广东东莞市厚街湖景中学2026-2027学年第一学期九年级数学期中试题

2026-2027第一学期初三数学第8周教学反馈 【总分：120分　考试时间：120分钟】 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意） 1. 一元二次方程的根为（　） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程变形为（　） A. B. C. D. 3. 已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（　） A. -3 B. 3 C. 3 D. 不确定 4. 若抛物线经过点，，，则，，的大小关系正确的为（　） A. C. D. 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是（　） A. B. C. D. 7. 对于抛物线，下列说法正确的是（　） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为（-1，3） C. 当时，随的增大而增大 D. 抛物线与轴没有交点 8. 电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩。据不完全统计，全国第一天票房约0.5亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，设增长率为，则方程可以列为（　） A. B. C. D. 9. 已知二次函数（）的自变量与函数值的部分对应值如表所示，方程的一个根的近似值可能是（　） … 1.2 1.3 1.4 1.5 … … -1 -0.48 0.05 0.65 … A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 10. 如图，抛物线的图象与轴相交于、两点，与轴相交于点，以下结论：①；②；③当时，；④；⑤，正确的个数为（　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得新的抛物线解析式是________ 12. 已知为一元二次方程的一个根，则代数式的值为________ 13. 如图，铅球与地面的高度（）和运动员出手点的水平距离（）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是___ 14. 若飞机着陆后滑行的距离（单位）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，则飞机着陆后滑行的最大距离是___米 15. 如图，抛物线（）与轴交于、两点，与轴交于点；点的坐标为，则当线段最短时的值是________ 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 已知关于的一元二次方程 （1）若该方程有两个相等的实数根，求实数的值； （2）当时，求此方程的根 17. 某农户种植有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点的水平距离是6米，到地面的高度是3米。现以所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系。 （1）求该抛物线的解析式； （2）若保温墙到点的距离米，求出保温墙的高度 18. 已知筝形的对角线，的长度为整数值，且满足。设的长为，四边形的面积为，试求为多少时，有最大值，并求出的最大值 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 根据以下素材，完成任务： 背景 春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送。 素材1 某影院正月初一的票房收入为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元。 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盒进行销售。手办盒是一个无盖长方体盒子，其底面面积是200。如图，该长方体盒子可在矩形硬纸板的四个角分别剪去1个同样大小的正方形，然后折叠成一个无盖的盒子制成。已知矩形硬纸板的长宽分别为30，20。 问题解决 任务1 根据素材1，求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率。 任务2 根据素材2，求纸盒的高。 20. 全运会期间，其吉祥物“喜洋洋”火遍全国。某网店售卖一款进价为30元/个的“喜洋洋”，（规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元）。试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个。该网店决定提价销售，设销售单价为元，每天销售量为个。 （1）直接写出销售量与的函数关系式及自变量的取值范围； （2）当销售单价为多少元时，每天销售利润为8000元？ （3）求该网点每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润（元）的最大值。 21. 已知二次函数的图象经过点。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图象，直接写出当时，函数的取值范围。 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，矩形的两条邻边，（）。 （1）若，是关于的方程的两个根，且，求的值； （2）若，，的值满足第（1）问的条件，且边上存在点，使得，求此时的长； （3）点是边上一点，满足的点有且只有一个时，求证：。 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与轴交于点，与轴交于点、。 （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线第一象限内的任意一点（点在上方），求：当的面积最大时点的坐标，并求出的最大面积； （3）若点在抛物线上，点在其对称轴上，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖景中学2026-2027第一学期初三数学第8周教学反馈（详解） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 方程的根为（　） 【答案】C 【解析】，移项得，，故或。故选C。 2. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（　） 【答案】B 【解析】，配方得，即。故选B。 3. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（　） 【答案】A 【解析】把代入：，。当时二次项系数为0，方程不是一元二次方程，舍去，故。注：原卷B、C两选项均印作“3”，疑为印刷重复，正确选项为A。 4. 若，，在二次函数的图象上，则、、的大小关系为（　） 【答案】B 【解析】，对称轴，开口向下。三点横坐标到对称轴的距离分别为4、1、2，开口向下时离对称轴越远函数值越小，故。故选B。 5. 一元二次方程的根的情况是（　） 【答案】B 【解析】恒成立，故方程有两个不相等的实数根。故选B。 6. 抛物线与直线交于、两点，则不等式的解集为（　） 【答案】A 【解析】原不等式即。抛物线开口向上，图象在直线下方的部分位于两交点之间，故解集为。故选A。 7. 抛物线，下列说法正确的是（　） 【答案】C 【解析】开口向上，顶点为（1，3），对称轴。故当时随的增大而增大。与轴交于（0，5）。故选C。 8. 某学校初三年级500名师生参加研学活动，第一轮通知0.5小时，每轮平均每小时可通知到上次人数的倍……经过两轮通知后累计通知人数为（　） 【答案】D 【解析】第一轮通知0.5万人，第二轮通知万人，第三轮通知万人。三天累计。故选D。 9. 根据表格，一元二次方程的近似解为（　） 【答案】C 【解析】表中时，时，函数值由负变正，零点在1.3与1.4之间，故选C（1.38）。 10. 二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点。正确结论的个数为（　） 【答案】D 【解析】由图象开口向上知；对称轴为直线，故，，且，④正确。与轴有两个交点，，①正确。由，当时，即，故，②正确。图象开口向上，时图象在轴上方，对应或，③“当时”错误。（在两根之间，图象在轴下方），⑤正确。故正确的有①②④⑤，共4个，选D。 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为________。 【答案】 【解析】向左平移3个单位得，再向下平移2个单位得。 12. 已知是方程的根，则的值为________。 【答案】2027 【解析】是方程的根，。故。 13. 如图，铅球与地面的高度（m）和运动员出手点的水平距离（m）的函数解析式是，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是______m。 【答案】10 【解析】落地时：，即，，（负根舍去）。故铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是10m。 14. 若飞机着陆后滑行的距离（单位m）关于滑行的时间（单位s）的函数解析式是，则飞机着陆后滑行的最大距离是______m。 【答案】600 【解析】函数开口向下，最大值在处取得，m。 15. 如图，抛物线（）与轴交于、两点，与轴交于点；点的坐标为（2，-4），则当线段最短时的值是________。 【答案】 【解析】抛物线与轴交于点，定点。。当即时最短，且符合题意。故填。 三、解答题（一）（每题8分，共16分） 16. 已知关于的方程。 （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； 【答案】 【解析】，。 （2）若，求方程的解。 【答案】或 【解析】，因式分解得，或。 17. 蔬菜大棚，抛物线形截面最高点距水平距离6米、高3米，在地面与点重合。 （1）求抛物线的解析式； 【答案】 【解析】设，（0，0）在抛物线上：，。故。 （2）若米，求保温墙的高度。 【答案】米 【解析】当时，米。 18. 筝形的对角线、长度均为整数，且，则筝形面积的最大值为________。 【答案】 【解析】设，则。筝形面积。当时均为整数，面积取最大值。 四、解答题（二）（19题8分，20题10分，21题12分，共30分） 19. 列方程解应用题： （1）某电影春节期间上映，正月初一票房6万元，正月初三票房8.64万元，求每天平均增长率； 【答案】20% 【解析】设每天平均增长率为，则，，，。 （2）用长30cm、宽20cm的矩形硬纸板，四角剪去边长为h cm的小正方形，折成无盖长方体纸盒，要使纸盒底面面积为200cm²，求纸盒的高。 【答案】cm 【解析】底面为，展开：，，。因，，故cm。 20. 某商场销售一种进价为30元/件的商品，售价为元/件，日销量为件，满足，且单个销售利润不低于10元、不高于25元。 （1）求与之间的函数关系式及的取值范围； 【答案】（） 【解析】。利润不低于10元、不高于25元，故。 （2）若日销售利润为8000元，求售价； 【答案】元 【解析】，即，，。因，故元。 （3）日销售利润能否达到9000元？并求出最大利润。 【答案】不能达到9000元；最大利润为8750元 【解析】，对称轴在右侧，故在上随增大而增大，最大利润元，不能达到9000元。 21. 抛物线与轴交于点，与轴交于点。 （1）求该抛物线的解析式； 【答案】 【解析】代入：，。故。 （2）请画出该抛物线的图象； 【解析】抛物线与轴交于（1，0）、（3，0），与轴交于（0，3），顶点为（2，-1），开口向上，据此画图即可。 （3）当时，求的取值范围。 【答案】 【解析】顶点（2，-1）在区间内，最小值-1；区间端点处，。故。 五、解答题（三）（22、23题各12分，共24分） 22. 数学课上，长方形中，，且，是方程的两个根（）。 （1）求的值； 【答案】 【解析】由韦达定理：，。由：，即，，或。因，，故。 （2）若边上存在点使得，求此时的长； 【答案】 【解析】由（1），。设，则。，。由：，即，，，，均在（0，6）内。故。 （3）若边上存在唯一一点使得，请探究与之间的数量关系并说明理由。 【答案】 【解析】设，则。，，。由：，化简得，即。点在上存在唯一解，需该方程判别式为0：，因，故。此时恰在（0，a）内，符合题意。 23. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点。 （1）求抛物线的解析式； 【答案】 【解析】代入、：，，解得，。故，。 （2）点为抛物线第一象限内位于直线上方的任意一点，求面积最大时点的坐标。 【答案】 【解析】直线：。设，点到直线的距离为，，故。当时面积最大，此时。故。 （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由。 【答案】或 【解析】对称轴为直线，设，。分三种情况（对角线互相平分）：①与为对角线：，得，，解得，，；②与为对角线：，得，此时与重合，不能构成平行四边形，舍去；③与为对角线：，得，，。综上，或。 学科网（北京）股份有限公司 $