4.3 复 数-【十年高考】备战2027年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）
|
2份
|
13页
|
8人阅读
|
2人下载
内容正文：
§4.3 复 数
课时
2017~2021年
2022年
2023年
2024年
2025年
2026年
合计
53.复数的概念
12
3
0
0
0
1
16
54.复数的四则运算
29
5
6
6
4
4
54
55.复数的几何意义
7
0
1
1
1
0
10
命题热度
本专题命题热度非常高()
课程标准
备考策略
复数
①通过方程的解,认识复数
②理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义
③掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义
熟练掌握复数的基本运算法则;准确理解复数的相关概念,避免混淆;解决复数的几何意义时,从形的直观性方面来理解
考点53复数的概念答案P305
1.(2026·上海,15,5分,难度★★)已知w,z为复数,当z-w为实数或z-的共轭复数为实数时,称z和w互相伴随.则当z和w互相伴随时,w-i和z+i互相伴随的充要条件是 ( )
A.Re z+Re w=0 B.Re z-Re w=0
C.Im z+Im w=0 D.Im z-Im w=0
2.(2022·浙江,2,4分,难度★)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则 ( )
A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3
3.(讲解 2022·全国乙,理2,5分,难度★)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则 ( )
A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2
4.(2022·全国乙,文2,5分,难度★)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则 ( )
A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1
C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1
5.(2020·浙江,2,4分,难度★)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a= ( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
6.(2020·全国3,理2,5分,难度★)复数的虚部是 ( )
A.- B.- C. D.
7.(2019·全国2,文2,5分,难度★)设z=i(2+i),则= ( )
A.1+2i B.-1+2i
C.1-2i D.-1-2i
8.(2017·山东,理2,5分,难度★)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+i,z·=4,则a= ( )
A.1或-1 B.或-
C.- D.
9.(2017·全国3,理2,5分,难度★)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|= ( )
A. B. C. D.2
10.(讲解 2017·全国1,理3,5分,难度★)设有下面四个命题
p1:若复数z满足∈R,则z∈R;
p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;
p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;
p4:若复数z∈R,则∈R.
其中的真命题为 ( )
A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4
11.(2017·全国1,文3,5分,难度★)下列各式的运算结果为纯虚数的是 ( )
A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i)
12.(2020·江苏,2,5分,难度★)已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的实部是 .
13.(2019·天津,理9文9,5分,难度★)i是虚数单位,则的值为 .
14.(2019·江苏,2,5分,难度★)已知复数(a+2i)·(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是 .
15.(2017·天津,理9文9,5分,难度★)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为 .
16.(2017·江苏,2,5分,难度★)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是 .
考点54复数的四则运算答案P306
1.(多选题)(2026·全国Ⅰ,9,6分,难度★)设z=3+2i,则 ( )
A.=3-2i B.|z|=5
C.z2=5+12i D.∈R
2.(2026·全国Ⅱ,1,5分,难度★)(1-3i)2= ( )
A.-8+6i B.-8-6i C.8+6i D.8-6i
3.(2026·北京,2,4分,难度★)已知z1=2+i,z2=1-3i,则|z1+z2|= ( )
A.5 B. C. D.13
4.(讲解 2025·全国一,1,5分,难度★)(1+5i)i的虚部为 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.6
5.(讲解 2025·全国二,2,5分,难度★)已知z=1+i,则= ( )
A.-i B.i C.-1 D.1
6.(2025·北京,2,4分,难度★)已知复数z满足i·z+2=2i,则|z|= ( )
A. B.2 C.4 D.8
7.(2024·新课标Ⅰ,2,5分,难度★)若=1+i,则z= ( )
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
8.(2024·北京,2,4分,难度★)已知=i-1,则z= ( )
A.1-i B.-i C.-1-i D.1
9.(2024·全国甲,理1,5分,难度★)若z=5+i,则i(+z)= ( )
A.10i B.2i C.10 D.2
10.(2024·全国甲,文1,5分,难度★)设z=i,则z·= ( )
A.4 B. C.-2 D.2
11.(2023·新课标Ⅰ,2,5分,难度★)已知z=,则z-= ( )
A.-i B.i C.0 D.1
12.(2023·全国甲,理2,5分,难度★)设a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
13.(2023·全国甲,文2,5分,难度★)=( )
A.-1 B.1 C.1-i D.1+i
14.(2023·全国乙,理1,5分,难度★)设z=,则= ( )
A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i
15.(2023·全国乙,文1,5分,难度★)|2+i2+2i3|=( )
A.1 B.2 C. D.5
16.(讲解 2022·全国新高考1,2,5分,难度★)若i(1-z)=1,则z+= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
17.(2022·全国新高考2,2,5分,难度★)(2+2i)·(1-2i)= ( )
A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i
18.(2022·北京,2,4分,难度★)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|= ( )
A.1 B.5 C.7 D.25
19.(2022·全国甲,理1,5分,难度★)若z=-1+i,则= ( )
A.-1+i B.-1-i
C.-+i D.--i
20.(2022·全国甲,文3,5分,难度★)若z=1+i,则|iz+3|=( )
A.4 B.4 C.2 D.2
21.(讲解 2021·全国新高考1,2,5分,难度★)已知z=2-i,则z(+i)= ( )
A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i
22.(2021·北京,2,4分,难度★)若复数z满足(1-i)·z=2,则z= ( )
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
23.(2021·浙江,2,4分,难度★)已知a∈R,(1+ai)i=3+i(i为虚数单位),则a= ( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
24.(讲解 2021·全国甲,理3文3,5分,难度★)已知(1-i)2z=3+2i,则z= ( )
A.-1-i B.-1+i
C.-+i D.--i
25.(讲解 2021·全国乙,理1,5分,难度★)设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z= ( )
A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i
26.(2021·全国乙,文2,5分,难度★)设iz=4+3i,则z= ( )
A.-3-4i B.-3+4i
C.3-4i D.3+4i
27.(2020·山东,2,5分,难度★)= ( )
A.1 B.-1 C.i D.-i
28.(2020·海南,2,5分,难度★)(1+2i)(2+i)= ( )
A.4+5i B.5i C.-5i D.2+3i
29.(讲解 2020·全国1,理1,5分,难度★)若z=1+i,则|z2-2z|=( )
A.0 B.1 C. D.2
30.(2020·全国1,文2,5分,难度★)若z=1+2i+i3,则|z|= ( )
A.0 B.1 C. D.2
31.(2020·全国2,文2,5分,难度★)(1-i)4=( )
A.-4 B.4 C.-4i D.4i
32.(2020·全国3,文2,5分,难度★)若(1+i)=1-i,则z= ( )
A.1-i B.1+i C.-i D.i
33.(2019·北京,理1文2,5分,难度★)已知复数z=2+i,则z·= ( )
A. B. C.3 D.5
34.(2019·全国1,文1,5分,难度★★)设z=,则|z|= ( )
A.2 B. C. D.1
35.(2019·全国3,理2,5分,难度★)若z(1+i)=2i,则z= ( )
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
36.(2018·浙江,4,4分,难度★)复数(i为虚数单位)的共轭复数是 ( )
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
37.(讲解 2018·全国1,理1文2,5分,难度★)设z=+2i,则|z|= ( )
A.0 B. C.1 D.
38.(2018·全国2,理1,5分,难度★)=( )
A.--i B.-+i
C.--i D.-+i
39.(2018·全国2,文1,5分,难度★)i(2+3i)= ( )
A.3-2i B.3+2i
C.-3-2i D.-3+2i
40.(2018·全国3,理2文2,5分,难度★)(1+i)·(2-i)= ( )
A.-3-i B.-3+i
C.3-i D.3+i
41.(2017·山东,文2,5分,难度★)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2= ( )
A.-2i B.2i C.-2 D.2
42.(2017·全国2,理1,5分,难度★)= ( )
A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i
43.(2017·全国2,文2,5分,难度★)(1+i)(2+i)=( )
A.1-i B.1+3i C.3+i D.3+3i
44.(2026·天津,10,5分,难度★)已知i是虚数单位,则(3+i)2= .
45.(2025·天津,10,5分,难度★)i为虚数单位,则= .
46.(2024·上海,9,5分,难度★★)已知虚数z的实部为1,且z+=m(m∈R),则实数m为 .
47.(2024·天津,10,5分,难度★)已知i是虚数单位,复数(+i)(-2i)= .
48.(2023·天津,10,5分,难度★)已知i是虚数单位,化简的结果为 .
49.(2021·天津,10,5分,难度★)i是虚数单位,复数= .
50.(2020·天津,10,5分,难度★)i是虚数单位,复数= .
51.(讲解 2020·全国2,理15,5分,难度★★)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|= .
52.(2018·上海,5,4分,难度★)已知复数z满足(1+i)z=1-7i(i是虚数单位),则|z|= .
53.(2018·天津,理9文9,5分,难度★)i是虚数单位,复数= .
54.(2017·浙江,12,6分,难度★)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= ,ab= .
考点55复数的几何意义答案P307
1.(2024·新课标Ⅱ,1,5分,难度★)已知z=-1-i,则|z|= ( )
A.0 B.1 C. D.2
2.(2023·新课标Ⅱ,1,5分,难度★)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(讲解 2021·全国新高考2,1,5分,难度★)复数在复平面内对应的点所在象限为 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.(2020·北京,2,4分,难度★)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z= ( )
A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2-i
5.(讲解 2019·全国1,理2,5分,难度★)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则( )
A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
6.(2019·全国2,理2,5分,难度★)设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.(讲解 2018·北京,理2文2,5分,难度★)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8.(2017·北京,理2,5分,难度★)若复数(1-i)·(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
9.(2017·全国3,文2,5分,难度★)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.(2025·上海,10,5分,难度★★)若i为虚数单位,复数z满足z2=,|z|≤1,则|z-2-3i|的最小值为 .
学科网（北京）股份有限公司
$
§4.3 复 数
考点53 复数的概念
1.C 设z=a+bi,w=c+di(a,b,c,d∈R),已知z与w互相伴随,即z-w=(a-c)+(b-d)i∈R,或z-=(a-c)+(b+d)i∈R,所以b-d=0或b+d=0.若w-i与z+i互相伴随,则(w-i)-(z+i)=(c+di-i)-(a+bi+i)=(c-a)+(d-b-2)i∈R或(c+di-i)-[a-(b+1)i]=(c-a)+(b+d)i∈R,所以d-b-2=0(不符合题意,舍去)或b+d=0,故选C.
2.B 由题意得a+3i=-1+bi,故a=-1,b=3,故选B.
3.A ∵z=1-2i,∴=1+2i,∴z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i=0,
∴解得故选A.
4.A 由(1+2i)a+b=2i,得a+b+2ai=2i.
∵a,b∈R,∴解得故选A.
5.C 由条件可知a-2=0,即a=2,故选C.
6.D ∵===+i,
∴复数的虚部是.
7.D z=2i+i2=-1+2i,则=-1-2i.故选D.
8.A 由z=a+i,得z·=|z|2=a2+3=4,
所以a2=1,a=±1,选A.
9.C 由题意,得z==1+i,故|z|==.
10.B p1:设z=a+bi(a,b∈R),则==∈R,所以b=0,所以z∈R.故p1是真命题;
p2:i2=-1∈R,而z=i∉R,故p2是假命题;
p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3是假命题;
p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4是真命题.
11.C ∵i(1+i)2=2i2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,∴(1+i)2=2i为纯虚数,故选C.
12.3 z=(1+i)(2-i)=3+i,实部是3.
13. ===2-3i.
==.
14.2 ∵(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i的实部为0,
∴a-2=0,∴a=2.
15.-2 ∵==-i为实数,
∴-=0,即a=-2.
16. 由已知得z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|==,答案为.
考点54 复数的四则运算
1.ACD 对于A,由题意可得=3-2i,故A正确;
对于B,|z|==≠5,故B错误;
对于C,z2=(3+2i)2=9+12i-4=5+12i,故C正确;
对于D,======2∈R,故D正确,故选ACD.
2.B 由题意,(1-3i)2=1-6i+(-3i)2=1-6i+9i2=1-6i+9×(-1)=-8-6i,故选B.
3.C 由题意z1+z2=(2+1)+(1-3)i=3-2i,则|z1+z2|==.
4.C ∵(1+5i)i=-5+i,∴虚部为1.故选C.
5.A 由z=1+i,得===-i.故选A.
复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
6.B 由题意,得z===2+2i,
∴|z|==2.故选B.
7.C ∵=1+i,∴z=(z-1)(1+i)=(1+i)z-(1+i),
∴iz=1+i,∴z==1-i.
8.C z=i(i-1)=-1-i.故选C.
9.A 由已知得i(+z)=i(5-i+5+i)=10i.故选A.
10.D z=i,则z·=-()2·i2=2.故选D.
11.A ∵z=====-i,∴=i.∴z-=-i-i=-i.故选A.
12.C 由(a+i)(1-ai)=2,可得a+i-a2i+a=2,即2a+(1-a2)i=2,所以解得a=1.故选C.
13.C ==1-i,故选C.
14.B 因为z=====1-2i,所以=1+2i.故选B.
15.C |2+i2+2i3|=|2-1-2i|=|1-2i|==.故选C.
16.D ∵i(1-z)=1,∴z==1+i,∴=1-i.
∴z+=2.故选D.
17.D (2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i.故选D.
18.B ∵i·z=3-4i,∴z=,
∴|z|===5,故选B.
19.C =
==-+i,故选C.
20.D iz+3=i(1+i)+3(1-i)=2-2i,
则|iz+3|=|2-2i|=2,故选D.
21.C ∵z=2-i,∴=2+i.∴+i=2+2i.
∴z(+i)=(2-i)(2+2i)=4+2i-2i2=6+2i.故选C.
复数的运算类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
22.D z===1+i.故选D.
23.C 因为(1+ai)i=3+i,所以-a+i=3+i.
由复数相等的充要条件,可得-a=3,即a=-3.故选C.
24.B 由题意得z===-1+i.
25.C 设z=x+yi(x,y∈R),则=x-yi,2(z+)+3(z-)=4x+6yi=4+6i,得x=1,y=1,故z=1+i.
26.C 由已知可得,z===-(4i-3)=3-4i.
27.D ====-i,故选D.
28.B (1+2i)(2+i)=2+i+4i+2i2=5i,故选B.
29.D (方法一)由z=1+i,得z2=2i,2z=2+2i,
故|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.
(方法二)|z2-2z|=|z|·|z-2|=|1+i|·|i-1|=×=2.故选D.
求复数的模的方法
求复数的模的相关问题时,可以直接根据复数的模的公式|a+bi|=(a,b∈R)求解,也可以利用性质||=|z|,|z2|=||2=z·,|z1·z2|=|z1|·|z2|,=进行计算.
30.C 因为z=1+2i+i3=1+2i+i2·i=1+2i-i=1+i,所以|z|==.
31.A (1-i)4=[(1-i)2]2=(-2i)2=-4.故选A.
32.D 由(1+i)=1-i,知====-i,则z=i.故选D.
33.D ∵z=2+i,∴=2-i.
∴z·=(2+i)(2-i)=5.故选D.
34.C ∵z===-i,
∴|z|==.故选C.
35.D z====1+i.故选D.
36.B ∵===1+i,
∴复数的共轭复数为1-i.
37.C 因为z=+2i=+2i=i,所以|z|=1.
38.D ===-+i.
39.D i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.
40.D (1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.
41.A (方法一)∵z==1+=1-i,
∴z2=(1-i)2=1-2i+i2=-2i.
(方法二)由zi=1+i,得(zi)2=(1+i)2,
即-z2=2i.所以z2=-2i.
复数运算的技巧
(1)充分观察题中的数字特征:==i.
(2)充分利用复数模、共轭复数的运算性质:z·=|z|2=||2=|z2|.
(3)利用一些基本结论简化计算:
(1±i)2=±2i,=i,=-i;
i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,
i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).
42.D ===2-i,故选D.
43.B (1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i,故选B.
44.8+6i (3+i)2=32+6i+i2=8+6i.
45. 因为===-3i+1,
所以=|-3i+1|=.
46.2 设z=1+bi(b≠0),则z+=1+bi+=1+bi+=1++i,
因为m∈R,所以b-=0,解得b=±1,
所以m=1+=1+1=2.
47.7-i (+i)(-2i)=5+i-2i+2=7-i.
48.4+i ===4+i.
49.4-i ====4-i.
50.3-2i ====3-2i.
51.2 方法一(代数法)设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.
∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.
又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=+i,
∴a+c=,b+d=1.∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4.
∴2ac+2bd=-4.∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12.
∴|z1-z2|==2.
方法二(复数的几何意义)设z1,z2在复平面内对应的向量分别为,,由题意知||=||=2,
|+|=|+i|=2,
则以,为邻边的平行四边形为菱形,且∠Z2OZ1=120°,如图所示.则|z1-z2|=|-|=2.
方法三(向量法)原题等价于平面向量a,b满足|a|=|b|=2,且a+b=(,1),求|a-b|.因为|a+b|2+|a-b|2=2|a|2+2|b|2,所以4+|a-b|2=16,所以|a-b|=2.
52.5 因为(1+i)z=1-7i,所以|1+i||z|=|1-7i|,
即|z|=5,解得|z|=5.
53.4-i ====4-i.
54.5 2 由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,
则解得则a2+b2=5,ab=2.
考点55 复数的几何意义
1.C |z|==,故选C.
2.A ∵(1+3i)(3-i)=3-i+9i+3=6+8i,∴复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.
3.A ===+i,则复数在复平面内对应的点的坐标为,,故选A.
4.B 由题意得z=1+2i,∴i·z=i-2.故选B.
5.C (方法一)由题意可知z=x+yi(x,y∈R).
因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|==1,则x2+(y-1)2=1.故选C.
(方法二)∵|z-i|=1表示复数z在复平面内对应的点(x,y)到点(0,1)的距离为1,∴x2+(y-1)2=1.故选C.
由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时也可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.
6.C 由z=-3+2i,得=-3-2i,则在复平面内对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C.
7.D ∵===+i,∴+i的共轭复数为-i,而-i在复平面内对应的点的坐标为,点位于第四象限,故选D.
8.B 设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,所以解得a<-1.故选B.
9.C 由题意可得z=-1-2i,在复平面内对应点(-1,-2),则该点位于第三象限.故选C.
10.2 设z=a+bi,a,b∈R,由z2=,得a2-b2+2abi=a2-b2-2abi,化简得ab=0.
由|z|≤1,得a2+b2≤1.
可知复平面内的点Z(a,b)在单位圆内部(含边界)的坐标轴上运动,如图所示.
∵|z-2-3i|表示复平面内点Z(a,b)到点M(2,3)的距离,由图可知,|MZ|min=|MZ1|或|MZ2|.
又|MZ1|==2,
|MZ2|==,
∵2<,∴|z-2-3i|的最小值为2.
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
