3.3 三角函数的综合应用-【十年高考】备战2027年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

§3.3　三角函数的综合应用 课时 2017~2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 2026年 合计 38.三角函数的最值 7 0 0 3 2 0 12 39.三角函数图象和性质 的综合应用 8 2 2 2 3 2 19 命题热度 本专题命题热度中等() 课程标准 备考策略 (1)三角函数的最值 了解三角函数的单调性与最大(小)值 熟练掌握三角函数值域的不同求法;灵活运用三角函数图象,利用图象的直观性解决相关问题 (2)三角函数图象和性质的综合应用 会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想解题;掌握有关三角函数模型应用问题的解题思路 考点38三角函数的最值答案P280　 1.(2024·天津,7,5分,难度★★)已知函数f(x)=3sinωx+(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)在区间-,上的最小值为 (　　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A.- B.- C.0 D. 2.(讲解 2017·全国3,文6,5分,难度★★)函数f(x)=sinx++cosx-的最大值为(　　) A. B.1 C. D. 3.(2025·上海,5,4分,难度★)函数y=cos x在-,上的值域为　　　　.  4.(2024·北京,12,5分,难度★)已知α∈,,且α与β的终边关于原点对称,则cos β的最大值为　　　　.  5.(2024·全国甲,文13,5分,难度★★)函数f(x)=sin x-cos x在区间[0,π]的最大值为　　　　　.  6.(2020·北京,14,5分,难度★★★)若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则常数φ的一个取值为　　　　.  7.(2019·全国1,文15,5分,难度★★)函数f(x)=sin2x+-3cos x的最小值为　　　　　.  8.(2018·全国1,理16,5分,难度★★★)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是　　　　　.  9.(讲解 2017·全国2,理14,5分,难度★★)函数f(x)=sin2x+cos x-x∈0,的最大值是　　　　　.  10.(2017·全国2,文13,5分,难度★★)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为　　　　　.  11.(2025·全国一,19,17分,难度★★★★★)设函数f(x)=5cos x-cos 5x. (1)求f(x)在0,的最大值; (2)给定θ∈(0,π),a为给定实数,证明:存在y∈[a-θ,a+θ],使得cos y≤cos θ; (3)若存在φ,使得对任意x,都有5cos x-cos(5x+φ)≤b,求b的最小值. 12.(2018·北京,文16,13分,难度★★★)已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)若f(x)在区间-,m上的最大值为,求m的最小值. 考点39三角函数图象和性质的综合应用答案P281　 1.(2025·北京,8,4分,难度★★★)设函数f(x)=sin(ωx)+cos(ωx)(ω>0),若f(x+π)=f(x)恒成立,且f(x)在0,上存在零点,则ω的最小值为 (　　) A.8 B.6 C.4 D.3 2.(2025·天津,8,5分,难度★★)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<π)在-,上单调递增,x=为一条对称轴,,0为一个对称中心,则在区间0,内,f(x)的最小值为 (　　) A.- B.- C.-1 D.0 3.(2024·新课标Ⅰ,7,5分,难度★★★)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin3x-的交点个数为 (　　) A.3 B.4 C.6 D.8 4.(2024·北京,6,4分,难度★★★)已知f(x)=sin ωx(ω>0),f(x1)=-1,f(x2)=1,|x1-x2|min=,则ω=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2023·全国甲,理10文12,5分,难度★★★)函数y=f(x)的图像由函数y=cos2x+的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 6.(2022·全国甲,理11,5分,难度★★★)设函数f(x)=sinωx+在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是 (　　) A., B., C., D., 7.(2020·全国1,理7文7,5分,难度★★) 设函数f(x)=cosωx+在[-π,π]的图象大致如右图,则f(x)的最小正周期为 (　　) A. B. C. D. 8.(2019·全国3,理12,5分,难度★★★)设函数f(x)=sinωx+(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论: ①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点 ③f(x)在0,单调递增 ④ω的取值范围是, 其中所有正确结论的编号是 (　　) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④ 9.(2018·全国2,理10,5分,难度★★★)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是(　　) A. B. C. D.π 10.(2026·上海,11,5分,难度★★)已知三角函数f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,B∈R,ω>0,0≤φ<2π),若v=f(t),当v=0或v=4时其导数为0,初始速度为0,且速度第一次达到4时用时为0.1秒,则f(t)=　　　　　.  11.(2023·新课标Ⅰ,15,5分,难度★★★)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　.  12.(讲解 2022·全国乙,理15,5分,难度★★★)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　　.  13.(2021·全国甲,16,5分,难度★★★)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件f(x)-f-f(x)-f>0的最小正整数x为　　　　　.  14.(2020·江苏,10,5分,难度★★★)将函数y=3sin2x+的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　　　　.  15.(2026·北京,16,13分,难度★★)已知函数f(x)=2sin ωxcos φ+2cos ωxsin φ,ω>0,|φ|<.f(x)最小正周期为π,且f(0)>0,f=1. (1)求ω,φ的值; (2)求f(x)的单调递减区间. 16.(讲解 2025·全国二,15,13分,难度★★)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π),f(0)=. (1)求φ; (2)设函数g(x)=f(x)+fx-,求g(x)的值域和单调区间. 17.(2018·上海,18,14分,难度★★★)设常数a∈R,函数f(x)=asin 2x+2cos2x. (1)若f(x)为偶函数,求a的值; (2)若f=+1,求方程f(x)=1-在区间[-π,π]上的解. 18.(2017·北京,文16,13分,难度★★★)已知函数f(x)=cos2x--2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求证:当x∈-,时,f(x)≥-. 19.(讲解 2017·浙江,18,14分,难度★★★)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(x∈R). (1)求f的值; (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间. 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.3　三角函数的综合应用 考点38　三角函数的最值 1.D　由函数f(x)=3sinωx+(ω>0)的最小正周期为π,可得=π,故ω=2.当x∈-,时,2x+∈,,由此可得sin2x+∈,1,故f(x)=3sin2x+在x=-时取到最小值.故选D. 2.A　因为cosx-=cos-x+=sinx+, 所以f(x)=sinx++sinx+=sinx+, 故函数f(x)的最大值为.故选A. 3.[0,1]　∵y=cos x在-,上的大致图象如图所示, ∴ymax=cos 0=1,ymin=cos-=0. ∴y=cos x在-,上的值域为[0,1]. 4.-　由题可知β=(2k+1)π+α,k∈Z, ∴cos β=cos(2kπ+π+α)=cos(π+α)=-cos α(k∈Z). ∵α∈,,∴cos α∈,, ∴cos β∈-,-,∴cos β的最大值为-. 5.2　f(x)=sin x-cos x=2sin x-cos x=2sinx-,当x∈[0,π]时,x-∈-,. 当x-=,即x=时,f(x)max=2. 6.2kπ+,k∈Z均可　∵sin(x+φ)≤1,cos x≤1,f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2, ∴sin(x+φ)=1,cos x=1. 此时x=2kπ,k∈Z.则sin(x+φ)=sin φ=1. 于是φ=+2kπ,k∈Z.故可选当k=0时,φ=. 7.-4　f(x)=sin2x+-3cos x =-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1 =-2cos x+2+. ∵-1≤cos x≤1,∴当cos x=1时,f(x)min=-4. 故函数f(x)的最小值是-4. 求三角函数最值的规律 (1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,应用辅助角公式化为y=sin(x+φ)+c(a,b为非零常数)的形式, 再根据y=sin(x+φ)∈[-1,1]求值域(最值); (2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数y=at2+bt+c,再根据二次函数的单调性求值域(最值); (3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,得到t2=1±2sin xcos x,根据此关系把原函数式化为关于t的二次函数,再求值域(最值). 8.-　由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin 2x的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域. 由f(x)=2sin x+sin 2x, 得f'(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2. 令f'(x)=0,可得cos x=或cos x=-1,x∈[0,2π)时,解得x=或x=或x=π. 因为f(x)=2sin x+sin 2x的最值只能在x=,x=,x=π或x=0时取到,且f=,f=-,f(π)=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为-. 9.1　由题意可知f(x)=1-cos2x+cos x-=-cos2x+cos x+=-cos x-2+1. 因为x∈0,,所以cos x∈[0,1]. 所以当cos x=时,函数f(x)取得最大值1. 10.　因为f(x)=2cos x+sin x=sin(x+φ)(其中tan φ=2), 所以f(x)的最大值为. 11.(1)解 ∵f(x)=5cos x-cos 5x,x∈0,, ∴f'(x)=-5sin x+5sin 5x=5(sin 5x-sin x)=10cos 3xsin 2x,sin 2x≥0,令f'(x)=0,则x=. ∴f(x)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,∴f(x)max=f=3. (2)证明 假设∀y∈[a-θ,a+θ],都有cos y>cos θ. ∵函数g(x)=cos x在区间(0,π)上单调递减,∴必有y∈(2kπ-θ,2kπ+θ)(k∈Z). 则a-θ>2kπ-θ,且a+θ<2kπ+θ,解得a>2kπ且a<2kπ,a无解,则假设不成立, ∴必然存在y∈[a-θ,a+θ],使得cos y≤cos θ. (3)解 ∵f(-x)=5cos(-x)-cos(-5x)=f(x),f(x+2π)=f(x),∴f(x)是以2π为周期的偶函数. 由(1)进一步可得f(x)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,在区间,π上单调递增,f(π)=-4<3,由对称性和周期性可知f(x)≤3. 令h(x)=5cos x-cos(5x+φ), 当φ=0时,h(x)=f(x)≤3,此时bmin=3, 当φ≠0时,由(2)可知∃x∈-,,5x+φ∈φ-,φ+,使得cos(5x+φ)≤cos, 此时即 即5cos x-cos(5x+φ)≥3,即b≥3. 综上所述,b的最小值为3. 12.解 (1)因为f(x)=+sin 2x =sin 2x-cos 2x+=sin2x-+, 所以f(x)的最小正周期为T==π. (2)由(1)知f(x)=sin2x-+. 因为x∈-,m, 所以2x-∈-,2m-. 要使f(x)在-,m上的最大值为, 即y=sin2x-在-,m上的最大值为1. 所以2m-≥,即m≥. 所以m的最小值为. 既有sin x(cos x)的一次式,又有sin x(cos x)的二次式,则需通过sin2x+cos2x=1统一为sin x或cos x的形式,利用换元法求最值,但需注意由于设sin x(cos x)=t,故有-1≤sin x(cos x)≤1的限制. 考点39　三角函数图象和性质的综合应用 1.C　f(x)=sinωx+,当x∈0,时,ωx+∈,ω+. ∵f(x)在0,上存在零点,∴ω+≥π,解得ω≥3. 又f(x+π)=f(x),∴π为f(x)周期的整数倍, 即π=kT,k∈Z.又T=,∴π=k·,k∈Z, ∴2k=ω,k∈Z, ∴ω的最小值为4.故选C. 2.A　∵f(x)在-,上单调递增, 设f(x)的最小正周期为T, ∴≥--=,即T≥π.∴ω=≤2. ∵x=为f(x)图象的一条对称轴,,0为f(x)图象的一个对称中心, ∴ 即 ①-②得ω=-+kπ,k∈Z,即ω=-2+4k,k∈Z. ∵0<ω≤2,∴ω=2. 代入①有+φ=k1π,k1∈Z,即φ=-+k1π,k1∈Z. ∵-π<φ<π,∴φ=或φ=-. ∵f(x)=sin2x+满足在-,上单调递增,f(x)=sin2x-不满足在-,上单调递增, ∴f(x)=sin2x+. 当x∈0,,即2x+∈,时,f(x)min=-.故选A. 3.C　在同一平面直角坐标系中,画出区间[0,2π]上的曲线y=sin x与y=2sin3x-,如图所示. 由图可知,在区间[0,2π]上,曲线y=sin x与y=2sin3x-有6个交点. 4.B　∵f(x)在x1,x2处分别取得最小值与最大值, |x1-x2|min=,∴最小正周期为2×=π, ∴ω==2.故选B. 5.C　由题意,f(x)=cos2x++=cos2x+=-sin 2x, 如图,在平面直角坐标系中画出y=f(x)的图像,以及直线y=x-. 直线y=x-过点(-1,-1)和点(3,1),所以当x∈(-∞,-1)∪(3,+∞)时,y=f(x)的图象与直线y=x-没有公共点.由图象可知,y=f(x)的图象与直线y=x-共有3个交点,故选C. 6.C　设ωx+=t, 由x∈(0,π),得t∈,πω+. 因为有两个零点,可得2π<πω+≤3π,即<ω≤. 又因为有三个极值点,(sin t)'=cos t, 即y=cos t在,πω+上有三个零点, 所以<πω+≤,解得<ω≤. 综上可得<ω≤.故选C. 解答该类问题关键是两点:一是把相位看作是一个整体,二是找准两个端点的取值范围. 7.C　由题图知f-=cos-ω+=0, 所以-ω+=+kπ(k∈Z), 化简得ω=-(k∈Z). 因为T<2π<2T,即<2π<, 所以1<|ω|<2,解得-<k<-或<k<. 当且仅当k=-1时,1<|ω|<2. 所以ω=,最小正周期T==. 8.D　∵f(x)=sinωx+(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点, ∴5π≤2πω+<6π,解得≤ω<,故④正确. 画出f(x)的图象(图略),由图易知①正确,②不正确. 当0<x<时,<ωx+<+, 又≤ω<,∴+<+=<,∴③正确. 综上可知①③④正确.故选D. 9.A　f(x)=cos x-sin x =-sin x·-cos x· =-sin x-, 当x∈-,π,即x-∈-,时, y=sin x-单调递增, y=-sin x-单调递减. ∵函数f(x)在[-a,a]是减函数, ∴[-a,a]⊆-,π,∴0<a≤, ∴a的最大值为. 10.2-2cos 10πt　由题意知,f(t)=0和f(t)=4时,导数为0,即f(t)的最小值为0,最大值为4. 又f(t)∈[-A+B,A+B], 所以解得故f(t)=2sin(ωt+φ)+2. 已知初速度为0,则f(0)=2sin φ+2=0,解得sin φ=-1, 已知0≤φ<2π,则φ=. 速度第一次达到4时用时0.1秒,则f(0.1)=4, 即2sin+2=4,则sin=1, 得0.1ω+=+2kπ,k∈Z, 得0.1ω=-π+2kπ,当k=1时取得最小正数ω,ω=10π, 此时f(t)=2sin+2=2-2cos 10πt. 求三角函数的解析式,重在对A,ω,φ的理解,主要从以下三个方面考虑 1.根据最大值或最小值求出A的值. 2.根据最小正周期求出ω的值. 3.求φ的常用方法:(1)代入法,把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入;(2)五点法,确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口;(3)平移法,由y=Asin ωx平移得到y=Asin(ωx+φ). 11.[2,3)　由题意可知,要使函数f(x)=cos ωx-1在[0,2π]上有且仅有3个零点,即函数y=cos ωx的图象在[0,2π]上有且仅有3个最高点,设y=cos ωx的最小正周期为T,如图(草图), 要满足题意,需要2T≤2π<3T,即<T=≤π,解得2≤ω<3. 本题先将函数零点转化成函数的最值个数问题,然后结合三角函数图象特征,得出要使函数有且仅有3个零点,就需要函数图象在[0,2π]上包含3个最值但又不能包含第4个最值,从而得出2π与函数周期的关系. 12.3　依题意,T=,则f(T)=f=cos(2π+φ)=cos φ=. 又0<φ<π,∴φ=.∴f(x)=cosωx+. 又x=为f(x)的零点, ∴f=cosω+=0, ∴ω+=+kπ,k∈Z,∴ω=3+9k,k∈Z. 又ω>0,∴ω的最小值为3. 13.2　设函数f(x)的最小正周期为T,由图象可知,T=-=,所以T=π-,所以ω=±2. 当ω=2时,把点,2的坐标代入f(x)的解析式,得2cosω+φ=2cos×2+φ=2, 所以φ=2kπ-,k∈Z, 则f(x)=2cos2x+2kπ-=2cos2x-; 当ω=-2时,将点,2的坐标代入f(x)的解析式,得2cosω+φ=2cos×(-2)+φ=2cos×2-φ=2,所以φ=2kπ+,k∈Z, 则f(x)=2cos(2x-φ)=2cos2x-. 综上得f(x)=2cos2x-, 所以f-=2cos2×--=1, f=2cos2×-=0, 所以(f(x)-1)f(x)>0,所以f(x)<0或f(x)>1, 所以cos2x-<0或cos2x->, 所以+2kπ<2x-<+2kπ或-+2kπ<2x-<+2kπ,k∈Z,即+kπ<x<+kπ或-+kπ<x<+kπ,k∈Z,所以当k=0时,x能取到的最小正整数为2. 14.x=-　将函数y=3sin2x+的图象向右平移个单位长度后得到函数y=3sin2x-+=3sin2x-的图象. 由2x-=+kπ,k∈Z,得 平移后的对称轴的方程为x=+,k∈Z. 当k=0时,x=,当k=-1时,x=-. 所以与y轴最近的对称轴的方程是x=-. 15.解 (1)由和角公式得f(x)=2sin, 又f(x)的最小正周期为π,ω>0, 所以=π,解得ω=2, 因为f=2sin=1,所以cos φ=, 又因为0<φ<,所以φ=. (2)由(1)得f(x)=2sin, 由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z, 所以函数f(x)=2sin的单调递减区间为 (k∈Z). 16.解 (1)因为f(0)=cos φ=,且0≤φ<π,所以φ=,则f(x)=cos2x+. (2)g(x)=cos2x++cos 2x=cos 2x-sin 2x+cos 2x=cos 2x-sin 2x=cos2x+. 因为x∈R,所以当cos2x+=1时,g(x)max=; 当cos2x+=-1时,g(x)min=-, 所以g(x)的值域为[-,]. 由2kπ-π≤2x+≤2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z; 由2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 所以g(x)的单调递增区间为kπ-,kπ-,k∈Z;单调递减区间为kπ-,kπ+,k∈Z. 17.解 (1)∵f(x)=asin 2x+2cos2x, ∴f(-x)=-asin 2x+2cos2x. ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), ∴-asin 2x+2cos2x=asin 2x+2cos2x, ∴2asin 2x=0,∴a=0. (2)∵f=+1, ∴asin+2cos2=a+1=+1,∴a=, ∴f(x)=sin 2x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1 =2sin2x++1. ∵f(x)=1-,∴2sin2x++1=1-, ∴sin2x+=-, ∴2x+=-+2kπ或2x+=π+2kπ,k∈Z, ∴x=kπ-或x=kπ+,k∈Z. ∵x∈[-π,π],∴x=-或-或或. ∴所求方程的解为x=-或-或或. 18.(1)解 f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x =sin 2x+cos 2x=sin2x+. 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)证明 因为-≤x≤, 所以-≤2x+≤. 所以sin2x+≥sin-=-. 所以当x∈-,时,f(x)≥-. 19.解 (1)由sin=,cos=-, f=2--2-2××-, 得f=2. (2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin2x+. 所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以,f(x)的单调递增区间是+kπ,+kπ(k∈Z). 学科网（北京）股份有限公司 $