专题02 平行线分线段成比例（重难点讲义）数学新教材人教版九年级下册

专题02 平行线分线段成比例 1.通过画图观察，认识平行线分线段成比例基本事实，感知线段间的比例关系； 2.经历定理推导，会运用结论及推论进行推理计算，提升演绎推理能力； 3.能利用平行线分线段成比例解决简单几何问题，体会转化思想，增强应用意识. 一、平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 注意：(1)截线是一组平行线，被截直线不一定平行；(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关. 可以发现，当l3∥l4∥l5时，有，，，等. 二、平行线分线段成比例推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 归纳总结 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 几何符号语言： ∵ DE∥BC ∴ ，， 题型01由平行线分线段成比例判断比例式正误 【典例】如图，已知 ，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，在ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02平行线分线段成比例之“A”字型求值 【典例】已知线段，求作线段使，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是（    ） A．B．C．D． 【变式】如图，在△ABC中，EFCD，DEBC． （1）求证：AF：FD＝AD：DB； （2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长．    题型03平行线分线段成比例之“X”字型求值 【典例】如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、、和、、，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式】已知三条互相平行的直线分别截直线l4于点，截直线于点，直线与相交于点O，且，，，． (1)求的长；(2)求的长． 题型04平行线分线段成比例之“8”字型求值 【典例】如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式】如图， ，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型05平行线分线段成比例之“#”字型求值 【典例】如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC＝4，CE＝6，BF＝，则BD的值是 _____． 【变式】如图，已知直线，直线m，n分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型06平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合 【典例】如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（    ） A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7 【变式】如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM：MC等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 题型07多次利用平行线分线段成比例求值 【典例】如图，在和中，D、E、F分别在线段上，连接，，求的长．    【变式】如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交BC于点G，已知，． (1)求的长； (2)若，在上述条件和结论下，求的长． 题型08平行线分线段成比例与三角形的重心的综合 【典例】已知点G是ABC的重心，连结BG，过点G作GDAB交BC于点D，若BDG的面积为1，则ABC的面积为（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 【变式】如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，过点G作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，若AC=18，则AF的长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 题型09平行线分线段成比例的常用辅助线之作平行线 【典例】对于平行线，我们有这样的结论：如图1，，交于点O，则． 请利用该结论解答下面的问题： 如图2，在中，点D在线段上，，，，求的长． 【变式】如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是___________． 题型10平行线分线段成比例的常用辅助线之作垂线 【典例】如图，在△ABC中，，，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转得到线段AE，连接BE，DE． (1)用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明； (2)过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明． 【变式】已知中，于点，平分，交于点． 请从，两题中任选一题作答．我选择________题． ．如图，若，则的长为________．．如图，若，则的长为________． 【巩固训练】 1．如图，在中，点在边上，过点作，交于点．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C．2 D．3 3．如图，在中，分别交于点D，E，交于点F，，，则的长为（　　）    A． B． C．2 D．3 4．如图，直线交于点，，若，，，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 5．如图，在中，点、分别在边、上，，已知，，则的长是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（    ） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3 7．如图，直线，一等腰Rt△ABC的三个顶点A、B、C分别在直线上，且∠ACB=90°，AC交与点D，若的距离为1，的距离为4，则AD的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，点D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，且AC∥DG∥EF，点H为CE与DG的交点．若AC＝10，则GH的长为（　　） A． B．2 C． D．3 9．如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交于点．点处的读数（单位：）分别为15，12，0，1，则的长为______，直尺的宽为______．    10．如图，在中，点E、F分别在边上，且． (1)探究四边形的形状，并说明理由； (2)连接，分别交于点、，连接交于点O．若，求的长； (3)在（2）的条件下，与的面积比是________． 【强化训练】 1．如图，直线，，，则是（　　） A．5：2 B．4：1 C．2：1 D．3：2 2．如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，且，连接并延长，交于点M，连接并延长，交于点N，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为__________，的长为__________． 5．如图，在中，，边在轴上，顶点，的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移，当点落在边上时，平移后点的坐标为________． 6．如图，在中，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是2，则点到的距离为 _________，的值是 ___________． 7．如图，在中，，以为直径的⊙O交于点D，过点D的直线交于点F，交的延长线于点E，且． （1）求证：是⊙O的切线； （2）当时，求的长．    8．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数 的图像相交于，B两点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)过点A作直线，交反比例函数图像于另一点C，连接，当线段被y轴分成长度比为的两部分时，求的长．    9．阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过点作，交的延长线于点． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图，已知中，，，，平分，则的长是 ； (3)如图，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求长． 10．[基础巩固]（1）如图，在中，，，分别为，，上的点，，交于点．若，求证：． [尝试应用]（2）如图，在等边中，，，分别为，，上的点，，分别交，于，两点．若，，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行线分线段成比例 1.通过画图观察，认识平行线分线段成比例基本事实，感知线段间的比例关系； 2.经历定理推导，会运用结论及推论进行推理计算，提升演绎推理能力； 3.能利用平行线分线段成比例解决简单几何问题，体会转化思想，增强应用意识. 一、平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 注意：(1)截线是一组平行线，被截直线不一定平行；(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关. 可以发现，当l3∥l4∥l5时，有，，，等. 二、平行线分线段成比例推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 归纳总结 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 几何符号语言： ∵ DE∥BC ∴ ，， 题型01由平行线分线段成比例判断比例式正误 【典例】如图，已知 ，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：， ，， ，故A错误； ，故D正确； 根据平行线分线段成比例定理无法判定B，C， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确理解平行线分线段成比例定理是解本题的关键． 【变式】如图，在ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵DGBC， ∴，故A选项错误； ∵DGBC， ∴，故B选项错误； ∵EHAB， ∴，故C选项正确； ∵EHAB， ∴，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是熟知平行线分线段成比例的性质． 题型02平行线分线段成比例之“A”字型求值 【典例】已知线段，求作线段使，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质．结合题中线段的平行关系，得出对应边成比例，进而满足结论即可． 【详解】解：A、由图形可得，，即，故本选项不符合题意； B、由图形可得，，即，故本选项符合题意； C、由图形可得，，即，故本选项不符合题意； D、由图形可得，，即，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式】如图，在△ABC中，EFCD，DEBC． （1）求证：AF：FD＝AD：DB； （2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长．    【答案】 （1）证明：∵EFCD， ∴AF：FD=AE：EC， ∵DEBC， ∴AE：EC=AD：DB， ∴AF：FD＝AD：DB； （2）． 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EFCD得到AF：FD=AE：EC，由DEBC得到AE：EC=AD：DB，再进行等量代换即可求解； （2）根据比例的性质得到，根据（1）结论得到AF：FD=2:1，即可求出DF． 【详解】解：（1） 略 （2）∵AB＝30，AD：BD＝2：1， ∴， ∵AF：FD＝AD：DB， ∴AF：FD=2:1， ∴ 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理“两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是解题关键． 题型03平行线分线段成比例之“X”字型求值 【典例】如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、、和、、，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，根据合比性质即得． 【详解】， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段，解决问题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，合比性质． 【变式】已知三条互相平行的直线分别截直线l4于点，截直线于点，直线与相交于点O，且，，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，推出，即可求解； （2）由，推出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 题型04平行线分线段成比例之“8”字型求值 【典例】如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例，可证得，，两式相加即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解题的关键． 【变式】如图， ，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据可证，，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解： ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选C． 题型05平行线分线段成比例之“#”字型求值 【典例】如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC＝4，CE＝6，BF＝，则BD的值是 _____． 【答案】3 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵a∥b∥c， ∴，即， 解得：BD=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【变式】如图，已知直线，直线m，n分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 题型06平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合 【典例】如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（    ） A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7 【答案】B 【分析】过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝AG＝PG，根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论． 【详解】解：过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G， ∴NM∥AG， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴AG＝PG， ∵M是DE的中点， ∴DM＝ME＝DE， ∵NM∥AG，AN＝DN， ∴＝＝， ∴NM＝AG＝PG， ∵DM＝ME， ∴S△DMN：S四边形MFCE＝＝＝1：4． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理及平行线分线段成比例定理．本题关键是找准比例关系求解． 【变式】如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM：MC等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 【答案】B 【详解】∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE=BC， ∵M是DE的中 ∴DM=ME=BC， ∴， ∴ 故选：B. 题型07多次利用平行线分线段成比例求值 【典例】如图，在和中，D、E、F分别在线段上，连接，，求的长．    【答案】9 【分析】由可得从而可得再由可得结果． 【详解】解:∵, ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 【变式】如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交BC于点G，已知，． (1)求的长； (2)若，在上述条件和结论下，求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由，推出，由，推出，可得结论． （2）由，推出，可得结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握这个定理是关键． 题型08平行线分线段成比例与三角形的重心的综合 【典例】已知点G是ABC的重心，连结BG，过点G作GDAB交BC于点D，若BDG的面积为1，则ABC的面积为（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】连接CG并延长交AB于E，如图，利用三角形重心性质得到CG＝2EG，则利用平行线分线段成比例得到，再根据三角形面积公式得到S△GDC＝2S△BDG＝2，则S△BCG＝3，接着求出S△BEG＝，从而得到S△BCE＝，然后利用CE为中线得到S△ABC． 【详解】解：连接CG并延长交AB于E，如图， ∵点G是△ABC的重心， ∴CG＝2EG， ∵DG∥AB， ∴， ∴S△GDC＝2S△BDG＝2， ∴S△BCG＝1+2＝3， 而EG＝CG， ∴S△BEG＝S△BCG＝， ∴S△BCE＝+3＝， ∵CE为中线， ∴S△ABC＝2S△BCE＝2×＝9． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了平行线分线段成比例定理和三角形面积公式． 【变式】如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，过点G作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，若AC=18，则AF的长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】如图，运用平行线分线段成比例定理列出比例式：根据AC=18，求出AF即可解决问题． 【详解】∵G是△ABC的重心， ∴AG=2DG，AD=3DG； ∵EF∥BC， ∴ ∵AC=18， ∴AF=12． 故选C． 【点睛】该题主要考查了三角形重心的性质、平行线分线段成比例定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 题型09平行线分线段成比例的常用辅助线之作平行线 【典例】对于平行线，我们有这样的结论：如图1，，交于点O，则． 请利用该结论解答下面的问题： 如图2，在中，点D在线段上，，，，求的长． 【答案】3 【分析】过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，根据平行线分线段成比例定理得到＝，由已知代入求出DE的长，证明△ACE为等腰三角形即可． 【详解】解：过点C作CE∥AB交AD的延长线于E， 则＝，又BD＝2DC， ∴ ∵AD＝2， ∴DE＝1， ∵CE∥AB， ∴∠E＝∠BAD＝75°，又∠CAD＝30°， ∴∠ACE＝∠E＝75°， ∴AC＝AE＝AD + DE =3． 【点睛】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，恰当作辅助线，正确运用定理找准对应关系，列出比例式求值是解题的关键． 【变式】如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解题关键是正确作出辅助线，列出比例式． 过点P作交延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证，再证，可得，再利用平行线分线段成比例得，结合线段的等量关系及比例的性质即可得到结论． 【详解】解：如图：过点P作交延长线于点E， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ， ∵， ∴， ， ， ， ． 故答案为：． 题型10平行线分线段成比例的常用辅助线之作垂线 【典例】如图，在△ABC中，，，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转得到线段AE，连接BE，DE． (1)用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明； (2)过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由∠DAE=∠BAC可得∠BAE=∠CAD，然后SAS证△ABE≌△ACD即可； （2）作EH⊥AB交BC于H，可证△BEF≌△BHF得BE=BH，再证MH=MD，再借助MN∥HF，由平行线分线段成比例即可证出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 由旋转的性质 可得， ∵， ∴， ∴， ∵点M为BC的中点， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： 过点E作，垂足为点Q，交AB于点H，如图所示： ∴， 由（1）可得 ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例性质等知识，作EH⊥AB构造出全等三角形是解题的关键． 【变式】已知中，于点，平分，交于点． 请从，两题中任选一题作答．我选择________题． ．如图，若，则的长为________． ．如图，若，则的长为________． 【答案】或；； 【分析】选择题，过点作，垂足为，设，则，证明，得出 ，进而根据即可求解； 选择题，过点作，垂足为，等面积得出 ，根据，得出，得出，代入数据即可求解． 【详解】选择A题：如图，过点作，垂足为， ，， ， ， ， ， 平分， ， 设， ， ， ， ， ， ， 解得 ， ， 故答案为：． 选择题，过点作，垂足为， ，， ， ， 解得 ， ， 平分， ，， ， ， 设， 则， 在直角三角形中， ， 解得 ， ， ， ， 解得 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 【巩固训练】 1．如图，在中，点在边上，过点作，交于点．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线与三角形其他两边（或两边的延长线）相交，所得的对应线段成比．本题中根据，可得，根据线段、的长度可求结果． 【详解】解：在中， ， ， ，， ． 故选：A． 2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：D． 3．如图，在中，分别交于点D，E，交于点F，，，则的长为（　　）    A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】先证得四边形是平行四边形，得到，再利用平行线截线段成比例列式求出即可． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键． 4．如图，直线交于点，，若，，，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确理解定理的含义是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：，，， ，即， ，，， ， ， ， 故选：． 5．如图，在中，点、分别在边、上，，已知，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例得到，结合题意代值求解即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，数形结合得到线段比例，代值求出线段长是解决问题的关键． 6．如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（    ） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3 【答案】B 【分析】过O作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出，根据已知和平行线分线段成比例得出，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出的比． 【详解】解：如图，过O作，交AC于G， ∵O是BD的中点， ∴G是DC的中点． 又， 设，又， ， 故选B． 【点睛】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式． 7．如图，直线，一等腰Rt△ABC的三个顶点A、B、C分别在直线上，且∠ACB=90°，AC交与点D，若的距离为1，的距离为4，则AD的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作直线 的垂线，垂足为E,交 于H, 过点B作直线 的垂线,垂足为F，证明，得到EC、BF、AC的长度，再根据，得到，便可计算AD． 【详解】解：过点A作直线 的垂线，垂足为E,交 于H, 过点B作直线 的垂线,垂足为F,如图所示： ∵的距离为1，的距离为4 ∴AE=4  AH=1   ED=BE=3 又∵Rt△ABC   ∠ACB=90°° ∴° ° ∴ 又 AC=BC ° ∴ ∴EC=BF=3 ∴AC= 又∵ ∴ ∴AD= 【点睛】本题考查了构造三角形全等，等腰三角形性质，利用三角形全等的性质，计算相关线段的长度，同时也考查了平行线分线段成比例，掌握这些知识点，再题目中合理的运算才是关键． 8．如图，在△ABC中，点D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，且AC∥DG∥EF，点H为CE与DG的交点．若AC＝10，则GH的长为（　　） A． B．2 C． D．3 【分析】利用平行线的性质得到△BEF∽△BAC，利用相似三角形的性质求得FE的长度，利用平行线分线段成比例定理求得CG＝FG，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【解答】解：∵点D，E为边AB的三等分点， ∴， ∵AC∥EF， ∴△BEF∽△BAC， ∴， ∵AC＝10， ∴EF． ∵点D，E为边AB的三等分点，AC∥DG∥EF， ∴点F，G为边BC的三等分点， ∴CG＝FG， ∵DG∥EF， ∴△CGH∽△CFE， ∴， ∴GHFE． 故选：A． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键． 9．如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交于点．点处的读数（单位：）分别为15，12，0，1，则的长为______，直尺的宽为______．    【答案】 ， 【分析】根据题意可得，通过证明，即可得到，通过正切求出的长，从而可以得到的长，最后通过即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 10．如图，在中，点E、F分别在边上，且． (1)探究四边形的形状，并说明理由； (2)连接，分别交于点、，连接交于点O．若，求的长； (3)在（2）的条件下，与的面积比是________． 【答案】(1) 四边形为平行四边形． 理由如下： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； (2)12 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理、相似三角形的判定定理，解题的关键是：熟练掌握相关定理，能进行相关的证明． （1）利用平行四边形的判定定理，两组对边分别平行是平行四边形即可证明； （2）根据，找到边与边的等量关系，再利用三角形相似，建立等式进行求解即可； （3）根据与的面积比等于底的比求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴设，则，， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵与等高， ∴与的面积比． 故答案为：． 【强化训练】 1．如图，直线，，，则是（　　） A．5：2 B．4：1 C．2：1 D．3：2 【答案】C 【分析】设，利用，可得，从而可求出，那么就可求出的值． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴设， ∵， ∴， ∴=， ∴， ∴， 又， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似，找到各对相似三角形的共公边，建立起不同三角形之间的联系，是解答此题的关键． 2．如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出是的中位线，证，得，解得，则． 【详解】解：∵、为边的三等分点，， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，且，连接并延长，交于点M，连接并延长，交于点N，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定该与性质等知识，解题的关键是学会利用参数，设正方形的边长为，求出，． 设，首先证明，再利用相似三角形的性质求出，推出，，可得结论． 【详解】解：四边形是正方形， ∴设，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ，， ， 故选：A． 4．如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为__________，的长为__________． 【答案】 5 / 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理．过点E作，交点于点G，交于点H，证明，求出的长，再证明，，得出，，再求出，从而求出和，可得的长． 【详解】解：过点E作，交点于点G，交于点H， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∵，，分别为边，的中点， ∴，， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，, ∴，， 即，， ∴，， ∵E为中点，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：5；． 5．如图，在中，，边在轴上，顶点，的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移，当点落在边上时，平移后点的坐标为________． 【答案】 【分析】当点落在边上时，正方形平移至正方形处，求出直线的解析式，求出的坐标，根据平移的性质和正方形的性质列方程解题． 【详解】解：如图，当点落在边上时，正方形平移至正方形处， 设直线的解析式为，代入、， 则有， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知， ∴，即正方形的边长为， ∴， ∴， 令，解得， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在中，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是2，则点到的距离为 _________，的值是 ___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义等知识，首先由勾股定理求出的长，由面积法得点到的距离为，点到的距离为，从而得出，再根据角平分线的定义和平行线的性质得，从而解决问题，熟练掌握相似三角形对应线段的比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， 设点到的距离为， 的面积是2， ，即， ∴点到的距离为， 设点到的距离为， ， ， 在中，点到的距离为， 设点到的距离为， ∴点到的距离为， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 7．如图，在中，，以为直径的⊙O交于点D，过点D的直线交于点F，交的延长线于点E，且．    （1）求证：是⊙O的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接，， ∵是直径， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，即． 又是的半径， ∴是的切线． （2）10 【分析】（1）连接，，由是直径可得到，然后通过题中角的关系可推出，即可得证； （2）通过，得到，然后设，列分式方程即可解得，从而得到的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，                            ∴． 设，∵，， ∴，，，． ∴． 解得． 经检验是所列分式方程的解． ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键． 8．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数 的图像相交于，B两点．    (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)过点A作直线，交反比例函数图像于另一点C，连接，当线段被y轴分成长度比为的两部分时，求的长． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的表达式，联立一次函数和反比例函数的表达式，即可解出点B的坐标； （2）设与y轴交于点D，分和进行讨论，过点A作轴，过点C作轴，证明，利用对应边成比例求出，可得点C的坐标，再利用两点间距离公式求出的长即可． 【详解】（1）解：∵在一次函数的图像上， ∴， 解得， ∴， 将代入中，得， ∴， ∴反比例函数表达式为， 联立， 解得，， ∴． （2）解：设与y轴交于点D，过点A作轴，过点C作轴， ①若，如图：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将代入，解得， ∴， ∴； ②若，如图：      ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将代入，解得， ∴， ∴； ∴的长为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合、相似三角形的判定和性质，根据题意作出相似三角形是解答本题的关键． 9．阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过点作，交的延长线于点． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图，已知中，，，，平分，则的长是 ； (3)如图，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求长． 【答案】(1) 证明：∵， ，，， ， ， ， ． (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，角平分线的应用、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据可得，，结合条件可推出，即可求证； （2）求出，根据题意可得，进而得； （3）由题意得结合是的中点，可得根据可推出，进而得即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵平分， 由题意得：， ∴， ∴， 故答案为： （3）解：是的平分线，，， 是的中点，， ∵， ， ， ． 10．[基础巩固]（1）如图，在中，，，分别为，，上的点，，交于点．若，求证：． [尝试应用]（2）如图，在等边中，，，分别为，，上的点，，分别交，于，两点．若，，求的值． 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）根据证明，同理可证明得到，于是根据即可证得答案； （2）根据条件证明，设 ，于是证明，根据得到，的关系式进而得到答案； （3）延长交于，连接，过点作于，根据直角三角形的性质求出，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【详解】解（1）∵， ，， ∴ ∴． 同理，． ∴ ∵， ∴ （2）∵，， ∴, ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴ 由（1）知，， ∴ ∴，解得，, ∴； 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $