4 指数函数、对数函数与幂函数 本章总结-(PPT版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册配套课件（人教B版）

本章总结 1 题型一 指数式、对数式的运算 题型二 函数图象的应用 题型三 函数性质的综合应用 题型四 函数的综合应用 题型五 函数模型及其应用 2 知 识 网 络 3 判断下列说法是否正确.（请在括号中填“√”或“×”） 1.函数与的图象关于直线 对称，则 .( ) √ [解析] 与互为反函数，所以 . 2.幂函数的图象都不过第二、四象限.( ) × [解析] 幂函数 的图象过第二象限. 知 识 辨 析 4 3.函数的反函数的值域为 .( ) × [解析] 函数 的反函数的值域是原函数的定义域， 故的反函数的值域为 . 4.若满足方程，则的值是2或 .( ) × [解析] 根据题意得，解得或. 又 且，所以 . 知 识 辨 析 5 5.函数的单调递减区间是 .( ) × [解析] 函数在上单调递增， 在 上单调递减，而在 上单调递减， 根据复合函数的单调性知， 在上单调递减，在 上单调递增. 6.已知实数，，，则，， 的大小关 系是 .( ) × [解析] ，，，故 知 识 辨 析 6 7.方程 有两个不同的实根.( ) √ [解析] 设， ，作出它们的图象，如图所示. 由图可知两函数图象有两个不同的交点，故方程有两个不同的实根. 知 识 辨 析 7 8.某物体一天中的温度是时间 的函数， ,表示中午,其后 取正值,则下午3： 00该物体的温度为 .( ) √ [解析] 下午3:00时，, 将 代入函数解析式,得 . 知 识 辨 析 8 题型一 指数式、对数式的运算 ［类型总述］（1）有理指数幂的运算;（2）对数式的运算. 例1 ［2026·浙江宁波高一期中］计算下列各式的值. （1） =； [解析] . 素 养 提 升 9 例1 ［2026·浙江宁波高一期中］计算下列各式的值. （2） [解析] log23×log278+++=×+ |3-π|+16+3×=×+π-3+16+3×2=1+π-3+16+6=π+20. π+20 素 养 提 升 10 变式（1）[2026·南昌高一期末] 已知lg 2=a,lg 3=b,则log34= (　 ) A.2a-b B.a2-b C. D. [解析] log34===.故选C. √ 素 养 提 升 11 （2） ____. [解析] 原式 . （3）已知函数，，则 _________. [解析] . 素 养 提 升 12 题型二 函数图象的应用 ［类型总述］（1）作与基本初等函数有关的函数的图象;（2）根据 已知函数的图象判断函数的图象;（3）函数图象的应用. 例2（1）［2026·重庆铁路中学高一期末］已知函数 则方程 的解的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 √ 素 养 提 升 13 [解析] 作出函数与 的图象，如图所示， 由图可知与 的图象有3个交点， 故方程 的解的个数是3.故选D. 素 养 提 升 14 （2）已知函数，若关于 的方程 恰有3个不同的实数解，则实数 的 取值范围是____________________________. 素 养 提 升 15 [解析] 作出 的图象如图所示， 因为 ， 所以 ， 解得或 . 由题意，的图象与直线 和 共有3个公共点， 由图可得或 解得或 ， 所以实数的取值范围为 . 素 养 提 升 16 (3)若函数且 的值域是， 则实数 的取值范围是______. [解析] 函数的大致图象如图所示. 当 时，， 要使在上的值域是， 只需当 时，， 解得 . 素 养 提 升 17 变式（1）已知函数， ，构造函数 则 ( ) A.有最小值0，无最大值 B.无最小值，有最大值1 C.有最小值 ，无最大值 D.无最小值，也无最大值 √ 素 养 提 升 18 [解析] 在同一坐标系中作出，与 的图象， 然后根据定义得出 的图象，如图中实线部分所示， 由图可知有最小值 ，无最大值. 素 养 提 升 19 （2）设，分别是方程与 的根， 则 ____. [解析] 由，得， 由 ，得， 所以是与 的图象的交点的横坐标， 是与的图象的交点的横坐标. 函数 与互为反函数，图象关于直线对称， 联立 与，可得，所以 . 素 养 提 升 20 题型三 函数性质的综合应用 ［类型总述］（1）判断与基本初等函数有关的函数的奇偶性; （2）基本初等函数的单调性判断及应用;（3）利用单调性比较大小. 考向一 奇偶性与单调性问题 例3（1）已知函数在 上单调递增， 则 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 素 养 提 升 21 [解析] 由得或， 所以 的定义域为. 因为在 上单调递增， 所以在上单调递增，所以 .故选D. 素 养 提 升 22 （2）已知偶函数在 上单调递减，则不等式 的解集是( ) A. B. C. D. [解析] 因为为偶函数，且在 上单调递减，， 所以，解得 ， 所以不等式的解集是 .故选D. √ 素 养 提 升 23 （3）（多选题）已知幂函数的图象经过点 ，则下列说法 正确的是( ) A.函数 为增函数 B.函数的值域为 C.函数 为奇函数 D.若，则 √ √ √ 素 养 提 升 24 [解析] 设 ，因为幂函数的图象经过点 ， 所以，解得，所以. 易知函数 的定义域为，单调递增， 值域为 ，是非奇非偶函数，故A，B正确，C错误； 当 时， ， 所以，故D正确.故选 . 素 养 提 升 25 变式（1）[2026·天津北辰区高一月考] 已知函数y=log2(ax2-x)在 区间(1,2)上单调递增,则a的取值范围为( 　 ) A. B.(1,+∞) C. D.[1,+∞) [解析] 函数y=log2(ax2-x)由y=log2t和t=ax2-x复合而成, 易知y=log2t在定义域上单调递增,故要使函数y=log2(ax2-x)在区间(1,2)上 单调递增,需满足t=ax2-x在区间(1,2)上单调递增且t>0. √ 素 养 提 升 26 当a>0时,二次函数t=ax2-x的图象开口向上,对称轴方程为x=, 所以解得a≥1,即a∈[1,+∞); 当a<0时,二次函数t=ax2-x的图象开口向下,对称轴方程为x=, 所以无解;当a=0时,t=-x在区间(1,2)上单调递减,不符合题意. 综上可知,a的取值范围为[1,+∞).故选D. 素 养 提 升 27 （2）（多选题）设函数 ,则下列说法中正确的是 ( ) A.函数 为偶函数 B.若,其中,,,则 C.函数在 上为增函数 D.若,则 √ √ √ 素 养 提 升 28 [解析] 由,，得 , , 为偶函数，故A正确； 若,其中,,,则 , , ,故B正确; 素 养 提 升 29 , 由,解得, 函数的定义域为， 因此在 上不具有单调性，故C不正确； 若 ,则 ,, 故 ,即,故D正确.故选 . 素 养 提 升 （3）若函数满足,且 在 上单调递增,则实数 的最小值为___. 1 [解析] 由知的图象关于直线 对称， 所以，即， 所以在 上为减函数，在上为增函数，故， 即实数 的最小值为1. 素 养 提 升 31 考向二 比较大小 例4（1）已知, , ，则( ) A. B. C. D. √ 素 养 提 升 32 [解析] 由可得 . 因为， 所以 ，即， 所以 . 又， 所以 ，即，所以. 综上可得， . 故选A. 素 养 提 升 33 （2）设,,，则,, 的大小关系为 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为函数在 上单调递增， 所以， 又，所以 .故选C. √ 素 养 提 升 34 变式（1）[2025·江苏连云港高一期末] 下列说法中错误的是(　 ) A.< B.< C.> D.(-0.63)3<(-0.64)3 √ 素 养 提 升 35 [解析] 对于A,令f(x)=,由幂函数的性质可知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 因为0<2.2<2.3,所以f(2.2)<f(2.3),故A中说法正确; 对于B,令g(x)=x-2,由幂函数的性质可知函数g(x)在(0,+∞)上单调递减, 又g(x)为偶函数,所以g=g,g=g,因为>>0,所以g<g, 所以g<g,故B中说法正确; 对于C,令h(x)=,由幂函数的性质可知函数h(x)在(0,+∞)上单调递减, 因为1.3>1.2>0,所以h(1.2)>h(1.3),故C中说法正确; 对于D,令φ(x)=x3,由幂函数的性质可知函数φ(x)在R上单调递增, 因为-0.64<-0.63,所以φ(-0.63)>φ(-0.64),故D中说法错误.故选D. 素 养 提 升 36 （2）已知是定义域为的偶函数，且在 上单调递增，设 ，， ，则( ) A. B. C. D. [解析] ， ,，， 函数是偶函数，且在区间上单调递增， 在 上单调递减，， .故选A. √ 素 养 提 升 37 题型四 函数的综合应用 ［类型总述］（1）指、对数函数与一元二次函数求值域的综合应用； （2）基本初等函数的综合应用. 例5 ［2025·福建厦门双十中学高一期中］已知 是定义 在上的奇函数，其中为指数函数，且的图象过点 . （1）求实数的值，并求 的解析式； 素 养 提 升 38 解:设， 由的图象过点 ，可得，可得，所以 ， 所以 . 因为为奇函数，所以 ，解得， 所以,满足 ， 即为奇函数，故 . 素 养 提 升 39 例5 ［2025·福建厦门双十中学高一期中］已知 是定义 在上的奇函数，其中为指数函数，且的图象过点 . （2）判断 的单调性，并用单调性的定义加以证明； 解:在 上单调递减， 证明如下：， 设，则 ， 则 ，即 ， 所以在 上单调递减. 素 养 提 升 40 例5 ［2025·福建厦门双十中学高一期中］已知 是定义 在上的奇函数，其中为指数函数，且的图象过点 . （3）若对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 素 养 提 升 41 解:因为且 为奇函数， 所以 ， 又在上单调递减，所以对 恒成立， 所以对 恒成立. 令 ， 则即解得 . 故实数的取值范围为 . 素 养 提 升 42 变式 [2026·浙江宁波高一期中] 已知f(x)是定义在R上的奇函数, 当x∈(-∞,0]时,f(x)=+. (1)求k的值,并写出当x∈(0,+∞)时f(x)的解析式; 解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0, ∵当x∈(-∞,0]时,f(x)=+,∴f(0)=+=0,∴k=-1. 设x∈(0,+∞),则-x∈(-∞,0),∴f(-x)=+, ∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴-f(x)=+,∴f(x)=-4x+9x, ∴当x∈(0,+∞)时,f(x)的解析式为f(x)=-4x+9x. 素 养 提 升 43 变式 [2026·浙江宁波高一期中] 已知f(x)是定义在R上的奇函数, 当x∈(-∞,0]时,f(x)=+. (2)当x>0时,求不等式f(x)>22x-1的解集. 解:当x>0时,f(x)=-4x+9x,∵f(x)>22x-1,∴-4x+9x>22x-1,∴-4x+9x>, ∴9x>×4x,∴>,∴32x-1>22x-1,∵x>0,∴22x-1>0,∴>1,∴>1, ∴>,∴2x-1>0,∴x>,故不等式f(x)>22x-1的解集为{ x }. 素 养 提 升 44 题型五 函数模型及其应用 ［类型总述］（1）已知函数模型解应用题;（2）选择函数模型解应用题. 例6（1）［2025·北京顺义区高一期末］把液体 放在冷空气中冷却， 如果液体原来的温度是，空气的温度是，则 后液体 的温度可由公式求得.现把温度是 的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和 所用的时间分别为，，则 的值约为（参考数据： ， ）( ) A.2.3 B.2.7 C.3.7 D.4.7 √ 素 养 提 升 45 [解析] 由题知 ，， 所以， ， 所以 .故选A. 素 养 提 升 46 （2）某种食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位： ） 近似满足函数关系，为常数，若该食品在 的保鲜 时间是288小时，在的保鲜时间是144小时，则该食品在 的 保鲜时间近似是( ) A.32小时 B.36小时 C.48小时 D.60小时 [解析] 由题意知所以 当 时， .故选B. √ 素 养 提 升 47 变式 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关． 经验表明，某种乌龙茶用 的水泡制，等到茶水温度降至 时 再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下刚泡好的茶水 达到最佳饮用口感的放置时间，每隔 测量一次茶水温度， 得到茶水温度随时间变化的如下数据： 时间/ 0 1 2 3 4 水温/ 100.00 91.00 82.90 75.61 69.05 设茶水温度从开始经过后的温度为 ，现给出以下三种函数 模型： 素 养 提 升 48 ① ；② ； ③ ． （1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简 单叙述理由，并利用表格中前三列的数据，求出相应的解析式； 解:由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小， 所以不应该选择对数增长模型③； 当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势， 不是同一个常数，所以不应该选择一次函数模型①． 素 养 提 升 49 故应选择 . 将表中前三列的数据代入，得 解得 所以函数模型的解析式为 . 素 养 提 升 50 （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用 口感的放置时间（精确到）.（参考数据： ， ） 素 养 提 升 51 解:令 ，得 ， 所以 ， 所以刚泡好的乌龙茶大约放置 能达到最佳饮用口感． 素 养 提 升 52 $