故A错误； 对于B，（甲）（丙）（甲丙） ，故B错误； 对于C，（甲）（丁）（甲丁） ，故C正确； 对于D，（丙）（丁）（丙丁） ，故D错误. 故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 30 3. 在一次知识竞赛中,小张需要按顺序依次回答甲、乙、丙3个问题, 已知他答对甲、乙、丙问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,各题回答正确 与否相互独立.若至少能够连续将2道题都答对,可获得额外加分, 则小张获得额外加分的概率为(　 ) A.0.24 B.0.54 C.0.70 D.0.46 √ [解析] 小张获得额外加分的概率为0.8×0.6+(1-0.8)×0.6×0.5=0.54.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 31 4. [2026·江西抚州高一期末] 已知甲、乙两名射击运动员击中目标的 概率分别为0.7,0.8,且2人是否击中目标相互独立,若他们2人向目标各 发1枪,则目标被击中的概率为 (　 ) A.0.56 B.0.94 C.0.96 D.0.06 √ [解析] 设甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C, 则P(A)=0.7,P(B)=0.8,且=,所以P()=0.3,P()=0.2, 所以P(C)=1-P()=1-P()P()=1-0.3×0.2=0.94.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 32 ★5.连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，设“第1次正面朝上”为事件 ， “第2次反面朝上”为事件，“2次朝上结果相同”为事件 ，有下列三 个说法： ①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件 与 事件 相互独立. 其中正确说法的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 33 [解析] 连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次的样本空间为 （正,正）, （正，反）,（反，正）,（反，反） ,由题意得 ,. 因为 ,所以事件与事件相互独立，故①正确； 因为 ,所以事件与事件相互独立，故②正确； 因为 ,所以事件与事件 相互独立，故③正确. 故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 34 ［易错点］ 当不能直观地看出事件是否发生不影响事件 发生的 概率时，一定要根据定义判断, 是否相互独立，即 是否成立. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 35 6.如图，三个元件,, 正常工作的概率均 为 ，且是相互独立的，将它们接入电路中， 则电路是通路的概率是( ) A. B. C. D. √ [解析] 记正常工作为事件 正常工作为事件正常工作为事 件 ，则.电路是通路，即 正常工作且， 至少有一个正常工作，， 至少有一个正常工作的概率 ，所以整个电路是通路的概率 .故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 36 7.（多选题）［2026·四川眉山高一期末］ 已知事件， 发生的概 率分别为， ，则下列说法不正确的是( ) A.若与相互独立，则 B.若，则与 相互独立 C.若与互斥，则 D.若发生时一定发生，则 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 37 [解析] 对于A，若与 相互独立,则 ，所 以 ,故A中说法正确； 对于B，因为，所以 ，所以 所以与 相互独立,故B中说法正确； 对于C，若与互斥，则 ，故C 中说法不正确； 对于D，若发生时一定发生，则 ，则，故 D中说法不正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 8.从甲袋内摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率为 ， 从两个袋内各摸1个球，那么概率为 的事件是_________________. 2个球不都是白球 [解析] 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件是相互独立的， 故2个球都是白球的概率为 ，所以2个球不都是白球的概率 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 9.（13分）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外 没有其他差异. （1）从中不放回地任意摸球两次，求摸出两球标号互质的概率； 解：从中不放回地任意摸球两次，样本空间,, , ,, ，共6个样本点， 记事件为“摸出的两球标号互质”，则,,, , ，共5个样本点，故 . 因此，摸出两球标号互质的概率为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 9.（13分）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外 没有其他差异. （2）从中不放回地依次摸球两次，设事件 为“第一次摸出球的标号 小于3”，事件为“第二次摸出球的标号小于3”，判断事件与事件 是否相互独立. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 解：从中不放回地依次摸球两次，样本空间,, , ,,,,,,,, ，共12个样本点， 由题得,,,,, ， ,,,,,，, ， 则， ， 所以 ， 所以事件与事件 不相互独立. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 10. [2026·山西忻州高一期末] 一个不透明的袋子中装有大小和质地 相同的6个球,其中有2个红球、2个绿球和2个蓝球,从袋中一次性随机 取出2个球,设事件A为“2个球颜色相同”,事件B为“2个球中至少有1个 红球”,事件C为“2个球中至多有1个红球”,事件D为“2个球都不是红球”, 则 (　 ) A.A与D互斥 B.B与C对立 C.A与B相互独立 D.C∩D=D √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 [解析] 将2个红球、2个绿球和2个蓝球分别记为A,B,a,b,1,2,则从袋中 一次性随机取出2个球的样本空间Ω={AB,Aa,Ab,A1,A2,Ba,Bb,B1,B2,ab, a1,a2,b1,b2,12},共包含15个样本点, 由题意A={AB,ab,12},共包含3个样本点,B={AB,Aa,Ab,A1,A2,Ba,Bb,B1,B2}, 共包含9个样本点,C={Aa,Ab,A1,A2,Ba,Bb,B1,B2,ab,a1,a2,b1,b2,12},共包含 14个样本点,D={ab,a1,a2,b1,b2,12},共包含6个样本点. A∩D={ab,12}≠∅,则A与D不互斥,故A错误; B∩C={Aa,Ab,A1,A2,Ba,Bb,B1,B2}≠∅,则B与C不互斥,故B错误; A∩B={AB},因为P(A)==,P(B)==,P(AB)=,所以P(AB)≠P(A)P(B), 故C错误; C∩D={ab,a1,a2,b1,b2,12}=D,故D正确.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 11. [2026·河南南阳高一月考] 先后两次掷一枚质地均匀的骰子,事件A 表示“两次掷出的点数之和是4,事件B表示“第二次掷出的点数是偶数”, 事件C表示“两次掷出的点数相同”,事件D表示“至少出现一个奇数点”,则 (　 ) A.A与C互斥 B.P(D)= C.B与D对立 D.B与C相互独立 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 [解析] 由已知得样本空间中共包含36个样本点,A={(1,3),(2,2),(3,1)}, C={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},AC={(2,2)},所以A与C不互斥,故A错误; “至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数”, 所以P(D)=1-×=,故B错误; 由于“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数”, 所以B与D不是对立的,故C错误; 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 第二次掷出的点数为偶数包含的样本点为(x,2),(x,4),(x,6)(x=1,2,3,4,5,6), 共18个,两次掷出的点数相同包含的样本点为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5), (6,6),共6个,两次掷出的点数相同且第二次掷出的点数为偶数包含的 样本点为(2,2),(4,4),(6,6),共3个, 所以P(B)==,P(C)==,P(BC)==, 所以P(B)P(C)=P(BC),所以B,C相互独立,故D正确.故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 12. 正八面体各个面分别标以数字1到8.抛掷一次该正八面体，观察它 与地面接触的面上的数字，得到样本空间为.已知 事件， ，,,,，若 ，但，， 不相互独立，则事件 _________. [解析] 由题可得 ， 因为 ，所以， 又 不相互独立,即 ，，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 13. 设样本空间 ，若事件，，是 的子集，且，， 两两独立，其中 ，，,，， 则 __. [解析] 由题意知，则,, ，且 ,，满足 ， 又，所以与 不独立， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 14.（15分）［2025·四川南充高一期末］ 甲、乙两人组队成“星对” 参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜 对的概率为，乙每轮猜对的概率为 ，在每轮活动中，甲和乙猜 对与否互不影响，各轮结果也互不影响.在一轮活动中，甲、乙都猜 对的概率为，甲猜对且乙猜错的概率为 . （1）求， 的值； 解：由已知得 解得 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 14.（15分）［2025·四川南充高一期末］ 甲、乙两人组队成“星对” 参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜 对的概率为，乙每轮猜对的概率为 ，在每轮活动中，甲和乙猜 对与否互不影响，各轮结果也互不影响.在一轮活动中，甲、乙都猜 对的概率为，甲猜对且乙猜错的概率为 . （2）求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 解：用，分别表示甲两轮猜对1个、2个成语，， 分别表示 乙两轮猜对1个、2个成语，则, ，, . “星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率 ， 所以“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 15.（15分）某排球比赛采用五局三胜制，前四局比赛采用25分制， 每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决 胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对 方2分为胜.在比赛中，每一个回合，赢球的一方可得1分，并获得下 一球的发球权，输球的一方不得分.现有甲、乙两队进行排球比赛. （1）若前三局比赛中甲赢两局，乙赢一局，接下来的每局比赛甲队 获胜的概率均为 ，求甲队最后赢得整场比赛的概率. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 解：甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局甲赢或第四局甲输第五 局甲赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 15.（15分）某排球比赛采用五局三胜制，前四局比赛采用25分制， 每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决 胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对 方2分为胜.在比赛中，每一个回合，赢球的一方可得1分，并获得下 一球的发球权，输球的一方不得分.现有甲、乙两队进行排球比赛. （2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局 （第五局）中，两队当前的得分均为14分，且甲已获得下一球的发 球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为 .求 甲队在4个球以内（含4个球）赢得整场比赛的概率. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 解：设甲队个球后赢得比赛，根据题意， 的取值只能为2或4,对应比分 为, . 两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第1个球甲发球甲得分，打第2个 球甲发球甲得分，此时的概率 ； 两队打了4个球后甲赢得整场比赛,即打第1个球甲发球甲得分,打第2个球 甲发球乙得分,打第3个球乙发球甲得分,打第4个球甲发球甲得分,或打第1 个球甲发球乙得分，打第2个球乙发球甲得分，打第3个球甲发球甲得分， 打第4个球甲发球甲得分,此时的概率 . 故所求概率 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 56 $