5.3.5 随机事件的独立性-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“随机事件的独立性”，系统讲解定义、性质、概率公式及与互斥事件的区别。通过“3张奖券有放回抽取”情境导入，衔接概率基础，以问题链引导学生从具体现象抽象数学概念，搭建认知支架。 其亮点在于情境化探究与分层设计，结合抽奖、射击等实例，培养数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。通过对比表格明晰概念差异，反思领悟总结解题步骤，助力学生构建知识体系，教师可依托分层作业与评估高效开展差异化教学。

第五章 统计与概率 5.3　概率 5.3.5　随机事件的独立性 学习任务 1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．(数学抽象) 2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．(数学运算) 3．综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题．(逻辑推理、数学建模) 5.3.5　随机事件的独立性 3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”． 问题：(1)上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？ (2)互斥事件与相互独立事件有什么区别？ 必备知识·情境导学探新知 5.3.5　随机事件的独立性 [提示]　(1)因为抽取是有放回的，所以A的发生不会影响B发生的概率，事件A和事件B相互独立． (2)两个事件相互独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 知识点1　相互独立事件的定义和性质 (1)定义：设A，B为两个事件，一般地，当P(AB)＝_______________时，就称事件A与事件B相互独立(简称独立)． 提醒　事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率． (2)性质：如果事件A与B相互独立，那么A与与B，与也都相互独立． P(A)P(B) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 知识点2　n个事件相互独立与独立事件的概率公式 1．n个事件相互独立 对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． 2．独立事件的概率公式 (1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)． (2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)事件A与B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)． (　　) (2)若事件A与B相互独立，则事件与事件B也相互独立． (　　) (3)若事件A与B相互独立，则P(A＋B)＝1－P()P()． (　　) √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 2．下列各对事件中，A，B是相互独立事件的是(　　) A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面” B．袋中有2个白球，2个黑球，除颜色外完全相同，不放回地摸球两次，每次摸出一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球” C．掷一枚质地均匀的骰子一次，A表示“出现的点数为奇数”，B表示“出现的点数为偶数” D．A表示“一个灯泡能用1 000小时”，B表示“一个灯泡能用2 000小时” √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 A　[在A中，把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A中两事件是相互独立事件；在B中，显然事件A与事件B相互影响，不相互独立；在C中，A，B不能同时发生且相互影响，故为互斥事件，不是相互独立事件；在D中，事件B受事件A的影响，A不发生则B一定不发生，故事件A与事件B不相互独立．] 3．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________；P()＝________． 　[∵P(A)＝，P(B)＝， ∴P()＝． ∴P(A)＝＝， P()＝＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 4．甲、乙两人投球的命中率分别为，甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为________． 　[“甲投球一次命中”记为事件A，“乙投球一次命中”记为事件B，“甲、乙两人各投一次，恰好命中一次”记为事件C，则C＝(A∩B)，且(A∩B)互斥，P(C)＝P[(A)P(B)＝＝＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 类型1　相互独立事件的判断 【例1】　【链接教材P118例1】 判断下列各对事件是不是相互独立事件． (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”． 关键能力·合作探究释疑难 5.3.5　随机事件的独立性 (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”． (3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． [思路导引]　由题目可获取以下主要信息：(1)给出各对事件共三组．(2)要求判断各对事件是不是相互独立事件．解答本题可先看两个事件中的一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两个事件是否相互独立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 [解]　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． (3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}， 所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝． 所以P(AB)＝P(A)P(B)， 所以事件A与B相互独立． 【教材原题·P118例1】 例1　甲、乙两人各掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：甲得到的点数为2，B：乙得到的点数为奇数． (1)求P(A)，P(B)，P(AB)，判断事件A与B是否相互独立； (2)求P(B)． [解]　如果用(i，j)表示甲得到的点数为i，乙得到的点数为j，则样本空间可以记为 Ω＝{(i，j)|i，j＝1，2，3，4，5，6}， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 而且这个样本空间可用图5-3-14直观表示． (1)不难看出，图5-3-14中，橙色框中的点代表事件A，绿色框中的点代表事件B． 因此，可以算出 P(A)＝＝，P(B)＝＝． 又因为AB＝{(2，1)，(2，3)，(2，5)}，所以 P(AB)＝＝． 因为P(AB)＝P(A)P(B)，所以A与B相互独立． (2)由A与B相互独立可知，与B也相互独立，因此 P()P(B)＝[1－P(A)]P(B)＝×＝． 发现规律　判断事件是否相互独立的方法 (1)公式法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝________________． (2)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否________． P(A)P(B) 相互影响 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 [跟进训练] 1．(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　) A．相互独立但不互斥　　 B．互斥但不相互独立 C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥 (2)(源自苏教版教材)一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有1～9这9个数(1张卡片上标1个数)，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件A，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件B．试判断A，B是否为相互独立事件． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 (1)A　[对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A．] (2)[解]　(法一)　Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}， A＝{1，4，7}，B＝{1，2，3，4，5，6}． 若A发生，则B发生的概率为； 若A不发生，则B发生的概率为＝． 可见，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，因此，A，B相互独立． (法二)　Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}， A＝{1，4，7}，B＝{1，2，3，4，5，6}， AB＝{1，4}， 所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝， 即P(AB)＝P(A)P(B)． 因此，A，B为相互独立事件． 类型2　相互独立事件的概率求解 【例2】　【链接教材P119例2】 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： (1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 [思路导引]　设A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”，从要求的概率可知，需要先分别求A，B的对立事件构建相应的事件． [解]　设A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”，则＝“甲脱靶”，＝“乙脱靶”，由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，A与都相互独立． 由已知可得，P(A)＝0.8，P(B)＝0.9，P()＝0.1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 (1)AB＝“两人都中靶”，由事件独立性的定义， 得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72． (2)“恰好有一人中靶”＝AB互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义， 得P(A)P(B)＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26． (3)事件“两人都脱靶”＝， 所以P()＝(1－0.8)×(1－0.9)＝0.02． (4)(法一)　事件“至少有一人中靶”＝AB∪AB两两互斥， 所以P(AB∪AB) ＝P(AB)＋P(AB) ＝0.72＋0.26＝0.98． (法二)　由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为 1－P()＝1－0.02＝0.98． 【教材原题·P119例2】 例2　已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8． (1)若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少？ (2)若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少？ [解]　(1)记事件A：甲投中，B：乙投中，因为A与B相互独立，所以 P(AB)＝P(A)P(B)＝0.7×0.8＝0.56， 即都命中的概率为0.56． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 (2)记事件Ai：甲第i次投中，其中i＝1，2，则 P(A1)＝P(A2)＝0.7． 恰好投中一次，可能是第一次投中且第二次没投中，也可能是第一次没投中且第二次投中，即 A1A2， 注意到A1与A2相互独立，且A1A2互斥，因此 P(A1A2) ＝P(A1)P()P(A2) ＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2) ＝0.7×(1－0.7)＋(1－0.7)×0.7 ＝0.42． 反思领悟　1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 [跟进训练] 2．甲、乙两名射击运动员对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响．已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为． (1)求甲两次都没有击中目标的概率； (2)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 [解]　(1)设甲第一次击中目标为事件A1，甲第二次击中目标为事件A2， 则P(A1)＝P(A2)＝，因为事件“甲两次都没有击中目标”即为事件， 则所求的概率为P()＝P()P() ＝(1－P(A1))(1－P(A2))＝． (2)设乙第一次击中目标为事件B1，乙第二次击中目标为事件B2， 则P(B1)＝P(B2)＝，所以事件“四次射击中，甲、乙恰好各击中一次目标”表示为A2B2＋A1B2＋A2B1＋A1B1， 所以所求的概率为P＝P(A2B2＋A1B2＋A2B1＋A1B1) ＝P(A2B2)＋P(A1B2)＋P(A2B1)＋P(A1B1)＝4×＝． 类型3　相互独立事件概率的综合应用 【例3】　【链接教材P120例3】 计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格相互之间没有影响． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 (1)假设甲、乙、丙3人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得“合格证书”的可能性大？ (2)求这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得“合格证书”的概率． (3)求甲、乙、丙3人在理论考试中有2人合格的概率． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 [解]　(1)记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则 P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝． 因为P(C)>P(B)>P(A)， 所以丙获得合格证书的可能性大． (2)记“3人考试后恰有2人获得‘合格证书’”为事件D，则P(D)＝P(ABBC)＝＝． (3)记“甲、乙、丙3人在理论考试中有2人合格”为事件E，则P(E)＝＝． 【教材原题·P120例3】 例3　某同学在参加一次考试时，有三道选择题不会，每道选择题他都随机选了一个答案，且每道题他猜对的概率均为． (1)求该同学三道题都猜对的概率； (2)求该同学至少猜对一道题的概率． [解]　记事件Ai：该同学第i题猜对了，其中i＝1，2，3，则 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 (1)三道题都猜对可以表示为A1A2A3，又因为A1，A2，A3相互独立，所以 P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝＝． (2)“至少猜对一道题”的对立事件是“三道都猜错”，后者可以表示为，所以 P()＝(1－)3＝， 因此所求概率为 1－P()＝1－＝． 反思领悟　求较为复杂事件的概率的方法 (1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示； (2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算； (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 [跟进训练] 3．甲、乙两队进行篮球比赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场时，该队获胜，比赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.8，客场取胜的概率为0.4，且各场比赛结果相互独立． (1)求前2场比赛，甲至少赢得一场的概率； (2)当双方总比分为2∶2时，求甲获胜的概率． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 [解]　(1)设前2场比赛，甲至少赢一场为事件A，P(A)＝0.8×0.8＋0.8×(1－0.8)×2＝0.96． (或者P(A)＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96) (2)当双方总比分为2∶2时，设甲获胜为事件B，甲获胜的比分可以是4∶2或者4∶3， 若是4∶2，第五场和第六场，甲连赢两场，则甲获胜概率为：0.8×0.4＝0.32， 若是4∶3，第五场和第六场，甲、乙各赢一次，第七场甲赢了， 则甲获胜概率为：0.8×0.6×0.8＋0.2×0.4×0.8＝0.448， 所以，当双方总比分为2∶2时，甲获胜的概率P(B)＝0.32＋0.448＝0.768． 1．(多选)任意抛掷一枚质地均匀的骰子一次，观察其出现的基本结果，定义事件：A＝{1，2，3}，事件：B＝{3，4，5，6}，事件：C＝{1，3，5}，则下列判断正确的是(　　) A．P(A)＝　　　　　　 B．P(BC)＝ C．P(ABC)＝ D．事件A，B相互独立 学习效果·课堂评估夯基础 √ √ 5.3.5　随机事件的独立性 AC　[由题意，Ω＝{1，2，3，4，5，6}，n(Ω)＝6，n(A)＝3，所以P(A)＝＝，故选项A正确；n(BC)＝2，P(BC)＝＝，故选项B错误；n(ABC)＝1，P(ABC)＝，故选项C正确； 因为P(AB)≠P(A)P(B)，故选项D错误．故选AC．] 2．一个学生通过一种英语能力测试的概率是，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． √ C　[由题意知，恰有一次通过的概率为＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 3．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同．其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，则取出的两球都是红球的概率为________________．(答案用分数表示) 　[从甲袋中取出一个红球的概率为＝，从乙袋中取出一个红球的概率为，故取出的两个球都是红球的概率为＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 4．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________． 　[甲、乙两球都落入盒子的概率P＝＝． 事件A：“甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件是：“甲、乙两球都没有落入盒子”，P()＝＝，所以P(A)＝1－＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．如何判断两个事件的独立性？ [提示]　判定两个事件A，B是相互独立的，其根据为P(AB)＝P(A)P(B)． 判断两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．实际应用中， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 我们常常是用试验的方式来判断试验的独立性，即由试验的独立性来判断事件的独立性，或者说根据问题的实质，判断一个事件的发生是否影响另一个事件发生的概率．例如，在有放回地摸球(袋中有白球和红球)试验中，A1表示“第一次摸到白球”，A2表示“第二次摸到白球”．由于A1只与第一次试验有关，A2只与第二次试验有关，因此A1与A2相互独立．而在不放回摸球试验中，它们却不是相互独立的．又例如，甲、乙两名射手在相同条件下进行射击，则“甲击中目标”与“乙击中目标”两个事件是相互独立的． 在实际问题中，若难以判断它们是否相互独立，则需要利用统计知识分析它们是否符合事件独立性的条件． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 2．相互独立事件与互斥事件的区别是什么？ [提示]　 事件 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 符号 相互独立事件A，B同时发生，记作：AB 互斥事件A，B中有一个发生，记作：A＋B(或A∪B) 计算公式 P(AB)＝P(A)P(B) P(A＋B)＝P(A)＋P(B) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 一、选择题 1．(教材P120练习AT1改编)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第一枚正面朝上”，事件B表示“两枚硬币朝上的面相同”，则A与B(　　) A．是互斥事件也是相互独立事件 　B．不互斥但相互独立 C．是对立事件 　D．既不互斥也不相互独立 课时分层作业(二十)　随机事件的独立性 √ 48 B　[分别抛掷两枚质地均匀的硬币，样本空间Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}， 事件A＝{(正，正)，(正，反)}，事件B＝{(正，正)，(反，反)}， 显然A与B不互斥，也不是对立事件，故A，C错误； ∵P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝， ∴P(A)P(B)＝P(AB)，∴A与B相互独立，故B正确，D错误，故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 2．某零件的加工共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%，3%，5%，3%，假设各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为(　　) A．22.5% B．15.5% C．15.3% D．12.4% 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 50 D　[四道工序中只要有一道工序加工出次品，则加工出来的零件就是次品．设“加工出来的零件是次品”为事件A，则P()＝(1－2%)×(1－3%)×(1－5%)×(1－3%)≈87.6%，故加工出来的零件的次品率约为12.4%．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 51 3．从应届高中生中选飞行员，已知这批学生体形合格的概率为，视力合格的概率为，其他综合标准合格的概率为，从中任选一学生，则三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)(　　) A． C． √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 B　[由题意知三项标准互不影响，∴P＝＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 52 √ 4．甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制(当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束)，假设每场比赛甲班获胜的概率为，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为(　　) A． C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 53 D　[甲班最终获胜有三种情况： ①甲班前两场获胜；②甲班第1场和第3场获胜，第2场输；③甲班第1场输，第2场和第3场获胜，故甲班最终获胜的概率为＋＝，故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 54 二、填空题 5．两个人通过某项专业测试的概率分别为，他们一同参加测试，则至多有一人通过的概率为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 　[二人均通过的概率为＝， ∴至多有一人通过的概率为1－＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 55 6．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考试，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A＋的概率分别为，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A＋的概率是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 　[这位考生三门科目考试成绩都不是A＋的概率为＝，所以这位考生至少得1个A＋的概率为1－＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 56 三、解答题 7．(源自北师大版教材)甲、乙两人独立破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求： (1)两人都译出密码的概率； (2)两人都译不出密码的概率； (3)恰有一人译出密码的概率； (4)至多有一人译出密码的概率； (5)至少有一人译出密码的概率． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 57 [解]　记“甲独立译出密码”为事件A，“乙独立译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝， (1)设事件C表示“两人都译出密码”，则C＝AB．因为A与B相互独立，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝＝． 即两人都译出密码的概率为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 58 (2)设事件D表示“两人都译不出密码”，则D＝也相互独立．因此， P(D)＝P() ＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝＝． 即两人都译不出密码的概率为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 (3)设事件E表示“恰有一人译出密码”，事件E可以看作事件“甲译出密码且乙未译出密码”与事件“甲未译出密码且乙译出密码”的并事件，所以E＝AB彼此互斥，因此 P(E)＝P(AB)＝P(AB) ＝P(A)P()P(B) ＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B) ＝＝． 即恰有一人译出密码的概率为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 (4)设事件F表示“至多有一人译出密码”． (法一)　事件F可以看作事件“两人都译不出密码”与“恰有一人译出密码”的并事件，所以F＝D∪E，且D与E彼此互斥，因此 P(F)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝＝． 即至多有一人译出密码的概率为． (法二)　事件F的对立事件为“两人都译出密码”，所以＝C，因此 P(F)＝1－P()＝1－P(C)＝1－＝． 即至多有一人译出密码的概率为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 (5)设事件G表示“至少有一人译出密码”． (法一)　事件G可以看作事件“两人都译出密码”与“恰有一人译出密码”的并事件，所以G＝C∪E，且C与E彼此互斥，因此 P(G)＝P(C∪E)＝P(C)＋P(E)＝＝． 即至少有一人译出密码的概率为． (法二)　事件G的对立事件为“两人都译不出密码”，所以＝D，因此 P(G)＝1－P()＝1－P(D)＝1－＝． 即至少有一人译出密码的概率为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 8．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A片上，则跳三次之后停在A片上的概率是(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 63 A　[由题意知逆时针方向跳的概率为，顺时针方向跳的概率为，青蛙跳三次要回到A只有两条途径： 第一条：按A→B→C→A，P1＝＝； 第二条：按A→C→B→A，P2＝＝， 所以跳三次之后停在A上的概率为 P1＋P2＝＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 64 √ 9．(多选)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)＝，P(B)＝，则下列说法正确的是(　　) A．若A与B相互独立，则P(A∪B)＝ B．若P(B)＝，则事件与B相互独立 C．若A与B互斥，则P(A∪B)＝ D．若B发生时A一定发生，则P(AB)＝ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 65 AB　[对于A，若A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)＝＝， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＝，故A正确； 对于B，因为P(A)＝，P(B)＝，则P()＝1－P(A)＝1－＝， 因为P()P(B)＝＝＝P(与B相互独立，故B正确； 对于C，若A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＝，故C错误； 对于D，若B发生时A一定发生，则B⊆A， 则P(AB)＝P(B)＝，故D错误．故选AB．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 66 10．已知甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响．若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 　[设事件A表示“甲射击一次命中目标”，事件B表示“乙射击一次命中目标”，则A，B相互独立，停止射击时甲射击了两次包括两种情况： 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 67 ①甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击命中，此时的概率为P(A)＝＝． ②甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中，此时的概率为 P(B)＝＝． 故停止射击时，甲射击了两次的概率是＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 68 11．有甲、乙两台机床生产某种零件，甲获得正品乙不是正品的概率为，乙获得正品甲不是正品的概率为，且每台获得正品的概率均大于，则甲、乙同时生产这种零件，甲、乙均获得正品的概率是________，至少一台获得正品的概率是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 69 　[设甲、乙两台机床生产的零件是正品的概率分别为p，q，则＜p≤1，＜q≤1． 因为甲获得正品，乙不是正品的概率为， 所以p(1－q)＝①， 又因为乙获得正品，甲不是正品的概率为， 所以q(1－p)＝②， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 70 ①②联立得解得 则甲、乙均获得正品的概率为p·q＝＝， 甲、乙同时生产这种零件，至少一台获得正品的概率是＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 12．(源自人教A版教材)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 [解]　设A1，A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件．根据独立性假定，得 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 72 P(A1)＝＝，P(A2)＝＝． P(B1)＝＝，P(B2)＝＝． 设A＝“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则A＝A1B2∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立，所以 P(A)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1) ＝＝． 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 73 13．一个系统如图所示，A，B，C，D，E，F为6个部件，其正常工作的概率都是，且是否正常工作是相互独立的，当A，B都正常工作或C正常工作，或D正常工作，或E，F都正常工作时，系统就能正常工作，则系统正常工作的概率是(　　) A． C． √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.5　随机事件的独立性 74 A　[设“C正常工作”为事件G，“D正常工作”为事件H，则P(G)＝P(H)＝，“A与B中至少有一个不正常工作”为事件T，“E与F中至少有一个不正常工作”为事件R，则P(T)＝P(R)＝1－＝，于是系统不正常工作的事件为TR，而T，R，相互独立，所以系统正常工作的概率P＝1－P(T)P(R)P()P()＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 75 $