3.1.2 函数的概念课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.2 函数的概念 学习目标： （1）能够用区间表示变量的范围； （2）能够求简单函数的定义域和函数值； （3）体会两个函数相等的意义，并能判断两个函数是否相等。 设 A, B 是非空的数集，如果对于集合 A中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：A→B为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 高中 数集A 对应关系 f 定义域 数集B 值域 C 每一个 唯一的 变化过程中 对应 x y 初中基础 (变量说) 高中再认识 （集合对应说） 集合语言 ♥函数三要素： 定义域、值域、对应关系 复习回顾 观察: 我们发现问题1与问题2中的对应关系是一样的，那么请问它们是同一个函数吗？为什么? 同一函数：两个函数相等，则其自变量、函数值取值范围和对应关系都要相同。 情境回顾、发现问题 3 思考1：同学们能通过初中所学函数的概念，判断 是同一个函数吗？ 解决冲突、悬念解除 思考2：正方形的周长 与边长的对应关系为，而且对于的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与之对应，所以 是的函数。请问这个函数与正比例函数 是同一个函数吗？ 函数的三要素：定义域、对应关系、值域. 同一函数：若两个函数的_______________________相同， 则它们为同一个函数. 定义域、对应关系、值域 [引例]已知f(x)=x2+1, x∈[2,+∞)，则值域必为________ 已知g(t)=t2+1, x∈[2,+∞)，则值域必为________ 值域由定义域、对应关系唯一确定. [5,+∞) [5,+∞) R (-∞,-2]∪[2,+∞) {x|x≠2} {x|x≠±2} {x|x≠0且x≠-2} 多个区间用“∪”连接 若已给出函数解析式但无指明其定义域， 则定义域默认为使解析式有意义的自变量的取值集合。 不能先约分 若a≠0，则a0=1 {x|x≤-2或x≥2} (-∞,-2)∪(-2,0)∪(0,+∞) 求函数的定义域(具体函数) 函数f(x)所含结构 求定义域时注意事项 例如 整式或奇次根式 分式 偶次根式 零次幂[g(x)]0 求函数的定义域(具体函数) 定义域通常为R 分母不为0 不可先约分后求定义域 根号内大于等于0 g(x)≠0 注：①若f(x)由几部分的式子构成，则其定义域为使各部分同时有意义的数的集合。(即求交集) ②若f(x)为实际问题中的函数，则定义域要符合实际意义。 (如：大于0，取整数…) 见函数先求定义域！！！ 训练1(链接教材P67练习T1)求下列函数的定义域: 角度1　求具体函数的定义域 解析：（1）要使f(x)有意义,则解之得x<1且x≠. ∴函数f(x)的定义域是. 求函数的定义域(具体函数) 见函数先求定义域！！！ （2）要使函数有意义,则∴x≥1,所以f(x)的定义域为[1,+∞). 7 求函数的定义域(抽象函数) Key：同一f 作用对象的范围 f(x) f(x+1) 定义域 (自变量的范围) 同一f作用对象的范围 [变式4]已知f(x)的定义域为[-2,4]，则g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是___. 【例】解:∵f(x)的定义域为[0,1], 即0≤x≤1； ∴对于f(x+1)有0≤x+1≤1, 解得－1≤x≤0. ∴f(x+1)的定义域为[－1,0] 0≤x≤1 0≤x≤1 0≤x+1≤1 ﹣1≤x≤0 ①同一题目中,同一对应关系f 作用的整个对象的取值范围相同. ②任何函数的定义域均指自变量的取值范围. f(x)的定义域是指x的范围； f(x+1)的定义域是指x的范围. f(a-2)的定义域是指a的范围. 只是用同一字母来表示两个函数的自变量，范围可能不同. 两个“x”不同 a-2∈[0,4] x∈[-1,3] a∈[2,6] x+1∈[0,4] f 作用对象的范围： 函数的定义域： 求函数的定义域(抽象函数) 训练2(1)已知函数,则函数的定义域为 A. B. C.[-3,1] D. √ 解：由-x2+2x+3≥0,解得-1≤x≤3,故函数f(x)的定义域为[-1,3]. 由-1≤3x-2≤3,解得≤x≤,则函数f(3x-2)的定义域为. 求函数的定义域(抽象函数) (2)函数的定义域是　　　　　　　　　　　.  解：要使函数有意义,自变量x必须满足解得x≤5,且x≠±3,所以函数y=的定义域为{x|x≤5,且x≠±3}. {x|x≤5,且x≠±3} 10 (3)设函数y=f(x)的定义域是[-1,3],求函数g(x)=f(2x+1)+f(x-1)的定义域. 解：∵函数f(x)的定义域是[-1,3], ∴要使函数g(x)有意义, 则解得0≤x≤1. 故函数g(x)=f(2x+1)+f(x-1)的定义域为[0,1]. 求函数的定义域(抽象函数) 11 同一个函数 f (x)=x {x|x≥0} f(x)=x {y|y≥0} R f(u)=u R g(x)=|x| {y|y≥0} {n|n≠0} f(n)=n {m|m≠0} 不是 是 不是 不是 R 同一函数：若两个函数的定义域、对应关系相同，则它们为同一个函数. 12 训练3（1）(链接教材P66例3)给出下列各组函数: ①f(x)=,g(x)=x-1; ②f(x)=·,g(x)=; ③f(x)=,g(x)=x+3; ④f(x)=x+1,g(x)=x+x0; ⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5). 其中表示同一函数的是　　　　(填序号).  例2 ②⑤ 同一个函数 13 训练3（2）(多选)下列四组函数中,表示同一个函数的是 A.y=x与y= B.y=与s=()2 C.y=2t+1与y=2u+1 D.y=1与y=x0 √ √ 选项A中,y=x和y=的定义域都是R,y==x与y=x的对应关系相同,故是同一个函数; 选项B中,y=的定义域为R,s=()2的定义域为[0,+∞),两者的定义域不同,故不是同一个函数; 选项C中,y=2t+1与y=2u+1的定义域与对应关系均相同,故是同一个函数; 选项D中,y=1的定义域为R,y=x0的定义域为{x|x≠0},故不是同一个函数. 同一个函数 14 1.观察法 求简单函数值域的方法 2.配方法(二次函数型) 求简单函数值域的方法 3.分离常数法 1.适用于分子分母均含变量的分式 2.分离目的：化为熟悉结构，便于利用反比例函数或基本不等式求 分式的范围、最值等 分离常数法：把分子中的变量分离掉，使分子化为常数 3.分离方法：分子配凑出与分母一样的结构→约分 求简单函数值域的方法 3.分离常数法 求简单函数值域的方法 3.分离常数法 求简单函数值域的方法 分离常数法：把分子中的变量分离掉，使分子化为常数 换元法 分解约分 3.分离常数法 求简单函数值域的方法 4.换元法 注意新元的范围 换元法 观察法 求简单函数值域的方法 课堂达标检测 (写为区间的形式) (写为集合或区间的形式) 谢谢大家！ $