精品解析：广东东莞市厚街湖景中学2026-2027学年第一学期九年级数学期中试题

2026-2027第一学期初三数学第8周教学反馈 【总分：120分　考试时间：120分钟】 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先移项，再进行提公因式，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴，， 故选：C． 2. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法求解一元二次方程．掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， 故选：B 3. 已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+5x+m2﹣9＝0有一个解是0，则m的值为（　　） A. ﹣3 B. 3 C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+5x+m2﹣9＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0． 【详解】解：∵一元二次方程（m-3）x2+5x+m2-9=0有一个解是0， ∴， 解得，m=-3， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确题意，求出m的值，注意一元二次方程中二次项系数不等于0． 4. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把，，代入二次函数中，比较，，即可． 【详解】∵点，，经过 ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握点在函数图象上的点． 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式即可． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 6. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时的取值范围即可得到答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， 由图可知：则不等式的解集是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是掌握二次函数与不等式的关系，采用数形结合的思想解题． 7. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 当时，随的增大而增大 D. 抛物线与轴没有交点 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次项系数为可判断A；根据顶点式得到顶点坐标可判断B；根据对称轴可得增减性，可判断C；将代入表达式得到，可判断D． 【详解】解：A、∵的二次项系数为 ∴抛物线的开口向上，故A错误； B、抛物线的顶点坐标为，故B错误； C、∵对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，随的增大而增大，故C正确； D、当时， ∴抛物线与轴交于点，故D错误． 8. 电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约0.5亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】表示出第二天和第三天票房，然后根据“三天后累计票房收入达2亿元”列方程． 【详解】解：∵第一天票房约0.5亿元，增长率为， ∴第二天票房为亿元，第三天票房为亿元， 根据题意得，． 9. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点， ∴方程有一个根约为． 故选：C． 10. 如图，抛物线的图象与轴相交于、两点，与轴相交于点，以下结论：①；②；③当时，；④；⑤，正确的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：抛物线图象与轴有两个交点， ，①正确； 由函数图象开口向上知， 抛物线的图象与轴相交于、两点， 对称轴为直线，即， ，则，④正确； 抛物线图象与轴相交于负半轴， ， ，②正确； 由于抛物线图象开口向上，则时图象在轴上方，对应或，故③错误； 当时，， 时，或， 当时，，且在和之间， ，⑤正确； 故正确的有①②④⑤，共4个， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线解析式为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位得到的抛物线解析式为，再向下平移2个单位得到的抛物线解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键． 12. 已知为一元二次方程的一个根，则代数式的值为________ 【答案】2027 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义推导等量关系，得到，然后对所求代数式提取公因式变形，整体代入计算． 【详解】解：将代入方程，可得： 观察代数式，提取公因数2可得： 将整体代入上式计算： ． 13. 如图，铅球与地面的高度（）和运动员出手点的水平距离（）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是___ 【答案】10 【解析】 【分析】根据落地时，，代入求解即可． 【详解】解：∵落地时，， ∴将代入，得 ， 即， ， 解得（负根舍去）． 故铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是． 14. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是______ 【答案】600米 【解析】 【分析】当取得最大值时，飞机停下来，，即当时，飞机滑行才停下来，即可求解． 【详解】解：当取得最大值时，飞机停下来， 则， 此时，飞机着陆后滑行米才能停下来 故答案是：米 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，确定飞机最大滑行时间是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为，则当线段最短时a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．当轴时，线段最短．根据点C的坐标求得点D的坐标，将点D的坐标代入二次函数解析式即可求a的值． 【详解】解：根题意知，当轴时，线段最短． ∵点C的坐标为， ∴点D的坐标为． 将其代入，得， 解得． 故答案是：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有两个相等的实数根，求实数的值； （2）当时，求此方程的根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程有两个相等的实数根，得到判别式等于，从而求出的值； （2）将代入方程中，利用因式分解法求得方程的根． 【小问1详解】 解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得． 【小问2详解】 解：当时， 因式分解，得， 或， ，． 17. 某农户种植有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米．现以所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）若保温墙到点O的距离米，求出保温墙的高度． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设函数的表达式为，再将原点坐标代入求出函数的表达式即可； （2）将代入抛物线解析式，求出y的值即可． 【小问1详解】 解：设塑料顶棚所在抛物线的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴把，代入抛物线解析式得：， 解得：． ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，． 答：保温墙的高度是米． 18. 已知筝形的对角线，的长度为整数值，且满足 设的长为，四边形的面积为，试求为多少时，有最大值，并求出的最大值 【答案】当时，面积取最大值为 【解析】 【分析】设，则，根据题意列出面积S与x的函数关系式，化为顶点式即可求解． 【详解】解：设，则 根据题意得：筝形面积 当时，均为整数，面积取最大值． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 根据以下素材，完成任务： 背景 春节动画电影“哪吒”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材 某影院正月初一的票房收入为万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到万元． 素材 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盒进行销售．手办盒是一个无盖长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可在矩形硬纸板的四个角分别剪去个同样大小的正方形，然后折叠成一个无盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 问题解决 （1）任务：根据素材，求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． （2）任务：根据素材，求纸盒的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，整理后利用直接开平方法求出符合要求的解； （2）设纸盒的高为，根据手办盒的展开图，以纸盒的底面面积建立等量关系，列出一元二次方程，整理后利用因式分解法求出符合要求的解． 【小问1详解】 解：设每天的平均增长率为，则根据题意， ， ， 或 解得，（舍去）． 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为． 【小问2详解】 解：设纸盒的高为，则根据题意， ， 解得，． ，， ， ． 答：纸盒的高为． 20. 正在举行的2025年全运会，其吉祥物“喜洋洋”正火遍全国．某网店售卖一款进价为30元／个的“喜洋洋”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元．试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个．该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． （1）直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是_____． （2）当销售单价为多少元时，每天销售利润为8000元？ （3）求该网点每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值． 【答案】（1） （2）50 （3）8750 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式是解题的关键： （1）根据销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，列出函数关系式，根据单个销售利润不低于10元，且不高于25元，求出的取值范围； （2）根据总利润等于单个利润乘以销量列出方程进行求解即可； （3）根据总利润等于单个利润乘以销量列出二次函数关系式，求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，； ，即； 【小问2详解】 由题意，， 解得或（不合题意，舍去）； 答：销售单价为50元时，每天销售利润为8000元； 【小问3详解】 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，最大，为． 21. 已知二次函数的图象经过点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图象，直接写出当时，函数y的取值范围是_____． 【答案】（1） （2） 描点、连线， （3） 【解析】 【分析】本题考查求二次函数解析式，画二次函数图象，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入求出b值即可； （2）根据描点法画二次函数图象的步骤即可解决问题； （3）观察图象，利用数形结合思想解答． 【小问1详解】 解：将代入，得：， 解得， 故这个二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：列表， x …… 0 1 2 3 4 …… y …… 3 0 0 3 …… 【小问3详解】解：由图可得当时，函数y的取值范围是， 故答案为：． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，矩形的两条邻边，（）． （1）若，是关于的方程的两个根，且，求的值； （2）若，，的值满足第（1）问的条件，且边上存在点，使得，求此时的长； （3）点是边上一点，满足的点有且只有一个时，求证：． 【答案】（1） （2） （3）解：设，则，，，， ， ，即， 化简得，即， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合得到，即可求解； （2）由（1）可求出，，设，则，，，根据勾股定理可得，即，即可求解； （3）设，则，，，，根据勾股定理可得，即，化简得，根据一元二次方程根的判别式即可得证． 【小问1详解】 解：，是关于的方程的两个根， ，， ， ， 即， 解得或， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ，， ，， 设，则，，， ， ，即， 整理得， 解得， ； 【小问3详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与轴交于点，与轴交于点、 （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线第一象限内的任意一点（点在上方），求：当的面积最大时点的坐标，并求出的最大面积； （3）若点在抛物线上，点在其对称轴上，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】（1） （2）；； （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得出，再由待定系数法确定直线的函数解析式为，过点P作轴，交于点E，结合图象，求三角形面积，得出函数关系式求解即可； （3）设，，根据平行四边形的性质分三种情况分析：①与为对角线；②与为对角线；③与为对角线；列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得 ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴， 设直线的函数解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴， 过点P作轴，交于点E，如图所示： 设，则， ∴， ∴， 当时面积最大，此时， 当时， 故； 【小问3详解】 函数对称轴为直线， ∵点在抛物线上，点在其对称轴上， ∴设， ，， 分三种情况（对角线互相平分）： ①与为对角线：得 ， 解得， ∴； ②与为对角线： ， 解得， 此时与重合，不能构成平行四边形，舍去； ③与为对角线： ， 解得， ∴ 综上，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027第一学期初三数学第8周教学反馈 【总分：120分　考试时间：120分钟】 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+5x+m2﹣9＝0有一个解是0，则m的值为（　　） A. ﹣3 B. 3 C. D. 不确定 4. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 当时，随的增大而增大 D. 抛物线与轴没有交点 8. 电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约0.5亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 10. 如图，抛物线的图象与轴相交于、两点，与轴相交于点，以下结论：①；②；③当时，；④；⑤，正确的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线解析式为 _____． 12. 已知为一元二次方程的一个根，则代数式的值为________ 13. 如图，铅球与地面的高度（）和运动员出手点的水平距离（）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是___ 14. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是______ 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为，则当线段最短时a的值是________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有两个相等的实数根，求实数的值； （2）当时，求此方程的根． 17. 某农户种植有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米．现以所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）若保温墙到点O的距离米，求出保温墙的高度． 18. 已知筝形的对角线，的长度为整数值，且满足 设的长为，四边形的面积为，试求为多少时，有最大值，并求出的最大值 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 根据以下素材，完成任务： 背景 春节动画电影“哪吒”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材 某影院正月初一的票房收入为万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到万元． 素材 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盒进行销售．手办盒是一个无盖长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可在矩形硬纸板的四个角分别剪去个同样大小的正方形，然后折叠成一个无盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 问题解决 （1）任务：根据素材，求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． （2）任务：根据素材，求纸盒的高． 20. 正在举行的2025年全运会，其吉祥物“喜洋洋”正火遍全国．某网店售卖一款进价为30元／个的“喜洋洋”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元．试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个．该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． （1）直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是_____． （2）当销售单价为多少元时，每天销售利润为8000元？ （3）求该网点每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值． 21. 已知二次函数的图象经过点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图象，直接写出当时，函数y的取值范围是_____． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，矩形的两条邻边，（）． （1）若，是关于的方程的两个根，且，求的值； （2）若，，的值满足第（1）问的条件，且边上存在点，使得，求此时的长； （3）点是边上一点，满足的点有且只有一个时，求证：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与轴交于点，与轴交于点、 （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线第一象限内的任意一点（点在上方），求：当的面积最大时点的坐标，并求出的最大面积； （3）若点在抛物线上，点在其对称轴上，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $