湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟测试（二）

湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟测试（二）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A D B B A AD BC 题号 11 答案 ABC 1．B 【详解】 当时，； 当时，； 当时，； 所以，则. 2．B 【详解】根据全称量词命题否定的定义，可得命题“，”的否定是“，”. 3．C 【分析】由分段函数的性质结合特殊角的余弦值求解即可； 【详解】由分段函数的定义域可得，， 所以. 故选：C 4．A 【分析】根据一元二次不等式及绝对值不等式求出，，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由 得 ，即 ； 由 得 ，即 ； 因为 但 ，所以 是 的充分不必要条件. 5．D 【分析】根据给定条件，求出常数b和c，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可知，故； 乙的常数正确，故，故. 所以原不等式为，即，解得， 所以解集为. 故选：D. 6．B 【详解】由于函数的定义域为，且对任意的，，故为偶函数，其图像关于轴对称，此时排除CD选项， 当时，，此时可排除A，故选B. 7．B 【分析】根据题意求得.进而可得的单调性和奇偶性，进而逐项分析判断. 【详解】设， 代入点，可得，解得， 所以. 对于A：可知的定义域为，故A错误； 对于BD：因为，可知是偶函数，故B正确，D错误； 对于C：由偶函数对称性可知在定义域内不单调，故C错误； 故选：B. 8．A 【分析】由题可得为奇函数，为奇函数，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】因对于任意实数，，都有， 令，可得， 再令，则，从而为奇函数. 注意到， 结合为R上奇函数，为R上偶函数， 可得为R上奇函数， 由题可得存在，且为，存在，且为. 又由奇函数性质可得， 从而. 9．AD 【分析】由不等式的基本性质判断各个选项. 【详解】A选项，当时，，A选项正确； B选项，当，时，则，B选项错； C选项，当，时，则，此时，C选项错误； D选项，当，时，则，则，所以，即，D选项正确. 10．BC 【分析】根据奇偶性的定义结合赋值法求解. 【详解】选项AB，为上的奇函数，则，，，所以，A错；B正确； 选项C，由B，得，又为上的偶函数，则，，所以，，C正确； 选项D，由为上的偶函数，得，所以，D错. 11．ABC 【分析】利用赋值计算即可判断AB，根据的奇偶性，即可判断C，利用即可判断D. 【详解】对于A，在中，令， 可得，故，即，故A正确； 对于B，令，则，结合，得， 当时，有，即不恒为0，故必有，即是奇函数，故B正确， 对于C，由于是奇函数，故，令， 则， 因此的图象关于对称，即的图象关于对称，故C正确， 对于D，当且时，此时，显然，故D错误. 12． 【分析】化简命题，结合条件列不等式可求的范围. 【详解】依题意，关于的不等式恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值的集合． 因为是的必要不充分条件， 所以为的真子集． 又为非空集合， 所以， 得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：. 13． 【分析】利用指数函数的性质求出，进而求得的值域. 【详解】，，故， 所以函数的值域为. 故答案为：. 14． 【分析】由题意可得，再结合基本不等式求解即可. 【详解】因为二次函数对任意恒成立， 所以，可得， 所以， 当且仅当，即当或时，上述不等式中的两个等号同时成立， 故的最小值为． 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）解不等式可得集合，将代入集合可得集合，依据补集与交集的运算即可求得； （2）由可得集合是集合的子集，分情况讨论，当集合时，可解的取值范围是，当时，可解的取值范围是，综上即可求得所有满足条件的的取值范围. 【详解】（1）当时，有集合， 解，得，则集合，故， 则有. （2）若，则有集合是集合的子集，由（1）得集合， ①当集合时，有，解得，满足题意， 此时的取值范围是， ②当集合时，有，解得， 因为集合是集合的子集，则有，解得， 此时的取值范围是， 综上，的取值范围是. 16．(1) (2)证明：由（1）得：， 设， ， ，，，又，， ，在上是减函数. 【分析】（1）将代入解析式即可构造方程求得的值； （2）设，由可证得结论. 【详解】（1），. （2）略. 17．(1)当时，；发车时间间隔为5分钟时载客量为475人； (2)当发车时间间隔为5分钟时，每分钟净收益最大，最大值为1400元 【分析】（1）设出解析式，根据求出，得到解析式，并求出，得到答案； （2）分和两种情况，结合基本不等式求出最大值，得到结论. 【详解】（1）当时，设， 发车时间间隔为2分钟时的载客量为280人，即， 所以，解得， 所以当时，，故， 发车时间间隔为5分钟时载客量为475人； （2）当时，， 故当时，取得最大值，最大值为， 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当发车时间间隔为5分钟时，每分钟净收益最大，最大值为1400元. 18．(1)， (2) 【分析】（1）由台体的体积公式求解该正四棱台的体积即可；先求出正四棱台的侧面的高，再由梯形的面积公式求解即可. （2）设正四棱台上、下底边长分别为，.分别用，表示，，即可表示出，令，则，结合函数的单调性即可得出答案. 【详解】（1）因为正四棱台的上、下底面的边长分别为6和10，高为8， 故正四棱台体积为， 记，分别为棱台上、下底面的中心，分别取，的中点M，N， 连接，，，， 在梯形中，过作于， 由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 且，，，所以， 所以， 故该正四棱台的侧面积. （2）设正四棱台上、下底边长分别为，. 由条件可知，，. 此时在等腰梯形中， ，， 所以， 令， 则， 当且仅当时取等号. 19．(1)函数是型函数 (2)， (3) 【分析】（1）由，根据指数幂的运算性质，求得，即可得证； （2）由函数是“型函数，结合指数幂的运算性质，得到，进而求得的值； （3）根据题意，得到的值域为，且求得，问题转化为在上的值域为的子集，结合二次函数的性质，对的取值分类讨论，求得函数在上的值域，结合集合的包含关系，即可求解. 【详解】（1）证明：由函数， 可得， 所以函数是型函数. （2）解：由型函数的定义，可得对定义域内的所有成立， 因为函数是“型函数，可得， 由于为常数，需要为常数，所以分子的系数，即， 此时，所以. （3）解：因为是型函数，对应的实数对为，可得， 当时，函数， 当时，可得函数， 当时，，函数在上单调递减， 因此当时，，则函数在上的值域为， 由于当时，都存在，使得， 所以函数在的值域为的子集， 根据，在等式中， 令，可得，所以，符合题意； 若在上的值域为，则， 对于任意，可得，则，且，所以， 所以问题等价于在上的值域为的子集， 当时，的对称轴为， ①若，即时，在上单调递增，可得， 此时不是的子集，不符合题意； ②若，即时，在上单调递减，可得， 此时不是的子集，不符合题意； ③若，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，且， 根据题意，函数在上的值域为的子集，则满足， 解得，所以实数的取值范围为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟测试（二） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数则（   ） A． B． C． D． 4．已知 ，，则 是 的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 7．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．定义域为 B．是偶函数 C．是减函数 D．是奇函数 8．已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 10．若为上的奇函数，为上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 11．若是定义在上的函数，当时，，且对任意恒成立，则下列说法正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．的图象关于对称 D．若，则恒成立 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知命题，，且为真命题时的取值集合为．设为非空集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围为___________． 13．函数的值域是_____． 14．已知二次函数对任意恒成立，则的最小值为____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知不等式的解集为，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 16．已知函数，． (1)求的值； (2)用定义法证明：函数在上是减函数． 17．长沙市地铁8号线项目正在规划中，通车后将给市民带来便利．该线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，列车处于满载状态，载客量为600人，当时，载客量会减少，减少的人数与时间的关系式为（为参数），且发车时间间隔为2分钟时的载客量为280人，记列车载客量为． (1)求当时，的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量． (2)若该线路每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值． 18．为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑. (1)若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台的侧面积和体积； (2)若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设.求的最小值. 19．若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数”． (1)判断函数是否为型函数”； (2)若函数是“型函数”，求和的值； (3)已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，，若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围． 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $