专题04 三角函数（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

专题04 三角函数 一、单选题 1．（2023·吉林预赛）已知函数，则下列说法错误的是 A．在内有两个零点 B．的图象关于点成中心对称 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】C 【详解】 则在上单调递增，在上单调递减， 即．故选C． 2．（2022·吉林预赛）关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故选A． 3．（2022·吉林预赛）已知函数，则下列结论中错误的是 A．的图象有对称中心 B．的图象有对称轴 C．方程有解 D．方程在内解的个数是偶数 【答案】C 【详解】是奇函数，A正确； ， 故图象关于直线对称，B，D正确； ，C错误， 故选C． 二、填空题 4．（2025·江西预赛）函数，是函数的一个零点，是函数图像的一条对称轴，是的一个单调区间，则的最大值为_____． 【答案】33． 【详解】题设条件等价于存在整数使得 所以得．又，所以．又注意到符合题设条件，故所求最大值为33． 5．（2025·山东预赛）设实数满足，则的最大值为_____． 【答案】． 【详解】注意到 则由可知，当时取到最大值． 6．（2025·广东预赛）已知正实数满足对任意的实数均有，则的最大值为_____． 【答案】． 【详解】即对任意实数成立． 令，条件即对恒成立． 因开口向上，对称轴，故要么且，要么且． 若为前一种情况，则且+，于是，得，故． 若为后一种情况，则，又由柯西不等式， 故，得． 综上，，当且即且时，，符合要求，且此时2 7．（2025·贵州预赛）计算：_____． 【答案】 【详解】因为，所以有． 8．（2025·贵州预赛）二元函数的最小值和最大值的和为_____． 【答案】 【详解】设，则，． 由可知：，同理：． 注意到：，故有． 当或或时，取最大值． 而由几何意义可知的最小值为，故最大值和最小值的和为． 9．（2025·江苏预赛）_____． 【答案】． 【详解】原式 ． 10．（2025·新疆预赛）已知函数，若函数在区间上恰有三个极值点和三个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，令，则，解得． 11．（2025·北京预赛）若存在实数使得不等式成立，则正实数的取值范围是_____． 【答案】． 【详解】记，即题目相当于要求存在使得．注意到，无论与1的大小关系如何，，故题目相当于要求，即． 12．（2024·广东预赛）若为锐角且，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】 设 ，等号成立时． 所以的最大值为． 13．（2024·广东预赛）设均为非零实数，满足．在中，若，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】不妨设，则 ， 于是， 从而． 所以 ， 其中． 设 ， 则在上单调递增，在上单调递减， 即． 综上，的最大值为． 14．（2024·江苏预赛）设，则函数的最大值为_____． 【答案】 【详解】， 则在区间上单调递减， 所以函数的最大值为． 15．（2024·江苏预赛）已知函数，若函数在区间上恰有三个极值点和两个零点，则的取值范围为_____． 【答案】 【详解】，由于， 则，依题意，． 于是，所以的取值范围为． 16．（2024·贵州预赛）_____．(用数字作答) 【答案】0 【详解】 注意到，所以． 17．（2024·北京预赛）已知函数，且为奇函数． 若方程在上有四个不同的实数解 ，则的平方值为 ． 【答案】 【详解】 ， 为奇函数的图像关于点对称， 所以，所以， ， ， 方程，即方程在上有四个不同的实数解， 则或，即或， 当，即时， 则，， ， 当，即时， ， ， ， 所以，的平方值为． 18．（2024·吉林预赛）设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数的值为_____． 【答案】或． 【详解】所以， ， 所以， 所以关于直线对称． 又， 因为关于的方程在上有奇数个不同的实数解， 所以的图象在上有奇数个不同的交点， 因为关于直线对称， 所以时，的图象在上有奇数个不同的交点， 因为区间是半开半闭区间， 所以时，的图象在上有奇数个不同的交点， 综上的值为或． 19．（2024·江西预赛）的值为_____． 【答案】 【详解】 而， 所以． 20．（2024·浙江预赛）函数的最大值与最小值之积为 ． 【答案】 【详解】令，， 当时，原函数变形为， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当时取等号， 故或， 所以或， 当时，． 综上可得，， 所以函数的最大、最小值分别为，其积为． 21．（2024·新疆预赛）已知，则在上所有根的和为_____． 【答案】60 【解析】因为，所以的图象关于点对称，而函数的图象也关于对称，在同一直角坐标系内作出两函数的图象，如图所示： 由图象可知这两个函数图象有10个交点，即共有5对关于对称的点， 所以方程在上所有根的和为． 22．（2024·新疆预赛）计算：_____． 【答案】 【解析】原式 ，．① 又 将代入所以①式得原式． 23．（2023·北京预赛）已知函数，其中．若恒成立，则满足题设的常数的个数为_____． 【答案】1770 【详解】当时，，此时． 而当时，设，则为模4余1的奇数，于是为模8余2的偶数．反之显然成立． 所以满足题设的常数的个数为． 24．（2023·北京预赛）已知是一个锐角，那么的最小值是_____． 【答案】 【详解】应用权方和不等式，有 等号成立时． 所以的最小值是． 25．（2023·东莞预赛）已知关于的方程，在范围内方程的所有解从小到大构成一个等差数列，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】 ． 注意到在内的所有根为构成等差数列； 当时，在内的所有根为，此时这5个数能构成等差数列； 当时，在内的两个根不可能和构成等差数列． 综上，实数的取值范围是． 26．（2023·广西预赛）记的反函数为，则当时，_____． 【答案】 【详解】设，注意到， 则当时，； 当时，， 所以 27．（2023·江西预赛）若锐角满足，则的最小值是_____． 【答案】 【详解】 ， 等号成立时． 附：权方和不等式的证明． (Hölder不等式)设， 则． 取，代入Hölder不等式得 ． 28．（2023·内蒙古预赛）_____． 【答案】 【详解】 29．（2023·山东预赛）已知：，则_____． 【答案】 【详解】显然，则 ． 30．（2023·苏州预赛）已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】， 等号成立时． 31．（2023·浙江预赛）函数在上的最小值为_____． 【答案】 【详解】注意到 等号成立时．所以的最小值为． 32．（2023·重庆预赛）设，且满足，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】， 不妨设，则原方程为． 如图，点在优弧上，是单位圆的一部分，于是点到点距离的最小值即为． 而，等号成立时． 所以 综上，的最小值为． 33．（2022·重庆预赛）若存在实数及正整数使得在内恰有2022个零点，则满足条件的正整数的值有_____个． 【答案】5 【详解】 设，方程为，由于，且， 则方程至少有一个位于区间内的根． 当时，对应在区间上有三个根， 此时； 当时，对应在区间上有三个根， 此时； 当时，对应在区间上有两个根位于， 此时或； 当时，对应在区间上有两个根位于， 此时或； 当时，对应在区间上有两个根位于， 两个根位于，此时． 综上，满足条件的正整数的值有5个． 34．（2022·浙江预赛）设，且，则_____． 【答案】 【详解】， 所以． 35．（2022·江西预赛）的值是_____． 【答案】 【详解】 36．（2022·福建预赛）已知，且，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】，记 ，于是， 等号成立时．所以的最大值为． 37．（2022·苏州预赛）若，则的值为_____． 【答案】 【详解】 所以． 三、解答题 38．（2025·吉林预赛）已知为一实数，，证明：对于所有的自然数， 的值为正数． 【详解】令，利用 得 如果等号成立，则有，但因，故．于是得． 又因，所以． 39．（2024·新疆预赛）设均为非零实数，且满足． （1）求的值； （2）在中，若，求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）令，则， 同时除以，得． 所以，即． 故． （2）由（1）得，因为，所以，从而， 则． 所以 因为，所以． 令， 令，得在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取最小值． 40．（2023·新疆预赛）已知向量． (1)若方程在上有四个不同的实数根，求的值． (2)是否同时存在实数和正整数，使得函数在区间上恰有2023个零点?若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】(1)由于， 而， 当，则有唯一解．所以． (2)由(1)知时，时，． 当时，在每个周期内均有两个零点，而，于是不存在正整数，使得函数在区间上恰有2023个零点． 41．（2022·吉林预赛）已知函数，求函数的单调递减区间． 【答案】 【详解】 注意到的定义域为， 所以的单调递减区间是． 一、填空题 42．（2025·全国联赛B卷）若，则的值为_____． 【答案】0． 【详解】，故． 43．（2023·全国联赛A卷）方程的最小的20个正实数解之和为_____． 【答案】 【详解】将代入方程，整理得，解得 上述解亦可写成，其中对应最小的20个正实数解，它们的和为． 44．（2022·全国联赛B1卷）设，若，则的值为_____． 【答案】 【详解】由于，故 解得． 二、解答题 45．（2025·全国联赛A卷）设为实数，，为正整数，且． 证明：． 【详解】不等式两边乘以，化简为 事实上，我们证明 ① 记．存在整数，使得，记 则．易知 ② ③ 由于，由②知，故． 若，则，故由②、③知 ， 即． 若，则对，利用的上凸性易知，故 这就证明了①，从而原不等式得证． 46．（2023·全国联赛B卷）将方程的所有正实数解从小到大依次记为．求的值． 【答案】 【详解】由于，原方程等价于．所以 其中所有正实数解为或，故 从而 47．（2022·全国联赛B卷）若为实数，，函数在闭区间上的最大值与最小值之差为1，求的取值范围． 【答案】 【详解】根据正弦函数的图像特征，若，则(a，b)内存在的一个最值点与一个零点，取充分小的正数，使得区间，此时异号，故存在，使得与异号，则，矛盾． 若，则在上的最大值点与最小值点必为一个长度小于的单调区间的两个端点与，而 矛盾． 另一方面，令，则在上的最大值为1，最小值为0，符合要求．此时可取遍中的值． 又令，则在上的最大值为，最小值为，符合要求．当时，，当时(并且当在中连续变化时，的值连续变化)，从而可取遍中的值． 综上，的取值范围是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角函数 一、单选题 1．（2023·吉林预赛）已知函数，则下列说法错误的是 A．在内有两个零点 B．的图象关于点成中心对称 C．的最小值为 D．的最大值为 2．（2022·吉林预赛）关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 3．（2022·吉林预赛）已知函数，则下列结论中错误的是 A．的图象有对称中心 B．的图象有对称轴 C．方程有解 D．方程在内解的个数是偶数 二、填空题 4．（2025·江西预赛）函数，是函数的一个零点，是函数图像的一条对称轴，是的一个单调区间，则的最大值为_____． 5．（2025·山东预赛）设实数满足，则的最大值为_____． 6．（2025·广东预赛）已知正实数满足对任意的实数均有，则的最大值为_____． 7．（2025·贵州预赛）计算：_____． 8．（2025·贵州预赛）二元函数的最小值和最大值的和为_____． 9．（2025·江苏预赛）_____． 10．（2025·新疆预赛）已知函数，若函数在区间上恰有三个极值点和三个零点，则的取值范围为 ． 11．（2025·北京预赛）若存在实数使得不等式成立，则正实数的取值范围是_____． 12．（2024·广东预赛）若为锐角且，则的最大值为_____． 13．（2024·广东预赛）设均为非零实数，满足．在中，若，则的最大值为_____． 14．（2024·江苏预赛）设，则函数的最大值为_____． 15．（2024·江苏预赛）已知函数，若函数在区间上恰有三个极值点和两个零点，则的取值范围为_____． 16．（2024·贵州预赛）_____．(用数字作答) 17．（2024·北京预赛）已知函数，且为奇函数． 若方程在上有四个不同的实数解 ，则的平方值为 ． 18．（2024·吉林预赛）设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数的值为_____． 19．（2024·江西预赛）的值为_____． 20．（2024·浙江预赛）函数的最大值与最小值之积为 ． 21．（2024·新疆预赛）已知，则在上所有根的和为_____． 22．（2024·新疆预赛）计算：_____． 23．（2023·北京预赛）已知函数，其中．若恒成立，则满足题设的常数的个数为_____． 24．（2023·北京预赛）已知是一个锐角，那么的最小值是_____． 25．（2023·东莞预赛）已知关于的方程，在范围内方程的所有解从小到大构成一个等差数列，则实数的取值范围是_____． 26．（2023·广西预赛）记的反函数为，则当时，_____． 27．（2023·江西预赛）若锐角满足，则的最小值是_____． 28．（2023·内蒙古预赛）_____． 29．（2023·山东预赛）已知：，则_____． 30．（2023·苏州预赛）已知，则的最小值为_____． 31．（2023·浙江预赛）函数在上的最小值为_____． 32．（2023·重庆预赛）设，且满足，则的最小值为_____． 33．（2022·重庆预赛）若存在实数及正整数使得在内恰有2022个零点，则满足条件的正整数的值有_____个． 34．（2022·浙江预赛）设，且，则_____． 35．（2022·江西预赛）的值是_____． 36．（2022·福建预赛）已知，且，则的最大值为_____． 37．（2022·苏州预赛）若，则的值为_____． 三、解答题 38．（2025·吉林预赛）已知为一实数，，证明：对于所有的自然数， 的值为正数． 39．（2024·新疆预赛）设均为非零实数，且满足． （1）求的值； （2）在中，若，求的最小值． 40．（2023·新疆预赛）已知向量． (1)若方程在上有四个不同的实数根，求的值． (2)是否同时存在实数和正整数，使得函数在区间上恰有2023个零点?若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 41．（2022·吉林预赛）已知函数，求函数的单调递减区间． 一、填空题 42．（2025·全国联赛B卷）若，则的值为_____． 43．（2023·全国联赛A卷）方程的最小的20个正实数解之和为_____． 44．（2022·全国联赛B1卷）设，若，则的值为_____． 二、解答题 45．（2025·全国联赛A卷）设为实数，，为正整数，且． 证明：． 46．（2023·全国联赛B卷）将方程的所有正实数解从小到大依次记为．求的值． 47．（2022·全国联赛B卷）若为实数，，函数在闭区间上的最大值与最小值之差为1，求的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $