5.3.4 频率与概率-(PPT版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册配套课件（人教B版）

5.3 概率 1 5.3.4 频率与概率 2 探究点一 概率的理解 探究点二 用频率估计概率 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性； 2.理解概率的意义以及频率与概率的区别； 3.利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题. 4 知识点一 随机事件的频率及特点 1.频率是一个变化的量，但在大量重复试验时，它又具有________， 频率的值位于区间______之间. 2.随着试验次数的增加，随机事件发生的频率摆动的幅度具有越来越 ____的趋势. 3.随机事件的频率也可能出现偏离“常数” 较大的情形，但是随着试 验次数的增多，频率偏离“常数”的可能性会______. 稳定性 小 减小 课 前 预 习 5 知识点二 用频率估计概率 一般地，如果在次重复进行的试验中，事件 发生的频率为___，则 当很大时，可以认为事件发生的概率 的估计值为___，此时 也有 ，此时两对立事件的概率和为1以及互斥事件的概 率加法公式等概率的性质也成立.这种确定概率估计值的方法称为用 ______估计概率. 频率 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）事件发生的概率，则事件 是必然事件.( ) × [解析] 必然事件发生的概率为1. （2）某奖券的中奖率为 ，则某人购买此券20张，一定有1张中奖. ( ) × [解析] 某奖券的中奖率为 ，则某人购买此券20张，可能有1张中奖. 课 前 预 习 7 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）某厂产品的次品率为 ，则该厂的50件产品中可能有2件次品. ( ) √ [解析] 某厂产品的次品率为 ，则该厂的50件产品中可能没有次品， 也可能有1件或2件或3件或更多件次品. 课 前 预 习 8 探究点一 概率的理解 例1（1）在进行次重复试验时，事件发生的频率为，当 很大时， 事件发生的概率与 的关系是( ) A. B. C. D. [解析] 在进行次重复试验时，事件发生的频率为，当 越大时， 越接近于，所以可以用近似地代替，即 .故选A. √ 课 中 探 究 9 （2）（多选题）下列说法错误的是( ) A.某种奖项的中奖概率为 ，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 C.某医院治疗一种疾病的治愈率为 ，前9个病人没有治愈，则第 10个病人一定治愈 D.某市气象台预报“明天本市降水概率为 ”，指的是该市气象台 专家中，有认为明天会降水， 认为不会降水 √ √ √ 课 中 探 究 10 [解析] 对于A，中奖概率为是指买一张彩票，中奖的概率为 ， 不是指买1000张这种彩票一定能中奖，故A中说法错误； 对于B，试验次数越多,频率就会稳定在概率的附近，故B中说法正确； 对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为 ，是指一位病人被治愈 的概率为 ，不是说每10个病人就一定有一人被治愈，故C中说法 错误； 对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为 ，故D中说 法错误．故选 . 课 中 探 究 11 ［素养小结］ 概率虽然反映了随机事件发生的规律，但在具体的一次试验中该事 件发生的频率值却不一定是概率值，甚至可能差别还比较大，但在 大量的重复试验中事件<m></m>发生的频率稳定在概率附近. 课 中 探 究 12 探究点二 用频率估计概率 例2 在一次抛硬币的试验中,某同学将一枚质地均匀的硬币抛掷500次, 发现正面朝上出现了300次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为(　 ) A.0.6,0.6 B.0.6,0.5 C.0.5,0.5 D.0.5,0.6 √ 课 中 探 究 13 [解析] ∵某同学将一枚质地均匀的硬币抛掷了500次,发现正面朝上 出现了300次,∴出现正面朝上的频率为=0.6. ∵每次抛质地均匀的硬币时,正面朝上和反面朝上的机会相等,都是, ∴出现正面朝上的概率为=0.5.故选B. 课 中 探 究 14 变式 如图，地到火车站共有两条路径和 ，现随机抽取100位从 地到火车站的人进 行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） 选择 的人数 6 12 18 12 12 选择 的人数 0 4 16 16 4 （1）试用频率估计概率，估计40分钟以内不能赶到火车站的概率； 解:调查的100人中，40分钟及以内不能赶到火车站的有 （人），因此40分钟及以内不能赶到火车站的频率为 ， 用频率估计概率，40分钟及以内不能赶到火车站的概率为0.44. 课 中 探 究 15 变式 如图，地到火车站共有两条路径和 ，现随机抽取100位从 地到火车站的人进 行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） 选择 的人数 6 12 18 12 12 选择 的人数 0 4 16 16 4 （2）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为 了尽可能在允许的时间内赶到火车站，试用频率估计概率通过计算 说明，他们应如何选择各自的路径. 课 中 探 究 16 解:设,分别表示甲选择和 时，在40分钟及以内赶到火车站， ,分别表示乙选择和 时，在50分钟及以内赶到火车站. 依题意，， ， 因为，所以甲应选择路径 . 依题意， ， ， 因为，所以乙应选择路径 . 课 中 探 究 17 ［素养小结］ （1）概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件 发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于 概率.当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率. （2）在进行<m></m>次独立重复试验时，事件<m></m>出现的频数为<m></m>，则通过公 式<m></m>计算出频率，再由频率估计概率. 课 中 探 究 18 1.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2025次，那么第2024次出 现正面朝上的概率是( ) A. B. C. D. [解析] 由概率的性质得无论试验多少次，概率始终不变，故第2024 次出现正面朝上的概率是 ，故选D. √ 课 堂 评 价 19 2.某医院治疗一种疾病的治愈率为 ，若前4个病人都没有被治愈，则 第5个病人被治愈的概率为( ) A.1 B. C. D.0 [解析] 由概率的意义知，第5个病人被治愈的概率仍为 ，与前4个病 人有没有被治愈没有关系.故选B. √ 课 堂 评 价 20 3.［2026·湖北荆州高一期末］天气预报说，在今后的三天中，每一 天下雨的概率均为0.6.我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计 算机产生 之间的随机数： 425 123 423 344 144 435 525 332 152 342 534 443 512 541 135 432 334 151 312 354 若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天 下雨的概率近似为( ) A. B. C. D. √ [解析] 设事件 三天中至少有两天下雨.20组随机数中，至少有两天 下雨的有123,435,525,332,152,534,512,541,135,334,151,312,354，即事件 发生了13次，用频率估计事件的概率近似为 .故选D. 课 堂 评 价 21 4. (多选题)把一枚硬币在同等条件下抛掷2025次后,统计正面向上的次数, 则下列说法正确的有 (　 ) A.正面向上的次数是1012或1013 B.正面向上的频率可能等于0.48 C.正面向上的频率一定等于0.5 D.若正面向上的频率等于0.4,则硬币质量分布可能不均匀 √ √ 课 堂 评 价 22 [解析] 对于A,正面向上的次数是随机的,故A错误; 对于B,0.48×2025=972是整数,故B正确; 对于C,正面向上的频率是随机的,只不过随着样本量的增加,频率应趋近 于0.5,故C错误; 对于D,随着样本量的增加,正面向上的频率应趋近于0.5,0.4与0.5差距较大, 故有硬币质量分布不均匀(即正面朝上的概率≠0.5)的可能,故D正确.故选BD. 课 堂 评 价 23 5.一家药物公司测试一种新药，有500名病人参与了临床试验，其中 307人有明显疗效，剩余的人无疗效或疗效一般，则没有明显疗效的 频率是______. 0.386 [解析] 由题意可得没有明显疗效的人数是 ，所以没 有明显疗效的频率是 . 课 堂 评 价 24 课后习题 25 1.某校50名学生的体重情况如下表所示： 分组 频数 6 8 15 18 3 则这50名学生体重小于 的频率为( ) A.0.28 B.0.58 C.0.42 D.0.94 [解析] 这50名学生体重小于的频率为 故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 26 2.某同学进行投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表： 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 68 124 174 366 命中的频率 0.68 0.62 0.58 0.61 根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，以下概率 估计值中可使误差较小、可能性大的是( ) A.0.58 B.0.61 C.0.62 D.0.68 √ [解析] 试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小， 可能性越大，所以合计列对应的频率最为合适.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 27 3.从一批准备出厂的智能手环中随机抽取10只进行质量检查,其中有1 只是次品,若用表示抽到次品这一事件,则对事件 的说法正确的是 ( ) A.概率为 B.频率为 C.概率接近于 D.每抽取10只智能手环,必有1只次品 √ [解析] 事件发生的频率为 ，由于只做了一次试验，故不能得出概 率接近于或概率为 的结论，当然每抽10只智能手环,必有1只次品 也不一定发生.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 28 4. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮， 有人送来米1521石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹 谷28粒，则这批米内夹谷约为( ) A.133石 B.159石 C.163石 D.169石 [解析] 因为252粒内夹谷28粒，所以米内夹谷的频率为 ,所以 这批米内夹谷约为 （石）.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 29 5.下列说法中正确的是 (　 ) A.有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品 B.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,则出现正面朝上的概率 是 C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 30 [解析] 对于A,次品率是大量产品的估计值,并不是针对200件产品来说的, 故A错误; 对于B,是频率不是概率,故B错误; 对于C,当试验次数逐渐增加时,随机事件发生的频率会逐渐趋近于概率, 但频率不一定等于概率,故C错误; 对于D,随机事件发生的频率等于发生的频数除以试验次数,故D正确. 故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 31 6.（多选题）下列说法中正确的是 (　 ) A.某人射击10次,击中靶心8次,则他击中靶心的频率是0.8 B.某人射击10次,击中靶心7次,则他击不中靶心的频率是0.7 C.某人射击10次,击中靶心的频率是,则他击中靶心5次 D.某人射击10次,击中靶心的频率是0.6,则他击不中靶心4次 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 32 [解析] 某人射击10次,击中靶心8次,则他击中靶心的频率是=0.8, 故A正确; 某人射击10次,击中靶心7次,则他击不中靶心的频率是=0.3,故B错误; 某人射击10次,击中靶心的频率是,则他击中靶心10×=5(次),故C正确; 某人射击10次,击中靶心的频率是0.6,则他击不中靶心10×(1-0.6)=4(次), 故D正确.故选ACD. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 33 7.在某地区进行流行病学调查，随机调查了200位某种疾病患者的年 龄，得到了如图的样本数据的频率分布直方图，根据图中信息估计 该地区这种疾病患者的年龄位于 内的概率为_____. 0.14 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 34 [解析] 由题知 ， 估计该地区这种疾病患者的年龄位于 内的概率为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 35 8.（13分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大 或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对 湿度大于或小于 时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度 在 时，病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市，获得 了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频 数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在时记为 区间 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 36 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 频数 2 3 15 30 50 75 120 5 （1）求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率； 解:当空气相对湿度在 时，病毒死亡较快， 而样本在内的频数为30，所以所求频率为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 37 （2）从区间 的数据中任取两个数据，求两个数据都位于 内的概率. 解:记区间中的两个数据为，，区间 中的三个数据 为，， ，则从区间的数据中任取两个数据，样本空间 ，，，，，， ， ，， ，共10个样本点， 设事件为“从区间 的数据中任取两个数据，两个数据都位于 内”，则，，，共3个样本点， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 38 9.（多选题）下列说法中正确的有 (　 ) A.任何事件发生的概率总是在[0,1]之间 B.概率是随机的,在试验前不能确定 C.频率是客观存在的,与试验次数无关 D.频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 39 [解析] 对于A,任何事件发生的概率总是在[0,1]之间,其中必然事件的 概率是1,不可能事件的概率是0,“任何事件”包含“必然事件”和“不可能 事件”,故A正确; 对于B,概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关,而事件的 结果是随机的,在试验前不能确定,故B错误; 对于C,只有通过试验,才会得到频率的值,故频率不是客观存在的,一般来 说,当试验的次数不同时,频率是不同的,它与试验次数有关,故C错误; 对于D,由频率的性质可知,随着试验次数的增加,事件发生的频率一般会 稳定于概率,故D正确.故选AD. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 40 10. 在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛． 比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率 为，乙获胜的概率为 ，利用计算机模拟实验，产生 内的 整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算 机产生的15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535， 425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率 为___． [解析] 由计算机产生的15组随机数中，表示甲获得冠军的随机数有 421,231,114,522,123,232,122,共7组，据此估计甲获得冠军的概率为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 41 11. 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车 辆中每辆车的赔付结果统计如下表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概 率为______；在样本车辆中，车主是新司机的占 ，在赔付金额 为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占 ，估计在已投保的 新司机中，获赔金额为4500元的概率为_____． 0.18 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 42 [解析] 由题得赔付金额大于投保金额的频率为 ，所以估计赔付金额大于投保金额的概率 为0.21. 在样本车辆中，车主是新司机的占 ，故已投保的新司机人数为 ，在赔付金额为4500元 的样本车辆中，车主是新司机的人数为 ， 故估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 43 12.（15分）从某高铁站到某机场共有两条路径和 ，现随机抽取 100位从该高铁站到该机场的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） 选择 的人数 2 6 16 10 6 选择 的人数 6 12 27 12 3 （1）试估计30分钟内能从该高铁站赶到该机场的概率. 解：用频率估计概率，由题意得，所求概率 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 44 12.（15分）从某高铁站到某机场共有两条路径和 ，现随机抽取 100位从该高铁站到该机场的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） 选择 的人数 2 6 16 10 6 选择 的人数 6 12 27 12 3 （2）某医疗团队急需从该高铁站去该机场，需在40分钟内到达该机 场.为了尽最大可能在允许时间内赶到机场，请你从用时的角度，通 过计算说明他们该如何选择路径. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 45 解：用频率估计概率，选择 能按时到达机场的概率 ； 选择 能按时到达机场的概率. 因为，所以应选择路径 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 46 13.某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青 菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青 菜当作福利分给有需要的员工. 该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表． 日需求量 770 780 790 800 820 830 频数 5 10 20 35 20 10 若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率 作为各需求量的概率，估计当天的利润不少于780元的概率为______. 0.85 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 47 [解析] 当时，； 当 时，. 故利润关于当天青菜需求量 的函数解析式为 若当天的利润不少于780元，则当日需求量不少于790公斤，故估计 当天的利润不少于780元的概率为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 48 $