5.3.2 事件之间的关系与运算-(PPT版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册配套课件（人教B版）

5.3 概率 1 5.3.2 事件之间的关系与运算 2 探究点一 事件的包含与相等 探究点二 交事件与并事件 探究点三 互斥事件与对立事件 探究点四 事件的混合运算 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.了解事件间的包含关系和相等关系, 理解互斥事件与对立事件 的概念与关系； 2.会用互斥事件与对立事件的概率公式求概率, 了解并事件与交 事件的概念,会进行事件的运算. 4 知识点一 事件的包含与相等 1.一般地，如果事件发生时，事件__________，则称“包含于 ” （或“包含”），记作（或 ）. 2.如果事件发生时，事件__________；而且事件发生时，事件 也__________，则称“与相等”，记作 . 3.当 时，有_____________. 一定发生 一定发生 一定发生 课 前 预 习 5 知识点二 事件的和（并） 1.给定事件,，由所有中的样本点与 中的样本 点组成的事件称为与 的____________，记作 （或），事件与 的和可以用如图所 示的阴影部分表示. 和（或并） 2.且 ; . 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 事件与的和事件发生的概率一定大于事件 发生的概率.( ) × [解析] 事件与的和事件发生的概率一定大于或等于事件 发生的 概率. 课 前 预 习 7 知识点三 事件的积（交） 1.给定事件,，由与中的____________组成的事件称为与 的 积（或交），记作（或），事件与 的积可以用如图所示 的阴影部分表示. 公共样本点 2.且 . 课 前 预 习 8 知识点四 事件的互斥与对立 1.互斥事件 （1）给定事件,，若事件与 ______同时发生，则称 与互斥，记作 （或 ），这一关系可用图表示. 不能 （2）任意两个基本事件都是______的， 与任意事件互斥. （3）当__________（即）时，有 ， 这称为互斥事件的概率加法公式. 互斥 与互斥 （4）一般地，如果,, , 是两两互斥的事件，则________________ _______________________________________________. 课 前 预 习 9 2.对立事件 （1）给定样本空间 与事件，则由 中所有不属于 的样本点组 成的事件称为的__________，记作，如图所示.如果 ，则称 与 相互对立. （2） . 对立事件 课 前 预 习 10 3.概率的几个基本性质 （1）概率的取值范围：______. （2）必然事件发生的概率为___，不可能事件发生的概率为___. （3）互斥事件的概率加法公式为：如果事件与 为互斥事件，则 ____________. （4）若与为对立事件，则_________. ___， ___. 1 0 1 0 课 前 预 习 11 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）对立事件一定互斥.( ) √ （2）互斥事件是指两个事件在一次试验中不会同时发生，但可以同 时不发生.( ) √ （3）若，则事件与事件 一定是对立事件.( ) × 课 前 预 习 12 知识点五 事件的混合运算 同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级， 我们规定：求积运算的优先级高于求和运算. 课 前 预 习 13 探究点一 事件的包含与相等 例1 [2026·河南信阳高一月考] 同时掷两枚硬币,“向上的面都是正面” 为事件A,“向上的面至少有一枚是正面”为事件B,则有 (　 ) A.A=B　　　　 B.A⊇B C.A⊆B　　　　 D.A与B之间没有关系 [解析] 同时抛掷两枚硬币,样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}, 因为A={(正,正)},B={(正,正),(正,反),(反,正)},所以A⊆B.故选C. √ 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 判断两个事件的关系主要考虑事件之间的充分性和必要性.若<m></m>发生 是<m></m>发生的充要条件，则<m></m>；若<m></m>发生是<m></m>发生的充分不必要条件， 则<m></m>. 课 中 探 究 15 探究点二 交事件与并事件 例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是1或2”为事件 ， “向上的点数是2或3”为事件，试用, 表示下列事件： （1）向上的点数为2； 解:由题知,,所以， 即 表示“向上的点数为2”. （2）向上的点数不超过3. 解:由（1）可知 表示“向上的点数是1或2或3”, 即“向上的点数不超过3”. 课 中 探 究 16 变式 掷一枚质地均匀的骰子,“向上的点数是1或3”为事件A,“向上的点数 是1或5”为事件B,则 (　 ) A.A=B B.A∪B表示向上的点数是1或3或5 C.A∪B表示向上的点数是1或3 D.A∩B表示向上的点数是1或5 [解析] 因为“向上的点数是1或3”为事件A,“向上的点数是1或5”为事件B, 所以事件B不等于事件A,故A错误; 事件A∪B表示“向上的点数是1或3或5”,故B正确,C错误; 事件A∩B表示“向上的点数是1”,故D错误.故选B. √ 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一 条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果 进行分析，也可类比集合的关系和运算用维恩图分析事件. 课 中 探 究 18 探究点三 互斥事件与对立事件 例3（1）［2026·辽宁辽阳高一期末］一副扑克牌（含大王、小王） 共54张，以黑桃、红桃、梅花、方块表示各组，每组花色包括A，2， 3，4，5，6，7，8，9，10，，， 共13张牌.从这副扑克牌中随机 取出两张，事件取出的牌有两张6，事件 取出的牌至少有一 张黑桃，事件取出的牌有一张大王，事件 取出的牌有一张红 桃6，则( ) A.事件与事件互斥 B.事件与事件 互斥 C.事件与事件互斥 D.事件与事件 互斥 √ 课 中 探 究 19 [解析] 事件与事件，事件与事件， 事件与事件 都可以同时发生，故A，B，C错误. 因为取出的牌有两张6的同时不可能再有一张大王， 所以事件与事件 互斥.故选D. 课 中 探 究 20 （2）（多选题）若， 是某个试验中的两个随机事件，则以下说法 正确的是( ) A.若，，则当且仅当时，, 是互斥事件 B.若，，则 是必然事件 C.若，是互斥事件，，，则 D.若，是对立事件，则 √ √ 课 中 探 究 21 [解析] 对于A，因为， 所以, 是互斥事件，故A正确； 对于B，若事件 为“抛出骰子点数为1或2”， 则，若事件为“抛出骰子点数小于或等于4”，则 ， 此时不是必然事件，故B错误； 对于C，若, 是互斥事件，则， 故C错误； 对于D，若, 是对立事件，则，故D正确.故选 . 课 中 探 究 22 变式 (1)抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的点数是奇数”,事件B 为“落地时向上的点数是偶数”,事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”, 事件D为“落地时向上的点数是6或4”,则下列每对事件是互斥事件但不 是对立事件的是 (　 ) A.A与B B.A与C C.B与C D.A与D √ [解析] 该试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={1,3,5},事件B={2,4,6}, 事件C={3,6},事件D={4,6},所以A与B是互斥事件,也是对立事件, A与C,B与C均不是互斥事件,A与D是互斥事件,但不是对立事件.故选D. 课 中 探 究 23 (2) (多选题)下列说法正确的是 (　 ) A.对立事件一定是互斥事件 B.若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) C.若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1 D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B是对立事件 √ [解析] 对于A,根据对立事件与互斥事件的关系,可知A正确; 对于B,对于任意两个事件A,B,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),故B正确; 对于C,事件A,B,C彼此互斥,但A∪B∪C不一定是全体样本空间, 故P(A)+P(B)+P(C)不一定等于1,故C错误; 对于D,若A与B互斥,且P(A)+P(B)=1,则A与B是对立事件,故D错误.故选AB. √ 课 中 探 究 24 ［素养小结］ （1）判断两个事件是否互斥,主要看它们在一次试验中能否同时发生, 若不能同时发生,则这两个事件互斥,否则不互斥. （2）判断两个事件是否对立,主要看在一次试验中这两个事件是否同 时满足两个条件:一是不能同时发生;二是必有一个发生. 课 中 探 究 25 探究点四 事件的混合运算 例4 已知同一个样本空间下的两个事件，满足 ， ，在以下情况下求 （1）与 互斥； 解:由，得 ， 即，所以 . 若与互斥，则 ，则，故 . 课 中 探 究 26 例4 已知同一个样本空间下的两个事件，满足 ， ，在以下情况下求 （2）包含于 . 解:由，得 ， 即，所以 . 若包含于，则 ，则，解得 . 课 中 探 究 27 变式 下图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况， 其中 表示订阅数学学习资料的学生， 表示订阅语文学习资料的学生， 表示订阅英语学习资料的学生. （1）从这个班级任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各 区域所代表的事件. 课 中 探 究 28 解:由给定图形可知， 区域1表示该生语文、数学、英语三种学习资料全部订阅. 区域4表示该生只订阅语文、数学两种学习资料； 区域5表示该生只订阅语文学习资料； 区域8表示该生语文、数学、英语三种学习资料都没有订阅. 课 中 探 究 29 解: 至少订阅一种学习资料为事件 . 变式 下图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况， 其中 表示订阅数学学习资料的学生， 表示订阅语文学习资料的学生， 表示订阅英语学习资料的学生. （2）用，， 表示下列事件： ①至少订阅一种学习资料； 课 中 探 究 30 变式 下图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况， 其中 表示订阅数学学习资料的学生， 表示订阅语文学习资料的学生， 表示订阅英语学习资料的学生. （2）用，， 表示下列事件： ②恰好订阅一种学习资料； 课 中 探 究 31 解: 恰好订阅一种学习资料的事件包含只订阅数学资料， 只订阅语文资料，只订阅英语资料， 所以恰好订阅一种学习资料为事件 . 课 中 探 究 32 解: 没有订阅任何学习资料为事件 . 变式 下图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况， 其中 表示订阅数学学习资料的学生， 表示订阅语文学习资料的学生， 表示订阅英语学习资料的学生. （2）用，， 表示下列事件： ③没有订阅任何学习资料. 课 中 探 究 33 ［素养小结］ 事件混合运算的关键是搞清楚事件之间的关系,正确地选择计算事件 概率的公式. 课 中 探 究 34 1.已知，，若，则 ( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 [解析] 因为，所以 .故选A. √ 课 堂 评 价 35 2.奥林匹克运动会会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右， 上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲.在手工 课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分 得1个，则事件“甲分得红环”与“乙分得红环”是( ) A.对立事件 B.互斥且对立事件 C.互斥但不对立事件 D.既不互斥又不对立事件 √ 课 堂 评 价 36 [解析] 甲、乙不能同时得到红环， 所以事件“甲分得红环”与“乙分得红环”是互斥事件. 甲、乙可能都得不到红环，即事件“甲或乙分得红环”不是必然事件， 故事件“甲分得红环”与“乙分得红环”不是对立事件， 所以事件“甲分得红环”与“乙分得红环”是互斥但不对立事件.故选C. 课 堂 评 价 37 3.在投掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是.事件 表示“小于 5的偶数点出现”，事件 表示“小于5的点数出现”，则在一次试验中， 事件 发生的概率是( ) A. B. C. D. [解析] 易知事件与事件互斥，且, ， 所以 . 故选C. √ 课 堂 评 价 38 4. (多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,记事件 A为“两次都击中飞机”,事件B为“两次都没击中飞机”,事件C为“恰有一次 击中飞机”,事件D为“至少有一次击中飞机”,则 (　 ) A.A⊆D B.B∩D=∅ C.A+C=D D.A+C=B+D √ √ √ 课 堂 评 价 39 [解析] “恰有一次击中飞机”指第一次击中、第二次没中或第一次没中、 第二次击中;“至少有一次击中飞机”包含三种情况:第一次击中、第二次 没中,第一次没中、第二次击中,两次都击中飞机. 所以A+C=D,B∩D=∅,B+D=Ω,所以A⊆D,A+C≠B+D,故A,B,C正确,D不正确. 故选ABC. 课 堂 评 价 40 5.已知， . （1）若，则 ____； 0.2 [解析] 因为，所以 ， 所以 . 课 堂 评 价 41 5.已知， . （2）若，则 ___. 0 [解析] 因为， 则与 互斥，所以 . 课 堂 评 价 42 课后习题 43 1. [2026·福建宁德高一期中] 已知随机事件A,B满足P(A)=,P(B)=, P(A∪B)=,则P(A∩B)= (　 ) A. B. C. D. [解析] 由题意可得,P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=+-=.故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 2.［2025·广东佛山顺德区乐从中学高一期末］向上抛掷一枚均匀的 骰子两次，事件表示“两次点数之和小于8”，事件 表示“两次点数 之和既能被2整除又能被3整除”，则事件 用样本点表示为( ) A.,,,, B.,,, C.,, D., [解析] 依题意，事件表示“两次点数之和为6”， 因此事件 用样本点表示为,,,, .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 3.若随机事件与互斥,且,,则实数 的取 值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 随机事件与互斥,, , 即解得， 即实数 的取值范围为 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 4.抽查10件产品，记事件至少有2件次品，则 表示的事件为 ( ) A.至多有2件次品 B.至少有2件正品 C.至多有2件正品 D.至多有1件次品 [解析] “至少有2件次品”包括“恰有2件、3件、…、10件次品”， 其对立事件为“恰有1件次品或没有次品”，即“至多有1件次品”.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 5.［2025·江苏如皋中学高一期末］不透明盒子中装有除颜色外完全相同的 2个红球、2个白球，现从盒子里随机取2个球．记事件 至少一个红球， 事件 一个红球一个白球，则下列说法正确的是( ) A. B. C.与互斥 D.与 对立 [解析] 从盒子里随机取2个球, 至少一个红球包含“一个红球一个白球”和“两个红球”两种情况， 则，故A错误； ，故B正确； ，故与 不互斥，也不对立，故C错误，D错误.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 6.某小组有三名男生和两名女生,从中任选两人去参加比赛，则下列事件 是互斥而不对立事件的是( ) A.“恰有一名男生”和“全是男生” B.“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C.“至少有一名男生”和“全是男生” D.“至少有一名男生”和“全是女生” √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 [解析] 对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生， 但可以同时都不发生，故A是互斥而不对立事件； 对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生， 故B不是互斥而不对立事件； 对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生， 故C不是互斥而不对立事件； 对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生， 但必有一个发生，故D是对立事件.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 7.（多选题）抛掷一枚质地均匀的骰子,观察向上的点数,设该试验的 样本空间为Ω,事件Ci为“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6,事件D1为“点数不大 于2”,事件D2为“点数大于2”,事件D3为“点数大于4”,则 (　 ) A.C1与C2互斥 B.D1∪D2=Ω,D1D2=∅ C.D3⊆D2 D.C2,C3为对立事件 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 [解析] 由题知C1与C2不可能同时发生,所以C1与C2互斥,故A正确; 事件D1包含基本事件C1,C2,事件D2包含基本事件C3,C4,C5,C6, 所以D1∪D2=Ω,D1D2=∅,故B正确; 事件D3包含基本事件C5,C6,故D3⊆D2,故C正确; C2与C3不可能同时发生,可能都不发生,不互为对立事件,故D错误. 故选ABC. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.［2025·天津河西区高一期末］某人打靶时连续射击两次，事件“至 多一次中靶”的对立事件为____________. 两次都中靶 [解析] 因为连续射击两次包含两次都没中靶，恰有一次中靶， 两次都中靶三种情况， 所以事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 9.（13分）把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别写在10张形状大 小一样的卡片上，放入不透明盒子并搅拌均匀，从中随机抽取1张. 设事件出现奇数，事件 出现被3除余2的数．用集合表示 下面两个事件： （1）事件、事件 至少有一个发生； 解:由题意可知， ， 所以事件、事件至少有一个发生为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 9.（13分）把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别写在10张形状大 小一样的卡片上，放入不透明盒子并搅拌均匀，从中随机抽取1张. 设事件出现奇数，事件 出现被3除余2的数．用集合表示 下面两个事件： （2）事件、事件 恰好有一个发生． 解:由（1）知， ， 所以，同时发生为 ， 所以事件、事件恰好有一个发生为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 ★10.在一次随机试验中，其中3个事件,, 发生的概率分别为 ，， ，则下列说法中正确的是( ) A.与 是互斥事件，也是对立事件 B. 是必然事件 C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 [解析] 由已知条件可知， 一次随机试验中产生的事件可能不止事件,, 这三个事件， 所以 ，故A，B错误； ，故C错误； ，故D正确.故选D. ［易错点］ 在一次随机试验中可以通过事件间的关系判断事件的和 的概率，但不能通过事件的概率判定事件间的关系. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 11.（多选题）某篮球运动员进行投篮训练,连续投篮两次,设事件A为 “两次都投中”,事件B为“两次都未投中”,事件C为“恰有一次投中”, 事件D为“至少有一次投中”,则下列关系正确的是 (　 ) A.A⊆D B.B∩D=∅ C.A∪B=B∪D D.A∪C=D √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 [解析] 对于A,事件A为“两次都投中”,事件D为“至少有一次投中”,故A⊆D, 故A正确; 对于B,事件B和事件D是对立事件,故B∩D=∅,故B正确; 对于C,事件A∪B表示“两次都投中”或“两次都未投中”,而事件B∪D表示 “两次都未投中”“两次都投中”或“恰有一次投中”,故C错误; 对于D,事件A∪C表示“两次都投中”或“恰有一次投中”,故A∪C=D,故D正确. 故选ABD. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 12.已知事件与互斥，它们都不发生的概率是，且 ， 则 __. [解析] 因为事件与互斥，它们都不发生的概率是 ， 所以， 又，所以 ，， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 13.某射击运动员练习射击，记事件为“命中5环以上”,事件 为“命中 不超过8环”,事件为“命中8环”，则事件 的含义是________ ______. 命中6环 或7环 [解析] 因为表示“命中6环或7环或8环”， 所以 表示“命中6环或7环”. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 14.（13分）袋中有若干个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球， 从中任取一球，得到红球的概率是，黑球或黄球的概率是 ，绿球 或黄球的概率也是 .求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概 率分别是多少？ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 解：从袋中任取一球，记“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”. “得到绿球”分别为事件，，，，事件，，， 彼此互斥. 由已知可得，， ， ，则， 即， ， 所以，， . 故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是，， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 15. (多选题)某品牌计算机售后保修期为1年,根据大量的维修记录资料, 该品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%,需要维修2次的占 6%,需要维修3次的占4%,且该品牌的计算机在一年内至多需要维修3次. 设事件Ak为 “一年内需要维修k次”,k=0,1,2,3,则下列事件的概率正确的是 (　 ) A.在一年内需要维修的概率为0.25 B.在一年内不需要维修的概率为0.75 C.在一年内维修不超过1次的概率为0.9 D.在一年内最多需要维修2次的概率为0.94 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 [解析] 依题意得P(A1)=0.15,P(A2)=0.06,P(A3)=0.04,所以P(A0)=1-[P(A1)+ P(A2)+P(A3)]=0.75.对于A,记事件A为“一年内需要维修”,则A=A1∪A2∪A3, 所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.15+0.06+0.04=0.25,故A正确; 对于B,记事件B为“一年内不需要维修”,则B=A0,所以P(B)=P(A0)=0.75, 故B正确; 对于C,记事件C为“在一年内维修不超过1次”,则C=A0∪A1, 所以P(C)=P(A0)+P(A1)=0.75+0.15=0.9,故C正确; 对于D,记事件D为“一年内最多需要维修2次”,则=A3, 所以P(D)=1-P()=1-P(A3)=1-0.04=0.96,故D错误.故选ABC. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 16.甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件 为“甲击中靶”， 事件为“乙击中靶”，事件为“靶未被击中”，事件 为“靶被击中”， 事件为“恰一人击中靶”.有下列关系式：； ； ；； ；； .其中正确的关系式的为__________.（填序号） ①③⑤⑥ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 [解析] ，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； 表示靶被击中，故④错误； ，故⑤正确； ,为对立事件，则 ，故⑥正确； ，故⑦错误.故填①③⑤⑥. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $