期中模拟卷（2）-2026-2027学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

2026-2027学年高二上学期期中模拟卷（2） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考试范围：湘教版2019选择性必修第一册第1~2章（数列＋平面解析几何初步） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．等差数列{an}中，a1＝1，公差d＝4，则a7＝（　　） A．17 B．21 C．25 D．29 解析：1．C【分析】代入等差数列通项公式求解．【详解】a7＝a1＋6d＝1＋6×4＝25．故选：C． 2．直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为（　　） A． B． C． D．1 解析：2．A【分析】由斜率与倾斜角的关系直接求解．【详解】k＝tan30°＝．故选：A． 3．圆的圆心坐标和半径分别为（　　） A．(2，−1)，4 B．(−2，1)，4 C．(−2，1)，16 D．(2，−1)，16 解析：3．B【分析】由圆的标准方程直接读出圆心与半径．【详解】圆的圆心为(a，b)，半径为r，所以题中圆的圆心为(−2，1)，半径为4．故选：B． 4．等差数列{an}中，a2＋a8＝14，则a5＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．14 解析：4．C【分析】利用等差数列下标和相等的性质求解．【详解】因为2＋8＝2×5，所以a2＋a8＝2a5，即2a5＝14，得a5＝7．故选：C． 5．直线3x−y＋2＝0与直线6x−2y＋5＝0的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合 解析：5．A【分析】比较两条直线的斜率与截距判断位置关系．【详解】两直线可化为y＝3x＋2与y＝3x＋，斜率相等而截距不同，故两直线平行．故选：A． 6．等比数列{an}中，a1＝2，公比q＝3，则前4项和S4＝（　　） A．54 B．72 C．78 D．80 解析：6．D【分析】利用等比数列前n项和公式直接计算．【详解】S4＝＝＝80．故选：D． 7．直线x＝2与圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 解析：7．C【分析】比较圆心到直线的距离与半径的大小关系．【详解】圆心(0，0)到直线x＝2的距离d＝2，等于圆的半径2，所以直线与圆相切．故选：C． 8．数列{an}中，a1＝3，an+1＝3an，则a4＝（　　） A．9 B．27 C．54 D．81 解析：8．D【分析】由递推关系判断数列为等比数列，再求第4项．【详解】由an+1＝3an，可知{an}是以3为首项、3为公比的等比数列，所以a4＝a1q3＝＝81．故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等差数列{an}的公差d＝−1，则下列说法正确的是（　　） A．a3＝a1−2 B．an−an-1＝−1(n≥2) C．数列{an}是递减数列 D．数列{Sn}是递减数列 解析：9．ABC【分析】根据等差数列的定义与性质对四个选项逐一判断．【详解】A：a3＝a1＋2d＝a1−2，正确；B：an−an-1＝d＝−1，正确；C：公差d＜0，数列递减，正确；D：前n项和不一定递减，如a1＝10时S1＝10，S2＝19，递增，错误．故选：ABC． 10．关于直线l：x＋2y−4＝0，下列说法正确的是（　　） A．直线l的斜率为 B．直线l在x轴上的截距为4 C．直线l经过点(2，1) D．直线l与直线y＝−2x＋1垂直 解析：10．ABC【分析】将直线化为斜截式判断斜率，令y＝0求截距，代入点判断点与直线的位置关系．【详解】直线l可化为y＝，斜率为，A正确；令y＝0得x＝4，在x轴上的截距为4，B正确；将(2，1)代入得2＋2−4＝0，点在直线上，C正确；两直线斜率之积为(−)×(−2)＝1≠−1，不垂直，D错误．故选：ABC． 11．已知圆C：，直线l：x＋y−3＝0，则下列说法正确的是（　　） A．圆C的圆心为(1，2) B．圆心在直线l上 C．直线l与圆C相切 D．直线l被圆C截得的弦长为6 解析：11．ABD【分析】由标准方程得圆心与半径，求圆心到直线的距离，判断位置关系并求弦长．【详解】圆C的圆心为(1，2)，半径为3，A正确；将圆心代入直线l，得1＋2−3＝0，圆心在直线上，B正确；圆心在直线上，直线与圆相交而非相切，C错误；直线过圆心，弦长为直径2×3＝6，D正确．故选：ABD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．等差数列{an}中，a1＝5，公差d＝−3，则a5＝________． 解析：12．−7【分析】代入等差数列通项公式求解．【详解】a5＝a1＋4d＝5＋4×(−3)＝−7． 13．过点(2，−1)且斜率为2的直线方程为________． 解析：13．2x−y−5＝0【分析】利用直线的点斜式方程写出并化简．【详解】由点斜式得y＋1＝2(x−2)，即2x−y−5＝0． 14．数列{an}中，a1＝2，an+1＝an＋2n，则a4＝________． 解析：14．14【分析】由递推关系逐项代入求值．【详解】a2＝a1＋2＝4，a3＝a2＋4＝8，a4＝a3＋6＝14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知直线l经过点P(−1，2)，且与直线2x−y＋3＝0垂直． (1) 求直线l的方程； (2) 求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积． 解析：15【分析】由两直线垂直确定斜率，用点斜式写出直线方程，再求出两坐标轴截距计算面积．【详解】(1) 直线2x−y＋3＝0可化为y＝2x＋3，其斜率为2．因为直线l与该直线垂直，所以l的斜率为．由点斜式得y−2＝(x＋1)，即x＋2y−3＝0． (2) 在x＋2y−3＝0中，令y＝0，得x＝3；令x＝0，得y＝，所以三角形面积S＝×3×＝． 16．（15分）等差数列{an}中，a6＝13，S7＝49． (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 求数列{an}的前n项和Sn． 解析：16【分析】利用等差数列求和公式与通项公式建立方程，求出首项与公差，再写出通项与前n项和．【详解】(1) 由S7＝7a4＝49，得a4＝7；由a6＝a4＋2d＝13，得d＝3；于是a1＝a4−3d＝−2，故an＝−2＋3(n−1)＝3n−5． (2) Sn＝＝＝． 17．（15分）已知圆C的圆心为(2，−1)，半径为3． (1) 求圆C的标准方程； (2) 判断点A(5，3)与圆C的位置关系． 解析：17【分析】由圆心与半径直接写出标准方程，再比较点到圆心的距离与半径判断位置关系．【详解】(1) 由圆心(2，−1)和半径3，得圆C的标准方程为． (2) 因为，所以点A在圆C外． 18．（17分）等比数列{an}中，a2＝6，a5＝48． (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 若bn＝2an−1，求数列{bn}的前n项和Tn． 解析：18【分析】由等比数列通项公式求出首项与公比，写出通项；再由bn的表达式分拆为等比数列求和．【详解】(1) 由a5＝a2q3，得6q3＝48，即q3＝8，所以q＝2，a1＝＝3，故an＝． (2) 由bn＝2an−1，得bn＝，所以Tn＝． 19．（17分）数列{an}中，a1＝2，an+1＝2an＋2． (1) 求证：数列{an＋2}是等比数列； (2) 求数列{an}的通项公式． 解析：19【分析】对递推关系两边同时加2构造等比数列，利用等比数列通项公式求an．【详解】(1) 因为an+1＋2＝2an＋4＝2(an＋2)，且a1＋2＝4≠0，所以数列{an＋2}是以4为首项、2为公比的等比数列． (2) 由(1)得an＋2＝，故an＝． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷（2） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考试范围：湘教版2019选择性必修第一册第1~2章（数列＋平面解析几何初步） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．等差数列{an}中，a1＝1，公差d＝4，则a7＝（　　） A．17 B．21 C．25 D．29 2．直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为（　　） A． B． C． D．1 3．圆的圆心坐标和半径分别为（　　） A．(2，−1)，4 B．(−2，1)，4 C．(−2，1)，16 D．(2，−1)，16 4．等差数列{an}中，a2＋a8＝14，则a5＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．14 5．直线3x−y＋2＝0与直线6x−2y＋5＝0的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合 6．等比数列{an}中，a1＝2，公比q＝3，则前4项和S4＝（　　） A．54 B．72 C．78 D．80 7．直线x＝2与圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 8．数列{an}中，a1＝3，an+1＝3an，则a4＝（　　） A．9 B．27 C．54 D．81 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等差数列{an}的公差d＝−1，则下列说法正确的是（　　） A．a3＝a1−2 B．an−an-1＝−1(n≥2) C．数列{an}是递减数列 D．数列{Sn}是递减数列 10．关于直线l：x＋2y−4＝0，下列说法正确的是（　　） A．直线l的斜率为 B．直线l在x轴上的截距为4 C．直线l经过点(2，1) D．直线l与直线y＝−2x＋1垂直 11．已知圆C：，直线l：x＋y−3＝0，则下列说法正确的是（　　） A．圆C的圆心为(1，2) B．圆心在直线l上 C．直线l与圆C相切 D．直线l被圆C截得的弦长为6 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．等差数列{an}中，a1＝5，公差d＝−3，则a5＝________． 13．过点(2，−1)且斜率为2的直线方程为________． 14．数列{an}中，a1＝2，an+1＝an＋2n，则a4＝________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知直线l经过点P(−1，2)，且与直线2x−y＋3＝0垂直． (1) 求直线l的方程； (2) 求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积． 16． （15分）等差数列{an}中，a6＝13，S7＝49． (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 求数列{an}的前n项和Sn． 17． （15分）已知圆C的圆心为(2，−1)，半径为3． (1) 求圆C的标准方程； (2) 判断点A(5，3)与圆C的位置关系． 18． （17分）等比数列{an}中，a2＝6，a5＝48． (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 若bn＝2an−1，求数列{bn}的前n项和Tn． 19．（17分）数列{an}中，a1＝2，an+1＝2an＋2． (1) 求证：数列{an＋2}是等比数列； (2) 求数列{an}的通项公式． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $