4.2.2 对数运算法则-(PPT版)【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第二册配套课件（人教B版）

4.2 对数与对数函数 1 4.2.2 对数运算法则 2 探究点一 对数的运算法则 探究点二 对数运算法则的应用 探究点三 换底公式的应用 探究点四 对数的实际应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.理解对数的运算法则； 2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数； 3.会运用运算法则进行一些简单的化简与证明. 4 知识点一 对数的运算法则 （1） _______________, （2） ________, （3） _______________. 其中，且,,, . 课 前 预 习 5 知识点二 对数换底公式 1.，其中且，，且 ，这一结 果通常被称为换底公式. 2.对数换底公式的重要推论： （1）且，且 ； （2）且， ； （3），，， 且 ，， . 课 前 预 习 6 【诊断分析】 （1）若，则 ____. [解析] . （2）若，，则 __. [解析] . 课 前 预 习 7 探究点一 对数的运算法则 例1 用,, 表示下列各式： （1） ; 解: . （2） ; 解: . 课 中 探 究 8 例1 用,, 表示下列各式： （3） ; 解: . （4） . 解: . 课 中 探 究 9 变式 [2026·浙江宁波高一期末] 已知a=log23,4b=12,则 ( ) A.a+2=b B.2a-1=b C.2a=b D.a+2=2b √ [解析] ∵4b=12,∴b=log412=log4(4×3)=log44+log43=1+log23=1+a, ∴2b=2+a.故选D. 课 中 探 究 10 ［素养小结］ 正确应用计算公式是解决这类问题的关键，尤其不要混淆对数的加 减运算和乘除运算. 课 中 探 究 11 探究点二 对数运算法则的应用 例2（1）计算： . 解:原式 . （2）计算： 解:原式 . 课 中 探 究 12 变式 计算下列各式的值： （1） ； 解:方法一：原式 . 方法二：原式 . 课 中 探 究 13 变式 计算下列各式的值： （2） . 解:原式 . 课 中 探 究 14 ［素养小结］ （1）对数运算法则的作用: ①利用对数的运算法则,可以将真数的积、商、幂的运算转化为对数 的和、差、倍数运算,反之亦然. ②通过对对数运算法则的灵活运用,能起到降幂、去分母、去根号的作用. （2）运用对数的运算法则时要注意的问题: ①注意正用、逆用三条法则. ②在进行对数运算时,要判断能否使用运算法则. ③不要将“积商幂的对数”和“对数的积商幂”混淆. 课 中 探 究 15 拓展 已知，求 的值. 解:,, , 在等式两边取常用对数得 ， 由对数的运算性质可得，即,或 . 课 中 探 究 16 探究点三 换底公式的应用 例3（1）［2026·陕西咸阳高一期末］若,，则 的值约为( ) A.1.322 B.1.410 C.1.507 D.1.669 [解析] 因为, ， 所以 .故选A. √ 课 中 探 究 17 （2）记 ，则 ___. 1 [解析] 课 中 探 究 18 （3）计算下列各式的值： ① ； 解:原式 . ② . 解:原式 . 课 中 探 究 19 变式（1）若，，则 ( ) A.3 B. C. D.2 [解析] 由，，得， ， 所以 ．故选D. √ 课 中 探 究 20 （2）[2026·河北唐山高一期末] 已知3x=4,a=2x-3,b=4x-5,则 ( ) A.b<0<a B.0<b<a C.0<a<b D.a<0<b √ 课 中 探 究 21 课 中 探 究 22 ［素养小结］ （1）利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然 对数或同底的对数,可用对数的运算法则来解决对数求值问题,同时要 注意换底公式的逆用. （2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成 一种形式. 课 中 探 究 23 探究点四 对数的实际应用 例4 地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用 里氏震级标准.震级 是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的 地震波最大振幅值的对数来表示的.里氏震级的计算公式为 ，其中是被测地震的最大振幅， 是“标准地震”的 振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成 的偏差）.根据该公式可知， 级地震的最大振幅是6级地震的最大 振幅的____倍.（精确到1） 32 课 中 探 究 24 [解析] 由题意可得,即 , 所以. 当时，级地震的最大振幅 ； 当时，6级地震的最大振幅 . 所以 . 课 中 探 究 25 变式 某企业初始年利润为1,且每年以10%的增长率递增,若要使年 利润翻一番,则至少经过(　 ) (参考数据:ln 2≈0.693,ln 1.1≈0.095) A.7年 B.8年 C.9年 D.10年 √ [解析] 设至少经过n年.由题得,1·(1+10%)n≥2,即1.1n≥2, 则n≥log1.12=≈≈7.295, 因为n为整数,所以至少经过8年后利润会翻一番.故选B. 课 中 探 究 26 ［素养小结］ 解决这类问题的关键是把实际问题转化为对数的运算问题，考查数 学建模能力. 课 中 探 究 27 1. 若与 互为相反数，则( ) A. B. C. D. [解析] 因为与 互为相反数， 所以，所以 .故选C. √ 课 堂 评 价 28 2.［2025·湖南常德高一期末］已知，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] .故选D. √ 课 堂 评 价 29 3.已知, ，则( ) A. B. C. D. [解析] 因为 ，所以. 因为，所以 .故选D. √ 课 堂 评 价 30 4.［2026·江苏宿迁高一期末］已知，，则 用 , 表示为( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以 ， 则 .故选C. √ 课 堂 评 价 31 5.若,，则 ___. 1 [解析] 由，得，由，得 ， 所以 . 课 堂 评 价 32 课后习题 33 1.［2026·山东青岛高一期末］已知 ，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] ， ， ，， ，故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 2. ( ) A.1 B.2 C.4 D.6 [解析] 原式 . 故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 3.若，是方程的两个实根，则 ( ) A.2 B. C.100 D. [解析] 由根与系数的关系可得 ， 所以，所以 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由， ， 得 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 5.若，则 ( ) A. B.6 C. D.3 [解析] 由，可得，即 ， 所以 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.设,为非零实数，且 ，则下列说法中正确的个数是 ( ) ；②“”是“ ”的充要条件； . A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 当时，①不正确； 若，则 ,可得， 若，有可能,,此时, 无意义， 故“”是“ ”的必要不充分条件，②不正确； 因为且,所以 ，③正确.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 7.阿拉伯数字、十进制和对数是数学计算方面的重要发明，其中对数 的发明大大缩短了计算时间，对估算“天文数字”具有独特的优势.下 列各数中与 最接近的是( ) （参考数据：, ） A. B. C. D. [解析] 令 ， 则，所以， 则与 最接近的是 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 8.（多选题）历史上数学计算方面的三大发明为阿拉伯数字、十进制和对数， 常用对数在化简计算上为人们做出重大贡献，而自然对数成了研究科学、 了解自然的必不可少的工具.现有如下四个关于对数的运算， 其中正确的是( ) A. B. C. D. [解析] ，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确.故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 9. 计算:eln 3-log23·log34+=　　　　　.  5 [解析] eln 3-log23·log34+=3-log24+=3-2+4=5. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 10.（13分）［2025·江苏东海高级中学高一月考］ （1）已知，，求 的值； 解： . （2）计算： . 解： . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 11. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收” （明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1， 如果每天的“进步率”都是 ，那么一年后是； 如果每天的“退步率”都是 ，那么一年后是 ． 一年后“进步者”是“退步者”的 倍．照此计算， “进步者”是“退步者”的2倍时经过的天数约为( ) （参考数据： , ， ） A.33 B.35 C.37 D.39 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 [解析] 假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍，则 ， 解得 ， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍.故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 12.（多选题）[2026·江苏徐州高一期末] 若点(a,b)在函数y=2x的图象上, 则 (　 ) A.点(-a,b)在函数y=的图象上 B.点(b,a)在函数y=lox的图象上 C.点在函数y=4x的图象上 D.点在函数y=log4x的图象上 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 [解析] 对于A,因为点(a,b)在函数y=2x的图象上,所以b=2a,则=2a=b, 所以点(-a,b)在函数y=的图象上,故A正确; 对于B,因为y=lox,所以lob=-log2b=-log22a=-a, 所以点(b,-a)在函数y=lox的图象上,故B错误; 对于C,=2a,因为b=2a,所以=2a=b,所以点在函数y=4x的图象上, 故C正确; 对于D,因为b=2a,所以log4=log4=log42a-1=log22=, 所以点在函数y=log4x的图象上,故D错误.故选AC. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 13.已知，且，则 的值为____. 72 [解析] ，，， 则 ，， ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 14.（15分） 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的 温度有关.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是， 空气温度是，那么 后物体的温度（单位：）可由 公式求得，其中 是一个随着物体与空气 的接触情况而定的常数.现有某种刚泡好的普洱茶，茶水温度是， 放在室温 的环境中自然冷却，10分钟后茶水的温度是 . （1）求 的值. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 解:由题知,,, , 则 ， 则,解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 （2）经验表明，当室温为时，该种普洱茶用 的水泡制， 自然冷却至 时饮用，可以产生最佳口感，那么刚泡好的茶水在 室温为 时自然冷却大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口 感?（结果精确到 ） （参考数据：, ） 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 解:设自然冷却大约需要放置 才能达到最佳饮用口感， 则，代入 ， 得 ， 所以刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置 才 能达到最佳饮用口感. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 15. [2026·辽宁丹东高一期末] 已知a3=9,==log3a,则+的值为 　　　　.  [解析] 由a3=9得a=,则log3a=. 由==,得x=lo,y=lo,所以=lo,=lo, 所以+=lo=lo=1,故+=1. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 16.（15分）甲、乙两人同时解关于的方程 ， 甲写错了常数，得两根为3和；乙写错了常数，得两根为 和81. 求这个方程的根. 解：由题意可得，,即 . 易知， ， 可得,，则原方程为 ， 可得或，解得或 . 故原方程的根为27或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 $