4.2.1 指数函数的概念课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.2.1 指数函数 学习目标： （1）通过具体实例,了解指数函数的实际意义. （2）理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性. （3） 掌握指数函数的定义域、值域的求法. （4）感悟数学抽象的过程,提升直观想象和逻辑推理素养. “给我一个支点，我能撬动整个地球。” ——阿基米德 情境引入 给我一张纸，我能踏上月球! 小实验 准备一张A4大小的纸，试试看你能对折多少次？ 创设情境 实验探究 （1）写出对折后的层数 与对折次数的关系式? （2）设这页纸的面积为单位1，则对折后每页纸的面积与对折次数 的关系又是怎样的？ 对折次数 x 0 1 2 3 4 ... 42 层数 1 ... 242 面积 1× 0.1×4 0.1×8 0.1×16 … 0.1×242 创设情境 （1）写出对折后的层数 与对折次数的关系式? （2）设这页纸的面积为单位1，则对折后每页纸的面积与对折次数 的关系又是怎样的？ = = 实验探究 情境1：荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点。 若我们每天的“进步”率都是 ，每天的“退步”率都是 ， 这样，我们经过 天后的增长倍数 和退步倍数 分别是多少呢？ 情境探究 5 情境2：荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点。 情境探究 6 上述2个情境中的式子刻画的都是函数关系 底数是一个常数，指数是自变量，形如 抽象概念 底数是大于零且不等于1的常数 指数为自变量且 只有一种形式 系数为1 7 指数函数 形如函数叫做指数函数， 其中是自变量，定义域为. 抽象概念 注：指数函数满足 ①的系数为1，“”是单项式的形式； ②指数函数的底数； ③指数函数的指数为自变量 指数函数 形如函数叫做指数函数， 其中是自变量，定义域为. 思考：为什么规定？ ①若a =0，则当x> 0时， 无意义. 当x ②若a<0，则对于x的某些数值，可使无意义. ③若a = 1，则对于任何, 抽象概念 思考：指数函数与幂函数有何异同？ 相同点：都是幂的形式； 不同点：指数函数是底数a是常数，指数x是自变量， 幂函数是指数是a是常数，底数x是自变量。 辨析：下列哪些是指数函数 ①②③④;⑤.⑥ 抽象概念 例1 指数函数的图象经过点 ，则这个函数的解析式是_ _____． 解：由已知，设，且， 又因为函数图象过点 ，即 ，解得，所以 . 典例分析 例2 (多选)设指数函数,且 ，下列等式中正确的是( ) 解：选.对于A，， ； 对于B，， ，故B正确； 对于C，， ，故C正确； 对于D， ， ，所以 ，故D错误. A. B. C. D. 典例分析 例3已知函数 是指数函数．（1）求 的表达式； 解：因为函数是指数函数，所以 ， 且 ，可得或 （舍去），所以 . （2）判断 的奇偶性，并加以证明. 解： 是偶函数,证明如下： ， ，关于原点对称， 因为 ，所以 是偶函数． 典例分析 例4 已知指数函数满足，求和 ？ 解：因为 是指数函数，所以可设,且 ， 所以 ，解得 （负值已舍去），于是 . 所以 ， . 典例分析 例5 若指数函数的图象经过点，求满足的 的值？ 解：设且，则，解得或 （舍）， 所以，令，又，所以 . 典例分析 例6 某种药物的含量在病人血液中以每小时 的比例递减.现医生为某病人注射了该药物，那么 小时后病人血液中这种药物的含量为( ) 解：选B.由题意知，该种药物的含量在病人血液中以每小时 的比例 递减，给某病人注射了该药物， 小时后病人血液中这种药物的 含量为 . A. B. C. D. 典例分析 例7 复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10 000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则 关于 的函数解析式为__________________. 解：根据复利计算利息的方式可知，当存期数为1时，本利和为 , 当存期数为2时，本利和为 ， ……所以当存期数为时，本利和为 . 典例分析 1. 指数函数的概念： 注：指数函数满足 ①的系数为1，“”是单项式的形式； ②指数函数的底数； ③指数函数的指数为自变量 定义：一般地，函数叫做指数函数。 其中是自变量，定义域是. 课堂小结 1 .（多选）下列函数中，是指数函数的为( ) A. B. C. D. 解：选.形如，且 形式的函数为指数函数， 满足条件的为A，D. 的系数为1 AD 课堂检测 2 .已知指数函数＝，且=π， 求，，的值？ 解：因为 f(x)＝,且 =π,则 = π，解得 = , 于是f(x)＝ 所以f(0)==1，f(1)==，f(-3)== 课堂检测 3.若函数是自变量是指数函数，求 的取值范围？ 解：因为函数是自变量是指数函数，所以 解得且 . 底数 , 课堂检测 4. 若函数,且是指数函数， 则___, ___. 解：因为 是指数函数， 所以解得 的系数为1, 且是单项式 4 4 课堂检测 谢谢大家！ $