4.2.1 指数函数的概念课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.2.1 指数函数的概念 人教A版2019数学 必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 指数 指数函数 指数函数的概念 指数函数的图象与性质 对数 对数的概念 函数的应用（二） 本章知识框图 n次方根与分数指数幂 无理指数幂及其运算性质 对数的运算 对数函数 对数函数的概念 对数函数的图象与性质 不同函数增长的差异 函数的零点与方程的解 用二分法求解方程的近似解 函数模型的应用 课标要求 通过对有理数指数幂实数指数幂 含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。 本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。 03 01 02 会求简单指数函数定义域，能用待定系数法求解析式，能建立简单实际问题的指数函数模型. 掌握指数函数的标准形式 ，明确自变量是指数、定义域为. 理解底数限定 的完整原因，能准确辨析指数函数、幂函数、变形指数型函数. 课时教学目标 通过实例抽象出指数函数模型，经历概念形成过程，提升数学抽象与建模能力. 环节一 新课导入 问题1：上一章，我们学习了幂函数的概念及其性质，请同学们回顾幂函数的学 习过程，幂函数研究的基本路径是什么？ 实际问题 函数概念 研究函数图象 函数性质 抽象 直观化 归纳 应用 运用 上一节我们学习了指数，把指数里的指数，从整数拓展到全体实数，今天我们用研究幂函数的方法研究另一类非常重要的初等函数——指数函数. 环节二 新课探究 情境1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取 消了景区门票．表4.2-1给出了A，B两地景区2001 年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 问题2：比较两地景区游客人次的变化情况， 你发现了怎样的变化规律？ 环节二 新课探究 追问1：为了有利于观察规律，可以根据表4.2-1中的数据先描点，再用光滑的曲线 将离散的点连起来，得到Ａ，Ｂ两地景区采取不同措施后的15年游客人次 的图象(图4.2-1和图4.2-2) ，你能发现两地景区游客人次的变化规律吗？ Ａ地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为10万次）. 一次函数模型刻画游客增长情况， 即：年后的增加量记为. 环节二 新课探究 追问1：为了有利于观察规律，可以根据表4.2-1中的数据先描点，再用光滑的曲线 将离散的点连起来，得到Ａ，Ｂ两地景区采取不同措施后的15年游客人次 的图象(图4.2-1和图4.2-2) ，你能发现两地景区游客人次的变化规律吗？ Ｂ地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来大．但从图象和年增加量都难以看出变化规律． 环节二 新课探究 代数运算是发现规律的重要方法.回顾不等式性质的发现、分数指数幂概念的形成过程，代数运算都发挥了重要的作用.我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，通过年增加量,我们得到了A地景区的游客人次的变化规律. 环节二 新课探究 追问2：能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变 化规律呢？ 你想到哪种运算了？请你试一试. 结果表明： 地景区的游客人次的年增长率都约为，是一个常数. 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，Ｂ地景区的游客人次近似于指数增长． 环节二 新课探究 做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率.增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量. 显然，从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 如果设经过年后游客人次为2001年的倍，那么.① 这是一个函数，其中指数为自变量. 1年后，游客人次是2001年的倍； 2年后，游客人次是2001年的倍； 年后，游客人次是2001年的倍. 环节二 新课探究 情境2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”. 问题3：按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，请完成下列表格 死亡年数 1年 2年 3年 ······ 5730年 碳14含量 环节二 新课探究 死亡年数 1年 2年 3年 ······ 5730年 碳14含量 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，请完成下列表格 ······ 由题，经过5730年，死亡生物体内碳14含量衰减为原来的一半， 即：，那么 环节二 新课探究 追问1：若死亡生物体内碳14含量记为，死亡年数记为，那么死亡生物体 内碳14含量与死亡年数间的关系式是什么，请试着写出来. 表明：死亡生物体内碳14含量每年都以的衰减率衰减. 这也是一个函数，指数是自变量. 像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减. 因此，死亡生物体内碳14 含量呈指数衰减. 环节二 新课探究 问题4：观察①和②两式，你能发现表达式有什么特征吗？请具体说明. .① 比较①和②两式，如果用字母代替其中的底数和， 可以得到：的形式,其中指数x是自变量. 环节二 新课探究 时，不一定有意义，如； ，没有研究价值 ，当恒为零；当时，没有意义. 追问1：在中，对有要求吗？ 追问2：在中，对有要求吗？ 没有， 底数a是一个大于0且不等于1的常量 环节二 新课探究 指数函数的概念 一般地，函数，且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是. (1)定义域必须是实数集R. (2)自变量是，位于指数位置上，且指数位置上只有这一项 （可化简为 形式的也算）． (3)指数式只有一项，并且指数式的系数为1. (4)底数的范围必须是，且. 说明： 环节三 应用新知 例1 已知指数函数，且，且， 求的值. 【分析】先求出指数函数解析式，再求函数值即可. 解：∵，且，则，解得， ∴. ∴，，. 环节三 应用新知 例2 （1）在情境1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况. 解(1)：设经过年，游客给两地带来的收入分别为和， 则，. 利用计算工具可得，当时，. 当时，. 结合图可知：当时，， 当时，.当时，. 环节三 应用新知 这说明，在2001年，游客给地带来的收入比地多412000万元； 随后10年，虽然，但的增长速度大于； 根据上述数据，并考虑到实际情况， 在2011年3月某个时刻就有， 这时游客给地带来的收入和地差不多； 此后，，游客给地带来的收入超过了地； 由于增长得越来越快， 在2015年，地的收入已经比地多了347303万元了. 环节三 应用新知 例2 （2）在情境2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ (2)设生物死亡年后，它体内碳14含量为. 如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么： . 当时，利用计算工具求得. 所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%. 指数函数只是一个形式定义，判断一个函数是否是指数函数关键看三点： ①系数；②底数；③指数 环节四 应用拓展——指数函数概念辨析 例3 (1)下列是指数函数的是： ① ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ . 是 是 否 否 否 否 否 环节四 应用拓展——指数函数概念辨析 例3 若函数是指数函数，则 (2)若函数是指数函数，则 解：因为 是指数函数， 所以，解得或. 因为，且，所以 变式训练 解：因为函数 是指数函数， 所以，解得满足，且， 所以 环节四 应用拓展——指数函数模型 例4 甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万．试解答下面的问题： (1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)； (3)对两城市人口增长情况作出分析． 参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430. 环节四 解：(1)1年后甲城市人口总数为： ， 2年后甲城市人口总数为： ， 3年后甲城市人口总数为：， …， x年后甲城市人口总数为： x年后乙城市人口总数为：. 应用拓展——指数函数模型 环节四 应用拓展——指数函数模型 (2)10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示. (3)甲、乙两城市人口都逐年增长，其中甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型；乙城市人口增长缓慢，呈线性增长． 从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异． 环节四 应用拓展——指数函数模型 实际应用问题中指数函数模型的类型 (1)指数增长模型： 设原有量为，每次的增长率为，则经过次增长，该量增长到， 则． (2)指数减少模型： 设原有量为，每次的减少率为，则经过次减少，该量减少到， 则． (3)指数型函数： 把形如的函数称为指数型函数， 这是非常有用的函数模型．　　 环节五 归纳小结 环节六 作业布置 巩固作业： 教科书第115页练习1,2,3题 教科书第119页习题4.2第2题 感谢聆听 $