专题13 几何图形中的动态旋转问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

专题13 几何图形中的动态旋转问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 题型二、几何图形中动角求定值问题 题型三、几何图形中动角探究数量关系问题 题型四、几何图形中动角求运动时间问题 题型五、几何图形中动角之新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：图形绕定点旋转一定角度，探究对应边角关系、线段长或位置变化，常与全等、角度计算结合。 - 解题方*：抓住旋转三要素（中心、方向、角度）；利用旋转前后全等找对应边角相等；旋转角等于对应点与中心连线夹角；必要时分类讨论旋转过程的不同阶段。 - 易错提醒：混淆旋转角与图形内角；对应点找错；忽略旋转方向导致位置判断错误；多阶段运动未分段讨论。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 典例1 如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线恰好平分锐角（图②）． 【答案】6或24/24或6 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：， ， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ； 的值为：6或24． 故答案为：6或24． 题型模版 1.特征：图形旋转方向或角度不确定，导致对应点位置有多种可能，需分类讨论。 2.方法：按顺时针/逆时针或旋转角范围分类，分别作图，利用旋转前后对应边角相等列方程，逐一求解并验证。 变式1-1如图，已知，射线 绕点 从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转； 同时，射线 绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，并且当 与成角时，与同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过 秒，与的夹角是．    【答案】或 【分析】设转动秒，与的夹角是，进行分情况画图 ，列方程即可得到结论． 【详解】设秒后，与的夹角是， 如图，     ， ∴，， ∵， ∴，即有， 解得：， 如图，    ∴，， ∵， ∴，即有， 解得：， 综上可知：或，与的夹角是， 故答案为：或． 变式1-2如图，分别过直线上的点和点作射线、，，，射线从开始绕着点以度/秒的速度顺时针旋转，射线从开始绕着点以度/秒的速度顺时针旋转，在射线旋转一周的过程中，经过 秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 【答案】或 【分析】设经过秒时，射线、射线所在的直线互相垂直，将线段，沿线段平移，使点与点重合且，；根据题意，则（为整数）时，，，，等量代换，则，解出，根据旋转一周，求出的取值范围，根据代入，确定的取值，即可． 【详解】如图，所示 设经过秒时，射线、射线所在的直线互相垂直， 将线段，沿线段平移，使点与点重合且，， 当（为整数）时，， ∵， ∴， ∴（为整数）， 解得：， ∵射线旋转一周， ∴， ∴， ∴（为整数）， ∴（为整数）， ∴为，； 当时，；当时，； 综上所述：经过或秒时，射线、射线所在的直线互相垂直． 故答案为：或． 变式1-3如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t秒．若射线的位置保持不变，且．则在旋转过程中，如图2，当 秒时，射线与中的某一条射线恰好是另两条射线所夹角的平分线．    【答案】2或8或32 【分析】分三种情况进行解答，即①射线是的平分线，②射线是的平分线，③射线是的平分线，根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：当射线是的平分线时， ∵， ∴， ∴； 当射线是的平分线时， ， ∴； 当射线是的平分线时， ， ∴， 故答案为：2或8或32． 题型二、几何图形中动角求定值问题 典例2 如图，将两块直角三角板的角和一个角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，旋转过程中，三角板的直角边始终在的内部，在旋转过程中    (1)若时，______°； (2)善于思考的小明发现，在旋转过程中， ①和②的度数均各为一个定值，请你写出这两个定值， 定值：①______；②______． (3)作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化的范围． 【答案】(1)9 (2)，； (3) 【分析】（1）由角的和差关系可得：，再代入数据可得答案； （2）由在的内部，如图，，，再代入数据可得答案； （3）由角平分线的定义可得，，结合（1）得：，（2）得：，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）∵在的内部，如图，    ∴ ； ∴ ； （3）∵，分别平分和，    ∴，， ∵由（1）得：， 由（2）得：， ∴ ． 题型模版 1.特征：角度随动点或动线变化，但某些角的和、差或比值始终保持不变，求该定值。 2.方法：设动角为参数，用其表示相关角，代入所求式子化简消去参数，得常数即定值。 变式2-1问题情境：如图，直线，相交于点．把分成两个角，且． 问题提出： (1)若，求的度数． (2)如果，平分，那么是的平分线吗？试说明理由． 问题解决： (3)若，则是否为定值？若是，请求出定值：若不是，求说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)定值， 【分析】（1）由对角相等，先求出．然后根据即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可作出判断； （3）设，则，然后用的代数式把，表示出来，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 又， ； （2）由（1）知当时，， ， 平分， ， ， 是的平分线； （3）是定值，理由如下： 设， 则， ， ， ， ， ， ． 变式2-2活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)正确，； 【分析】本题考查了角的和差和角平分线，解题关键是正确识图，准确进行计算； （1）利用平角减去相邻的角即可； （2）求出的度数，再通过计算说明即可； （3）分别表示出，再求它们的和即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转，当时， ，则, ∵, ∴是的角平分线． （3）解：正确，； 直角三角板旋转至如图③的位置时， ，， ． 变式2-3如图（1），点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图（1）中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转秒，此时恰好第一次平分钝角，则的值为多少？ (2)将图（1）中的三角板绕点逆时针旋转至图（2），使一边在的内部，直线恰好平分，问：直线是否平分？请说明理由． (3)将图（1）中的三角板绕点O顺时针旋转至图（3），使在的内部，请探究： ①与之间的数量关系，并说明理由． ②的值是否为定值，如果是，请求出这个定值是多少？如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线平分，理由见解析 (3)①，理由见解析；② 【分析】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义的运用； （1）根据角平分线的定义得出，结合题意，即可求解； （2）根据角平分线的定义得出，进而根据，求得，即可得出结论； （3）①根据，，分别求得，，再根据进行计算，即可得出与的数量关系； ②根据图形可得，进而根据 ，即可求解． 【详解】（1）平分， ， 又， ， （2）直线平分，理由如下： 设的延长线为，如图2， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即直线平分； （3）①结论：． 理由：如图3中， ，， ，， ， 与的数量关系为：． ② 题型三、几何图形中动角探究数量关系问题 典例3 如图，直角，锐角，是的平分线，是的平分线． (1)当时， ， ； (2)当的大小发生改变时，的大小是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的大小是定值为 【分析】本题考查了角的和差运算，角平分线的定义，解题的关键是掌握各角间的数量关系． （1）由题意可求出，根据角平分线的定义可得：，，最后根据，即可求解； （2）设，则，根据角平分线的定义可得：，，最后根据，即可判断． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ， 是的平分线，， ， ， 故答案为：，； （2）的大小是定值， 设，则， 是的平分线，， ， 是的平分线，， ， ， 的大小是定值为． 题型模版 1.特征：动角变化时，多个角之间保持某种数量关系（和差倍分），需探究并证明。 2.方法：设动角为参数，用其表示各相关角，通过代数运算消参，归纳出角之间的等量关系。 变式3-1【问题发现】 如图①，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处； （1）①与的数量关系是____________． ②与的数量关系是____________． 【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图②摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处； ①和有怎样的数量关系？说明理由． ②和有怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（1）①②（2）①，理由见解析；②．理由见解析 【分析】本题考查三角板中的角度计算．掌握角的和差关系是解题的关键． （1）①根据角的和的关系进行解答；②利用周角的定义进行解答； （2）①根据同角的余角相等解答；②根据图形，表示出即可得到原关系仍然成立． 【详解】解：（1）①由题意可知． 因为，， 所以． 故答案为； ②由题意可知． 因为，， 所以． 故答案为． （2）①． 理由：由题意可知． 因为，所以； ②． 理由：由题意可知． 因为， 所以． 变式3-2如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（）先求出，再根据角的和差关系即可求解； （）由角平分线的定义可得，进而根据角的和差关系即可求解； （）根据的取值范围，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵， ∴； （2）解：当恰好平分时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． 变式3-3如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 【答案】(1) (2)或或 (3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）直接根据角之间的关系进行求解即可； （2）分当是的角平分线时，当是的角平分线时，当是的角平分线时，三种情况讨论求解即可； （3）①，则；②先由角平分线的定义得到，再由即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴当射线，重合时，， 故答案为：； （2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则； 如图2-2所示，当是的角平分线时，则； 如图2-3所示，当是的角平分线时，则； 综上所述，的度数为或或； （3）解：①如图所示，∵，， ∴， ∴； ②度数不发生变化，为定值，理由如下： ∵，， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴． 题型四、几何图形中动角求运动时间问题 典例4 在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【答案】(1)t为21 (2)t为22.5秒或24.75秒 【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题； （2）根据出现的情况分类讨论，再根据将与的结果关联即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 平分， ， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为21时，平分． （2）解：由题可知：当时会出现以下两种情况： ①如图2， 由图可得： ， 又，     ，， 旋转的角度为， （秒）， ②如图3， 由图可得： ， 又， ，， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为秒或秒时，． 题型模版 1.特征：角以一定速度旋转，求达到某角度关系或位置所需时间，常涉及追及。 2.方法：设运动时间为t，用角速度乘时间表示旋转角，根据角度等量关系列方程求解并检验范围。 变式4-1如图，，射线绕点从边位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从边位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒． (1)当时，求的度数． (2)当与重合时，求的度数． (3)当时，求的值． (4)当射线是由射线、、中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为19或29； (4)的值为15或20或30． 【分析】本题考查了角度计算问题和角的平分线的定义，熟练掌握角的平分线的定义，并能够根据题目已知条件找到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键． （1）利用，直接计算即可； （2）先用表示出和，当与重合时，，求出的值即可解答； （3）由（2）知，当时，与重合，分2种情况①；②，再结合列出等式，求解即可； （4）由角的平分线的定义，分3种情况①平分；②平分；③平分，再结合列出等式，求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ， 的度数为． （2）由题意得，，， 当与重合时，， 即：， 解得：， ， 的度数为． （3）由（2）知，当时，与重合， 下面分2种情况讨论： ①若，则， 即：， 解得：； ②若，则， 即：， 解得：； 综上所述，的值为19或29． （4）由题意得，分3种情况讨论： ①若平分，则， 解得：； ②若平分，则， ， ， 解得：； ③若平分，则， ， ， 解得：； 综上所述，的值为15或20或30． 变式4-2如图，为线段上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止． (1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数； (2)当从初始位置旋转至时，求此时的值； (3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，角平分线的定义，几何图形中的角度计算； （1）根据角平分线的定义可得，根据题意得，进而根据补角的定义求得，根据，即可求解； （2）根据（1）的方法得出，将代入，解一元一次方程，即可求解； （3）根据（2）可得，将代入，解关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，为的角平分线， ∴， ∵从初始位置旋转秒， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵，为的角平分线， ∴， ∵从初始位置旋转秒， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 变式4-3将一副直角三角板按图1所示摆放在直线 上（直角三角板直角三角板， ），保持板不动，将三角板 绕点 O 以每秒： 的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 ____秒时，平分 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得 同时在直线 的右侧，猜想与有怎样的数量关系，并说明理由；（数量关系中不能含 t） (3)直线的位置不变，在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点 O 以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板停止运动．当t为多少时， ？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查角的计算，认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得 根据题意求解即可． （2）根据题意得，进而求得． ，即可得到结论； （3）根据题意得，求得． ，分情况列方程求解即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴； （3）解：∵，， 或 解得 或 题型五、几何图形中动角之新定义型问题 典例5 定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解题的关键． （1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，得； （2）根据、分别为与的5分位线，得,或；，或,当, 时，,不合；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，分别为与的3分位线，（，）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵射线、分别为与的5分位线， ∴，∴, 或，∴； ，∴， 或，∴， 当, 时， ， ∵， ∴不合； 当，时， ， ∴， ∴； 当，时， ， ∴； 当，时， ， 不合． ∴或． 故答案为：或． 题型模版 1.特征：定义与动角相关的新概念（如“友好角”），按规则求角度或时间，重理解迁移。 2.方法：读懂新定义，转化为角度等量关系，设动角或时间为参数列方程，解出后检验是否符合范围。 变式5-1定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，求的度数； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线，余角与补角，掌握角平分线的定义，余角与补角的定义，理解“好线”的定义是正确解答的关键． （1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可； （2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可； （3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，进而答案即可． 【详解】（1）解：①如图，当在内部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当在外部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （2）解：若恰好平分， ∴， ∴； （3）解：或，理由如下： ①如图，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴； ②如图，， ∵， ∴， ∴ ， ， ∴， 综上所述或． 变式5-2如图1，已知射线 (1)若，，且，求的度数； (2)若，分别是和的平分线，，求的度数； (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与之和为，则称该射线为的“分余线”． 如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了角平分性质，互为余角的概念，以及新定义的“分余线”的应用，关键是对新定义的理解和正确应用． （1）依题意，设则，，由，继而得解； （2）依题意，设，由，建立方程求解即可得解； （3）根据题意，为的“分余线”，分别讨论或这两种情况，从而得到结果． 【详解】（1）依题意，设则，， 由， 解得： ； （2）如图，依题意，设 又分别是和的平分线， ，， 解得： （3）由，设则 ， ， 为的平分线， ， 为的“分余线” 若，则 解得： 若，则 解得： 综上：为或 变式5-3新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“百度角”；例如，，则与互为“百度角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图1，如果，与互为“百度角”，则 ． 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“百度角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒．当为何值时由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”？ 【答案】（1）；（2）为或；（3）当运动时间t为2秒或4秒或10秒或秒时，由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角” 【分析】本题考查新定义的角度关系，一元一次方程的应用，找到新定义的角度关系是解题的关键． （1）根据新定义，找到角度关系，求解即可； （2）分情况讨论与的位置关系，画出图象，求解即可． （3）分情况讨论与的位置关系，画出图象，根据新定义列出各个角度关于时间t的一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）∵与互为“百度角”， ∴， ， ， ； （2）如图，当在上方时，    ∵平分角， ∴， 根据题意得， ， 同理，当在下方时，    ∵平分角， ∴， 根据题意得， ， 综上所述，为或； （3）①如图    根据题意得，运动的时间为t秒时， ，，， 当和互为“百度角”时， ， 秒； 当和互为“百度角”时， ， 秒． ②如图    根据题意得，运动的时间为t秒时， ，， ， 当和互为“百度角”时， ， 秒． 当和互为“百度角”时， ， 秒． 综上所述，三条射线形成的角互为“百度角”时，t为2秒或4秒或10秒或秒． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·广西南宁·一模）将一副三角尺的直角顶点重合，按图中位置摆放，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知 ，利用角的和差关系 即可求解． 【详解】解： 该图中一副三角尺的直角顶点重合， ． 2．（25-26七年级上·广西河池·期末）数学课上，某学习小组在探究“用一副三角尺的角，结合角的和、差运算可以直接画出哪些度数的角？”时发现，如图，将两个直角顶点重合在一起，那么与总是相等的，如果，那么度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的和差关系，进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 3．（2026七年级上·全国·专题练习）如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转到图2的位置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角板的直角可知，进而根据角度的和差关系即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ） A．3对 B．7对 C．5对 D．9对 【答案】B 【分析】本题考查了新定义及角的和差关系，掌握角的和差是解题的关键．根据互为“优角”的定义进行解答即可． 【详解】解：∵，射线平分， ∴； ∵ ∴互为“优角”； ∵， ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； 故共有7对角互为“优角” 故选∶B． 二、填空题 5．（25-26六年级下·山东淄博·期中）定义：如果从一个顶点出发的两个角的和等于，那么就说这两个角为“睦邻友好角”．若与是“睦邻友好角”，且，则的度数为________． 【答案】 或 【分析】设，则，根据“睦邻友好角”的定义，可得，，进行分类讨论，分别计算的度数即可． 【详解】解：设，则， ∵与是“睦邻友好角”， ∴. 解得， ∴， 若在外部，如图，， 若在内部，， ∴的度数为或． 6．（25-26七年级上·福建厦门·期末）数学活动课上，小明用一副三角板进行如下操作：第一步：将一副直角三角板的两个顶点放在同一个点处，且边与边在同一直线上，如图所示；第二步：保持三角板不动，将三角板绕点逆时针转动，当与重合时停止转动．若在转动过程中，射线始终分别平分和，则除平角和三角板本身的角外，大小不会发生改变的角是__________，其度数为__________． 【答案】 37.5 【分析】本题主要考查了角平分线定义，三角板中的角的和差， 先分析变化的角，再分三种情况求出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，随着的减小，可知也减小，先减小，后增大，逐渐减小，也在变化，逐渐增大； 当在上方时， ∵， ∴， ∴； 当在内部时， ∵， ∴， ∴； 当在下方时， ∵， ∴， ∴． 所以不变，其度数是． 故答案为：，37.5． 7．（25-26七年级上·四川成都·期末）由一副三角尺可以拼出很多角的图案，如图，都是直角，且，．在平面内，当，部分重叠得到，叫它们的重叠角，如图________；类似的，若和分别是两个钝角，记为，记为，在平面内叠放得到重叠角，则，与，有什么数量关系：_________． 【答案】 135 【分析】本题主要考查了角的和差，直角三角形的性质，解题的关键是掌握角的和差． （1）根据直角三角形的性质求出，然后根据角的和差进行求解即可； （2）根据角的和差进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，都是直角，， ∴， ∴， 故答案为：135； （2）如图所示， ， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分． （1）如图，如果__________． （2）如果，将三角板绕点旋转一周（旋转过程中与度数都是大于且小于的角），的度数为__________．（用含的代数式表示）． 【答案】 /30度 或 【分析】本题考查了角平分线的定义、邻补角等知识点，熟练掌握角平分线定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，结合三角板的度数计算即可； （2）分在上方和下方两种情况，分别运用角平分线的定义以及角的和差即可解答． 【详解】解：（1）由题意可知：， ∵， ∴， ∵射线平分． ∴， ∴． 故答案为：． （2）①如图：当在上方时，同（1）可得：； ②如图：当在下方时， ∵， ， ∵射线平分． ∴， ∴． 故答案为：或． 三、解答题 9．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图①，点O是直线上的一点，，平分． (1)若，则______°，　　　°； (2)将图①中的绕点O旋转至图②的位置，求出和之间的数量关系； (3)将图①中的绕点O旋转一周，在旋转的过程中，当射线或其反向延长线平分时，求的度数． 【答案】(1)40；20 (2) (3)或 【分析】本题考查角的计算与角平分线的定义，解题的关键是利用平角、直角的定义以及角平分线的定义分析角之间的关系． （1）利用平角和直角的定义求出，再结合角平分线求出； （2）设，则，根据角平分线定义得出，求出，即可得出答案； （3）分两种情况：当平分时，当的反向延长线平分时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴；， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：40，20； （2）解：设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：当平分时，如图所示： 则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 当的反向延长线平分时，如图所示： 则，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 10．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，，分别是，的平分线，现将三角板绕点按逆时针方向旋转（如图2），且． (1)当时， ①若，求的度数． ②在运动过程中，试猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图3，平分，若，求的度数． 【答案】(1)①； ②；理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； (2)或 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的计算： （1）①根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可；②根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可； （2）分在的内部和在的外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由题意，可知：， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②略 （2）解：①当在的内部时， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，则， ∴此时重合， ∵是的平分线， ∴； 如图， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ； ②当在的外部时， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上：或． 11．（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图，将图中的三角板绕点逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分，此时______度； (2)如图，继续将图中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第秒时，，，三条射线恰好构成相等的角，则的值为______（直接写出结果）． 【答案】(1) (2) 与之间满足等量关系为：， 理由如下： ，， ， (3)或或或 【分析】本题考查角的和差关系，角平分线的定义，用方程解几何问题是常用的方法； （1）由恰好平分得，，再根据互余求出即可； （2）由，可得结论； （3）根据逆时针旋转，得出不同情况下三条射线组成等角，画出相应的图形，利用方程求出答案． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵恰好平分， ∴， ∵ ． 故答案为：． （2）略 （3）解：如图4，设旋转的时间为秒， ①当时， ，解得，； ②当时， ，解得，； ③当时， ，解得，； ④当时， ，解得，；  综上：的值为秒，秒，秒或秒， 故答案为：或或或． 12．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图1，刚刚过去的体育艺术节让我们充分体会到了一种整体的图形之美，小华和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D在同一平面内，O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转 (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则________°； (2)第二节腿部运动中，如图3，小华发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，求这个定值； (3)第三节体侧运动中，如图4，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，、绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系________． 【答案】(1)90 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题考查了角的和差运算，与角平分线有关的计算： （1）由A，O，B三点共线，可得出，再由，即可求出； （2）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （3）算出运动停止时间，点，，A三点共线的时间，需要分类讨论，在点C，O，A三点共线前和点C，O，A三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：90； （2）解：这个定值是，理由： ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴这个定值是； （3）解：∵，平分， ∴，， 设运动时间为， 则， ∴， 当点，，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 13．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线__________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，求的度数． 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．请直接写出当为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含的式子表示出即可） 【答案】（1）是 （2）的度数为或或 （3）当为或或时，射线是的“量尺金线” 【分析】本题主要考查新定义下的角的计算、角平分线的定义、几何图形中的角度计算等知识点，根据 “量尺金线” 的定义分情况分析角之间的倍数关系是解题的关键． （1）角平分线会将角分成两个相等的角，此时一个角（原角）是另一个角（分角）的倍，满足“量尺金线”的定义，故填 “是”； （2）已知，结合“量尺金线”中“一个角是另一个角倍”的条件，分种情况讨论：，，，利用角的倍分关系列式求解即可； （3）先表示出旋转后，，，再根据“量尺金线”的倍数关系分种情况讨论：，， ，列方程求出即可． 【详解】解：（1）角平分线会将角分成两个相等的角，此时一个角（原角）是另一个角（分角）的倍，满足“量尺金线”的定义，故填 “是”； 故答案为：是； （2），若射线是的“量尺金线”，分种情况讨论： ①如图，当时，； ②如图，当时，； ③如图，当时，； 综上所述，，若射线是的“量尺金线”， 的度数为或或； （3）旋转后，，， 射线是的“量尺金线”， 分种情况讨论： ①如图，当时，，解得； ②如图，当时，，解得； ③如图，时，，解得； 综上所述，当为或或时，射线是的“量尺金线”． 14．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）定义；当射线在内部，时，我们称n为射线在内的角值，记作．如图1，若，，则，则．若，，则，则． (1)如图1，射线在内部，若射线平分，则_____． (2)如图2，已知，射线，分别从射线和同时开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点O逆时针旋转，当射线旋转到射线时，射线，停止旋转．设运动时间为t秒． ①若射线，的运动速度均为每秒，______，______． ②若射线，的运动速度分别为每秒和，射线到达射线后立即以原速原路返回，则当为何值时，? (3)如图3，小明晚上6点多离开家，看一下钟，发现时针和分针夹角为，没到晚上7点就回家了，发现时针和分针的夹角还是，回来时时针和分针的位置分别设为，，出发时分针的位置设为，钟面中心为点，，分别从，同时出发，绕点顺时针旋转，绕点逆时针旋转，当到达射线时停止旋转．旋转速度是旋转速度的3倍，设，当射线运动到的内部时，请用含的式子表示（对的范围不做要求）． 【答案】(1) (2)①，；②或时， (3) 【分析】本题以新定义的形式考查运动型问题，涉及到列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题中的新定义，能根据射线运动过程中角度的变化进行适当的分类讨论. （1）根据新定义和角平分线的定义，进行求解即可； （2）①用含有t的代数式表示出，的度数，根据新定义进行求解即可； ②分和两种情况进行讨论求解即可； （3）根据新定义，求出，进而得到，利用角的和差关系求出，再根据新定义，列出代数式即可. 【详解】（1）解：∵射线平分， ∴， ∴. 故答案为：； （2）解：①由题意得：，， ∴ ∴，， 故答案为：，. ②由题意得，射线旋转到射线时，所需时间为秒，射线旋转到射线时所用时间为秒， ∴当时，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， 当时，，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 综上：或. （3）解：∵分针以每分钟在旋转，时针以每分钟在旋转， ∴分针比时针每分钟多旋转， ∴分钟， ∴小明从离开家到回来的时间间隔是40分钟， ∴在这段时间间隔里分针一共旋转了， 即从开始位置到结束位置，顺时针方向的角度为， 又∵回来时时针和分针的位置分别为，，即， ∴， ∵， ∴ ∵旋转速度是旋转速度的3倍， ∴ 当射线运动到的内部时， 即 ∴ 此时， ∴. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题13几何图形中的动态旋转问题的五类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 题型二、几何图形中动角求定值问题 题型三、几何图形中动角探究数量关系问题 题型四、几何图形中动角求运动时间问题 题型五、几何图形中动角之新定义型问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 ·题型特征：图形绕定点旋转一定角度，探究对应边角关系、线段长或位置变化，常与全等、角度计算结 合。 ·解题方*：抓住旋转三要素（中心、方向、角度）；利用旋转前后全等找对应边角相等；旋转角等于对应 点与中心连线夹角；必要时分类讨论旋转过程的不同阶段。 ·易错提醒：混淆旋转角与图形内角：对应点找错；忽略旋转方向导致位置判断错误；多阶段运动未分段 讨论。 ◆ 题型归纳一精讲典型题法，夺实解题根基 题型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 典例1如图O,点O在直线AB上，过0作射线OC,∠BOC=120°，三角板的顶点与点0重合，边OM与 OB重合，边ON在直线AB的下方.若三角板绕点O按1O°S的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过 程中，第s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC(图②). 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A ② 题型模版 1特征：图形旋转方向或角度不确定，导致对应点位置有多种可能，需分类讨论。 2方法：按顺时针逆时针或旋转角范围分类，分别作图，利用旋转前后对应边角相等列方程，逐一求解并 验证。 变式1-1如图，已知∠A0B=90°，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒3°的速度顺时针旋转：同时， 射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度逆时针旋转，并且当OC与OA成180°角时，OC与 OD同时停止旋转，则在旋转的过程中，经过一秒，OC与OD的夹角是30°. 变式1-2如图，分别过直线AB上的点C和点D作射线CF、DE,∠BCF=60°，∠EDB=90°，射线DG 从DE开始绕着点D以6度/秒的速度顺时针旋转，射线CH从CF开始绕着点C以1度/秒的速度顺时针旋转， 在射线DG旋转一周的过程中，经过 秒，射线DG、射线CH所在的直线互相垂直. D B 变式1-3如图1，直线ED上有一点O,过点O在直线ED上方作射线OC,将一直角三角板 AOB(∠OAB=30) 的直角顶点放在点0处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线ED上方，将 直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t秒.若射线OC的位置保持不变，且 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠C0E=140°.则在旋转过程中，如图2，当t= 秒时，射线OA,OC与OD中的某一条射线 恰好是另两条射线所夹角的平分线. 小 B E AD E 0 图1 图2 题型二、几何图形中动角求定值问题 典例2如图，将两块直角三角板的45°角和一个90°角的顶点B叠放在一起，将三角板BDE绕点B旋转， 旋转过程中，三角板BDE的直角边BE始终在∠ABC的内部，在旋转过程中 B (1)若∠ABD=126°时，∠CBE=°： (②)善于思考的小明发现，在旋转过程中， ①∠CBD-∠ABE和②∠ABD+∠CBE的度数均各为一个定值，请你写出这两个定值， 定值：①一；②— (3)作∠ABE和∠CBD的平分线BM,BN,在旋转过程中∠MBN的值是否发生变化？若不变，请求出这个 定值：若变化，请求出变化的范围. 题型模版 1.特征：角度随动点或动线变化，但某些角的和、差或比值始终保持不变，求该定值。 2方法：设动角为参数，用其表示相关角，代入所求式子化简消去参数，得常数即定值。 变式2-1问题情境：如图，直线AB,CD相交于点O.ON把∠AOD分成两个角，且∠AON:∠NOD=2:3 3/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 问题提出： (1)若∠BOC=75°，求∠AON的度数. (2)如果∠BOC=75°，OM平分∠BON,那么OB是∠COM的平分线吗？试说明理由. 问题解决： 40C-∠D0M是否为定值？若是，请求出定值：若不是，求说明理由. 3 (3)若OM⊥ON, 变式2-2活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线EF上，45°角的顶点与60°的顶点重合于 点O,斜边OB与直角边OD在直线EF上，然后将直角三角尺OAB绕点O按15/秒的速度顺时针方向旋转 一周，设旋转时间为秒 E B D E E B D E B D 图① 图② 图③ (1)旋转前，∠AOC= ,∠BOC= (2)“希望”小组同学发现：当t=2时，OA是∠BOC的角平分线，请利用图②说明理由： (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板OAB旋转至如图③的位置时，∠AOC+∠BOD为定值.请你判断 是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由， 变式2-3如图(1)，点O为直线AB上一点，过点0作射线OC,使∠B0C=100°.将一直角三角板的直 角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方. OB A O (1) (3) 4/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)将图(1)中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转1秒，此时OM恰好第一次平分钝角 ∠BOC,则t的值为多少？ (2)将图(1)中的三角板绕点O逆时针旋转至图(2)，使一边OM在∠BOC的内部，直线OM恰好平分 ∠BOC,问：直线ON是否平分∠AOC?请说明理由. (3)将图(1)中的三角板绕点O顺时针旋转至图(3)，使ON在∠AOC的内部，请探究： ①∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由. ②∠BOM+∠NOC的值是否为定值，如果是，请求出这个定值是多少？如果不是，请说明理由. 题型三、几何图形中动角探究数量关系问题 典例3如图，∠AOB直角，∠BOC锐角，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线. ()当LB0C=50°时，∠AOD=°，∠DOE=°： (2)当∠BOC的大小发生改变时，∠DOE的大小是否为定值？若是，请求出这个定值：若不是，请说明理 由. 题型模版 1.特征：动角变化时，多个角之间保持某种数量关系（和差倍分），需探究并证明。 2方法：设动角为参数，用其表示各相关角，通过代数运算消参，归纳出角之间的等量关系。 变式31【问题发现】 图① 图② 如图①，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处： (1)①∠AOD与∠BOC的数量关系是 5/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②∠AOC与∠BOD的数量关系是 【问题探究】 (2)若将这副三角尺按图②摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处： ①∠AOD和∠BOC有怎样的数量关系？说明理由. ②∠AOC和∠BOD有怎样的数量关系？说明理由. 变式3-2如图所示，以直线AB上的一点O为端点，在直线AB的上方作射线OP,使∠BOP=68°，将一块 直角三角板（∠MON=90°）的直角顶点放在点O处，且直角三角板在直线AB的上方.设∠BOM=n° (0<n<90) B B 备用图 (1)当n=30时，求∠PON的大小： (2)当OP恰好平分∠MON时，求n的值： (3)当n≠68时，嘉嘉认为∠AON与∠POM的差为定值，淇淇认为∠AON与∠POM的和为定值，老师说， 两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件.请你补充完整下面的信息： 当0<n<68时，∠AON-∠POM=] 当68<n<90时，∠AON+∠POM= 变式3-3如图，∠A0B=90°，∠D0E=40°角的顶点0互相重合，将∠A0B绕点0旋转. D ()当射线OB,OD重合时，∠AOE=°， (2)在∠AOB绕点O旋转的过程中，若射线OB,OD与OE中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分 线，则∠BOD的度数为： 6/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)在∠AOB绕点O旋转的过程中，若射线OB始终在∠DOE的内部. ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，∠AOE-∠BOD的值为定值，请你求出这个定值： ②作∠BOD和∠AOE的平分线OM,ON,在旋转过程中∠MON的值是否发生变化？若不变，请求出这个 定值，若变化，请求出变化的范围. 题型四、几何图形中动角求运动时间问题 典例4在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中∠ABC=∠ACB=45°， ∠BAC=∠EDF=90°，∠DFE=30°，∠DEF=60°)按如图1所示摆放，边BC与EF在同一条直线MN上 (点C与点E重合)·如图2，将三角板ABC从图1的位置开始绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，当边 BC与边EF重合时停止运动，设三角板ABC的运动时间为t秒. D P B areu M B C(E) M C(E) 图1 图2 (I)当t为何值时，CA平分∠DCF? (2)当t为何值时，∠ACF=3∠BCD? 题型模版 1特征：角以一定速度旋转，求达到某角度关系或位置所需时间，常涉及追及。 2方法：设运动时间为t,用角速度乘时间表示旋转角，根据角度等量关系列方程求解并检验范围。 变式41如图，∠A0B=120°，射线OP绕点0从边OA位置开始按逆时针方向以每秒2°的速度旋转，同时 射线O绕点0从边08位置开始按顺时针方向以每秒3”的速度旋转，设旋转时间为'秒0≤1≤30) (1)当t=1时，求∠PO0的度数. 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当OP与O0重合时，求∠BO0的度数. (3)当∠P00=25时，求t的值. (4)当射线O0是由射线OA、OB、OP中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出t的值. 变式42如图，O为线段AB上一点，∠COD=90°，OE为∠COD的角平分线，定义OC与OA重合时为初 始位置，将∠COD绕着点O从初始位置开始，以10°/秒的速度顺时针旋转，至OD与OA重合时终止. D B O B (备用图) O B (备用图2) O B (备用图3) (1)当∠COD从初始位置旋转6秒，求此时∠EOB的度数： (2)当∠COD从初始位置旋转至∠EOB=120°时，求此时t的值； (3)当∠COD从初始位置旋转至∠EOB=m°时，t= 秒（用含有的代数式直接表示）· 变式43将一副直角三角板按图1所示摆放在直线AD上（直角三角板OBC直角三角板MON, ∠OBC=90°，∠B0C=45°，∠MON=90°，∠MN0=30° OBC MON ,保持板不动，将三角板 绕点O以每 秒：8°的速度顺时针方向旋转t秒 M ABM O DAB D A 图1 图2 图3 备用图 (1)如图2，当1=秒时，OM平分∠AOC: (2)继续旋转三角板MON,如图3，使得OM、ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC与∠AOM有怎 样的数量关系，并说明理由；（数量关系中不能含t) 8/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)直线AD的位置不变，在三角板MON开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒2°的速度 顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时，两个三角板停止运动.当t为多少时，∠MOC=10°？ 题型五、几何图形中动角之新定义型问题 典例5定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们 将这条射线称为这个角的n+1分位线.例如：如图1，∠MOP=4∠NOP,则OP为∠MON的5分位线： ∠NOg=4∠MO000,∠MON ,则也是 的5分位线 图1 图2 (1)如图2，点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，OP,O分别为∠A0C与∠BOC的3分 位线，（∠C0P>∠POA,∠CO0>∠Q0B),∠A0C=150°，则∠PO0=一： (2)如果点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，已知射线OM、ON分别为∠AOC与∠BOC的 5分位线，且∠MON=96°，则∠AOC= 题型模版 1特征：定义与动角相关的新概念（如“友好角”），按规则求角度或时间，重理解迁移。 2方法：读懂新定义，转化为角度等量关系，设动角或时间为参数列方程，解出后检验是否符合范围。 变式5-1定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有 一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”，如图，点O在直线AB上，OCOD在直线 AB的上方，且OC⊥OD,钝角∠AOD的“割补线”记为OE. C D B (1)若∠B0D=40°，求∠C0E的度数： 9/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)若OE恰好平分∠AOC,求∠BOD的度数； (3)若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，求出∠EOF与∠DOG的数量关系. 变式5-2如图1，已知射线OA,OB,OC,OD, D 图1 图2 0E∠A0B=2co0,∠B0C-号40c,且∠A0C-0,求∠40D的度数 (2)若∠AOB:∠BOC:∠COD=4:5:6,OM,ON分别是∠AOB和∠C0D的平分线，∠MON=90°，求 ∠AOD的度数： (3)定义：从 a(45°<a<90） 的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠分得的两个角中有一 个角与∠0之和为90°，则称该射线为∠a的“分余线”. 如图2，∠AOD=160°，OB为∠AOC的平分线，在∠COD的内部作射线OP,使∠POD=2∠COP,当 OC为∠BOP的“分余线”时，求∠COD的度数 变式5-3新定义：若两个角的和为100°，我们则称这两个角互为“百度角”；例如∠40B=45° ∠COD=55°，则∠A0B与∠C0D互为“百度角”.（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角.） B C B 图1 图2 备用图 【阅读理解】 (1)如图1，如果∠A0B=70,∠AOD与∠COB互为“百度角”，则∠COD=一· 【初步应用】 (2)射线OM平分角∠AOB,OC为∠AOB内部的一条射线，且满足∠COM=10°，若∠BOC与∠AOB 互为“百度角”，求∠AOB的值； 【解决问题】 10/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图2，己知∠AOB=90°，射线OM从OA出发，以每秒10°的速度绕0点顺时针旋转，同时，射线 ON从OB出发，以每秒5”的速度绕0点逆时针篪转，设运动的时间为1秒0<1<18) 当【为何值时由 OM、ON、OA三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”？ ◆◆ 同压轴挑战一或克高难压轴，变威思维上限 一、单选题 1.(2026广西南宁一模)将一副三角尺的直角顶点重合，按图中位置摆放，己知∠40D=125°，则 ∠BOC的度数为() D A.50° B.55 C.60 D.65° 2.(25-26七年级上广西河池·期末)数学课上，某学习小组在探究“用一副三角尺的角，结合角的和、 差运算可以直接画出哪些度数的角？”时发现，如图，将两个直角顶点重合在一起，那么∠AOB与∠COD 总是相等的，如果∠AOD=132°，那么∠BOC度数为() A.22° B.42° C.48 D.62° 3.(2026七年级上·全国专题练习)如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，∠A=30°，∠C=45° △COD固定不动，△AOB绕着O点顺时针旋转 (0°<a<180),若△40B绕若0点旋转到图2的位置， 若∠BOD=60°，则∠AOC的度数为() 11/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 A.150° B.120° C.60° D.30° 4.(25-26七年级上河南驻马店期末)定义：若两个角的度数差的绝对值等于60°，则称这两个角互为 “优角”，其中一个角是另一个角的“优角”.如<a=10°，∠B=40,∠a-∠60°，则∠0和B 互为“优角”.如图，∠AOB=120°，射线OC平分∠AOB,∠EOF在∠AOB的内部.若∠EOF=60°，则 图中互为“优角”的共有() A.3对 B.7对 C.5对 D.9对 二、填空题 5.(25-26六年级下·山东淄博期中)定义：如果从一个顶点出发的两个角的和等于60°，那么就说这两个 角为“睦邻友好角”.若∠AOB与∠BOC是“睦邻友好角”，且∠AOB:∠BOC=1:2,则∠AOC的度数 为 6.(25-26七年级上福建厦门期末)数学活动课上，小明用一副三角板进行如下操作：第一步：将一副 直角三角板的两个顶点放在同一个点O处，且AO边与DO边在同一直线上，如图所示：第二步：保持三 角板AOB不动，将三角板COD绕点O逆时针转动，当OD与OB重合时停止转动.若在转动过程中，射线 OM.ON ∠AOC∠BOD 始终分别平分 和 ,则除平角和三角板本身的角外，大小不会发生改变的角是 其度数为 12/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26七年级上四川成都期末)由一副三角尺可以拼出很多角的图案，如图∠AOB,∠DC0都是直 角，且∠B=30°，∠D=45°.在平面内，当∠AOB,∠DC0部分重叠得到∠D0B,叫它们的重叠角，如 图∠DOB+∠A0C=°；类似的，若∠AOB和∠DOC分别是两个钝角，∠AOB记为a,∠D0C记 为B,在平面内叠放得到重叠角∠DOB,则∠DOB,∠AOC与C,B有什么数量关系： 8.(25-26七年级上·安徽合肥期末)将直角三角板的直角顶点O落在直线AB上，射线OE平分∠BOC, B (1)如图，如果∠A0C=60°，∠E0D= (2)如果∠AOC=α°，将三角板绕点O旋转一周（旋转过程中∠AOC与∠BOC度数都是大于0°且小于 180°的角)，∠E0D的度数为 (用含的代数式表示). 三、解答题 9.(25-26七年级上广东广州期末)如图①，点O是直线AB上的一点，∠C0D=90°，OE平分∠B0C」 B B D 图① 图② (1)若∠B0D=50°，则∠A0C=°，∠D0E=°： 13/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)将图①中的∠COD绕点O旋转至图②的位置，求出∠AOC和∠DOE之间的数量关系： (3)将图①中的∠COD绕点O旋转一周，在旋转的过程中，当射线OD或其反向延长线平分∠BOE时，求 ∠BOD的度数. 10.(25-26七年级上：浙江嘉兴·期末)如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DBE叠合在一起，边 AB与DB重合，BM,BN分别是∠ABE,∠EBC的平分线，现将三角板DBE绕点B按逆时针方向旋转 (如图2)，且0°≤∠ABD<180° (D)A A M E N P 图1 图2 图3 (1)当0°≤∠ABD≤45°时， ①若∠NBC=15°，求∠DBM的度数， ②在运动过程中，试猜想∠DBM与∠NBC的数量关系，并说明理由 (2)如图3，BP平分∠MBN,若∠DBC=4∠NBC,求∠PBC的度数， 11.(25-26七年级上山东聊城期末)如图1，点O为直线AB上一点，过0点作射线OC,使 ∠AOC=50°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的 下方. M B 图1 图2 图2 (I)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC,此 时∠BON=度： (②)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部.试探究∠AOM 与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由： (3)将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第t秒时，OA, OC,ON三条射线恰好构成相等的角，则的值为 一（直接写出结果）. 14/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26七年级上河南郑州期末)如图1，刚刚过去的体育艺术节让我们充分体会到了一种整体的图 形之美，小华和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操 图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两 点，定义A、B、C、D在同一平面内，O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转 -R C(D) 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，∠AOC=∠BOC,则∠AOC= (2)第二节腿部运动中，如图3，小华发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且 A0D:∠BOC=3:2,他经过计算发现，Z40C-∠B0D的值为定值，求这个定值 3 (3)第三节体侧运动中，如图4，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线OE平分∠C0D,且 ∠COD=30°，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，OA、OB绕点O顺时针旋转，OA旋转速度为 每秒50°，OB旋转速度为每秒25°，当OB旋转到与OD重合时运动停止(OE是竖直方向的一条射线)请 帮助乐乐写出运动过程中∠AOC与∠BOE的数量关系 13.(25-26七年级上甘肃兰州：期末)【问题背景】如图1，已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB, ∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“量尺金线”. M B 图1 图2 【问题感知】 (1)一个角的平分线 这个角的“量尺金线”：（填“是”或“不是”） 【问题初探】 (2)如图2，∠MPN=60°.若射线P9是∠MPN的“量尺金线”，求∠QPWN的度数. 15/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【问题推广】 (3)在(2)中，若∠MPN=x,0°<x≤60，射线PF从PW位置开始，以每秒旋转3°的速度绕点P按 送时针方向转，当V首次等于80时停止旋转，设旋转的时同为.访直接写出当'为何值时，射 t(s) 线PM是∠FPN的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 14.(25-26七年级上江苏扬州阶段检测)定义；当射线OC在∠A0B内部，∠A0C=n∠A0B时，我们 OC 称n为射线OC在∠AOB内的角值，记作 AOB) 如图1，若∠AOB=40°，∠AOC=30°，则 ∠A0C=3∠A0B,则d a0a4,若∠40B=40·∠BoC=g:则∠40C-0940B,则 OC 4 40 OC 40-0 AOB 40. A 12 B B 0 6 图1 图2 图3 (1)如图1，射线OC在∠AOB内部，若射线OC平分∠AOB,则 AOB (2)如图2，已知∠AOB=150°，射线OP,OQ分别从射线OA和OB同时开始旋转，其中射线OP绕点O顺 时针旋转，射线OO绕点O逆时针旋转，当射线OP旋转到射线OB时，射线OP,O0停止旋转.设运动 时间为t秒， OP ①若射线OP,OQ的运动速度均为每秒15° AOB AOB ②若射线OP，O0的运动速度分别为每秒15°和30°，射线O0到达射线OA后立即以原速原路返回，则当 16/17 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 d op +d 0№)-3 t为何值时， AOB AOB)5? (3)如图3，小明晚上6点多离开家，看一下钟，发现时针和分针夹角为10°，没到晚上7点就回家了，发 现时针和分针的夹角还是110°，回来时时针和分针的位置分别设为OC，OB,出发时分针的位置设为OA, 钟面中心为点O,OP,O0分别从OA,OB同时出发，OP绕O点顺时针旋转，O0绕O点逆时针旋转， OP =a 当OP到达射线OC时停止旋转.OQ旋转速度是OP旋转速度的3倍，设 AOC ,当射线O2运动 09 d 到∠AOC的内部时，请用含a的式子表示(A0C (对a的范围不做要求)， 17/17