学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷·拔高卷（沪教版必修三第10章～第11章+选修一第3章：空间直线与平面+简单几何体+空间向量及其应用）

2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册（空间直线与平面、简单几何体、空间向量及其应用）。 一、填空题（本大题共12小题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，共54分） 1．已知，若，则m的值为______． 2．三个互相平行的平面把空间分成部分，其中，则的最大值为___________． 3．如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为__________. 4．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 5．以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的内切圆柱. 若正三棱柱的高为 6 ，其内切圆柱的体积为 ，则该正三棱柱的底面边长为_____ 6．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 7．如图，平面的一条斜线与交于点，是在上的投影，是上过点的另一条直线．与所成的角的大小为，与所成的角的大小为，则点到直线的距离与点到直线的距离的比值为________． 8．如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上），若正方体的棱长为2，则半球的体积为____________. 9．如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则_____．（用，，表示）    10．如图，在长方体中，，．则直线到平面的距离为________． 11．已知直角三角形中，，，若平面，，则E到斜边的距离为_____________. 12．如图，已知正方体，下列命题中，真命题的序号是______ ①平面 ②平面 ③异面直线与所成角的大小为 ④直线与平面所成角的大小为 二、选择题（本大题共4小题，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，共18分。每题有且只有一个正确答案） 13．设，是两个平面，，是两条直线，且，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．下列推断中，错误的是（   ） A．，，， B．不同的平面，，，，， C．直线l不在平面上， D．、、，、、且A、B、C不共线与重合 15．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，平面，则（     ） A． B． C． D． 16．下列关于棱柱的说法中正确的是（     ）． A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形是棱柱 C．有一个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱 D．在斜棱柱的侧面中，可有超过个矩形 三、解答题（本大题共5小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 如图，已知空间四边形，点、分别是线段、的中点，点、分别在线段和线段上，且满足． (1)证明：、、、四点共面； (2)证明：、、三线共点． 18．（14分） 如图1所示，已知与满足：，，二面角的大小为为线段的中点.    (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)如图2所示，若点满足平面且平面，求六面体的体积. 19．（14分） 如图，，且，，，且，且，平面，．点、分别为、的中点． (1)设为上一点，确定点的位置，使平面平面，并证明； (2)求点到平面的距离． 20．（18分） 如图，以的边为直径在三角形外作半圆，半圆恰好位于平面内，，半圆的面积为，是边长为2的等边三角形，平面平面，为半圆弧上一点（不含端点）． (1)判断的形状； (2)若点为线段上一点．求证：平面平面； (3)求二面角的大小． 21．（18分） 在棱长均为2的正三棱柱中，为的中点，过的平面与棱、分别交于点、． (1)证明：； (2)若为的中点，试确定点的位置，说明理由，并画出此时平面与正三棱柱的截面（保留作图痕迹）； (3)设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围． 试卷第 1 页（共 1 页） 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■■ ■■■■ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 填空题（第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分） 2. 說 短 3 4. 5 6 7. 8 9. 警 10 妇 12. 二、选择题（第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，共18分） 13[A [B][C][D] 14[A] [B] [c] [D] 15[A] [B][C][D] 16[A][B][CID] 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) D O B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) G M D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) : M C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) C B B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册（空间直线与平面、简单几何体、空间向量及其应用）。 一、填空题（本大题共12小题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，共54分） 1．已知，若，则m的值为______． 2．三个互相平行的平面把空间分成部分，其中，则的最大值为___________． 3．如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为__________. 4．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 5．以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的内切圆柱. 若正三棱柱的高为 6 ，其内切圆柱的体积为 ，则该正三棱柱的底面边长为_____ 6．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 7．如图，平面的一条斜线与交于点，是在上的投影，是上过点的另一条直线．与所成的角的大小为，与所成的角的大小为，则点到直线的距离与点到直线的距离的比值为________． 8．如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上），若正方体的棱长为2，则半球的体积为____________. 9．如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则_____．（用，，表示）    10．如图，在长方体中，，．则直线到平面的距离为________． 11．已知直角三角形中，，，若平面，，则E到斜边的距离为_____________. 12．如图，已知正方体，下列命题中，真命题的序号是______ ①平面 ②平面 ③异面直线与所成角的大小为 ④直线与平面所成角的大小为 二、选择题（本大题共4小题，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，共18分。每题有且只有一个正确答案） 13．设，是两个平面，，是两条直线，且，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．下列推断中，错误的是（   ） A．，，， B．不同的平面，，，，， C．直线l不在平面上， D．、、，、、且A、B、C不共线与重合 15．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，平面，则（     ） A． B． C． D． 16．下列关于棱柱的说法中正确的是（     ）． A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形是棱柱 C．有一个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱 D．在斜棱柱的侧面中，可有超过个矩形 三、解答题（本大题共5小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分）如图，已知空间四边形，点、分别是线段、的中点，点、分别在线段和线段上，且满足． (1)证明：、、、四点共面； (2)证明：、、三线共点． 18．（14分）如图1所示，已知与满足：，，二面角的大小为为线段的中点.    (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)如图2所示，若点满足平面且平面，求六面体的体积. 19．（14分）如图，，且，，，且，且，平面，．点、分别为、的中点． (1)设为上一点，确定点的位置，使平面平面，并证明； (2)求点到平面的距离． 20．（18分）如图，以的边为直径在三角形外作半圆，半圆恰好位于平面内，，半圆的面积为，是边长为2的等边三角形，平面平面，为半圆弧上一点（不含端点）． (1)判断的形状； (2)若点为线段上一点．求证：平面平面； (3)求二面角的大小． 21．（18分）在棱长均为2的正三棱柱中，为的中点，过的平面与棱、分别交于点、． (1)证明：； (2)若为的中点，试确定点的位置，说明理由，并画出此时平面与正三棱柱的截面（保留作图痕迹）； (3)设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册（空间直线与平面、简单几何体、空间向量及其应用）。 一、填空题（本大题共12小题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，共54分） 1．已知，若，则m的值为______． 【答案】 【解析】已知， 因为，则， 可得，解得． 2．三个互相平行的平面把空间分成部分，其中，则的最大值为___________． 【答案】4 【分析】先根据立体几何结论确定，再利用基本不等式求最值. 【解析】根据题意，三个互相平行的平面把空间分成部分，所以， 又，所以，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为4. 故答案为：4 3．如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为__________. 【答案】 【分析】过点作，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，再根据斜二测画法的规则还原原长即可. 【解析】 过点作，垂足为， 因为，，四边形为等腰梯形， 所以，所以， 所以原梯形中的长度为. 4．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】根据向量坐标的计算公式，， 根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为， 即. 5．以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的内切圆柱. 若正三棱柱的高为 6 ，其内切圆柱的体积为 ，则该正三棱柱的底面边长为_____ 【答案】 【分析】先求得底面正三角形的内切圆的半径，结合圆柱的体积公式，列出方程，即可求解. 【解析】由正三棱柱的底面为边长为的等边三角形，可得底面三角形内切圆的半径， 所以内切圆柱的体积为 因为内切圆柱的体积为，可得，解得，所以， 所以该正三棱柱的底面边长为. 6．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【答案】或 【分析】连接，由中位线定理可得为异面直线所成角或所成角补角，据此可得答案. 【解析】如图，连接，由题设及中位线定理可得， 则为异面直线所成角或所成角补角，则或. 故答案为：或. 7．如图，平面的一条斜线与交于点，是在上的投影，是上过点的另一条直线．与所成的角的大小为，与所成的角的大小为，则点到直线的距离与点到直线的距离的比值为________． 【答案】/ 【解析】设， 因为是在上的投影，所以， 因为，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为， 所以点到直线的距离与点到直线的距离的比值为 8．如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上），若正方体的棱长为2，则半球的体积为____________. 【答案】 【分析】根据正方体与半球的几何性质，作出对应截面，将空间几何体问题转换为截面问题，进而求解半球半径即可. 【解析】设半球底面圆圆心为，过正方体底面对角线且垂直于底面作该组合体的截面，得到图形如图所示， 则为半球的半径， 而正方体内接于半球、且正方体的棱长为２、为正方体底面对角线， 故，， 故， 因此半球的体积. 9．如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则_____．（用，，表示）    【答案】 【分析】根据G是的重心，可知，再根据空间向量的线性运算即可求解. 【解析】是的重心， ， . 故答案为：. 10．如图，在长方体中，，．则直线到平面的距离为________． 【答案】/ 【解析】在长方体中，， 因为平面，平面， 所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离， 过点在平面内作于点， 因为平面，平面，所以， 又，平面，平面， 所以平面，即线段的长度为所求距离， 在矩形中，，， 在中，， 由等面积法可知， 即，解得， 故直线到平面的距离为． 11．已知直角三角形中，，，若平面，，则E到斜边的距离为_____________. 【答案】/ 【分析】过点作，交于点，连接，由三垂线定理证明，即可得到E到斜边的距离为，进而求出即可得解. 【解析】如图，过点作，交于点，连接，    则，所以， 因为平面，平面， 平面，平面， 所以是在平面上的射影， 由及三垂线定理得，又， 所以E到斜边的距离为. 故答案为：. 12．如图，已知正方体，下列命题中，真命题的序号是______ ①平面 ②平面 ③异面直线与所成角的大小为 ④直线与平面所成角的大小为 【答案】①②③ 【分析】利用线面平行的判定定理判断①；利用线面垂直的判定定理判断②；根据异面直线所成角的定义，通过平移直线构造等边三角形判断③；根据线面角的定义，结合等体积法求解判断④. 【解析】对于①，在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，则. 因为平面，平面，所以平面，故①正确； 对于②，连接.因为底面为正方形，所以. 因为平面，平面，所以. 又，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又，所以.同理可证. 因为，平面， 所以平面，故②正确； 对于③，因为，所以或其补角即为异面直线与所成的角. 连接，在中，均为正方体面的对角线，长度相等. 所以为等边三角形，故， 即异面直线与所成角的大小为，故③正确； 对于④，因为， 所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，设为. 设正方体棱长为1，点到平面的距离为. ，，. 由等体积法可知，即. 所以，解得，所以. 因为，所以，故④错误. 二、选择题（本大题共4小题，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，共18分。每题有且只有一个正确答案） 13．设，是两个平面，，是两条直线，且，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合线面平行的判定与性质，根据充分、必要条件的定义判断两个命题的推出关系即可. 【解析】由且，又，所以， 由，，所以或，或， 所以且， 所以是且的必要不充分条件. 14．下列推断中，错误的是（   ） A．，，， B．不同的平面，，，，， C．直线l不在平面上， D．、、，、、且A、B、C不共线与重合 【答案】C 【分析】对四个推断逐一用平面的基本性质（公理）验证，找出推理不成立的选项. 【解析】对于，直线 上两点 、 均属于平面 ，由公理若直线上有两点在平面内，则该直线在该平面内，得 ，推断成立. 对于，、 两点同时属于平面 和平面 ，由公理直线上两点在平面内则直线在平面内，得 且 ，故 ． 又两不重合平面若有公共点则交于唯一一条直线，该直线通过 、 两点，由两点确定唯一直线，得 ，推断成立. 对于，直线 不在平面 内，包含两种情形：（ 与 无公共点）和 与 相交（ 与 有且仅有一个公共点）． 当 与 相交于点 时，取 ，则 且 ，与结论 矛盾，故推断不成立. 对于，、、 三点不共线且同时属于 和 ，由公理不共线三点确定唯一平面， 与 必为同一平面，即两者重合，推断成立. 15．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，平面，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点在上的位置参数化，利用平行于平面，把表示为平面内两个不共线向量的线性组合，再比较、、的系数． 【解析】设，其中． 取，，，则，，． 由直线平面，且平面存在，向量、不共线，故存在实数、，使． 由于为平行四边形，与不共线； 又不在底面所在平面内，所以、、线性无关． 比较三者的系数，得，，． 由得，再由得，代入得，所以． 因此． 16．下列关于棱柱的说法中正确的是（     ）． A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形是棱柱 C．有一个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱 D．在斜棱柱的侧面中，可有超过个矩形 【答案】B 【分析】根据棱柱的定义、直棱柱和斜棱柱的性质，逐一分析各选项的正误，最终确定正确答案. 【解析】选项A：反例：将两个全等的斜棱柱沿底面拼接得到的几何体， 满足“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形”， 但不满足“所有相邻四边形的公共边互相平行”，不属于棱柱，故A错误， 选项B：平面多边形（含内部）沿某一方向平移时，初始和终止位置的两个多边形平行且全等， 多边形各边平移形成的面均为平行四边形，且所有侧棱互相平行，完全符合棱柱的定义，故B正确， 选项C：直棱柱的定义为侧棱与底面垂直的棱柱，若仅存在一个侧面与底面垂直，仅能推出侧棱垂直于底面的一组平行边， 无法推出侧棱与底面整体垂直，因此不是直棱柱，故C错误， 选项D：斜棱柱的侧棱与底面不垂直，侧面为矩形的充要条件是底面对应边与侧棱垂直， 在斜棱柱的侧面中，可有超过个矩形，则存在一条侧棱与底面多边形至少三条边所在直线平行， 但是底面最多有两条平行边与侧棱垂直，所在这些边所在直线必存在两条相交直线， 从而可知该侧棱与底面垂直，即棱柱为直棱柱，矛盾， 故斜棱柱侧面最多有个矩形，不可能超过个，故D错误. 三、解答题（本大题共5小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 如图，已知空间四边形，点、分别是线段、的中点，点、分别在线段和线段上，且满足． (1)证明：、、、四点共面； (2)证明：、、三线共点． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【分析】（1）根据中位线定理、平行线分线段成比例及两条平行线确定一个平面定理证明即可. （2）根据平面的基本性质：两平面相交，公共点都在交线上证明即可. 【解析】（1）如图，连接，. 因为点、分别是线段、的中点，所以，. 因为，所以，，所以. 因为两条平行线可以确定一个平面，所以、、、在同一个平面上，即、、、四点共面. （2）由（1）知，，，， 所以四边形为梯形，梯形两腰必相交. 设直线与直线交于点. 因为，平面，所以平面. 因为，平面，所以平面. 因为平面平面，所以点一定在交线上，即. 所以、、交于同一点，即、、三线共点. 18．（14分） 如图1所示，已知与满足：，，二面角的大小为为线段的中点.    (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)如图2所示，若点满足平面且平面，求六面体的体积. 【答案】（1）证明见解析 (2)； (3). 【分析】（1）由题设可得，再由线面、面面垂直的判定证明结论； （2）根据面面垂直的性质及二面角的定义，确定点到平面的投影的位置且，再根据已知求点面距离； （3）根据已知求出相关线段的长度，结合求体积. 【解析】（1）由，为线段的中点，则， 由，平面，则平面， 又平面，所以平面平面； （2）由平面平面，平面平面，且，平面，    所以点到平面的投影在直线在平面的投影直线上， 由二面角的定义及知，二面角为， 而，，则是边长为2的等边三角形， 所以，则点到平面的距离； （3）由平面且平面，平面，则， 由，则，故，， 而是边长为2的等边三角形，则， 在中，，故，则， 所以. 19．（14分） 如图，，且，，，且，且，平面，．点、分别为、的中点． (1)设为上一点，确定点的位置，使平面平面，并证明； (2)求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 (2) 【分析】（1）假设上存在点使得平面平面，设出坐标，求得平面的法向量，与平面的法向量应共线，验证是否存在即可. （2）利用空间中点到平面的距离公式求解即可. 【解析】（1）当为的中点时，平面平面，理由如下： 由平面ABCD知，，，又， 则建立以D点为原点的空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，， 则， 设上存在一点，设， 则， 设平面的法向量为 则， 令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则 若平面平面，则， 所以，解得：， 所以当为的中点时，平面平面. （2）因为，平面的法向量， 所以点到平面的距离 20．（18分） 如图，以的边为直径在三角形外作半圆，半圆恰好位于平面内，，半圆的面积为，是边长为2的等边三角形，平面平面，为半圆弧上一点（不含端点）． (1)判断的形状； (2)若点为线段上一点．求证：平面平面； (3)求二面角的大小． 【答案】(1)是直角三角形. （2）证明见解析 (3) 【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可判断； （2）由面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理即可证明； （3）建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）半圆的面积为，则半径，直径， 又是边长为2的等边三角形，则， 且，则， 所以，则是直角三角形. （2）由（1）可知，， 又平面平面，且平面平面， 平面，所以平面, 由平面，可得平面平面. （3） 以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，过作平面的垂线为轴， 建立空间直角坐标系， 则， 等边在平面内，故， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以， ， 设平面的法向量为， 则，取，则，所以， 显然，二面角为锐二面角，设二面角的平面角为， 则， 所以二面角的大小为. 21．（18分） 在棱长均为2的正三棱柱中，为的中点，过的平面与棱、分别交于点、． (1)证明：； (2)若为的中点，试确定点的位置，说明理由，并画出此时平面与正三棱柱的截面（保留作图痕迹）； (3)设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 (3) 【分析】（1）通过证明线面垂直来证得. （2）延长，相交于点P，证明，可确定点G的位置； （3）由，通过构造函数，利用单调性求取值范围． 【解析】（1）设是的中点，连接，则， 由于平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）在平面内延长，相交于点P，则平面，又平面， 则有平面平面，，即A，G，P三点共线． 因为E为的中点，F为的中点，所以，所以， 又因为，所以， 所以，即点G为棱上靠近点的三等分点． （3）设，则，． 设的面积为S，所以， 又因为，所以，且， 故，令，则， 设， 当时，， ，，，则，即， 所以在上单调递减， 所以，，所以， 所以． 试卷第 1 页（共 1 页） 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12小题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，共54分） 1． 2．4 3． 4． 5． 6．或 7．/ 8． 9． 10．/ 11．/ 12．①②③ 二、选择题（本大题共4小题，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，共18分。每题有且只有一个正确答案） 13 14 15 16 B C C B 三、解答题（本大题共5小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 【解析】（1）如图，连接，. 因为点、分别是线段、的中点，所以，. 因为，所以，，所以. 因为两条平行线可以确定一个平面，所以、、、在同一个平面上，即、、、四点共面.（6分） （2）由（1）知，，，， 所以四边形为梯形，梯形两腰必相交. 设直线与直线交于点. 因为，平面，所以平面. 因为，平面，所以平面. 因为平面平面，所以点一定在交线上，即. 所以、、交于同一点，即、、三线共点.（14分） 18．（14分） 【解析】（1）由，为线段的中点，则， 由，平面，则平面， 又平面，所以平面平面；（4分） （2）由平面平面，平面平面，且，平面，    所以点到平面的投影在直线在平面的投影直线上， 由二面角的定义及知，二面角为， 而，，则是边长为2的等边三角形， 所以，则点到平面的距离；（9分） （3）由平面且平面，平面，则， 由，则，故，， 而是边长为2的等边三角形，则， 在中，，故，则， 所以.（14分） 19．（14分） 【解析】（1）当为的中点时，平面平面，理由如下： 由平面ABCD知，，，又， 则建立以D点为原点的空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，， 则， 设上存在一点，设， 则， 设平面的法向量为 则， 令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则 若平面平面，则， 所以，解得：， 所以当为的中点时，平面平面.（8分） （2）因为，平面的法向量， 所以点到平面的距离（14分） 20．（18分） 【解析】（1）半圆的面积为，则半径，直径， 又是边长为2的等边三角形，则， 且，则， 所以，则是直角三角形.（6分） （2）由（1）可知，， 又平面平面，且平面平面， 平面，所以平面, 由平面，可得平面平面.（12分） （3） 以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，过作平面的垂线为轴， 建立空间直角坐标系， 则， 等边在平面内，故， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以， ， 设平面的法向量为， 则，取，则，所以， 显然，二面角为锐二面角，设二面角的平面角为， 则， 所以二面角的大小为.（18分） 21．（18分） 【解析】（1）设是的中点，连接，则， 由于平面，所以平面， 因为平面，所以.（5分） （2）在平面内延长，相交于点P，则平面，又平面， 则有平面平面，，即A，G，P三点共线． 因为E为的中点，F为的中点，所以，所以， 又因为，所以， 所以，即点G为棱上靠近点的三等分点．（10分） （3）设，则，． 设的面积为S，所以， 又因为，所以，且， 故，令，则， 设， 当时，， ，，，则，即， 所以在上单调递减， 所以，，所以， 所以．（18分） 参考答案第 1 页（共 1 页） 参考答案第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，共54分） 1．______________________________ 2．______________________________ 3．______________________________ 4．______________________________ 5．______________________________ 6．______________________________ 7．______________________________ 8．______________________________ 9．______________________________ 10．______________________________ 11．______________________________ 12．______________________________ 二、选择题（第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，共18分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 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