29.2.1 垂直于弦的直径 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十九章 圆

29.2.1 垂直于弦的直径

本节课选自人教版九年级上册29.2.1《垂直于弦的直径》，是圆这一章节的核心课时，有着承上启下的关键地位. 前面学生已经学习圆的基本概念，认识弦、直径、弧等基础元素，本节课探究圆的轴对称性，推导垂径定理及其推论，是圆性质体系的重要基石. 垂径定理把直径与弦、弧建立数量与位置关系，既是对圆对称性的深度挖掘，也为后续圆周角、圆的计算、圆与几何综合题奠定理论依据，同时赵州桥实例搭建起数学与现实工程的桥梁，体现数学应用价值.

教材教学逻辑链条清晰完整：首先通过折纸探究活动，让学生直观感知圆的轴对称性；接着对轴对称性进行严谨证明，由图形对称推导出垂直于弦的直径带来的弦、弧相等关系，得到垂径定理；再进一步推导得到定理推论；之后借助赵州桥实际例题，把实际问题抽象为圆的几何模型，运用垂径定理结合勾股定理完成计算，落实定理应用；最后设置三道练习，分层巩固定理证明、图形推理、实际计算三类题型，由直观感知到理论证明，再到例题实践、习题巩固，遵循“操作--猜想--证明--应用”的几何学习路径，由浅入深落实知识，渗透建模思想.

已有基础：学生已经掌握圆的弦、直径、弧等基本概念，熟悉轴对称图形定义，能够识别轴对称图形；熟练掌握勾股定理，具备基本几何证明能力，能够完成简单线段相等证明；初步接触几何建模，有把简单实际问题转化几何图形的体验. 学生思维已经由具象逐步向抽象过渡，可以开展猜想、逻辑推理活动.

存在困难：其一，垂径定理条件和结论较多，学生容易混淆定理条件，忽略推论中“弦不是直径”这个关键限制条件；其二，定理涉及弦、弧多种等量关系，学生不易完整梳理清楚位置条件对应的多重结论；其三，遇到实际应用题，很难快速剥离现实情境，抽象出垂径定理的几何模型，不会构造半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形解题.

认知特点：九年级学生好奇心强，动手折纸探究可以调动学习兴趣，但几何逻辑推理的严谨性不足，重直观感受、轻严谨证明；对于文字、图形、符号语言之间的转化能力薄弱，很难把定理文字描述准确转写成几何符号；容易机械记忆定理，不理解定理来源于圆的轴对称本质，解题只会套模型，不会灵活迁移. 教学需借助动手操作搭建具象阶梯，强化三种数学语言互译，突破理解盲区.

1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，分清定理的条件与结论，能完成基础线段、弧的等量证明.

2.能够识别垂径定理基本模型，会构造直角三角形，结合勾股定理解决赵州桥类实际计算问题.

3.经历折纸猜想、推理论证、模型应用全过程，体会从直观到严谨，提升几何建模与逻辑推理能力.

4.感受古代建筑的数学智慧，体会圆的对称之美，养成严谨求实、善于探究思考的数学素养.

重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，分清定理的条件与结论，能完成基础线段、弧的等量证明.

难点：能够识别垂径定理基本模型，会构造直角三角形，结合勾股定理解决赵州桥类实际计算问题.

         情境导入

在两千多年前的《九章算术》中，古人就记载了 “圆材埋壁” 问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何.

古代数学家没有现代几何符号，仅凭生活观察，就解决了圆内部弦长的计算难题. 这份古老的数学谜题背后，藏着圆本身自带的对称性质.

今天我们穿越古今，一起探究垂直于弦的直径，破解古人早已接触的圆中奥秘.

师生活动：教师出示《九章算术》“圆材埋壁”古文情境，引导学生读懂题意；学生尝试转化为几何图形，猜想其中蕴含的圆的性质，师生共同提炼问题，引出垂径定理的探究.

设计意图：依托古代数学名题，渗透数学文化，激发探究兴趣. 引导学生将实际问题抽象为几何模型，感知圆的对称性，自然引出本节课垂径定理的学习.

         探究新知

活动一：探究圆的对称性

师生活动：教师提出操作与证明问题，组织学生动手折叠圆形纸片，观察对折现象；学生动手操作、交流发现，辨析“直径”与“直径所在直线”的区别. 师生共同完成几何作图与逻辑证明，归纳圆的轴对称性质.

问题1：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么？重复做几次，由此你能得到圆具有怎样的对称性？

答：通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”.

圆有无数条对称轴

问题2：怎样证明圆是轴对称图形呢？

要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.

请在自己剪的圆中按照如下步骤作图，并写出已知和证明：

① 任意作出一条直径 AB；

② 在⊙O 上任意选取除 A，B 外的一点 M.

③ 作出点 M 关于直径 AB 的对称点 M'，连接 OM，OM'.

已知：如图，AB 是⊙O 上的直径，M 是⊙O 上异于 A、B 的任意一点，M'是点 M 关于直线 AB 的对称点.   

求证：点M'在⊙O 上.

证明：因为AB是⊙O的任意一条直径，M为⊙O上点A，B以外的任意一点，

M′是点M关于直线AB的对称点，

所以直线AB是线段MM′的垂直平分线.

因为圆心O在AB上，所以OM′=OM，

因此点M′在⊙O上.

如果点M与点A或点B重合，那么结论显然也成立.

总结：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．

设计意图：借助动手操作直观感知圆的对称性，再通过严谨几何证明实现从感性到理性的过渡，纠正对称轴易错概念，为本课垂径定理的探究做好知识铺垫.

活动二：探究垂径定理及其推论